Весовые классы непрерывных функций на метрических пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.982.272

ВЕСОВЫЕ КЛАССЫ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ НА МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ1

© 2013 г. Н.Ю. Нестеров

Нестеров Никита Юрьевич - студент, Южный федеральный Nesterov Nikita Yurievich - Student, Southern Federal Uni-университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, versity, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, Russia, 344090, e-mail: [email protected]. e-mail: [email protected].

Рассматриваются классы непрерывных функций на метрических пространствах, задаваемые произвольным положительным весом. Решены задачи о нетривиальности, бесконечномерности и полноте данных весовых классов. Установлены необходимые и достаточные условия вложения и совпадения классов. Изучен вопрос о непрерывности и компактности вложений. Выявлены канонические свойства весов.

Ключевые слова: весовые пространства, непрерывные функции на метрическом пространстве, компактное вложение.

We consider classes of continuous functions on metric spaces defined by a positive weight. Problems of nontriviality, infinite dimension and completeness of these classes are solved. We obtain necessary and sufficient conditions under which the inclusion or coincidence of classes holds. We also study the question about continuous and compact inclusions. The canonical properties ofweight functions are found.

Keywords: weighted spaces, continuous functions on metric spaces, compact inclusion.

Весовые пространства интегрируемых, непрерывных, бесконечно дифференцируемых и аналитических функций исследуются с разных точек зрения и во многих областях математики уже давно. Пожалуй, наименьшее внимание до настоящего времени уделялось классам непрерывных функций. Вслед за работой [1] в [2] были получены некоторые результаты для пространств (о) непрерывных функций на открытом множестве О в Я^, задаваемом весом V. Именно, для Сл, (о) были проанализированы требования, предъявляемые к весам, а также изучены вопросы нетривиальности, полноты, вложений и компактности вложений. Цель настоящей работы - перенести перечисленные результаты на случай весового пространства Сл, (X) непрерывных функций на абстрактном метрическом пространстве X. Заметим, что изначально никаких ограничений на X не накладывается. Естественно, (о) , О открыто в Я^, это частный случай Су, (X). Однако, в отличие от Ям, метрическое пространство может и не быть локально компактным, что вносит определённые изменения в получаемые результаты. Кроме того, на данном этапе исследований не исключался и случай, когда в X нет предельных точек. Понятно, что в этой ситуации говорить о непрерывности излишне; однако это позволяет охватить, в частности, весовые пространства последовательностей. Заметим, что рассуждения и результаты значительно отличаются в случаях, когда у X есть хотя бы одна предельная точка и когда их нет.

Классы (X) и их основные свойства

Пусть (X, р) - произвольное метрическое пространство; V: X ^ (0;+да) - некоторая фиксированная функция, которую будем называть весом.

Положим

Cv(X):=|/ :X^C, / еС(X):

I / ( *)|

= sup < да

xeX v(x)

Ясно, что Cv (X) - линейное нормированное пространство относительно нормы || • || . Сразу заметим, что, очевидно, бессмысленно рассматривать конечные множества X, поскольку при этом Cv (X) вырождать

ется в N .

Для веса v введём его верхнюю и нижнюю регу-

*

ляризации v и v*:

v* (x) := lim sup{v(y): у e Bx (5)}, 5^+0

v* (x) := lim inf {v(y): у e Bx (5)}.

5^+0

Здесь Bx(5) = {y e X: p(x, y) < 5}. Понятно, что v* действует из X в (0,+да] и полунепрерывна сверху на X, v* - снизу.

Как обычно, важную роль для пространства Cv (X) играют функции-«шапочки»:

й s(x):=J1"1 р(x' xo) Mee Р(x x0) <5;

[o, anee p(x, x0) >5.

Здесь xo e X, 5 > 0. Очевидно, hxQ 5 непрерывна на X .

Рассмотрим, прежде всего, вопрос о нетривиальности пространства Cv (X). Будем говорить, что Cv (X) не исчезает в точке xo e X , если найдётся f e Cv(x) такая, что f (xo) ^ 0 . В противном случае будем говорить, что Cv (X) исчезает в точке x0 . Установлено

Предложение 1. Следующие утверждения эквивалентны:

'Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.А18.21.0356 «Теория функциональных пространств, операторов и уравнений в них», и гранта ЮФУ «Весовые пространства бесконечно дифференцируемых и голоморфных функций. Общая теория и приложения».

v

1) Су (X) не исчезает в точке х0 е X ;

И) вес V отграничен от нуля в некоторой окрестности Вх (8) точки Хо;

ш) v*(x0) > 0;

гу) 38о > 0 такое, что «шапочки» И 8 (х) принадлежат С (X) при всех 8е (0,8о].

Нетрудно видеть, что множество Xvan всех точек, в которых Су, (X) исчезает, замкнуто в X. Переходя в случае необходимости от X к открытому множеству X = X \ Xvan, получим пространство С^, ), которое

не исчезает ни в одной точке из X. В дальнейшем ограничимся рассмотрением только таких пространств Су, (X). Таким образом, изначально будем предполагать, что вес V отграничен от 0 на X. Такие веса называются полными [2].

Перейдём к вопросу о размерности пространства СЛ, (X). Как уже говорилось выше, берутся только бесконечные множества X.

Предложение 2. Пространство С^, (X) бесконечномерно.

Выделим последовательность {хп попарно различных точек из X и найдём 8п > 0 такие, что ВХп (8П) П Вх (8т) = 0 при п Ф т . Тогда «шапочки»

{Их 8 }°_1 образуют линейно независимую систему в

С П^.

Ассоциированный вес. Полнота С (X)

При рассмотрении весовых пространств естественным образом всегда возникает вопрос о допустимых классах весов V. С одной стороны, желательно, чтобы весовые функции обладали наиболее хорошими свойствами. А с другой стороны, нельзя без необходимости сужать совокупность изучаемых пространств С (X). Вслед за [1] введём следующее определение.

Определение 1. Пусть V - полный вес на X. Ассоциированным с V весом называется функция

~(х) := 8ир{|/(х)|: / е С(X), || Д < 1}, х е X.

Легко проверяется, что 0 < ~(х) < v(х) при всех х е X и полунепрерывна снизу на X. Понятно, что полунепрерывность снизу - это более сильное свойство, чем полнота веса. При этом ||/|= ||/|, так что пространства С~ (X) и С^, (X) совпадают и изометричны.

Таким образом, при исследовании классов С^, (X) можно ограничиться полунепрерывными снизу весовыми функциями.

Сформулируем критерий полноты пространства С (X).

Теорема 1. Пусть V - полунепрерывный снизу вес на X. Пространство Су (X) банахово тогда и только тогда, когда вес V локально ограничен сверху на X, т.е.

Ух0 е X, Б80 > 0,БЫ > 0: v(x) <М,Ух е В^ (80). Необходимость. Пусть пространство Сч(X) полно. Предположим, что вес V не является локально ограниченным сверху на X. Это означает, что найдутся предельная точка х0 множества X и попарно различные и отличающиеся от х0 точки хп такие, что хп ^ х0 и v(xn) > п, п е N. Учитывая полунепрерывность снизу веса V, выбираем 8п > 0 так, чтобы

у(х) > п, Ух е ВХп (8п); (1)

Вхп (8п ) П Вхт (8т) = 0 при п Ф т ; (2)

х0 £ Вхп (8п X п е N .

п

Рассмотрим функции /п := 2 Их 8 , п е N. В си-

к=1 , к

лу (1) они образуют последовательность Коши в С(X). Значит, последовательность {/п} сходится к некоторой функции / в Су (X). При этом при п > т /п (хт) = 1, так что /(хт) = Нш /п (хт) = 1 и

/(х0) = Нш /(хт) = 1. А с другой стороны,

т^да

/п (х0) = 0 для всех п е N, откуда следует, что /(х0) = 0 . Значит, предположение неверно, и вес V локально ограничен сверху на X.

Доказательство достаточности стандартное, поэтому здесь мы его приводить не будем.

Определение 2. Полунепрерывные снизу локально ограниченные сверху на X веса будем называть каноническими весами. Совокупность всех канонических весов на X обозначим через Wx.

Вложения классов Су (X). Эквивалентность весов

В данном параграфе изучаются условия на веса V и V2, при которых имеет место вложение С^ (X) с Су (X). Заметим сразу, что если V ,

е Wx, то из теоремы о замкнутом графике вытекает, что вложение С^ (X) с С (X) обязательно является непрерывным.

Будем говорить, что вес V подчинён весу V2 (Vl х V2), если найдётся С > 0, при котором V (х) < Су2 (х) для всех х е X.

Если одновременно V! х V2 и V2 х Vl, т. е. если

■1 V2(x) < Vl(x) < Cv2 (х), х е X, при некотором

С > 0, будем говорить, что веса Vl и V2 эквивалентны (V ~ V2).

Стандартным образом с использованием «шапочек» устанавливается

Предложение 3. Пусть V2 е Wx. Для того чтобы С^ (X) было (непрерывно) вложено в С (X),

необходимо и достаточно, чтобы vj х v2. Соответст

венно, классы

Cv, (X) и Cv2 (X)

совпадают тогда и

"v1 V / v2 '

только тогда, когда vi ~ V2 .

Оставшаяся часть параграфа посвящена вопросу о компактности вложения C^ (х) с Cv (х). Данное

свойство играет важную роль при построении индуктивных и проективных спектров классов Cv (X) [3]. В [2] было установлено, что в случае пространств Cv (G), где G открыто в RN , компактное вложение не может иметь места. Это существенным образом отличает весовые пространства непрерывных функций от пространств бесконечно дифференцируемых или аналитических функций [4]. Мы переносим результат об отсутствии компактных вложений на случай произвольного метрического пространства X,, имеющего хотя бы одну предельную точку. Заметим, что в [2] доказательство основано на применении теоремы Арцела. Мы не можем использовать эту теорему и её аналоги, поскольку пространство X не предполагается локально компактным. В связи с этим схему доказательства пришлось несколько изменить. В случае же, когда у X нет предельных точек, на примере демонстрируется, что компактное вложение может выполняться.

Теорема 2. Пусть X имеет хотя бы одну предельную точку; vi,V2 е Wx . Тогда компактное вложение CVi (х) в C^ (х) не может иметь места.

Предположим, что C (X) компактно вложено в Cv^ (X). Пусть х0 - предельная точка множества X. Так как функция vi полунепрерывна снизу в точке x0, то найдётся 80 > 0 такое, что при всех

x е BXq (80) vi(x) >^^ =: m.

Как в доказательстве теоремы 1, выберем попарно

o

различные точки xn е Bx0 (80), xn ^ Xo, и 8n > 0 так, чтобы выполнялись условия (2) и чтобы

n

Bxn (8n) с Bx0 (80) . Пусть как и там, fn := 2 Кк,8к .

к=1

Тогда последовательность {fn }^=1 ограничена в Cv1 (х) , поскольку \\fn\\v < sup

1 . < 1, n е N.

Vl хеВх0 (80) Мх) т Следовательно, из этой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность в С^ (X). Не меняя обозначений, будем считать, что

/п ^ / в Cv_l (X). Из этого, как и раньше, вытекают два взаимоисключающих равенства: /(х0) = 0 , / (х0) = 1. Значит, исходное предположение неверно.

Как уже было сказано выше, если в X нет предельных точек, то компактное вложение может иметь место. В частности, можно рассмотреть весовые пространства числовых последовательностей. Справедливо следующее

2

Предложение 4. Пусть X = N, v1 ={vn,1]^_1 и = {v т ^ две весовые последовательности по-

1 n,2 J n=1

ложительных чисел. Если lim —1 = 0, то Cv (n)

п^ж —-,2 1

компактно вложено в C—2 (n) .

Доказательство данного факта стандартное, поэтому здесь мы его опускаем.

Непрерывность веса

Символом — ] будем обозначать совокупность всех канонических весов, эквивалентных заданному каноническому весу —. Все веса из класса — ] определяют одно и то же пространство Cv (X). В данном параграфе полностью решён вопрос о наличии в классе —] непрерывного веса. Полученный результат опровергает распространённое мнение о том, что при изучении пространств непрерывных функций достаточно ограничиться непрерывными весами.

Теорема 3. Пусть — е Wx . Класс — ] содержит непрерывную функцию тогда и только тогда, когда *

— (х)

sup -

■ < ж.

(3)

хеТ Кх)

Заметим, что в [2] для пространств С (X), О открыто в Я ^, доказана лишь необходимая часть этого утверждения. В случае произвольного метрического пространства X доказательство необходимости остаётся фактически тем же, поэтому мы не станем его приводить.

Достаточность. Пусть выполнено условие (3).

Тогда мы имеем, что при некотором С > 0

*

v(х) < V (х) < ^(х) для всех х е X. (4)

Так как функция V (х) полунепрерывна сверху на X, а С - снизу, то в силу [5, с. 164, теорема 4] найдётся непрерывная функция V такая, что

V (х) < м(х) < ^(х) , х е X.

Из этого и из левого неравенства (4) вытекает, что

V - вес, эквивалентный V, т.е. V е[у].

Несложно привести пример веса, для которого условие (3) нарушается.

Пример. Пусть X = ЯN;

п = { 1 И < 1

1{|х|| И|х||]+1, п <||х|| < п +1 (п е N

Здесь || х || - евклидова норма в Я^ . Ясно, что V -

положительный полунепрерывный снизу вес в К . Он непрерывен всюду, кроме точек сфер := {х: || х || = п }, п > 2. Для

х е Sn имеем

*( \ п-1 1

v (х) = e +1, так что условие (3) нарушается.

v*(x) n-1 , —тМ- = e +1 и, значит,

v(x)

Литература

1. Bierstedt K.D., Bonet J., Taskinen J. Associated weights and

spaces of holomorphic functions // Studia Math. 1998. Vol. 127. P. 137-168.

2. Абанин А.В. Весовые пространства непрерывных и го-

ломорфных функций // Математический анализ и ма-

тематическое моделирование: тр. междунар. конф. молодых ученых. Владикавказ, 2010. C. 15-20.

3. Жаринов В.В. Компактные семейства ЛВП и простран-

ства FS и DFS // УМН. 1979. Т. 34, № 4. С. 97-131.

4. Абанин А.В. Ультрадифференцируемые функции и ульт-

рараспределения. М., 2007. 224 с.

5. Hahn H. Theorie der reellen Funktionen. Berlin, 1921. 616 p.

Поступила в редакцию

30 января 2013 г.