Композиционные операторы в весовых банаховых пространствах голоморфных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.547.7, 517.518.27

КОМПОЗИЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ВЕСОВЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ1

© 2012 г. Фам Чонг Тиен

Фам Чонг Тиен - аспирант, кафедра математического анализа, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: [email protected].

Pham Trong Tien - Post-Graduate Student, Department of Mathematical Analysis, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, email: [email protected].

Изучается композиционный оператор С^ (C^ (f ):= f оф), действующий из одного весового пространства голоморфных функций Hч (Gj ) в другое H (G ), где G,G _ произвольные области в комплексной плоскости C. Приведены критерии непрерывности и компактности такого оператора в терминах ассоциированных весов. Более того, получено полное описание класса целых функций ф, для которых соответствующие композиционные операторы С^ являются непрерывными или компактными для любого типичного веса.

Ключевые слова: весовые пространства голоморфных функций, композиционные операторы, непрерывность, компактность, радиальный вес, типичный вес.

In this paper we consider the composition operator Cф (Сф (f ):= f оф) acting from a weighted space of holomorphic functions Нщ (G ) into another H^ (G2 ) one, with G, G being arbitrary domains in complex plane C. We obtain, in terms of the associated weights, some criteria for continuity and compactness of this operator С^. Moreover, we also give a complete description of family of all entire functions ф such that the corresponding composition operator С^ is continuous or compact for any typical weight.

Keywords: weighted spaces of holomorphic functions, composition operators, continuity, compactness, radial weight, typical weight.

Пусть О - область в С; Н(О) - семейство всех голоморфных на О функций; w - непрерывная положительная в О функция. Образуем весовые банаховы пространства

\/ ( *)\

Hw (G):=\f е H (G):

,:= sup

zeG W(z)

■ < X

Hw0(G):.= \f е H (G):

.f ( z)

w( z)

^ 0, z ^dG

топология в которых задается нормой ||.. При этом f (z)

w( z)

0 при z ^ dG, если для любого s > 0

найдется компакт К в О такой, что 1 /(2) 1 < е ,

z)

е О \ К. Функцию w будем называть весом, если соответствующее пространство Н (О) не исчезает на О. Напомним, что класс Е с Н(О) называется не исчезающим на О, если для любой точки ^ е О существует функция / е Е с / (^ ) ^ 0 .

Данные пространства применяются в теориях аппроксимации и интерполяции, роста целых функций и их приложениях, двойственности функциональных пространств и др. Они рассматриваются во многих работах и в разных направлениях (см., например, [1 - 5]).

Отметим, что наибольший интерес представляют случаи единичного круга О = О и всей плоскости

G = C. Для них особое место в исследованиях занимает подкласс радиальных весов w, т.е. w(z) = w(| z |), z e D или z e C. Ясно, что в силу принципа максимума имеет смысл ограничиться типичными радиальными весами - непрерывными и не убывающими по | z | функциями.

Одной из важнейших проблем для пространств Hw (G) и Hw0 (G) является описание их свойств и операторов в них в терминах весов, их определяющих. Как известно, в этой тематике решающую роль играют ассоциированные веса, определяемые следующим образом.

Определение 1 (см. [2]). Пусть Bw (G) - единичный

шар в Hw(G). Функция W(z) := sup{| f (z) |:f e Bw(G)}, z e G, называется ассоциированным с w весом.

Отметим некоторые нужные свойства ассоциированных весов:

а) W непрерывна и 0 < WW < w на G; кроме того, logw субгармонична на G и w является радиальным в случае радиальности веса w ;

б) ||f|w=||f|w,Yf e Hw (G), т.е. Hw (G) = H~(G) изометрически;

в) Для любой точки z0 e G существует функция

fo eBw(G) с |fo(zo)| = w(zo).

Из них следует, что для задания произвольного весового пространства голоморфных функций достаточно использовать его ассоциированный вес. Однако

'Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашения 14.А18.21.0356 «Теория функциональных пространств, операторов и уравнений в них» и 8210 «Синтетические методы изучения операторов и уравнений в функциональных пространствах».

даже в простеиших ситуациях вычисление этого веса представляет собоИ трудную задачу. Поэтому вместо ассоциированных весов часто используются канонические (см. [6]), понятие которых мы сейчас напомним. Будем говорить, что вес wi подчинен весу щ (w ж щ), если найдется а> 0 такое, что щ(z) < aw2(z), z e G. Веса wi, w2 называются эквивалентными W ~ щ), если щ ж щ и щ ж щ. Очевидно, что для щ ~ щ выполняется топологическое равенство Ищ (G) = H (G). Вес w называется каноническим, если он эквивалентен ассоциированному с ним.

В настоящей работе, используя канонические веса, исследуются композиционные операторы в пространствах H (G) и Ho (G). Ранее такие операторы интенсивно изучались в пространствах Харди, Бергмана, Дирихле и Блоха (см., например, [7 - 9]) и в весовых пространствах непрерывных функций (см. [10]). Для голоморфных функций они изучались только на единичном круге (см. [4, 5]). В данной статье будут представлены новые результаты в данном направлении для областей общего вида. Пусть щ, щ - веса на областях Gj, G2 соответственно; ф: G2 ^ G - голоморфная функция на G . Рассматривается композиционный оператор ■ f a f оф . Ниже охарактеризованы непрерывные и компактные операторы C . Полученные результаты обобщают ранее известные для единичного круга из [5] и для оператора вложения одного пространства в другое из [1]. Кроме того, дается полное описание всех целых функций ф, для

которых соответствующие операторы С являются непрерывными или компактными для любого типичного веса w в С . Прежде аналогичные результаты были известны лишь в случае единичного круга [5].

Непрерывность оператора Сф

Будем исследовать оператор С на непрерывность. Первым критерием является

Теорема 1 (ср. с [4, теорема 4]). Следующие утверждения равносильны:

(i) Сф действует из H^ (G{) в H„2 (G2);

(ii) Сф ■ Hwi G) ^ HW2 (G2) непрерывен;

(ill) su^—< ж ;

zeG2 щ2 (Z)

щ(ф( z))

(iv) sup ~ < ж.

zeG2 ^V2(z)

Норма оператора С , ограниченного или нет, вычисляется по формуле | | С, I = sup ,

zeG2 \V2 (z)

Доказательство. Очевидно, что (ii) ^ (i). Справедливость обратной импликации (i) ^ (ii) вытекает из теоремы о замкнутом графике.

(ii) ^ (iii). Из непрерывности оператора

Сф ■ Hn (G1) ^ HW2 (G2) следует, что существует

а > 0 такое, что | /(ф(zУ) | < аж2 (?), V/ е В (01), Vz е G2. Поэтому ~ (ф^)) < аж2 (z), Vz е G2. Откуда получаем (ш).

(Ш) ^ (¡у). Из (Ш) и определения ассоциированного веса ~ следует, что при некотором а > 0: I/ фф( z))|<аw2( z), V/ е ВЮХ), Vz е G2, т.е.

1

f °фе B (G2), Vf е Bw (G). Поэтому, используя

определение ассоциированного веса, имеем ~ (ф(^)) < ай2 (, Vz е ^ , откуда вытекает (¡у).

Наконец, в силу свойства б) ассоциированных весов имеем, что норма оператора С : ^) ^ Н (А2)

совпадает с его нормой, как оператора из ) в

Н~~2 . Поэтому

\\Сф \\=sup^sup ~

zeG2 W2 (Z)

= sup^sup{\ f (Ф(z)) \:\\f\\~1 < 1} = sup^^.

zeG2 W2 (Z) 1 zeG2 W2 (Z)

Отсюда следуют заключение теоремы о норме оператора Сф и импликация (iv) ^ (ii), что завершает

доказательство.

Следствие 1. Если вес wl является каноническим,

то оператор Сф:Нщ (Gi) ^H^ (G2) непрерывен то-

Щ1(ф( z))

гда и только тогда, когда sup —:-<ж .

zeG2 W2(z)

Замечание 1 (см. [1, замечание 3.6]). Замена ассоциированного веса Wj на общий вес wl в условии (iii) теоремы 1 невозможна, как и условие каноничности веса W в следствии 1 является существенным.

Теперь рассмотрим частный случай, когда Gj = G2 = С (или G = G = D), и веса щ, w2 являются радиальными. Если выполняется условие

log(1+\z\)= oQogWi(z)) , (1)

log(1+ \ z \) = o(log w2 (z)), z ^ ж

(или, соотв., lim щ (z) = lim w2 (z) = ж),

\ z \ \z\^.1"

то по [3, пример 2.2; 2, теорема 1.13] получим, что

W10 = и W20 = W~2, где W0 := sup{\ f (z) \:/ еBw0(G)},

z е G, и B (G) - единичный шар в HWQ (G). Следовательно, условия (i) - (iv) в теореме 1 равносильны следующему:

(v) Сф : Нщо(С) ^Нщ2о(С) (или Сф: Нщ^о (D) ^Нщ2о (D)) непрерывен. Отметим, что условие (1) в данном случае является существенным. Действительно, рассмотрим следующий пример.

Пример 1. Пусть щ (z):= (1+\z\ )n, щ (z):= (1+\ z \ f-1, ф(2) = z2, z е С, n е N. Нетрудно видеть, что оператор Сф: Нщо(С) ^Нщ2о(С) непрерывен, но он не действует из ^ (С) в Нщ2 (С).

а

Для весовых пространств аналитических функций на единичном круге D в [5, теорема 2.3] были характеризованы все типичные веса, для которых соответствующий оператор Сф непрерывен для любой голоморфной функции ф на D со значениями в D, а в теореме 2.4 той же работы был описан класс всех тех функций ф , для которых С непрерывен для любого

типичного веса w . Следующие 2 теоремы дают полные ответы на аналогичные задачи для пространств целых функций. Отметим, что по характеру наши результаты кардинально отличаются от упомянутых.

Теорема 2. Не существует типичного веса w такого, что композиционный оператор Сф: Hw (С) ^ Hw (С) непрерывен для любой целой функции ф .

Доказательство. Предположим противное, что существует типичный вес w такой, что оператор С

непрерывен для любой ф е H(С). Положим у(x) := log w(ex), x е R. Тогда по свойствам ассоциированных весов у не убывает и выпукла на R . Так

как для функции ф(z):= ez, z е С, оператор С непрерывен, то по теореме 1 существует а> 0 такое, что w(| ez | )< aw(\ z | ) для любого z е С. Отсюда сле-

^ x ^

дует, что w(ee ) <aw(ex) , т.е. y(ex) < \oga + y(x), Vx е R. Тогда в силу выпуклости функции у имеем, что y'(x)(ex — x) < loga,Vx е R . С другой стороны, легко видеть, что y'(x)(ex - x) при x .

Полученное противоречие завершает доказательство.

Теорема 3. Оператор Сф : Hw (С) ^ Hw (С) непрерывен для любого типичного веса w тогда и только тогда, когда ф(z) = az, | a \= 1 или ф(2) = az + b , a,b е С :| a |< 1.

Доказательство. Необходимость. По теореме 1 для каждого типичного веса w найдется а = a(w) > 0

такое, что w(\ <f>(z) \) < aw(\ z |), z е С.

Рассмотрим типичный вес щ (z) := 1+ \ z \, z е С . Тогда для некоторого а > 0, 1+ \ ф(^) \<а(1+ \ z \), z е С. По обобщенной теореме Луивилля <f>(z) = az + b , a, b е С. Возьмем другой типичный вес

w2 (z) := e'z\, z е С . Аналогично предыдущему в1ф(^ < а2при некотором а2 > 0 и всех z е С. Поэтому \ az + b \ - \ z \< loga, Vz е С. Отсюда следует, что \a \ < 1.

Наконец, предположим, что \a \ = 1. Взяв

\ e\z\ ^ w3 (z) := e , z е С , как и выше заключаем, что при

некотором а > 0 и любых z еС выполняется неравенство e\ az+b\— e|z \< loga . Или, что то же самое,

er —1 < loga, Vr > 0, Vyе[0,2я}.

Отсюда следует, что e r (e |b \ — 1) < log a , Vr > 0, что, в свою очередь, влечет равенство b = 0.

Достаточность. Пусть w - любой типичный вес. Если ф(z) = az , ^ | = 1, то w^(z)) = w(| az |) = w~(| z |), Vz e C. Если ф(z) = az + b, где ^ |< 1, то W(ф(z)) = w(| az + b | )< w(| z | ), Vz e C z | >M, где M > 0 - некоторое достаточно большое число. Следовательно, для некоторого а> 0: w^(z)) < owv(z), Vz e C. Из приведенных оценок по теореме 1 вытекает, что оператор C : H (C) ^ Hw (C) является непрерывным для любого типичного веса w .

Компактность оператора C

Здесь будут представлены новые результаты, касающиеся компактности композиционных операторов Cф и обобщающие те же результаты для операторов вложения из [1]. Следующий критерий для компактности C формулируется в терминах сравнений топологий.

Предложение 1. Оператор Cф: H^ (Gl) ^H^ (G2) компактен тогда и только тогда, когда существуют число A > 0 и компакт K в G такие, что

^(ЛЦ, < AHfHK , Vf e Hwl(Gl) .

Доказательство совершенно аналогично [1, предложение 3.3], поэтому мы его опустим.

Это предложение можно переформулировать в терминах последовательностей следующим образом (см. [5, лемма 3.1]).

Следствие 2. Оператор Cф: Hщ G) ^H^ (G,) компактен тогда и только тогда, когда для любой последовательности {fn}neN в Hn (G1), сходящейся к 0

по топологии co , последовательность {Рф (fn )}neN также сходится к 0 в H (G ) .

Перейдем к основной задаче - найти критерий компактности оператора C в терминах весов. Прежде всего, приведем следующие достаточные условия. Предложение 2. Пусть оператор C действует из

Hw1(G\) в Hw2(G2), т.е. M := sup Щ (ф( f <» . Тогда

1 2 ze_G2 w2 (z)

он является компактным, если выполняется одно из двух следующих условий:

(i) ф(й2) I ÖG ф 0 и lim

z))

ф(z)^cOi w (z)

= 0;

(ii) ф(С2) I aG = 0 , т.е. ф^2) с G •

Здесь lim Wl (ф(^ = 0, если для любого s> О

ф(г^Щ w (z)

TS П - ;~1(ф( z)) найдется компакт K в Ц такой, что —-< s,

w2( z)

Vz e G2 : ф(г) e Ц \ K •

Замечание 2. Прежде чем провести доказательство предложения 2, отметим следующее.

1) нетрудно видеть, что если ф(Ц) I 5Ц = 0, то

ф(^2) является компактом в G¡ ив этом случае

м>г(ф( z))

sup inf w2(z) >0;

z<=G2 W2 (z) z£(32

2) если ф(z) ^ SGj при z ^ dG2, т.е. для любого компакта K в G найдется такой компакт K2 в G, что ф(z) e Gj \ K , ^z e G2 \ K , то условие (i) равного, (ф(z)) n ^

сильно следующему: li^ —^-= 0 . Последнее, в

z^aa2 щ (z)

щ (ф^))

свою очередь, влечет то, что sup—1-<ж, т.е.

zeG2 щ2 (z)

непрерывность оператора С . Следовательно, в этом случае можно убрать условие непрерывности оператора С из предположений предложения 2;

3) если G2 = С,ф e H(С), то G = С, и не имеет места условие (ii).

Доказательство. Вместо пространства H^ (Gl) рассмотрим совпадающее с ним изометрически пространство H~i(Gl). Зафиксируем произвольное число s > 0 и покажем, что существует конечная s -сеть для Сф(В~1(Gi)).

Пусть условие (i) (или (ii)) выполняется. Тогда

г п - щ~1(ф( z)) s найдется компакт K в Gi такой, что —-< —,

щ (z) 2

\\f - fk\K <£ имеем

\\f оф- fk оф\Щ = swp

\ E(z) \

zeG2 W2(z)

3.

LEMi, sup lElzll, <

< max< sup , ^

[zeG2^(z)eK W2(z) zeG2^(z)eK W2(z)

< max\M sup

\ E(z) \

sup

ze02^(z)eK Л~1(ф(z))

\ E(z) \

2 zeG2^(z)eK W1 (ф(z))

< £

(или \\f оф-fk oф\W2 < M sup

\f (z) - fk (z)\

<£ )

имеет места условие (И), а условие (¡) не выполняется, если вес w является каноническим. В связи с этим отметим, что полное описание конечномерных весовых пространств Н ^) было получено в [1].

Тем не менее аналогично [1] можно указать критерии компактности для оператора С в случае, когда

G = ^ = С или ^ является областью в С такой, что ее дополнение GC := С * \ ^ содержит только компоненты, имеющие более одной точки. Имеют место следующие две теоремы.

Теорема 4. Пусть ^ - область в С такая, что ее

дополнение GC := С * \ ^ до расширенной комплексной плоскости С * содержит только компоненты, имеющие более одной точки. Тогда оператор Сф: Нщ ^) ^ Н^ ^2) компактен тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

\~1(ф( z)) (г) 8ир ——-<<»;

zеG2 W2 (Z)

Vz е G2: ф^) е G1 \ К (или ф(^2) с К). С другой стороны, по теореме Монтеля ) компактен в (Н (ф , со). Тогда по норме ||.||К существует конечная

£1"сеть /2,.../п\ для В~.(01) , где в1:= те и

1 м

т := ^ ~ (£). Тогда для любой функции / оф в

zеK

СЛВ~ФХ)) и для некоторой функции /к с

(ii) либо ф^2) I 5GX = 0 , либо ф^2) I SGj Ф 0 и lim = 0 .

ф(z)^cOi w (z)

Доказательство. Достаточно доказать необходимость.

Предположим, что оператор Сф компактно действует из Ищ (G1) в Hw2 (G2). Тогда условие (i) выполнено по теореме 1.

Далее предположим, что ф(^2) I dG1 ф 0 . Нужно

~ (ф(z)) п ^ показать, что lim —-= 0 . Предположим про-

ф(z )^dOl w (Z)

,. ~ (ф(z))

тивное, т.е. lim —1-ф 0. Тогда найдутся число

ф(z)^SOi w (z)

c > 0 и последовательность {zn в G2 такие, что последовательность {ф^п )}^=1 сходится к некоторой

точке z0 е dGj (возможно, z0 = ж) и

W1(Kzn ))

W2( zn )

> c ,

zеK

Е(х) = /(ф^)) - /к (ф(2)) , z е G2.

Значит, система {/ оф,/2 оф,.../п оф} является конечной е -сетью для С (Вщ (^)), что и требовалось.

Теперь нас интересует вопрос о том, являются ли условия (¡) и (И) в предложении 2 необходимыми

для компактности оператора С. Ясно, что в общем случае ответ отрицателен. Действительно, для любого конечномерного пространства НК (О) оператор

С?: Н ^) ^ Н ^) компактен. Но в этом случае не

Уп е N. Пусть L0 - компонента GC , содержащая

точку ^ . По теореме Римана область U := С* \ L0 конформно эквивалентна единичному кругу D . По следствию [11, с. 204] существует подпоследовательность {ф( znk )}^=1, являющаяся интерполяционной для

И" (U), где И" (U) - пространство ограниченных голоморфных функций в U . По [12, теорема III. E. 4] найдется последовательность {hj} с И" (U) такая,

\lk = i

что hj ($(z„k )) = | q' ^ и существует число M > 0

да

такое, что £1 h (z) | < M, Vz е U .

к=1

По свойству в) ассоциированного веса для каждого п е N найдется функция fn е Бщ (G1) такая, что

<

£

\ /п (Ф(2п )) \= Щ (Ф(2„ )) . Положим Ек (2) = /Пк (2)кк (2) , к е N. Тогда ^ е Н (Ог), У к е N . Нетрудно видеть, что последовательность } сходится к 0 по топологии со при к ^ да. Тогда по следствию 2 {Сф^к)} сходится по норме \\.\Щ2 при к ^да.

С другой стороны, для любого к > 1

\\СФ(. gk )\W2 = sup

\gk(ф(z)) I \ gk^(znk Ъ\

eG2 W2(Z) W2(Znk)

\fnk (ф(Znk ))L ™ЛФ(Znk ))

W2(Znk ) W2(Znk )

> с > 0.

нечномерно.

Композиционный

Применив следствие 3 к пространству Н~ (С),

найдем при каждом к(1 < к < п) функцию

/к 0 е Н~10(С) так чтобы \\/к оф- /к 0 оф\\щ2 <е/3. Очевидно, существует компакт К в С такой, что

\ /0(2)1 < —, У е С\К , к = 1,2,...п . 1~( 2) 3а

Из того, что ~ (ф(2)) < ащ2 (2), У2 е С, следует,

что при любом k(1 < k < n)

\fk о(Ф( z))\ s

W2( Z)

< -

3

Полученное противоречие завершает доказательство.

Для конечномерных весовых пространств целых функций справедлива следующая теорема.

Теорема 5. Пусть пространство Нщ (С) конечномерно. Оператор С : Н^ (С) ^ Н (С) компактен

~1(Ф(2))

тогда и только тогда, когда 8ир—-< да.

2еС Щ2 (2)

Для доказательства критерия для бесконечномерно весовых пространств целых функций нужно следующее свойство бесконечномерных весовых пространств целых функций (см. [1, предложение 3.7]).

Лемма 1. Если пространство Н (С) бесконечномерно, то Нв(| (С) плотно в нем по топологии со .

Из этой леммы и предложения 1 непосредственно получаем такое следствие.

Следствие 3. Пусть пространство Н^ (С) бесконечномерно. Если С компактно действует из Н„1(С) в Н„2(С), то Сф(Н„10(С)) плотно в С (Нщ (С)) по топологии со .

Теорема 6. Пусть пространство Н (С) беско-

Vz е C:ф(2) е C \ K.

Следовательно, для любых f е B^(C) и z еС с ф(z) й K:

\ f (Ф(2)) \ Jf (фФ(z)) - fk (ф(z))\ +

W2(z)

W2(z)

| \fk Щ) - fk о(ф( z))\ | \fk оф)) \ _

W2(z)

W2( z)

оператор

Сф: Нщ (С) ^ HW2 (С) компактен тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

(i) sup 1 < да;

ze_C W2( z)

(i lim МШ = о.

ф(z)w2 (z)

Доказательство. Достаточно доказать необходимость и вместо пространства H (C) рассмотреть

Hwi(C) .

Предположим, что оператор C компактно действует из H^ (C) в H (C). Тогда условие (i) выполнено по теореме 1. Из него следует, что для некоторого а > 0 : w (ф(z)) < aw2 (z), Vz е C .

Зафиксируем произвольное положительное число е и найдем конечную s/3 -сеть {f оф,f2 оф,...^п оф} для множества C^B^ (C)) в HW2 (C). Тогда для произвольной функции f е Bw (C) имеется k(1 < k < n) такое, что

(здесь / выбирается по / в соответствии (2)). Отсюда следует, что Wl ф2)) <е, У2 е С: ф(2) £ К, что Щ 2)

и требовалось.

Если шТ щ (2) > 0 в теореме 4 или тТ щ (2) > 0 в

2еО2 2еС

теореме 6, то в них условие (И) влечет (I). Таким образом, из этих теорем непосредственно получаем такие 2 результата.

Следствие 4. Пусть вес щ является каноническим, тТ щ (2) > 0, и О является областью в С с

2еО2

дополнением О{ := С* \ О, содержащим только компоненты, имеющие более одной точки. Оператор С : Н*! (О) ^ Н (О2) компактен тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: либо либо

ф(02) I dGl ф 0)

\\Л оф-f оф\\ <s/3 .

(2)

ф(ц) I ац = о ,

lim wMz» = 0 •

ф(z)^dGi w2 (z)

Следствие 5. Пусть вес wl является каноническим, пространство H (C) бесконечномерно и inf w2 (z) > 0. Композиционный оператор

zeC

Сф: Нщ (C) ^ HW2 (C) компактен тогда и только тогда, когда следующее условие выполняется:

lim Wl^l = о .

ф(z)w (z)

Замечание 3. Обсудим вопрос о существенности ограничений в приведенных выше результатах.

1) Примеры 3.12, 3.16 из [1] и 3.5 из [5] показывают, что замена ассоциированного веса w~ на общий вес w в условиях теорем 4 - 6 невозможна, а условие каноничности веса w в следствиях 4 и 5 является существенным. Кроме того, в соответствии с [1, пример 3.14] существенно для справедливости теоремы 4 и следствия 4 условие о том, что каждая компонента

дополнения G{ содержит более одной точки.

2) Следующие примеры показывают, что условия тТ w2 > 0 в следствии 4 и тТ w2 > 0 в след-

zеG2 zеC

ствии 5 являются существенными.

Пример 2. Пусть ^ = ^ = &, w1

1(z) := |1 - z

W2(z):=\1-z\, ф^):=

1 - z 2

z е D. Тогда вес Wl яв-

ляется каноническим и inf щ (z) = 0 . Нетрудно ви-

zeD

щ (ф(z)) 11 + z I деть, что sup—1-= sup-= +ж . Тогда по

zeD щ2 (z) zeD 2I1 - z |

теореме 1 оператор С не действует из H (D) в

Hw2 (D). С другой стороны, фф) I CD ф 0 и

lim wm=1йпмт=0.

фф(z)l^1- w2 (z) z^-1 211 - z |

Пример 3. Пусть wx (z) := , ф(z) := ez, z е С . Тогда вес w является каноническим и

w (ф(z)) = ee ^ = ee > 1, Vz = x + iy е С . Положим

f e2x

w2 (z) = fe ' x > 0, z = x + iy е С . Нетрудно видеть, \e ,x < 0

что ez,e2z е H (С). При этом по [1, следствие 2.9] пространство Hw2 (С) является бесконечномерным.

Так как inf w2 (z) = о, то sup

w^(z))

= +ж , т.е. по

Поэтому последний случай исключается и необходимо, чтобы ф(z) = az + b, \a \ < 1.

Достаточность. Пусть w - любой типичный вес. Достаточно провести доказательство для бесконечномерного пространства Н^ (С), т.е. для веса W такого, что log(1+ \ z \ ) = o(log W(z)), z ^ ж .

Положим у(х):= log W(ex), x е R. Тогда у не

у( x)

убывает и выпукла на R . Более того, lim-= +ж,

x^+ж x

откуда lim у'(х) = +ж. Возьмем R > о настолько

х^+да

большим, чтобы \ az + b \<\ z \ при всех z с \ z \> R . Тогда при любых z с \z \ > R имеем log w(\ az + b \ )-log w(\ z \ ) =

\az + b\

= y(log \ az + b \)- у (log \ z \) < /(log \ z \ )log1

\z\

zеС 2 ~ ' ' zеC w2(z)

теореме 1 оператор Сф не действует из Ищ (С) в

h^O .

x

С другой стороны, lim —:-= lim —— = 0 .

ф(w (z) x^+да ee2x

Для весовых пространств аналитических функций на единичном круге D в [5, теорема 3.8] были характеризованы все голоморфные функции на D со значениями в D , для которых соответствующий оператор С компактен для любого типичного веса w .

Следующая теорема дает ответ на аналогичную задачу для пространств целых функций.

Теорема 7. Оператор Сф : Hw(С) ^ Hw(С) компактен для любого типичного веса w тогда и только тогда, когда ф(z) = az + b , a,b е С :| a |< 1.

Доказательство. Необходимость. По теореме 3 имеем, что ф(2) = az, a е С, | a |= 1, или ф(z) = az + b, a, b е С и | a |< 1.

Пусть w(z) := , z е С. Тогда по теореме 6

lim = 0 «lim^МШ = 0.

ф{zw(z) w(\ z |)

С другой стороны, если ф(2) = az, | a |= 1, то

lim = lim ^ = 1.

wd z |) e

Отсюда следует, что logw(\ az + b \) - logw(\ z \) ^ -ж

0 .. w(\ az + b\) при z ^ ж. Значит, lim—!-— = о. По теореме 6

w(\ z \)

оператор С является компактным.

Литература

1. Abanin A. V., Pham Trong Tien. Painleve null sets, dimension and compact embedding of weighted holomorphic spaces. Preprint. Rostov-on-Don; Vladikavkaz, 2012. 16 p.

2. Bierstedt K.D., Bonet J., Taskinen J. Associated weights and spaces of holomorphic functions // Studia Math. 1998. Vol. 127. P. 137 - 168.

3. Bierstedt K.D., Summers W.H. Biduals of weighted Ba-nach spaces of anlytic functions // J. Austral. Math. Soc. i993. Vol. 54. P. 70 - 79.

4. Bonet J., Domanski P., Lindstrom M. Essential norm and weak compactness of composition operators on weighted Ba-nach spaces of anlytic functions // Canad. Math. Bull. i999. Vol. 42. P. 139 - 148.

5. Bonet J., Domanski P., Lindstrom M., Taskinen J. Composition operators between weighted Banach spaces of analytic functions // J. Austral. Math. Soc. 1998. Vol. 64. P. 101 - 118.

6. Abanin A.V., Pham Trong Tien. Continuation of holo-morphic functions with growth conditions and some its applications // Studia Math. 2010. Vol. 200. P. 279 - 295.

7. Cowen C., MacCluer B. Composition operator on spaces of analytic functions. Boca Raton, i995. 400 p.

8. Shapiro J.H. Composition operators and classical function theory. Berlin, 1993. 225 p.

9. Jarchow H. Some functional analytic properties of composition operators // Questions Math. i995. Vol. i8. P. 229 -256.

10. Singh R.K., Summers W.H. Composition operators on weighted spaces of continuous functions // J. Austral. Math. Soc. 1988. Vol. 45. P. 303 - 319.

11. Hoffman K. Banach spaces of analytic functions. Eng-lewood Cliffs, 1967. 217 p.

12. Wojtaszczyk P. Banach spaces for Analysts. Cambridge, 1991. 400 p.

Поступила в редакцию

3 сентября 2012 г.