CC BY
34
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011 Управление, вычислительная техника и информатика № 4(17)
УДК 519.865
К.И. Лившиц, Я.С. Бублик
ВЕРОЯТНОСТЬ РАЗОРЕНИЯ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ ПРИ ДВАЖДЫ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКАХ СТРАХОВЫХ ПРЕМИЙ
И СТРАХОВЫХ ВЫПЛАТ1
Найдена вероятность разорения страховой компании в стационарном режиме при дважды стохастических потоках страховых премий и страховых выплат и малой нагрузке страховой премии.
Ключевые слова: вероятность разорения, дважды стохастический поток, нагрузка страховой премии.
В [1] было рассмотрено обобщение классической модели [2] страховой компании на случай, когда интенсивность потока страховых выплат представляет собой дискретный марковский процесс с непрерывным временем. При этом скорость поступления страховых премий считалась детерминированной и неизменной во времени. Это допущение также плохо соответствует реальности, особенно, если рассматривать не общий портфель страховых рисков, а каждый отдельный вид страхования. Более естественно считать, что страховые премии, как и страховые выплаты, поступают в случайные моменты времени, а интенсивности потоков страховых выплат и страховых премий образуют не зависящие друг от друга дискретные марковские процессы.
1. Математическая модель страховой компании
Итак, будем считать, что интенсивность потока страховых премий X(t) является однородной цепью Маркова с непрерывным временем и m состояниями X(t) = Xi [3]. Переход из состояния в состояние задается матрицей инфинитези-
мальных характеристик А = [а^. ] ранга m -1. Таким образом, переход из состояния i в состояние j за малое время At имеет вероятность
рч (At) = aijAt+O (At)i * j;
pn (At ) =1+an At+O (At), j = 1, m
где aij > 0 при i * j и
m
Xay. = 1. (1)
j=1
Обозначим p (t) = P {X(t) = Xt}, i = 1, m. Если управляющая цепь является неразложимой, то существуют финальные вероятности
П = lim P (t)
t
1 Работа выполнена в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (2009 - 2011 годы), проект № 2.1.2/11803 и гранта РФФИ № 11-01-90713-моб. ст.
которые являются решением системы уравнении
т
1а , ; (2)
1=1
П + П + ••• +Пт = 1. (3)
Обозначим, далее, через Х0 среднюю интенсивность потока страховых премий в стационарном режиме:
т
х 0 = Хп,х,. (4)
1=1
Будем считать, что страховые премии являются независимыми случайными величинами с плотностью распределения ф(х), средним значением М (х) = а и моментами М (хк ) = ак, к = 2,3.
Будем считать, что интенсивность потока страховых выплат ц(/) также является однородной цепью Маркова с непрерывным временем и п состояниями интенсивности ц(/) = ц,. Переход из состояния в состояние задается матрицей ин-
финитезимальных характеристик В = [р. ] ранга п -1, где р. > 0 при , Ф ] и
1 Ру- = 0. (5)
. =1
Обозначим через р. - финальные вероятности состояний ц.. Величины р. являются решениями системы уравнений
1 рА = ()
. = 1
р1 +р2 + ''' + рп = 1 (7)
Обозначим через ц0 среднюю интенсивность потока страховых выплат:
п
^0=1р,ц,. ()
1=1
Будем считать, что страховые выплаты являются независимыми случайными величинами с плотностью распределения у(х), средним значением М (х) = Ь и
моментами М (хк ) = Ьк, к = 2,3.
Наконец, будем считать, что с начала функционирования страховой компании прошло какое-то время, имеются застрахованные риски, потоки страховых премий и страховых выплат не зависят друг от друга.
Пусть £ (/) - капитал компании в момент времени /. Если интенсивности потоков страховых премий и страховых выплат в момент времени / равны X (/) = X, и ц(/) = ц 1 соответственно, то изменение капитала компании за время Д/ определится соотношением
AS (t ) = S (t + At)-S (t ) =
0, с вероятностью (1 - XtAt) (l - цjAt) + o (At), x, с вероятностью XtAt<p(x)dx + o(At), (9)
-y, с вероятностью ц j Aty (y )dy + o ( At),
где х - случайная страховая премия , а у - случайная страховая выплата за время Д/. Переходя в (9) к пределу при Д/ ^ 0 и усредняя, получим, что изменение среднего капитала компании £ (/) определится уравнением
Откуда
S (t) = YkP T(t) = хг }a-ShP T(t) = h }b.
i=1 i=1
S (t) = S(0) + (X0a — hob)t +
m t n t (10)
+X Xia i(P {X (t)=X i}—n )dt—Ё hib j({h(t)=hi}—pi)dt.
i=1 0 i=1 0
Из выражения (10) следует, что при t»1 капитал компании в среднем монотонно возрастает, если
^0 a = (1 + 0)h0b, (11)
где 0 > 0 . При 0< 0 компания разоряется. Параметр 0 , как и в классической модели [2], - нагрузка страховой премии.
2. Уравнения для вероятностей разорения и выживания
Пусть T = inf {t: S (t) < 0} и T = « , если S (t) > 0 Vt. Случайная величина T
- момент разорения [2]. Обозначим
p (s) = P{T = «IS(0) = s,X(0) = Xi,h(0) = hj}
и Gij (s) = P{T <«|S (0) = s, X(0) = Xi, ц(0) = цj
- вероятности выживания и разорения страховой компании соответственно при условии, что в начальный момент времени ее капитал равен s и значения интенсивностей потоков страховых премий и выплат равны X = Xi и ц = ц. Учитывая, что начальный капитал и начальные значения интенсивностей не зависят друг от друга, вероятности выживания и разорения страховой компании, при условии, что ее начальный капитал равен s будут равны соответственно
m n m n
p(s)=SSnipP(s) G(s)=ЁХпpiGn(s). (12)
i=1 j=1 i =1 j=1
Для вывода уравнений, определяющих Pi]- (s), рассмотрим два соседних момента времени t и t + At. Пусть в момент времени t капитал компании равен s, интенсивность X = Xi, интенсивность ц = ц j. За время At могут произойти следующие события:
1. С вероятностью (1 — Xi At )1 — ц j At)1 + aii At )1 + p jj At) + o (At) страховые
премии не поступают, страховые выплаты не производятся, интенсивности потоков не меняются.
2. С вероятностью XiAtф(x)dx + o(At) поступает страховая премия размера x, выплаты не производятся, интенсивности потоков не меняются.
3. С вероятностью ц;-Aty(x)dx + o(At) производится страховая выплата размера х, страховые премии не поступают, интенсивности потоков не меняются.
4. С вероятностью aik At + o (At) интенсивность потока страховых премий изменяется с Xi на Xk , страховые выплаты не производятся, страховые премии не поступают.
5. С вероятностью ß jk At + o (At) интенсивность потока страховых выплат изменяется с цj на цк , страховые выплаты не производятся, страховые премии не поступают.
Остальные события имеют вероятность o (At).
Используя формулу полной вероятности, получим
ад
Pi (s) = ( - (i+ц j)At+(aii +ß jj)At) P (s) + x iAt i Pi (s+x )ф (x)dx +
0
s
+ ц j At ^ Pj (s x) у (x) dx + a ^k Pkj (s) At + EM*(s )At+o (At).
0 k * i k * j
Переходя к пределу при At ^ 0 , получим систему уравнений для вероятностей выживания
ад s
( + ц j )) (s) = Хi { Pj (s + x) ф(x) dx + цj {Pj (s - x)у (x) dx +
0 0
m n
+ YJaikPkj (s) + XßjkPk (s) (13)
k=1 k=1
с граничными условиями
lim Pi (s) = 1, (14)
s^ад
которые вытекают из того, что при неограниченном росте начального капитала компания выживает с вероятностью единица при любом начальном значении интенсивностей потоков премий и выплат.
Соответствующие (13) уравнения для вероятностей разорения имеют вид
ад s ад
(+цj)) (s) = ^i/Gij (s + x^(x)dx + цj |Gij (s - x)y (x)dx +цj Jy (x)dx +
0 0 s
m n
+ Y,alkGkj (s) + £ßjkG* (s) (15)
k=1 k=1
с граничными условиями
lim Gij (s) = 0. (16)
3. Вероятности разорения при малой нагрузке страховой премии
Получить точное решение систем уравнений (13) и (15) в общем случае не удается даже при т = п = 1. Поэтому рассмотрим далее асимптотический случай, когда нагрузка страховой премии 9 ^ 1. Решение системы уравнений (15) будем
искать в виде
Ог] (s) = С(0)f. (0s,0). (17)
Относительно функций f. (z, 0) будем предполагать, что они являются трижды дифференцируемыми по своим аргументам. Будем также считать, что
lim С (0)* 0.
0^0
Так как функция С(0) произвольна, то на функции f. (z,0) можно наложить дополнительное условие
Е&р/ (0,9) = 1. (18)
¿=1 -=1
Подставляя выражения (17) в уравнения (15) и сделав замену переменной 9^ = г, получим уравнения относительно функций /- (г,9)
ад ад
( +Ц- )С(9)Л (г,9) = ХгС(9){/- (г + 9х,9)ф(х)дх + ц-С(9){/- (г-9х,9)у(х)дх+
0 0
т п
+С (9)^/ (г, 9) + С(9)^в}к/к (г,9)+Я (9), (19)
к=1 к=1
ад ад
Я(9) = 1у(х)дх-Ц;С(9) {/- (г-9х)у(х)дх.
где
Оценим поведение Я (9) при 9 ^ 1. Имеем
1 ад 1 ад з 1 ад
— |у(х)дх = -з^у(х)Лс < -з|х3у(х)дх 9^0 >0,
9 г г г 9 г г
9 9 9
так как по условию М{х3} = Ь3 существует. Так как /- (г,9) считается дифференцируемой и, следовательно, ограниченной, то аналогично ведет себя и второе слагаемое. Поэтому Я(9) = о(93) и в дальнейшем это слагаемое учитываться не
будет.
Обозначим
/у (г) = 11П0/- (^9) . ()
9>0
Переходя в (19) к пределу при 9> 0, получим, что функции /- (г) удовлетворяют системе уравнений
т п
Ха/(г )+Хр /(г )=0. (21)
к=1 к=1
Введем вектор-строки
/г (г) = [/ (г) /г2 (г) ••• /п (г)], '= 1 т ,
и обозначим
X =
f(z )T f2 (zІ _ fm ( z f _
Тогда система уравнений (21) может быть переписана в виде
ОХ = 0,
(22)
где О = А ® 1п + 1т ® В - матрица размера тпхтп и знак ® означает прямое произведение матриц [ 4].
Пусть аг- - собственные значения матрицы А и р; - собственные значения матрицы В. Тогда собственные значения матрицы О равны аг- +р ; ( = 1, т, ; = 1, п) [4]. Из соотношений (1) и (5) вытекает, что матрицы А и В имеют собственные значения ат = 0 и Рп = 0 кратности 1 с учетом ранга матриц. Далее, так как
а.
І* 1
то матрица А - полуустойчива [5], то есть действительные части всех ее собственных значений неположительны. Учитывая, что rang А = m -1, получаем, что m -1 собственное значение матрицы A имеет отрицательные действительные части. Аналогично, n -1 собственное значение матрицы В имеет отрицательные действительные части. Таким образом, собственные значения ai +рматрицы G
отличны от нуля при i Ф m, j Ф n и am + Pn = 0. Отсюда вытекает, что rang G = mn -1 и, следовательно, решение системы уравнений (22) имеет вид
f 1(z ) = f (z) >
(23)
где /(г) - неопределенная пока функция.
Представим теперь функции /■ (г, 9) в виде
/ (г,9) = /(г) + А (г)9 + о(9). (24)
Подставляя разложения (24) в уравнения (19), раскладывая /(г±9х), А; (г±9х)
в ряд Тейлора и ограничиваясь членами разложения, имеющими порядок 9 , получим, что
т п
£а*А- (г) + ЕР;*А* (г) С(9)9 + (а-ц}Ь)/'(г)С(9)9 + о(9) = 0. (25)
к=1 к=1 J
Наконец, с учетом (11)
Хг а - цЬ = ( - Хо )а - (ц( - Цо ) ь + ЦоЬ9.
Переходя в (25) к пределу при 9^0, получим
т п
Ха-кА;(г) + ХР }кАк(г) = -[(Х -Х 0)а-(ц (-Ц0 )ь]/ ' (г). (26)
к=1
к=1
Представим теперь функции /■ (г, 9) в виде
/; (г,9) = /(г) + А; (г)9 + Б1} (г)92 + о(92). (27)
Подставляя разложения (27) в уравнения (19), раскладывая /(г ±9х), А; ( ±9х), Б; (г ±9х) в ряд Тейлора и ограничиваясь членами, имеющими порядок 92, получим, учитывая (26), что при 9^0
т п
Х агкБк] (г) + Х Р}кБгк (г) + [(Хг -Х0 ) а -(ц; -Ц0 )Ь) А (г) +
к=1
к=1
+ ^0Ъ/' (*) +
Хг а2 + Н-]Ь2
(28)
/''(* ) = 0.
Умножая уравнения (28) на пг и р; и просуммировав уравнения, получим с учетом (2) и (6), что
х а +и ь -п,
0 2 0 2-/"(г) + Цоь/'(г) + ХПг(Кг-Хо )а^(0-ХР; (ц;-Ц0 )Ьи] (г) = 0, (29)
2
}=1
где
иі (*) = ХлА- (*), ] =1-
=1
Уг (* ) = Хр А] (* ) ' = 1 т.
і=1
(30)
(31)
Из соотношений (26) с учетом (2), (4) и (6), (8), умножая уравнения системы на пг и р; соответственно и суммируя, получим, что функции и; (г) и V (г) удовлетворяют системам уравнений
Xе]кик (*) = (] -^0 )' (*)
к=1
Х“гк^к (*) = -(Хг - Х0 )а/' (*) .
(32)
03)
к=1
Рассмотрим систему уравнений (32). Ранг матрицы [р]к ] равен и -1. Перепишем систему (32) в виде
п-1
X
к=1
Xе]кик (*) = - Р]пип (*)+ (( -Н-0 )) (*) .
Откуда [1]
где
6=[а> ]=
ик (*• ) = ип (*• ) + Х6« ( -и»)ь/,(*ь
к=1
р11 р1,п-1
в п-1,1 *** вп-1, п-1
(34)
(35)
и
и
Аналогично,
V (* )= ^т (* )-Х К] ( ] -Х 0 )/' (* ),
(36)
і=1
где
Я = [ Я ] =
1, т -1
а„
т-1,1 ат-1, т-1
Подставляя соотношения (34) и (36) в (29), получим уравнение на функцию 1 (*):
А/ "(г)+ А2 /' (г ) = 0, (38)
Х 0 а2 + Н-0Ь2
(37)
где
А1 =
т-1 ___ ___ __
-а2 Хпк(Хк-Х0 )ХЯк] (Х] -Х0)-ЬХрк (к -Н-0)Х6к] (] -^0), (39)
к=1 ]=1 к=1 ]=1
А2 = ^0Ь .
т-1
п-1
п-1
Откуда
1 (г ) = С1 + С2ехр <]- А 4.
(40)
Покажем, что константа А1 > 0 . Для этого рассмотрим квадратичную форму
т-1 т-1
1 = ХПгХг X Я
г=1 ]=1
чЧ
где X = [
'1 Л2
_1 ] - произвольный вектор. Обозначим уг = X ЯуХу . Так
]=1
как Я = А 1, то х = X агкук , и квадратичную форму I можно переписать в виде
к=1
т-1
т-1 т-1
1 =ХПг Уг Хаг]У] =
г=1 ]=1
т-1
2 2 Уг + У ]
= X ПгаггУІ + X Пгаг]У гУ] ^ X ПгаггУЇ + X Паг] 2
іф ] г=1 ^ і 2
г=1
г * ]
т-1
ХПгаг гУг2 + ХПг У! аг] г=1 г'* ]
т-1 т-1
1
т-1
ХЛгаггУг2 +ХПгУ; С
а г,
г=1
т-1 т-1
г * ]
1 т-1 т-1 і т-1 т-1
= 2 X П Уг" X аі] + -Г X У; X Пгаг] ^ 0
2 г=1 ]=1 2 ]=1 г=1
так как из условия (1) X а у +аг т = 0, где а гт > 0 , следует, что X а у ^ 0,
]=1 г=1
а из
m-1 m-1
условия (2) X П агу +птат]■ = 0 следует, что X П агу < 0. Применяя полученный
г =1 г =1
результат к выражению для А1 , получим, что А1 > 0.
Граничные условия (16) дают
Ит / (г ) = 0.
Откуда постоянная С1 = 0 . Таким образом,
/г] (ві\ 0) = С2 ехр |- А 051 + О (0) .
Из условия (18) имеем теперь С2 = 1.
Таким образом, вероятность разорения
Оу (5) = С(0)ехр|- А051 + О(0). (41)
Для определения функции С(0) рассмотрим теперь систему уравнений (15) при 5 = 0. Из (15) при 5 = 0 получим, очевидно,
ад
( +Ц; ) (0) = Хг | О (х )ф(х)^х + Хагк°к^' (°) + ХР ]кОгк (°) + ^; • (42)
0 к=1 к=1
Умножая уравнения системы (42) на пг, ру и складывая уравнения, получим,
учитывая (2) и (6),
m П
ЁЁniPj ( + ^j) (0) = ЁniXi ЁPj J Gij(xMx) dx + ^o.
i =1 j=1 i=1 j=1 0
Откуда
C (0) =------------^---------------. (43)
^ ——Qx
X0 +ц0 -X0 I e 1 ф(х)dx
0
Таким образом, при 0 ^ 1 окончательно получаем, что вероятность разорения
J ^2 0
ц0 exp <---2 0S
Gj (s) =----------------------------+ O(0), (44)
^ —-Qx
X0 +ц0-X0 I e 1 ф(x)dx
0
где постоянные А1 и А2 определяются формулами (39). Учитывая в разложениях для функций fij (z, 0) члены, имеющие порядок 03 и т.д., можно улучшить точность построенной аппроксимации. Получающиеся выражения являются, однако, достаточно громоздкими и поэтому здесь не приводятся.
ад
Для оценки точности получившейся аппроксимации рассмотрим в качестве примера случай, когда т = п = 1, а плотности распределения страховых премий и страховых выплат являются экспоненциальными с параметрами а и Ь соответственно. В этом случае истинная вероятность разорения имеет вид [6]
, a + b
G (s ) =---------- exp.
a + b (1 + 0) ^ a + b (1 + 0),
Графики функции G (s) (сплошные линии) и ее оценки G (s) (пунктирные линии), построенной по формуле (44), приведены на рис. 1. Как
видно из рис. 1, при малых значениях 0 достигается достаточно хорошая точность аппроксимации.
0S
Рис. 1
Заключение
В работе найдена основная характеристика деятельности страховой компании
- вероятность ее разорения при дважды стохастических потоках страховых премий и страховых выплат и дополнительном предположении о малости нагрузки страховой премии. Предложенная методика может быть использована как для расчета других статистических характеристик для рассмотренной модели, так и для исследования других математических моделей страхования при условии, что нагрузка страховой премии является малой.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лившиц К.И., Бублик Я.С. Вероятность разорения страховой компании при дважды стохастическом потоке страховых выплат // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 1(10). С. 66-77.
2. PanjerH.Y., Willmont G.E. Insurance Risk Models. Society of Actuaries, 1992. 442 p.
3. Наумов В.А. Марковские модели потоков требований // Системы массового обслуживания и информатика. М.: УДН, 1978. С. 67-73.
4. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280 с.
5. Маркус М., МинкХ. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972. 232 с.
6. Лившиц К.И. Вероятность разорения страховой компании для пуассоновской модели // Изв. вузов. Физика. 1999. № 4. С. 28-33.
Лившиц Климентий Исаакович Томский государственный университет
Бублик Яна Сергеевна
Филиал Кемеровского государственного университета в г. Анжеро-Судженске
E-mail: [email protected]; [email protected] Поступила в редакцию 1 сентября 2011 г.
