Векторные операторы преобразования функций, гармонических в шаре Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.44

ВЕКТОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУНКЦИЙ, ГАРМОНИЧЕСКИХ В ШАРЕ

© 2010 Ю.А. Парфенова1

В работе вводятся оператор Ьг и обратный ему Ь-1, которые используются при нахождении операторов преобразования и решении конкретных краевых задач в однородных сферически симметричных областях. В данной работе предлагается операторный метод решения векторных краевых задач, в частности, найдено решение третьей краевой задачи для уравнения Лапласа в шаре.

Ключевые слова: оператор преобразования, векторные краевые задачи, гармонические функции.

1. Пусть вектор-функция

(П\ (Х1, Х2, Хз) ...

ип (Х1,Х2,Хз)

гармоническая в шаре В1 = {(х1,х2,х3) /х\ + х\ + Х2 ^ 1}. Оператор Ьг определим равенством:

Ьг [и (Х1, Х2, Хз)] = Ги (Х1, Х2, Хз) + 2 Х%ди (х1>х2,х3 ,

. дХг

г=1

где

Г = (1г3 )пхп

есть заданная матрица

/ ди1 (Х1,Х2 ,хз)

ди (х1,х2,х3) дХг

дх1 _

г = 1,2,3.

дип(х1 ,Х2 ,хз) ^

\ дх1

Теорема 1. Если вектор-функция и = и (х1,Х2,Хз) гармоническая в шаре В1, то вектор-функция V (х1,Х2,Хз) = Ьг [и (х1,Х2,Хз)] также гармоническая в шаре В1 .

хПарфенова Юлия Алексеевна ([email protected]), кафедра математического анализа Пензенского государственного педагогического университета им. В.Г. Белинского, 440602, Россия, г. Пенза, ул. Лермонтова, 37.

Доказательство. Непосредственным вычислением найдем:

Av (xi,x2,x3) = ALr [u (xi; x2, x3)} = Lr [Au (xi; x2, x3)}.

Поскольку вектор-функция u = u (xi,x2,x3) гармоническая в шаре Bi, то An (x^x2,x3) = 0. Тогда Av (x^x2,x3) = 0. Теорема доказана.

Теорема 2. (см. [1]). Если вектор-функция u = u (xi,x2,x3) гармоническая в Bi, то ее можно представить в виде

те

u (xi, x2, x3) = ^ Pk (xi, x2, x3) , k=0

где Pk (xi,x2,x3) — однородные гармонические степени k многочлены; при этом ряд сходится абсолютно и равномерно внутри шара Bi.

Теорема 3. Пусть для вектор-функции u = u (xi,x2,x3) дано разложение в ряд однородных векторных полиномов:

(ui (xi,x2,x3) \ те

... I = Pk (xi,x2,x3),

un (xi,x2,x3) / k=0 тогда оператор Lr [u (xi,x2,x3)} задается равенством:

те

Lr [u (xi,x2,x3)} = (Г + kE) Pk (xi,x2,x3),

k=0

где E — единичная матрица порядка n. Доказательство.

Так как Pk (xi,x2,x3) — однородная функция степени k, то [2] Lo [Pk (xi,x2,x3)} = k ■ Pk (xi,x2,x3),

3

где Lo = E . i=i

Теорема доказана.

Теорема 4. В сферической системе координат, определяемой равенствами:

xi = r sin ф cos p, 0 ^ p ^ 2п, 0 ^ ф ^ п, x2 = r sin ф sin p, 0 ^ p ^ 2п, 0 ^ ф ^ п, x3 = r cos ф, 0 ^ ф ^ п,

оператор Lr [u (xi,x2,x3)} принимает вид:

Lr [u (r, p, ф)} = ru (r, p, ф) + rdu (г,Р,ф).

or

Доказательство проводится прямым вычислением выражения Lr [u (xi,x2,x3)}.

Поставим цель — определить оператор L-i, обратный к оператору Lr. Будем различать несколько случаев.

Теорема 5. Если Lr [u (xi;x2,x3)} = v (xi;x2,x3) и если функция

те

v (xi,x2,x3) представима в виде ряда v (xi;x2,x3) = Y1 Pk (xi,x2,x3), где

k=0

Рк (х1,х2,х3), v (х1,х2,х3) — вектор-функции, а матрица (Г + кЕ) — невырожденная при всех значениях к € N, то

и (Х1,Х2,Хз) = Ь-1 [V (Х1,Х2,Хз)] = ^ (Г + кЕ) 1 Рк (Х1,Х2,Х3) .

к=0

Доказательство следует из теоремы 3.

Напомним, что число Л называется собственным числом матрицы Г, если (Г - ЛЕ) = 0.

Следствие 1. Если все собственные значения матрицы Г имеют положительные действительные части, то есть ЯвЛг > 0, г = 1, 2,...,п, то

1

Ь-1 [V (х1,х2,х3)] = У еГ-Еи (ех1,ех2,ех3) йе, о

где

еГ-Е = ехр ((Г - Е) 1п е).

Доказательство. Пусть V = ^ Рк (х1,х2,хз), тогда

к=о

71 1 •

еГ-ЕV (ех1,ех2,ех3) йе = еГ-Е ^ Рк (х1,х2,х3)екйе, о о к=о

так как Рк (ех1,ех2,ехз) = екРк (х1,х2,хз). Ввиду равномерной сходимости

ряда по е имеем:

71 • • 1

еГ-Е ^ Рк (х1,х2,хз) • екйе = ^ / еГ-Е ■ екРк (х1 ,Х2,хз)йе. о к=о к=о о

1

Заметим, что J еГ-Е ■ екйе = (Г + кЕ)-1. Тогда о

оо 1

•• Л ••

X) I еГ-Е ■ екРк (х1,Х2,хз)йе = ^ (Г + кЕ)-1 Рк (хьх2,хз).

г- Е к

к=о о к=о

По теореме 5

^ (Г + кЕ)-1 Рк (Х1 ,Х2, Хз) = Ь-1 [V (Х1 ,Х2, Хз)] к=о

Следствие доказано. Замечание 1. В скалярном случае

1

[„ (Х.,Х2,Х3 )] = /(-ь^) ^

о

где 7 — скаляр.

( -2 2 \

Пример 1. Выберем Г= ( „ _ ). Собственные значения этой мат-

V -6 5 /

рицы равны 2 и 1, тогда матрицу Г можно привести к диагональному виду [3]:

Г = Г-1( О О Т' ГДе Т = ( 1 -2

Воспользуемся формулой [3]:

„г = ™-1 ( еХ1 О

^ = ^ О ^ ^ в результате чего получаем:

З(г-В)1п в = ( 1 2 \( £ О\/ -3 2\ = /4 - 3£ 2£ - 2

Ь—1 [V ] =

' 2 3 ) \ О 1 М 2 -1 ) V 6 - б£ 4£ - 3

Пусть V = ^ г/1 ' тогда

/1 1 1 1 \

4 / (£х) й£ - 3 / £г1 (£х) й£ + 2 f £г2 (£х) й£ - 2 / (£х) й£ 0 0 0 0 1111

6/ (£х) й£ - 6/ £г1 (£х) й£ + 4 / £г2 (£х) й£ - 3 / (£х) й£ !

0 0 0 0 где

V (х) = V (х1; х2' х3) ' V (£х) = V (£х1; £х1 ,£х3) .

Пример 2. Пусть Г= ( «и а11 ), причем ац = «ц.

\ О «11 )

Найдем £Г—Е.

Для этого решим задачу Коши для системы дифференциальных уравнений:

£ , У11 Л' = Г( У11 У11

У11 У11 ) \ У11 У11 У11 У11

, (1) = Е.

У11 У11

В результате имеем

£«ц-1 « £а22 — 1—еаИ — 1 \ £Г-Е = £ а11 а22—аи-

^ О £а22 — 1 ) '

С учетом замечания 1 имеем

и1 (х) = Ь—1 [V1 (£х)] + «И^—!1! ' [V1 (£х)] и1 (х) = Ь—1 [v1 (£х)] .

Пример 3. Пусть Г = ( а11 а11 ), тогда

\ О а11 )

г_Е ( £а11—1 -ац£а11—1 • 1п £

£ 1 О £а11—1

U1(x) = Lah [v1 (ex) + ai2L«111 • L-111 [V2 (ex)],

u2(x) = Lah [v2(ex)].

При этом использовано представление 1

- Jea 11-1 ln e^v2(ex) de = La1i • Lah [v2(ex)]. 0

Следствие 2. Если среди собственных значений матрицы Г нет целых отрицательных и если — (m + 1) < min Re\i < —m, где m — некоторое натуральное число или нуль, то

m

-iL. ™ ™ М V^ (-л I 1„Т7\а1

L-1 [v (x1,x2,x3)] = ^(Г + kE) 1 Pk (x1,x2,x3) + k=0

+ er-E v (ex1 ,ex2,ex3) — ^ Pk (x1,x2,x3) ek \de. 0 k=0

0

Доказательство. Если матрица (Г + кЕ) невырожденная при всех к € N и — (т + 1) < шш Ке\1 < —т, то по теореме 5 имеем:

V (Ж1,Ж2,Жэ) = ^ (Г + кЕ)"1 Рк (Ж1,Ж2,Ж3) =

к=0

т те

^(Г + кЕ)-1 Рк (х1,х2,хз)+ (Г + кЕ)-1 Рк (х1,Х2,хз).

к=0 к=т+1

Преобразуем

/ еГ-Е V (ех1,ех2,ех3) — ^ Рк (х1,х2,х3) ек \ йе = 0 к=0

1 те

= еГ-Е Рк (х1,х2,хз) екйе.

0 к=т+1

Аналогично доказательству следствия 1 получаем

1 те те 1

er-E ^ Pk (x1,x2,x3) • ekde = ^ er-E • ekPk (x1,x2,x3)de =

k=m+1 k=m+1 0

те

1

= (Г + кЕ)-1 Рк (х1,х2,хз).

к=т+1

Следствие доказано.

Лемма 1. Число натуральных значений к, при которых матрица (Г + кЕ) вырождена, равно числу целых отрицательных собственных значений матрицы Г без учета их кратности. При этом соответствующие значения к противоположны по знаку целым отрицательным собственным значениям матрицы Г.

В случае, когда матрица (Г + кЕ) вырожденная для некоторго натурального значения к, задача

Ьг [и (хь х1, хз)] = V (хь х1, хз) , вообще говоря, не разрешима.

Пример 4. Если матрица Г = ^ - 2 4 ^ 'а вектор V = ^ р1 (х) ^, где Р1 (х) — любой однородный гармонический полином степени 2, то задача

Ьг [и (х)] = V (х)

не имеет решений. В самом деле

-2и1 (х) + и1 (х) + Ь0 [и1 (х)] = Р1 (х), 4и1 (х) + Ь0 [и1 (х)] = О.

Из второго уравнения имеем: и1 (х) = О, х € В1, тогда

-2и1 (х) + Ь0 [и1 (х)] = Р1 (х), и указанная задача не имеет решений в классе гармонических в шаре В1 функций.

Теорема 6. Если среди собственных значений матрицы Г есть целые отрицательные значения А1, А1,..., Ар, 1 ^ р ^ п и если выполнены достаточные условия разрешимости Рк (х1,х1,х3) = в, к = к1,к1, ...,кр, к = -А[, I = 1,...,р, в — нулевой вектор порядка п х 1, то

те

и<......^ ' —1

(Х1,Х2 ,Хз) = ^ '(Г + kE) 1 Pk (Ж1,Ж2,Жэ) + k=0

+ "°k • ek • Qk (Х1,Х2,Х3),

k

где знак ' у суммы означает, что слагаемые с номерами ki,...,kp пропущены, а знак '', что суммирование ведется по слагаемым ki,...,kp; ek =

( eik \

. I — собственный вектор матрицы Г, соответствующий собствен-

\ enk J

ному значению —k; Qk (Х1,Х2,Хз) — произвольный однородный гармонический полином степени k; Ck — произвольная постоянная. Доказательство проводится по образцу следствия 1. Следствие 3. Если матрица (Г + kE) вырождена и — (m + 1) < < min Re\i < —m, где m — некоторое натуральное число или нуль, то для разрешимости задачи

Lr [u (Х1, Х2, Хз)] = v (Х1, Х2, Хз) достаточно условий Pk (Х1,Х2,Хз) = 9, k = k1, k2,..., kp; 9 — нулевой вектор порядка n х 1. При этом

те

u (Х1,Х2,Хз) = ^2 '(Г + kE)-1 Pk (Х1, Х2,Хз) +

k=0

+ ег Е V (ж1,ж2,жэ) рк (ж1,ж2,жз) ек Ые+

0 V к=0 /

+ "Ск ' ек • Ук (Ж1,Ж2,Жз),

к

где знак ' у суммы означает, что слагаемые с номерами к1,...,кр пропущены, а знак что суммирование ведется по слагаемым к1,...,кр; ек =

( е1к \

= . — собственный вектор матрицы Г, соответствующий собствен-

\ епк /

ному значению -к; Ук (ж1,ж2,жз) — произвольный однородный гармонический полином степени к; Ск — произвольная постоянная.

Доказательство проводится по аналогии с доказательством следствия 1. Замечание. Операторы Ьг и Ь-1 служат векторным аналогом операторов Ь1 и Ь-1, теория которых развита в монографиях [4, 5].

Третья векторная краевая задача для уравнения Лапласа в шаре из Я3 заключается в определении вектор-функции

/ П1 (т,р,ф)

и (т,р,ф) = I ...

V ип (т, р, ф)

гармонической в шаре В1, являющейся решением уравнения Лапласа

Аи (т, р, ф) = 0,

с граничным условием

ди (т, р, ф)

Ги (т,р,ф) +

дп

= / (Р,Ф) ,

Г=1

где / (р,ф) — заданная на сфере 51 непрерывная функция, Г — невырож-

д

денная квадратная матрица размерности п, дп — производная по нормали. Лемма 2. Для сферы 51 имеет место равенство

ди (т, р, ф)

дп

ди (т, р, ф)

г=1 дг

Г=1

Доказательство. Доказательство следует из того факта, что внешняя нормаль к сфере направлена по радиус-вектору, приложенному в данную точку.

Лемма доказана.

Теорема 7. Если у матрицы Г нет отрицательных собственных значений, то решение третьей краевой задачи для уравнения Лапласа в шаре из Я3 имеет вид:

1 ' 2^

1 [ [ [ г-Е (! - £2Г2) (Ф, ф)

и (т,р,ф) = — -- 3 йей^йФ, (1

0 0 0

(1 — 2те сов 7 + е2т2) /2

где

cos Y = sin ф sin Ф cos (р — Ф) + cos ф cos Ф.

Доказательство. Введем следующее обозначение:

^ , ди (г,р,ф) . I и (r, р, ф) + r-д-= v (r, р, Ф),

то есть v (г,р,ф) = Lr [u (r, р, ф)], и по теореме 1 функция v (г,р,ф) является гармонической в шаре Б\. Кроме того, по лемме 2 выполнено условие v (r, р,ф)|г=1 = f (р, ф). Таким образом, для функции v (г,р,ф) имеем задачу Дирихле для уравнения Лапласа в шаре:

Av (r, р, ф) = 0

с граничным условием

v (г,р,ф)|г=1 = f (р,ф) ■

Решение этой задачи известно [6] и имеет следующий вид:

2п п

1 í Í (1 — r2) sinФf (Ф, Ф)

v (г,р,ф) = — ±--с!фс1ф, (2)

0 0 (1 — 2r cos y + r2) /2

где

cos Y = sin ф sin Ф cos (р — Ф) + cos ф cos Ф.

Произведем обратную замену и с учетом следствия 1 для случая, когда у матрицы Г нет отрицательных собственных значений, получим:

1

и (r, р, ф) = L-1 [v (r, р, ф)] = J er~Ev (er, р, ф) de.

0

Тогда с учетом (2) решение третьей векторной краевой задачи для уравнения Лапласа в шаре будет иметь вид (1). Теорема доказана.

Следствие 4. Если у матрицы Г нет целых отрицательных собственных значений, то решение третьей краевой задачи для уравнения Лапласа в шаре имеет вид:

Г (1 — e2r2) sin Фf (Ф, Ф)

и (г,Р,ф) = ¿/ /V 00

3

_ (1 — 2re cos y + e2r2) /2 _

dФdФ.

Таким образом, найдено решение третьей краевой задачи для уравнения Лапласа в шаре из Я3.

Литература

[1] Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М. Иностр. лит., 1952. 476 с.

[2] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1970. Т. 2. 800 с.

[3] Гандмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 575 с.

[4] Баврин И.И. Операторный метод в комплексном анализе. М.: Прометей, 1991. 200 с.

[5] Баврин И.И., Яремко О.Э. Операторы преобразования и краевые задачи теории гармонических и бигармонических функций // Доклады РАН. 2003. Т. 393. № 4. С. 439-444.

[6] Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. 710 с.

Поступила в редакцию 16/XI/2009;

в окончательном варианте — 25/I/2010.

VECTOR TRANSFORMATION OPERATORS FOR HARMONIC FUNCTIONS IN A BALL

© 2010 Y.A. Parfenova2

The operator Lr and the inverse operator L-1 are investigated; they are used at finding transformation operators and at the solution of concrete boundary value problems in homogeneous spherically symmetric areas. The operational solution method of vector boundary value problems is offered. In particular, the solution of the third boundary value problem in ball for the Laplace equation is found.

Key words: transformation operator, vector boundary value problems,

harmonic functions.

Paper received 16/XI/2009. Paper accepted 25/I/2010.

2Parfenova Yulia Alexeevna ([email protected]), Dept. of Mathematical Analysis, Penza State Pedagogical University V.G. Belinskiy by name, Penza, 443011, Russia.