Вероятность разорения страховой компании при дважды стохастическом потоке страховых выплат Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 Управление, вычислительная техника и информатика № 1(10)

УДК 519.865

К.И. Лившиц, Я.С. Бублик

ВЕРОЯТНОСТЬ РАЗОРЕНИЯ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ ПРИ ДВАЖДЫ СТОХАСТИЧЕСКОМ ПОТОКЕ СТРАХОВЫХ ВЫПЛАТ1

Найдена вероятность разорения страховой компании в стационарном режиме при дважды стохастическом потоке страховых выплат и малой нагрузке страховой премии.

Ключевые слова: вероятность разорения, дважды стохастический поток, нагрузка страховой премии.

Классическая модель страховой компании [1] строится в предположении, что основные характеристики, определяющие изменение капитала страховой компании: скорость поступления денежных средств с и интенсивность потока страховых выплат X, - не зависят от времени. Однако эти характеристики могут изменяться за счет, например, сезонных изменений. Такая ситуация наблюдается, в частности, при страховании автотранспорта за счет изменения погодных условий и т.д. Характерной чертой при этом является то, что интенсивность потока страховых выплат скачкообразно меняет свое значение в случайные моменты времени. В данной работе находятся такие характеристики функционирования страховой компании, как вероятность ее разорения и условное среднее значение времени до разорения, когда моделью потока страховых платежей является дважды стохастический пуассоновский поток [2] с переменной интенсивностью Х(/).

1. Математическая модель страховой компании

Итак, будем считать, что интенсивность потока страховых платежей Х(/) является однородной цепью Маркова с непрерывным временем и п состояниями Х(/) = X [3]. Переход из состояния в состояние задаётся матрицей инфи-нитезимальных характеристик 2 = ^ ранга п -1. Таким образом, переход из

состояния I в состояние ] за малое время Д/ имеет вероятность

Р (ДО = % Д+о(Д0, I * ]; (1)

Ри (Д) = 1 + дИД/ + о(Д/), I = 1, п ,

где > 0 при I * ] и

= 0. (2)

]=1

1 Работа выполнена в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (2009 - 2010 годы), проект № 4761.

Обозначим р (г) = Р {Х(г) = Х,}, г = 1, и . Если управляющая цепь является неразложимой, то существуют финальные вероятности

Пг = Ит Рг (1) ,

г

которые являются решением системы уравнений

п ] = 0; (3)

1=1

П +л2 +... + л„ =1. (4)

Обозначим далее через Х0 среднюю интенсивность потока страховых выплат в стационарном режиме

Х0 = Т Хг пг . ()

г =1

Будем считать, что страховые выплаты являются независимыми случайными величинами с плотностью распределения у (х), средним значением М {х} = а и

моментами М {хк } = ак, к = 2,3.

Наконец, в соответствии с классической моделью страховой компании будем считать, что страховые премии поступают непрерывно во времени с постоянной скоростью с, так что за время Дг приращение капитала за счет страховых премий равно сДг .

Пусть £ (г) - капитал компании в момент времени г. Если значение интенсивности потока выплат в момент времени г X (г) = Хг, то изменение капитала

Д£ (г) компании за время Дг определится соотношением

ГсДг, с вероятностью 1 -X, Дг + о (Д),

Д£ (г) = £ (г+Дг)- £ (ОН х А; ( )а + (А А (6)

[сДг - х, с вероятностью X, Дгу (х)ах + о (Дг),

где х - случайная страховая выплата за время Дг. Переходя в (6) к пределу при Дг ^ 0 и усредняя, получим, что изменение среднего капитала компании £ (г) определится уравнением

£ (г ) = с -£ х,р (г) а.

г =1

Откуда

£(г) = £(0) + (с - Х0а)) + Т хга 1,0( - Рг (2))& . ()

г =1 0

Из выражения (7) следует, что при г»1 капитал компании в среднем монотонно возрастает, если

с = (1 + 0)Х0а , (8)

где 0 > 0 . При 0< 0 компания разоряется. Параметр 0 , как и в классической модели, - нагрузка страховой премии.

2. Уравнения для вероятностей разорения и выживания

Пусть T = inf {t: S (t) < 0} и T = да , если S (t) > 0 Vt. Случайная величина T

- момент разорения [1]. Обозначим через pt (s) = P{T <да|S(0) = s,M(0) = M и gi (s) = P {T = да |S (0) = s, M (0) = M} - вероятности разорения и выживания страховой компании соответственно при условии, что в начальный момент времени ее капитал равен s и значение интенсивности M = Mi . Наконец, учитывая, что начальный капитал s и начальное состояние интенсивности не зависят друг от друга, обозначим

n П

g (s) = SUigi (s), P (s) = SUiPi (s) (9)

i=1 i =1

- вероятности разорения и выживания страховой компании при условии, что начальный капитал равен s.

Для вывода уравнений, определяющих gi (s), рассмотрим два соседних момента времени t и t + At. Пусть в момент времени t интенсивность M = М и капитал компании равен S - cAt. За время At могут произойти следующие события:

1. С вероятностью (1 -MiAt)(1 + qiiAt) + o(At) интенсивность потока не меняется, страховые выплаты не производятся.

2. С вероятностью MiAty(x) dx + o (At) интенсивность потока не меняется и производится случайная страховая выплата размера x .

3. С вероятностью qi]- At + o (At) происходит изменение интенсивности потока

с M на M j, страховая выплата не производится.

Остальные события имеют вероятность o (At).

Используя формулу полной вероятности, получим

s П

gi (s - cAt) = (- At) gi (s)+At jgi (s - x № (x)dx+S q4gj (s)At+o (At).

0 j=1

Поделив левую и правую части на At и переходя к пределу при At ^ 0 , получим систему уравнений

n s

cg (s) = Migi (s)- S q4gj (s)- M jgi (s - x Mx)dx (10)

j=1 0

с граничными условиями

lim gi (s ) = 1, (11)

так как при неограниченном росте начального капитала компания выживает с вероятностью единица при любом начальном состоянии интенсивности.

Соответствующие (10) уравнения для вероятностей разорения имеют вид

n s да

cpi(s) = MiPi(s) - S qjPj(s) - M jPi(s -x) x) dx - M j v( x) dx (12)

j=l 0 s

с граничными условиями

Иш рг (5) = 0 . (13)

5—»

Для решения систем уравнений (11) или (13) можно применить преобразование Лапласа. Обозначим

ад ад

Рг (ю) = { 8г (5У (ю) = (5)е~ГЙЧ5

0 0

1 - У (ю)

и пусть X (ю) =

ю

Применяя преобразование Лапласа к системе (11, получим систему уравнений относительно Рг (ю)

Ё—- (ю) + ю(с -^гХ (ю)) (ю) = С8г (0) . (14)

] =1

Для определения вероятностей выживания gi (5) нужно теперь решить систему уравнений (14) и вычислить обратные преобразования Лапласа.

Из соотношений (14) можно получить значение вероятности выживания g (0) при нулевом начальном капитале. Умножая уравнения системы (14) на

П и складывая уравнения, получим с учетом (3)

^ (0) = Ё Пг (с - (ю))ю^ (ю) . (15)

г =1

Так как X (0) = а и из [4] Иш ю^ (ю) = Иш gi (5) = 1, то переходя в (15) к

ю—0 5—ад

пределу при ю —— 0 , получим, что

g(0)=£:±•a=_^. (

'с 1 + 0

Таким образом, как и в классической модели страховой компании [1], вероятность выживания при нулевом начальном капитале зависит только от нагрузки страховой премии.

3. Вероятности разорения и выживания при малой нагрузке страховой премии

Получить точное решение систем уравнений (10) или (12) не удается. Поэтому

рассмотрим далее асимптотический случай, когда нагрузка страховой премии

0 ^ 1. Решение системы уравнений (12) будем искать в виде

Рг (5) = 7+0Фг (05 0). (7)

1 +0

Относительно функций фг (г, 0) будем предполагать, что они являются трижды дифференцируемыми по своим аргументам. Подставляя (17) в уравнения (12)

и сделав замену переменной 05 = г, получим уравнения относительно функций

Фг (г,0);

С0фг (z,0) = X, ф, (z,0)—Е Чщ ф j(z ,0)—X, |фг- (z-0x,0)y(x)dx—X, (1+0)j"y(x)dx. (18)

j=i

Обозначим

(19)

(20)

Ф,. (z) = 0im фг (0).

0^0

Переходя в (18) к пределу при 0 ^ 0, получим, что

n

Е 4jФj(z) = °.

j=1

Так как по условию Rang [ q,j ] = n —1, то из сравнения систем уравнений (2) и

(20) получаем, что

Ф, (z) = ф(z) Vi, ()

где ф( z) - неизвестная пока функция.

Представим теперь функции ф, (z, 0) в виде

ф, (z,0) = ф(z) + Bi (z)0 + o(0) . (22)

Подставляя разложения (22) в уравнения (18), раскладывая ф(z-0x) и

B, (z — 0x) в ряд Тейлора и ограничиваясь членами, имеющими порядок 0 , полу-

чим, что

(X°— )а0ф (z)+0 Е q,jBj (z)+o (0)=0.

j=1

Переходя к пределу при 0 ^ 0, будем иметь

ЕчуВ- (z) = (Xi — X0)аф (z) .

j=1

(24)

” п

Так как одновременно Ёп Ц- = 0 и Ёп (^-^0) = 0, то система уравнений

г=1 г=1

(23) совместна и имеет ранг (п -1), как и система уравнений (3). Пусть матрица

q11 q12 ... q1,n—1

q21 q22

q2,n—1

qn—1,1 qn—1,2 ... qn—1, n—1

(24)

Тогда решение системы (23) имеет вид

Bk(z) = — Е Rk^q;nBn(z)+Е Rk(X j— X0)аф (z)

j=1 j=1

X)

0

—1

Из системы уравнений (2) имеем, что

Ц-п =-Ё Чц .

г=1

Поэтому

п-1 п-1 п-1 п-1

Ё Кк]Ч]п = -ЁЁ — = -Ё8 - = -1 . -=1 г=1 -=1 г=1

Откуда

Вк(г) = Вп (гНЁ як- (х(-Х0)аф(г). (26)

-=1

Представим теперь функции фг (г, 0) в виде

Фг (г,0) = ф(г) + Bi (г)0 + Сг (г)02 + о(02) . (27)

Подставляя разложения (27) в уравнения (18), раскладывая ф(г-0х),

Вг (г - 0х)и Сг (г - 0х) в ряд Тейлора и ограничиваясь членами, имеющими по-

рядок 02, получим, учитывая (18), что

02ЁЧС (г)-02 ( -X)аВг (г) + 02Хга2ф(г) + 0\оаф(г) + о(02) = 0.

-=1 2

Переходя к пределу при 0 — 0 , будем иметь

Ё Чг-С- (г )-(Х г -Х0 ) аВг (г НХг ~2т ф (г НХ 0 аф ( г) = 0 . (28)

-=1 2

Умножая соотношения (28) на п- , суммируя и учитывая (4), получим па

-Ё Пг (Хг - Х0 )'аВг (г) + Х0 ~Т СР (г) + Х0«Р (г) = 0 . (29)

г=1 2

Так как

Вк (г) = Вп ( г) + Ё Як- (Х (-Х0 ) (г ) ,

-=1

то из (29) получим

АФ (г ) + А2ф (г ) = 0, (30)

где

А = Ха - а21! (■ -^0 )п 5] Я- ( -X 0 ), А = X 0 а . (31)

2 г=1 -=1

Откуда

- А г

ф(г) = и + П2е А1 .

Можно показать, что постоянная А1 > 0 . Так как условие (13) должно выполняться при всех 9 , то ф(+ю) = 0 . Откуда и1 = 0 . Далее, из соотношений (9), (16) и (17) имеем

Р(0) = 1+9 Ё П Фг (0, 9) = 1+9 (^Ф(0) + 9Х ПгВг (0) + °(9)| = ^ . (32)

Так как и условие (32) должно выполняться при всех 9 , то ф(0) = 1. Таким образом,

ф(г) = е А1 (33)

1 -^6*

и Рг (*) = 1+9е А +0 (9) . ()

Для оценки точности получившегося приближения рассмотрим дополнительные члены, входящие в разложение фг (г, 9) по степеням 9 . Представим теперь функции фг (г, 9) в виде

Фг (г,9) = ф(г) + Вг (г)9 + Сг (г)92 + Ог (г)93 + о(93) . (35)

Подставив разложения (35) в уравнения (18), получим, учитывая соотношения

(21), (23) и (28):

Ё 4у°] (2) - (г - Х0 )аС (г) + Хг «ГВг (г) + Х0аВг (г) - Хг ЩГф (г) = 0. (36)

У=1 2 6

Умножая соотношения системы (36) на п и складывая эти соотношения, будем иметь

-Ё П ( -Х0 )аСг (г )+ «Т Ё П Мг ( г ) + Х 0«Ё ПгВг ( г )-Х 0 «ТФ (6 ) = 0 . (37)

г=1 2 г =1 г=1 6

Из системы уравнений (28) получим аналогично (26)

Ск (г ) = Сп ( г)+ «Ё РЫ ( -Х0 ) Вг (г)- «Ё Ккг Хг ф (г )-Х 0 «Ё КкгФ (2) . (38)

г =1 2 г=1 г=1

Подставляя выражения (38) в уравнение (37), получим

« _п п-1 п-1 п

~2гЁПг ХгВг (г)-« ЁПк (Ч -Х0 )Ё Ккг ( -Х 0 )Вг (г)+Х 0 «ЁПгВг (г) +

2 г=1 к=1 г=1 г=1

+(«О2 п-1 Пк (к - ^ )ЁРкгХг -:^Г1]Ф(г) + Х0«2 П-1 Пк (к - Х0 )ПЕКкгф(г) = 0. (39)

V 2 к=1 г=1 6 / к=1 г=1

Соотношение (39) с учетом выражений (26), определяющих Вг (г), приводит, наконец, к уравнению относительно Вп (г)

(40)

где

п-1

к=1 п-1 п-1

А3 - «3 ЁПк (Хк Х0 )Е( Х0 )Е (( Х0 )

г=1

п-1

(=1

Х0 а

0“3

(41)

г =1 (=1

А4 = -Х0 «2 ЁЁ ^г( ( (( - Х0 ) + Пг (Хг - Х0 ))•

г=1 (=1

Решение уравнения (40) имеет вид

где

Вп (г) = W1 + Гпе А1 + Wzе А1

А3 А22 А4 А2

W =■

3 2 ^4 2

А3 а2 .

(42)

(43)

Из граничных условий (13) получаем, что Вп (+») = 0 . Откуда W1 = 0 . Так как

п

начальное условие (32) должно выполняться при всех 9 , то — пВг (0) = 0. По-

=0

этому

Вп (0) = -Ё Пк 11 ^7 (Х( - Х0 ) «ф (0)

к=1 (=1

«а п-1 п-1

»п = А е ”к 1; «е ( ().

А1 к=1 у=1

Окончательно получаем, что

Вп (г) = Wnе А1 + Wzе

(45)

(45)

где Wn и W определяются соотношениями (43) и (44). Для остальных Вг (г) будем иметь

где

Вк (г) = Wkе А + Wzе А ,

«А п-1

^ = К --1 Ё^ ((-х0). А1 (=1

Формулы (34), определяющие вероятности Рг (*), примут вид

( А2п ( а2

Рг (*) =

-А29* -А29* -А29* ^

Wге А +9sWе А

+ о (9) .

(46)

(47)

(48)

При малых значениях 9 полученной поправкой можно пренебречь.

и

1

4. Условное среднее время до разорения страховой компании

Дополнительной характеристикой, позволяющей анализировать перспективы страховой компании, является среднее время до разорения при условии, что разорение произошло [5]. Пусть (О,Е, Р) - вероятностное пространство, на котором

определены траектории процесса £ (Ч) изменения капитала компании. Пусть в

начальный момент времени капитал компании равен * и значение интенсивности X (Ч) = Хг. Разобьем все возможные траектории процесса £ (Ч), выходящие из

этой точки, на два класса: {£ю (Ч), иейр } - траектории, приводящие к разорению, и {£ю (/),ибО8} - траектории, приводящие к выживанию. Пусть ti (*,ю) -время до разорения на траектории, приводящей к разорению. Обозначим

Т (*)= | ^ (*, ю) Р (ёю) . (49)

□ р (*)

Так как | Р (ёю) = рг (*), то условное среднее время до разорения

□ р (*)

Ч (*)= ^ • (5)

Рг (*)

Для вывода уравнений, определяющих Т (*), рассмотрим два соседних момента времени Ч и Ч + ДЧ. За время ДЧ капитал компании изменится на величину Д* и

(*,ю) = ДЧ + Ч( (* + Д*,ю) , (51)

где номер ( соответствует значению интенсивности Х(Ч) в момент времени Ч + ДЧ. Усредняя соотношение (51), будем иметь

Тг (*) = Щ (*) + МД*, ( {Т( (* + Д*)} .

Отсюда после предельного перехода при ДЧ ^ 0 получим систему уравнений, определяющих Т (*):

сТг (*) = (*) - Ё ЧуТ( (*) - Х (* - Х>У (х) - Рг (*) . (52)

(=1 0

Граничные условия имеют вид

Иш Т (*) = 0, г = \п , (52)

так как при * область интегрирования в (49) □ (*) ^ 0 .

Как и при вычислении вероятностей разорения, рассмотрим случай, когда нагрузка страховой премии 9 ^ 1. Решения уравнений (52) будем искать в виде

Т (*) = 97■£ (9*,9). (53)

92

Относительно функций ^ (*, 9) будем предполагать, что они являются по крайней мере дважды дифференцируемыми по своим аргументам. Подставляя

выражения (53) в систему уравнений (52) после замены переменной 9* = г, получим

г

п 9 92

С% (z, 9) =Хг / (^ 9)-Ё Чд/( (^ 9)-Хг| /г (г -9Х 9МХ ) ёх - 1+^Фг' (г, 9) , (54)

где Фг (г, 9) определяются соотношениями (17).

Обозначим

/г (г)=11Ш0 /г (z, 9). ()

0^0

Переходя в уравнениях (55) к пределу при 9 ^ 0, получим

ЕС,(г )=0.

(=1

Откуда аналогично (21) имеем

/ (г) = /(г) ^ (56)

где / (г) - неопределенная пока функция.

Представим теперь функции / (г, 9) в виде

/ (г,9) = /(г) + Бг (г)9+ о(9) . (57)

Подставляя разложения (57) в уравнения (54), раскладывая / (г -9х) и

Бг (г -9х) в ряд Тейлора и ограничиваясь членами, имеющими порядок 9 , получим, что

(Х0 - Хг И/ (г) + 9Ё (( (г) + 0 (9) = 0 .

(=1

Переходя к пределу при 9 ^ 0, будем иметь

Ё (( (г) = (Хг - Х0 ) а/ (г) . (58)

(=1

Откуда аналогично (26) получаем, что

Б* (г) = Бп (г) + Ё Як. (X( - X0 )/ (г) . (59)

(=1

Наконец, представим функции / (г, 9) в виде

/ (г,9) = /(г) + Бг (г)9 + С, (г)92 + о(92) . (60)

Подставляя разложения (60) в уравнения (54), раскладывая / (г -9х), Бг (г -9х)и Сг (г -9х) в ряд Тейлора и ограничиваясь членами, имеющими порядок 92, получим, учитывая (60), после предельного перехода при 9 ^ 0, что

п а

Е (( (г ) - (Хг - Х 0 )'аБг (г ) + Хг ~Г / (г ) + Х0а/ ( г) + Ф (г ) = 0 - (61)

(=1 2

Умножая соотношения (61) на п. , суммируя и учитывая (4), получим

—X П(—Х0 )аВг ( 2 ) + хо I ( 2 )+х о а/ ( 2 ) + ф( 2 ) = 0.

У-1 2

І-1

(62)

Так как

п—1

К (2) = Вп ( 2) + Х Яц (1 —Х0 ) (2 ) ,

(63)

І-1

то из (62) будем иметь

/(2)- VI + У2е~А + ^е~А1 .

А2

(64)

(6)

Из условия (53) получаем, что V = 0. Постоянную У2 можно определить из следующих соображений. Рассмотрим уравнения (55) при г = 0 . Они перепишутся в виде

Таким образом, ^ (5) ~ 1/ 9 и при 9 ^ 0 ti (5) ^ да .Получающееся на первый взгляд противоречие объясняется следующим образом. Условное среднее время ti (5) вычисляется в предположении, что разорение, в конце концов, происходит. Если нагрузка страховой премии велика, то капитал компании в среднем быстро увеличивается и разорение возможно лишь на начальном интервале. При малых 9 капитал компании растет медленно, поэтому разорение может произойти на значительно большем временном интервале, что и отражается в соотношении (68).

В работе найдены основные характеристики деятельности страховой компании: вероятность ее разорения и условное среднее время до разорения при дважды стохастическом потоке страховых выплат и дополнительном предположении о малости нагрузки страховой премии. Предложенная методика может быть использована для анализа других моделей страхования при условии, что нагрузка страховой премии считается малой.

с9/ (0,9) - Хг/ (0,9) —X Чи/і (0,9)— —ф (0,9).

і-1 1 + 9

п

92

Переходя к пределу при 9 ^ 0, получим отсюда К2 = / (0 ) = 0. Окончательно получаем, что

(7)

(8)

Заключение

ЛИТЕРАТУРА

1. PanjerH.Y., Willmont G.E. Insurance Risk Models. Society of Actuaries, 1992. 442 p.

2. Наумов В.А. Марковские модели потоков требований // Системы массового обслуживания и информатика. М.: УДН, 1978. С. 67 - 73.

3. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. Томск: Изд-во НТЛ, 2006. 204 с.

4. ЛаврентьевМ.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

5. Глухова Е.В., Змеев О.А., Лившиц К.И. Математические модели страхования. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. 180 с.

Лившиц Климентий Исаакович

Томский государственный университет

Бублик Яна Сергеевна

Анжеро-Судженский филиал Кемеровского государственного университета

E-mail: [email protected]; [email protected]

Поступила в редакцию 2 сентября 2009 г.