CC BY
48
Челябинский физико-математический журнал. 2019. Т. 4, вып. 1. С. 33-41.
УДК 517.956 БОТ: 10.24411/2500-0101-2019-14103
ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ ТРЕТЬЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА
Б. Х. Турметов
Международный казахско-турецкий университет имени Х. А. Ясави,
Туркестан, Казахстан
Рассматриваются вопросы разрешимости новых классов краевых задач для уравнения Лапласа. Исследуемые задачи являются обобщением классической третьей краевой задачи для этого уравнения. Доказаны теоремы о существовании и единственности решения для исследуемых задач. Найдены условия разрешимости рассматриваемых задач и установлены интегральные представления решения.
Ключевые слова: уравнение Лапласа, третья краевая задача, краевые условия с инволюцией, существование и единственность 'решения.
Введение
Пусть П = {х € Яп : |х| < 1} — единичный шар, п > 2, дП — единичная сфера. Для любого х = (х1, х2,... , хп) € П сопоставим противоположную точку х* = (—XI, —х2,... , —хп) € П. Рассмотрим в области П следующую задачу:
Ди(х) = 0, х € П, (1)
ди(х) + аи(х*) = 0(х), (2)
да
где V — вектор внешней нормали к дП, а — действительное число, $(х) — заданная функция из класса С(дП).
Решением задачи (1), (2) назовём гармоническую функцию и(х) € С2(П)ПС(П), для которой г€ С(П), удовлетворяющую условиям (1), (2) в классическом
__п
смысле. Здесь г = л/х\ +-----+ хП, г= 5] х^.
¿=1 '
Задача (1), (2) обобщает классическую задачу Робена для уравнения Лапласа. В дальнейшем будем считать, что а = 0.
Заметим, что отображение х ^ х* является инволюцией, т. е. х** = х. Отметим также, что некоторые нелокальные краевые задачи с инволюцией исследовались в работах [1-5].
1. Вспомогательные утверждения
Пусть с € Я, с = 0 и г>(х) — решение задачи
Дг>(х) = 0, х € П; + от(х) = #(х), х € дП. (3)
Работа выполнена при поддержке грантового финансирования Комитета науки Министерства образования и науки Республики Казахстан (грант № AP05131268).
Решением задачи (3) назовём гармоническую функцию v(x) G С2(П) П C(П), для которой rdv'drf) G C(П), удовлетворяющую условиям задачи (3) в классическом смысле.
Пусть ß = (ßi,ß2,... , ßn) — мультииндекс длины |ß| = ßi + ß2 + ■ ■ ■ + ßn,
д |в| xßn
Dß = д_ xß! = xi . . . xn
x дхв1 ...dxt' ßi!...ßn! '
1 |x| 2
P (x,v) = J—Xn , P(ß)(0v) = Dß*P (x,y)|x=0.
Введём в рассмотрение функцию i
J т c—ip (tx, y)dr, c> 0 0
i m 3!p(0),
Pc(x,y) = <
Jr c-i
0
P(rx,y) - E (rx)131 Px (0, y)
=0
(4)
dr, c < 0, m = — [c].
Известно следующее утверждение [6].
Теорема 1. Пусть с € К, с = 0 и д(х) Е С(дП). Тогда
1) если с> 0, то решение задачи (3) существует, единственно и имеет вид
у(х) = — I Рс{х,у)д{у)(18у, (5)
ып з эп
где шп — площадь единичной сферы;
2) если с < 0 и с — нецелое, то решение задачи (3) существует, единственно и имеет вид
у(х) = ут(х) +--Рс(х,у)д(у)(8у, (6)
Ып ] дП
где
т 1 „
ут(х) = Е |ЖТ"хв, = — Р(Р)(0,у)д(у)(Бу, |в| < т; |в|-° дп
3) если с < 0 и с — целое, то для разрешимости задачи необходимо и достаточно выполнения условия
У Нт(х)д(х)(Бх = 0,
дП
где Нт(х) — произвольный однородный гармонический полином степени т = -с. Если решение существует, то оно представляется в виде (6), где ат = 0.
Исследуем некоторые свойства решения задачи (3).
Лемма 1. Пусть д(х) Е С(дП). Тогда справедливо равенство
У ре(х,у)д(у*)(8у = J рс(х,у*)д(у)(Бу. (7)
дП дП
Доказательство. Пусть
J Pc(x,y)g(y*)dsSy = J Pc(x,y)g(y*)dSy + J Pc(x,y)g(y*)dSy = /1 + /2, дп dn+ дп_
где дП+ = дП П {yn > 0}, дП_ = дП П {yn < 0}. В интегралах /1 и /2 переходим к сферической системе координат:
y1 = cos 0Ь y2 = sin 01 cos 02, ..., yn-1 = sin 01... sin 0n_2 cos 0га_ь yn = sin 01 sin 02 ... sin 0n_2 sin ,
где 0 < 0? < п, j = 1, 2,..., n — 2, а G [0, п], если y G дП+, и 0n_1 G [п, 2п], если y G дП_. Якобиан этого отображения имеет вид J(0) = sinn_2 01 • sinn_3 02 ... sin 0n_2. В этих интегралах сделаем замену переменных:
л t • 1 о oí = 4n_1 — п в /1,
0? = п — 4?, j = 1, 2,..., n — 2, ; '
j ? \ 0n_1 = 4n_1 + п в /2.
Тогда
n^t^ - i о / п < 4n_1 < 2п в /1,
0 < < п, j = 1,..., n — 2, { \ Т
~ Sj _ I 0 < 4n_1 < п в /2.
Так как cos^ ± 0) = — cos 0, sin^ ± 0) = ^ sin 0 , то после этой замены
— cos 0? = cos^ — 0?) ^ cos 4j, sin 0? ^ sin (п — 4j) = sin4j, j = 1, 2,..., n — 2,
— cos 0n_1 = cos(п + 0n_1) ^ cos 4n_1, sin 0n_1 ^ sin(4n_1 — п) = — sin4n_1 в /1,
— cos 0„_1 = cos(0„_1 — п) ^ cos 4n_1, sin 0„_1 ^ sin(4n_1 + п) = — sin 4n_1 в /2. При этом
Pc(x, y) = Pc(x, cos 01, sin 01 cos 02,..., sin 01... sin 0n_1) ^
^ Pc(x, — cos41, — sin41 cos42,..., — sin41... sin4„_1) = Pc(x,y*),
g(y*) = g(— cos 01, — sin01 cos 02,..., — sin01... sin 0n_1) ^
^ g(cos41, sin41 cos42,..., sin41... sin4n_1) ^ g(y),
J(0) = sinn_2 01 • sinn_3 02 ... sin 0n_2 ^ sinn_2 41 • sinn_3 42 ... sin 4n_2 = J(4), т.е. знак якобиана не меняется. Следовательно, верно равенство (7). □
Следствие 1. Пусть g(x) G C(дП) и g±(x) = 1 [g(x) ± g(x*)]. Тогда справедливо равенство
/ Pc(x,y)g±(y)dSy = Pc±(x,y)g(y)dSy, (8)
y
дП дП
где
Pc±(x, y) = 1 [Pc(x, y) ± Pc(x,y*)] .
2. Исследование основной задачи
В этом параграфе мы докажем основное утверждение относительно задачи (1), (2). Сначала докажем теорему о единственности её решения.
Теорема 2. Пусть а € Я, а = 0 и решение задачи (1), (2) существует. Тогда
1) если а = — 2т, а = 2т + 1, т = 1, 2,..., то решение единственно;
2) если а = —2т или а = 2т + 1, т = 1, 2,..., то решение единственно с точностью до однородных гармонических полиномов степени |а|.
Доказательство. Пусть функция и(х) является решением однородной задачи (1), (2). Обозначим
, , $/и(хХ) , д., ,
у(х) = г—---+ аи(х ).
аг
Так как при гармонической функции и(х) функция г +аи(х*) также гармоническая, то функция у(х) является решением следующей однородной задачи Дирихле:
Ау(х) = 0, х € О; у(х) = 0, х € дО.
В силу единственности решения задачи Дирихле у(х) = 0, х € П. Следовательно, для всех х € П выполняется равенство г = —аи(х*). Представим функцию и(х) в виде ряда
те нк
и(х) = ЕЕ иЦ)нЦ)(х),
к=0 г=1
(9)
Я (г) 7 (г)
к — полная система однородных гармонических полиномов степени к, иКк —
коэффициенты разложения (9). Известно (см. [7, с. 489]), что ряд (9) сходится
абсолютно и равномерно по х при |х| < р < 1. Применяя формально оператор г
к ряду (9) и учитывая равенства
'^(х) = кИ®(х), И®(х*) = (—1)к
для всех х € О получаем
те
£ £
к=0 г=1
к + (—1)ка иЦ)иЦ)(х) = 0, х € О.
(г)
0, для всех к = 0,1,... ,г = 1, 2,... ,Нк. Возмож-
Следовательно, к + (—1) а и ны следующие случаи:
1) если а = —2т, а = 2т — 1,т = 1, 2,..., то к + (—1)ка = 0 и поэтому при всех к = 0,1,... , г = 1, 2,... ,Нк имеем и^ = 0. Тогда и(х) = 0 для всех х € О. Следовательно, по непрерывности и(х) = 0, х € П;
2) если а — целое, то число к + (—1)ка может равняться нулю в двух случаях. Если а = —2т при некотором т = 1, 2,... , то это происходит для индекса к = 2т, и если а = 2т — 1 при каком-то т = 1, 2,... , то для индекса к = 2т — 1. Тогда соответствующие коэффициенты и^, г = 1, 2,..., к2т, или и^_1, г = 1, 2,..., к2т-1, могут быть ненулевыми. Следовательно, для таких чисел а однородные гармонические полиномы степени |а| И^^х) = ^ и(^)и(а)(х) являются решениями однородной
задачи (1), (2).
г=1
□
Далее исследуем вопрос существования решения задачи (1), (2). Пусть а > 0 и и(ж) является решением задачи (1), (2). Введём в рассмотрение функции
1
1
и+ (ж) = - [и (ж) + и(ж*)] , и (ж) = - [и (ж) — и(ж*)]
Так как г
4и(х)
<1т
ди(х)
дП
д^
дП
2
то из краевого условия (2) для точек ж, ж* € дП имеем
г-^и+(ж) + аи+(ж) = -аг 2
аи(ж) + аи(ж*)
■ а^ж) '
г—---+ аи(ж )
аг
1
+ 2
аг
аи(ж*) аг
аг
+ аи(ж)
+— [и (ж) + и(ж*)]
= - 0(ж) + - 0(ж^ = 0+(ж).
Аналогично,
г—и (ж) — аи (ж) = -аг 2
аи(ж) аи(ж*) _ _.
аг
аг
' а^ж) *'
г—---+ аи(ж )
аг
аи(ж*)
г—:--+ аи(ж)
аг
— ^[и(ж) — и(ж*)] = - д(ж) — - ^(ж*) = 0 - (ж).
Таким образом, относительно неизвестных функций и+(ж) и и (ж) получили следующие задачи:
Ди+(ж) = 0, ж е П; г^и (ж) + аи+ (ж) = д+(ж), ж € дП,
аг
аи ( ж)
Ди -(ж) = 0, ж е П; г----аи -(ж) = д-(ж), ж е дП.
аг
:ю)
11)
Для решения этих задач воспользуемся утверждениями теоремы 1 и леммы 1. По предположению а > 0. Тогда по теореме 1 решение задачи (10) существует, единственно и представляется в виде (5), т. е.
и+(ж) = — I Ра(ж,у)д+(у)а^у.
ш„
дП
А в силу следствия 1 это решение можно переписать в виде
и+(ж) = — Ра+(ж,у)д(у)а5у.
ш„
дП
Аналогично находим решение задачи (11). Так как — а < 0, то в случае когда а нецелое, единственное решение этой задачи представляется в виде (6), т.е.
и-(ж) = ит(ж) + — I Р-а(ж, у)д-(у)абу,
дП
где в силу равенства (4) функция Р-а(ж,у) имеет вид
Р-а(ж, у) = I | Р(тж,у) — ^ (тж)в!РХв)(0,у)
ат
та+1:
1
а функция ит(ж) записывается в форме
т
ит(ж) = ^ жв!, т = —[—а], (12)
1в|=о
где
ав = — I РХв(0,у)д-(у)а^у, |в|< т.
Ши з дП
После замены переменных, в силу равенства (8) коэффициенты ав можно переписать в виде
ав = / [РХв)(0,у) — РХв)(0,у*)] д(у)а^у = — /РХв)-(0, у*)д(у№.
2Ши 3 Ши 3
дП дП
Аналогично получаем следующее равенство:
J Р-а(ж,у)д-(у)а^ = ^ Р-а(ж,у)д(у)а^у.
дП дП
Так как и(ж) = и+(ж) + и-(ж), то решение задачи (1), (2) представляется в виде и(ж) = — I Ра+(ж,у)а5'у + ит(ж) + — / Р-а(ж, у)д(у)а5у =
Ши 7 Ши ,/
дП дП
= ит(ж) + — I [Ра+(ж,у) + Р-а(ж,У)] д(У№.
Ши У дП
Введём обозначение
Да (ж, у) = [ т а-1Р +(тж,у)ат + I (Р- (тж,у) — £ (тж)в! РХв-)(0,у) ^ ат о 0 \ 1в1=о
Тогда решение задачи (1), (2) представляется в виде
и(ж) = ит(ж) + — Да(ж,у)д(у)а5'у. (13)
Ши 3
дП
Пусть теперь а = т — целое. Тогда в силу утверждения теоремы 1 для разрешимости задачи (11) необходимо и достаточно выполнение условия
У нт(у)д-(у)а^у = °.
дП
После замены переменных это условие можно переписать в виде
У нт(у)д(у)а^у = 0
дП
где
Нт (У) = -о-.
Т а+1 '
Так как Нт(у) — однородный гармонический полином степени т, то
Нт(у) - Нт(-У) = О - -)т) Нт(у) = { ^ ^. ="2= -1, .р = 1, 2,. . .
Следовательно, если а — чётное число, то условие разрешимости всегда выполняется, а если а = 2р — 1 — нечётное число, то условие разрешимости имеет вид
У Н2р-1(у)д(у)<Бу = 0, р =1, 2,...
дП
В этом случае если решение существует, то оно представляется в виде (13) и в представлении функции ит(х) из (12) имеет место равенство ат = 0. Таким образом, мы доказали следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть а > 0 и д(х) Е С(дО). Тогда
1) если а — нецелое или а = 2т, т = 1,2,..., то решение задачи (1), (2) существует и единственно;
2) если а = 2т — 1, т = 1, 2,..., то для существования решения задачи (1), (2) необходимо и достаточно выполнение условия
! Н2т-1(х)д(у)<!Бу = 0;
дП
при этом если решение существует, то оно единственно с точностью до однородных гармонических полиномов степени 2т — 1;
3) если решение существует, то оно представляется в виде (13), где в случае а = т, т = 1, 2,..., в представлении функции ит(х) имеет место равенство
ат = 0.
Аналогичное утверждение верно и в случае, когда а < 0.
Теорема 4. Пусть а < 0 и д(х) Е С(дО). Тогда
1) если а — нецелое или а = —(2т — 1), т = 1, 2,..., то решение задачи (1), (2) существует и единственно;
2) если а = —2т, т = 1, 2,..., то для существования решения задачи (1), (2) необходимо и достаточно выполнения условия
У Н2т(х)д(у)<Бу = 0;
дП
3) если решение существует, то оно представляется в виде
и(х) = ит(х) + — I К-а(х,у)д(у)<Бу, ш„
^п ^
дП
где
1 1
Я-а(х,у)= [ т-а-1Р+ (тх,у)<т + [ \Р-(тх,у) —Е (тх)в1Р(в-)(0,у)
0 п \ |в1=0
т1
ит(х) У . х
<т
Т 1—а ''
(х) = Е ЛОГхв, ав = - Р{хв-)(0,у)д(у)«Бу, \в\ < т, т = —[а].
п „ , + а Шп „
=0 дП
Здесь в случае а = —т, т = 1, 2,..., имеет место равенство ат = 0.
Доказательство теоремы проводится точно так же, как и в случае а > 0.
Список литературы
1. Sadybekov, M. A. On analogues of periodic boundary value problems for the Laplace operator in ball / M. A. Sadybekov, B. Kh. Turmetov // Eurasian Mathematical Journal. - 2012. - Vol. 3, no. 1. - P. 143-146.
2. Садыбеков, М. А. Об одном аналоге периодических краевых задач для уравнения Пуассона в круге / М. А. Садыбеков, Б. Х. Турметов // Дифференц. уравнения. — 2014. — Т. 50, № 2. — С. 264-268.
3. Sadybekov, M. A. Solvability of nonlocal boundary-value problems for the Laplace equation in the ball / M. A. Sadybekov, B. Kh. Turmetov, B.T. Torebek // Electronic Journal of Differential Equations. — 2014. — Vol. 2014, no. 157. — P. 1-14.
4. Karachik, V. V. On solvability of some Neumann-type boundary value problems for biharmonic equation / V. V. Karachik, B. Kh. Turmetov // Electronic Journal of Differential Equations. — 2017. — Vol. 2017, no. 218. — Р. 1-17.
5. Turmetov, B. Kh. On solvability of some boundary value problems for a biharmonic equation with periodic conditions / B. Kh. Turmetov, V. V. Karachik // Filomat. — 2018. — Vol. 32, no. 3. — P. 947-953.
6. Карачик, В. В. Об одной задаче для полигармонического уравнения в шаре / В. В. Карачик // Сиб. мат. журн. — 1991. — Т. 32, № 5. — С. 51-58.
7. Соболев, С. Л. Введение в теорию кубатурных формул / С. Л. Соболев. — М. : Наука, 1964. — 808 c.
Поступила в 'редакцию 17.07.2018 После переработки 25.10.2018
Сведения об авторе
Турметов Батирхан Худайбергенович, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры математики, Международный казахско-турецкий университет имени Х. А. Ясави, Туркестан, Казахстан; e-mail: [email protected].
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2019. Vol. 4, iss. 1. P. 33-41.
DOI: 10.24411/2500-0101-2019-14103
ON A GENERALIZATION OF THE THIRD BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE LAPLACE EQUATION1
B.Kh. Turmetov
International Kazakh-Turkish University named after Kh.A. Yassawi, Turkestan, Kazakhstan [email protected]
In this paper we consider the solvability of new classes of boundary value problems for the Laplace equation. The problems under investigation are a generalization of the classical third boundary value problem for the Laplace equation. Theorems on the existence and uniqueness of the solution of the problem are proved. Conditions for the solvability of the problem are found and integral representations of the solution are established.
Keywords: Laplace equation, third boundary value problem, boundary conditions with involution, existence of a solution, uniqueness.
References
1. Sadybekov M.A., Turmetov B.Kh. On analogues of periodic boundary value problems for the Laplace operator in ball. Eurasian Mathematical Journal, 2012, vol. 3, no. 1, pp. 143-146.
2. Sadybekov M.A., Turmetov B.Kh. On an analog of periodic boundary value problems for the Poisson equation in the disk. Differential Equations, 2014, vol. 50, no. 2, pp. 268-273.
3. Sadybekov M.A., Turmetov B.Kh., TorebekB.T. Solvability of nonlocal boundary-value problems for the Laplace equation in the ball. Electronic Journal of Differential Equations, 2014, vol. 2014, no. 157, pp. 1-14.
4. Karachik V.V., Turmetov B.Kh. On solvability of some Neumann-type boundary value problems for biharmonic equation. Electronic Journal of Differential Equations, 2017, vol. 2017, no. 218, pp. 1-17.
5. Turmetov B.Kh., Karachik V.V. On solvability of some boundary value problems for a biharmonic equation with periodic conditions. Filomat, 2018, vol. 32, no. 3, pp. 947953.
6. Karachik V.V. A problem for the polyharmonic equation in the sphere. Siberian Mathematical Journal, 1991, vol. 32, no. 5, pp. 767-774.
7. SobolevS.L. Vvedeniye v teoriyu kubaturnykh formul [Introduction to the Theory of Cubature Formulas]. Moscow, Nauka Publ., 1964. 808 p. (In Russ.).
Accepted article received 17.07.2018 Corrections received 25.10.2018
xThe work is supported by grant no. AP05131268 of the Science Committee of Ministry of Education and Science of the Republic of Kazakhstan.
