Уточнения центральной предельной теоремы для сумм зависимых случайных величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2003, вып. 12, с. 10-27

УДК 519.214.5

УТОЧНЕНИЯ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СУММ ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ

ВЕЛИЧИН

А.Г. Гринь

Some new estimations of the rate of convergence in the central limit theorem for weakly dependent variables are received in this article. Also there is proved the elementary asymptotic expansion for sums of dependent random variables.

Введение. Формулировки основных результатов

Пусть {С} = U/,. п = 1,2,...} - стационарная в узком смысле последовательность и пусть

П

ЕД = 0, Efi < оо, Tn = J2 €j, cl = DTi ->• оо, п У оо,

3=1

ж

Р{Т„ < хап} - ДУГ? J ехр

— ОО

Если {С} - последовательность независимых случайных величин и Е|Д|3 < оо, то классическое неравенство Берри-Эссеена дает неулучшаемую по порядку оценку Ап = (){и ••■). п —>• оо. Для последовательностей слабо зависимых величин сложности появились уже при получении оценок порядка (см.,например, [1]). По-видимому, впервые «рубеж» п~* перешли

В.Т.Дубровин и Д.А.Москвин в [2], где для последовательностей ограниченных величин с сильным перемешиванием («-перемешиванием), коэффициент которого убывает со степенной скоростью, с помощью своеобразного метода последовательных приближений они доказали, что при любом є > 0 Ап = (){и • ).

А.Н.Тихомиров в [4] модифицируя предложенный Ч.Стейном в [3] так называемый метод локального секционирования, показал, что Ап = (){и • In /0 для последовательностей с экспоненциально быстрым «-перемешиванием и имеющих моменты порядка выше четвертого. Наконец, Е. Рио в [5] с помощью тонких оценок вероятностных метрик типа расстояния Дадли получил

© 2003 А.Г. Гринь

E-mail: [email protected]

Омский государственный университет

Работа поддержана грантом РФФИ 03-01-00045

Ап = sup

X

Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 12.

11

оценку Л„ = ()(п ' ) для последовательностей ограниченных величин с <д-перемешиванием, коэффициент которого убывает со степенной скоростью,

В настоящей работе для последовательностей с конечным четвертым моментом и экспоненциально быстрым (^-перемешиванием получена оценка Лп = 0(п"2Іпзп) (теорема 1), Выделен класс последовательностей {£„} (так называемые последовательности с симметричным распределением), для которых при экспоненциально быстром ^-перемешивании и при Е|Д|Г < оо, г > 3

доказана оценка Д„ = О (теорема 2), Получен также следующий вари-

ант асимптотического разложения в центральной предельной теореме: если в теореме 2 предположить дополнительно, ЧТО Е |^! |4 < оо и

limsup |Еехр {г£Д}| < 1)

t—г-оо

то при любом є > О Д„ = 0(п^1+£) (теорема 3),

1. Вспомогательные результаты

Пусть {£,,, }• = {£„, п = 1,2,,,,} - стационарная последовательность. Обозначим через Т<п и Т>п а-алгебры, порожденные, соответственно, семействами : к < п} : к > п}.

Лемма 1. Пусть последовательность {£„} удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания (ц>-перемешивания) с коэффициентом, перемешивания <р{п) и пусть случайные величины £ и г/ измеримы относительно Т<о и Т>п соответственно,

ІІСІІР = (Е1СГ)^ < оо, ІНІ9 < ОО, p>l,q>l, p~1 + q~1 = 1.

Тогда при любых комплексных а и Ъ

\Щг] — Е£Ет?| < 2<др(п)||£ — а\\р\\г] — b\\q. (1)

Если же

ІІСІІ1 = Е|£| < оо, |ф||оо = vraisupIг?| < оо, то

|Е£г] — Е£Ет]| < 2<д(п)||£ — о||і|ф — ЬЦоо. (2)

■

Доказательство леммы легко получается, например, из теоремы 17,2,3 в [6] или из [7, с,236],

Лемма 2.

1, Пусть последовательность {£„} удовлетворяет условию (р-перемешивания с коэффициентом, перемешивания <р{п) и пусть

°о k

^2 <дДп) < оо. Тогда,

П = 1

ОО

а2 = ЩІ +2^2 ЕДСп < оо

п=2

12

А. Г. Гринь. Предельные теоремы для зависимых величин

и если оп —>• оо, п —>• оо, то о ф 0 и

по2\ < 4ЦС1ІІ2 (

к=п

3 =1 k=j

2, Если

ОС ОС

ЕЕ <д2 (А:) < оо, то sup \a2 — по2\ < С\ < оо,

. , , . п

j = l fe=J

3, Если

ОС

Е|£о|3 < оо, Е ср$(к) < оо, то supn 1|ЕТг^| < С\ < оо. к=і

Доказательство. Утверждение 1 следует, например, из [7, с.239], утверждение 2 вытекает из 1. Докажем 3. В силу стационарности последовательности

{ел

|ЕТ®| < 6п Е |ЕЄоЄгЄшІ- (3)

О <i+j<n

Применив соотношение (1) К величинам Д И CiCi+jj а затем К ^оЄг и Єг+j; получаем ІЕЄоЄгЄг+ІІ < 2¥,®(*)ІІЄ0||з||ЄгЄг+ІІІ| < 2<Д з (і) ||£0 |||,

|ЕЄоЄгЄг+іІ < 2гЧЛШ+М\Ш\і < 2(ДзД)||^0|||,

Отсюда

|Е6ЄіЄі+іІ<2МгМЛ)^ІІЄо||з- Л)

Из (3) и (4) следует утверждение 3. ■

Лемма 3. Пусть последовательность {Д} удовлетворяет ip-перемешивания, <7п —)■ оо, п —)■ оо, и пусть Е|ДР < оо, р > 2. Тогда \\Тп\\р < С{р) ап, где 0 < С{р) < оо не зависит от п. я

При 2 < р < 3 утверждение леммы доказано в [6, теорема 18.5.1], в общем

случае оно следует, например, из теоремы 1.1 в [8].

Пусть ЕД < оо, а п и ^натуральные числа. Обозначим

Qj — пн ЕЛі)Р+ь .) — I)2) ■■

і=і

т = fr,n,P(t) = Еехр |it^Qj \ , Г = 1,2,-Введем функцию

к

Fk(z) = Е Д (Д + о (exp {itQj} - /і))

3 =1

Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 12.

13

к

__ \ ' „./« /■/.- WPO / \- \- \

/ М J1 1--.-, ^ к)-,

m= 1

где Xj = exp {itQj} - /і, j = 1,/>•• а

50(я:ь ...,ад) = 1, Sm( хъ...,хк) = ^ xh...xjk-

i<ji<...<jm<k

- m-й элементарный симметрический многочлен. Из формулы Тейлора для функции Fk(z) (ем,,например, [9, е, 67]) получаем при I < к

fk(t) = fk,n,P(t) = т) = /і + ...,хк)+

+ft2~ES2(Xb ,„,Хк) + ... + f^lESl(Xl, ...,Хк) + Rh (5)

где

д, = ад, = X J jXMm. \р\ > 1. (6)

\z\=p

Пусть /// = ЕЛ’і ....V/. / > 1. /З2 = E^Yxl2 = 1 — |/i|2, В дальнейшем будем обозначать через = 6i(t,n,...), і = 1,2,,,,, - ограниченные величины, (т,е, sup |Oi(t, п, ,,,)| < оо); если g(t, n,...) < ch(t, n,,,,), где с > 0 не зависит от t, п,...,

то будем писать g <С h, a, g х h будет обозначать, что g <^. h и h <^. g и an ^ [Зп как обычно, будет означать, что п„/[Зп —ї 1, п -Д оо.

Лемма 4.

1, Если последовательность {£„} удовлетворяет условию ц>-перемешивапия с коэффициентом, перемешивания <р{п), то

Е>’, (.V,.V,) = 0. E52(Xb...,Xfc) = (к - l)g2 + 0{(32к2(рЦр)),

ES3{Xu...,Xk) = (к^2)д3 + 0(/32к3дЦр)). (7)

2, Если E|^i|r < оо, 3 < г < 4, то существует є > 0 такое, что при \t\ < єопо~1

/lW = = exp {2М + ММ1 + в\^

2 ol 6 ol

o'

3, Если Е|^і|4 < оо, Y^k=iiPA{k) < оо, п = kp,

\t\ < єоп1ор

l521 = l/r252|«- + fV + 7y

п k\Jn k2

Доказательство.

1, Так как E.Yj = 0, j = 1,2,,,,, то

Е>'| (,Y|.\k) =EJ2X3 = 0.

з=і

(8)

то при

(9)

14

А.Г. Гринь. Предельные теоремы для зависимых величин

В сумме E>V,( Л'|..V/,) имеется к — 1 слагаемое вида E.Y/.Y;. і = //•_> и (к —

1)(к — 2)/2 слагаемых вида ЕXjXi, \j — l\ > 1, каждое из которых по лемме 1 не превосходит 2^ 2 (р) 11 JYj 11211 -Y/112 = 2/32(рї(р); это дает нам нужную оценку для ES^JYi, Xk). Соотношение (7) доказывается аналогично,

2, При \t\ < єопОр1 и достаточно малых є > 0 с учетом леммы 3 получаем (см,, например [10], с,212)

1Л(*)-1|<

t2(J2

2<

1

\t\ < є

, Отсюда

ІП /1 (t) = fi(t) - 1 + 02 |/l (*) “ 1|2

t2o2p (й)3ЕТ3

2o2n + 6a3

+ 0i

I t\ra.

Г

V

OL

5

откуда следует (8),

3, В предположениях данного пункта справедливы утверждения 2 и 3 леммы 2, Представив Д = и /2 = в виде (8) с г = 4, воспользо-

вавшись леммой 2,3 и справедливым при любом комплексном г неравенством I ехр{г} — 1| < \z\ exp{ I^ I }, получим при |t| < ЄОп(Т2р

їй

exp

oL - 2ої 2 EТІ - 2ET3

p p-t2 + —2j+r~0-+(ltf + 0 3

б

a2p + 2o-p 4

ot

<

В силу леммы 2,2

-2о2 p „ oL + 2oi 4 ■c Д „ vt2 + ДІД + —O4.

2al

G

Ol

(10)

2 2 . і 2 о 21 ^ sn

Gn ~ ПО , 71 —У OO, IG2p ^ *ap\ < Ci-

С помощью этих соотношений из (10) получаем (9), Пусть 2q < р. Обозначим

P-2g q

Uj = an C(j-l)p+g+b \j = an y~^(C(j-l)p+l + Cjp-q+l)j

1=1 /=1

u = u(t) = Еехр{й7Д}, v = v(t) = ЕехрДПц},

Тогда Qj = Uj + Vj, Xj = Yj + Zj, j = 1, 2,,,,, где

Yj = (exp {itUj} — u)v, Zj = exp{itUj}(exp{itVj} — v) + uv — Д,

так что

к

Fk(z)=YH(fl + z(Y:j + Z:j))

1=1

(И)

Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 12.

15

Лемма 5.

\Fk(z)\ < {1 - (З2 + p2S2 + 8р2(р(р)}2 + 16p<p(q)Bk, (12)

где S2 = 1 — |w|2, p = \z\ > 1, a k-2 г-і

= £ її П№ + ^i)||oo {l — /32 + P2^2 + 8р2<д(р)} 2 +

1=2 j=1

fc-1 k_2

+ 11 П(Л + zXj)\\oo + {l - /32 + p2S2 + 8p2ip(p)} 2 .

3=1

Доказательство. ІІусіь 1 < / < Із. Так как EV;- = 0, \Yj\ < 2, то, применив лемму 1 сначала к величинам Пі=і(/і + zX3) и Yi rijLz+i(/i + zZj)>a затем K Yi и Ш=г+і (/l + zZj) , получим

г-і k

|еП(/. + zXj)zY[ П (/і + zZj) I <

j=i і=г+і

г-і

< |ЕД(Л + ^)ЕЛ) П

3=1 І=/+1

г-і к

+4p(p(q) || J\(fi + ^i)||oo II ]Д (Л + ^j)||i <

j=i j=i+і

г-і к

<4рДд)|ЕП(Л + ^)|-Ц П (/i + ^')lli+

j=i j=i+1

г-і к

+4p<-p(q) II Ц(Л + zXj)\\oo II ]Д (fi + zZj)Ці <

j=i j=i+i

1-І к

< 8(*p(q) bi, bi = II П(Л + zXi)IU II П

j=i і=г+і

Положим

fe-i

6* = ІіП№ + гА'3)|и

3=1

Применяя последовательно соотношение (13), из (11) получаем

fc-i fe-i

ІВДІ<|ЕП№ + zXj)zYk І + |ЕП(/і + гА'))(/і + гг*)І<

з=і з=і

(13)

fe-i

<|еП№ + zXj)(fi + zZk)I + 8pip(q)bk < ... <

3=1

16

А.Г. Гринь. Предельные теоремы для зависимых величин

к к

<|ЕП(Л + zZj)\ + 8p(f(q)^2bi. (14)

j=l 1=2

Имеем

\h + zZj\ < (еД'|/і + ^і2-еП"і/і + ^'

j=l \ j> 1 j>2

где П' и ]}[" обозначают произведения по нечетным и четным индексам соответственно, Так как EZ| = 0, то

Е||2 < ~E\Zi — uv + /і|2 = Е| exp{itVi} — г?|2 = 1 — |^|2 == ^2-

Применяя последовательно соотношение (2), и учитывая, что при р > 1, a = |/i|2 — 2Hezfi(uv — /і) имеет место ЦД + zZj|2 — a\ < 4p2, получаем

Efl'I/i + zZj\2 < (E|/i + zZ^2 + 8р2ф)) E Ц '|/i + zZj\2 < ... i>i j>з

< {l — (З2 + p252 + 8/92<д(р)}[ 2 1, (16)

Аналогично

V]J"\fi + zj\2 < {І^і32 + р252 + 8р2ф)}№. (17)

3> 2

Из (15), (16) и (17) следует

Г

ЕП |Л + zZj\ < {1 - /З2 + р252 + 8р2^(р)}§ . (18)

з=і

Из (14) и (18) вытекает утверждение леммы. ■

2. Последовательности с симметричным распределением

Пусть £ = (£1;..., £„) - случайный вектор, 8 - отображение множества {1,2,,,,,п} в множество { — 1,1}, то есть 8 = (5і,,,,,5„),

8k = ±1, к = 1.2 и и пусть Д = {5} = { — 1.1 }-^-2 "К Обозначим

8 * £ = (8i£i,,,,, 8п£п). Распределение вектора £, будем называть симметричным, если все векторы 8* £, 8 Є А имеют одинаковое распределение. Будем говорить, что последовательность {£„} имеет симметричное распределение, если все ее конечномерные распределения симметричны.

Простейшим примером последовательности с симметричным распределением является последовательность независимых одинаково распределенных величин с симметричными распределениями.

Введем характеристическую функцию вектора £ :

( П

і (*Ъ ••••/„) = Eexp <l^2tk£k

I к=1

Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 12.

17

Будем использовать обозначение £ = г] в случае, когда распределения случайных векторов £ и г] совпадают, и {£„} = {г]п}, когда совпадают конечномерные распределения последовательностей {£„} и {г]п}.

Лемма 6.

Следующие условия эквивалентны:

a) Последовательность {£„} имеет симметричное распределение;

b) При любом, натуральном, п и любых действительных В, ...,tn

П

-,tn) = Е J|eos(4Cfc); (19)

k=1

с) {£„} = {є-пСп}, где {еп} величин, 'таких, что

последовательность независимых случайных

Г* {— 1} — Г* { “ л — —1} — -

и последовательность случайных величин, {є„} не зависит от {£„},

Доказательство.

а) =Д Ь). Пусть последовательность {£„} имеет симметричное распределение. Тогда

( П ^

/еі = Eexp{?tiCi}exp

к=2

откуда

-,tn) = Еехр{-йДі}ехр < г^Ык

к=2

/б (*ъ -Сп) = Ecos{tiCi}exp ll^tkCk

{. к=2

Проделав эти преобразования последовательно с величинами С.£,,<• получим

утверждение (19),

Ь) =Д а) Из (19) следует, что при любом натуральном п, любом 8 Є А и любых действительных /|.../„

/еі,~.,Єп(*ь -,tn) = fs^u-AS-Atь -An), (20)

откуда следует, что 8 * £ = б, при любом 8 Є А , а это означает симметричность распределения последовательности {£„},

с)=>Ь)

Пусть {£ь..., £„} = {єДх,,,,, єпб,п}-, где последовательность {єД определена в пункте с) леммы. Тогда

/fi (*ъ- А) = Еехр{гіДі}ехр

П

і^Пє^к

к=2

Р { Г | — 1 }• —

18

А.Г. Гринь. Предельные теоремы для зависимых величин

+Еехр{—гіх£і} ехр

П

к=2

Р{А

1}

= Е

COs{txCl} ехР

П

І^ ^tk£kCk

к=2

Ecos{txCi} ' ■■■ ' cos{txCi}-

b) => с)

Так как cos(іЄк(к) = cos(t(k), к = 1, 2,то из (19) следует (Д, =

(аСъ -АпСп), что означает {£„} = {дДЛ- ■

Замечание 1. Если {£„} - стационарная последовательность, удовлетворяющая условию РСП с коэффициентом (р(п), а {єуД _ последовательность, определенная в пункте с) леммы 6, то последовательность {}■ также удовлетворяет условию РСП с коэффициентом <Ді(п) < <д(п) [12],

Замечание 2. Если {£„ } - стационарная последовательность с симметричным

распределением и Е|Д|2 < оо, то (Cj,Cfe) = (—Сі?Cfc)5 І Ф к, и, следовательно, = = 0, так что о2 = DТ2 = по\. Аналогично показывается, что

если Е|Д|3 < оо, то ЕТ3 = О, n = 1, 2,...

Замечание 3. Нетрудно убедиться, что если {Д [ ~ последовательность с симметричным распределением, а

Qj — Пп C(j-i)p+b

/=і

то последовательность {Qj,j = 1,2,,,,}, также имеет симметричное распределение,

3. Основные результаты

Теорема 1. Пусть {£„} - стационарная последовательность с экспоненциально быстрым, (р-перемешиванием (то есть удовлетворяющая условию ц>-перемешивания с коэффициентом, д{п) таким, что д{п) < ехр { —ап} , а > 0) и пусть Е|Д|4 < оо. Тогда,

А

i—*г;

О [ п Пизп

Доказательство разобьем на ряд лемм.

Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 12.

19

Лемма 7. В условиях теоремы 1 существует є > 0 такое, что при |А| < єл

fk(t) = Sk.n.pO) = exp .

(21)

1

где k = k(n) = [na], a = 1-z=, n ~ kp, Q(t) = t2 + |t|3 + t4.

v2

Доказательство.

Если \t\ < пГг, то, положив в (8) р = п, k = 1 получим

t2 (it)3 ЕТ3

fk(t) — fl,n,n(t) — exp -x — exp + в% —p=

6cr3

u n

t/ „ t

откуда следует (21),

Пусть теперь пГ г < |t| < е\/к. Положим

Р

"П" ' 2 1"

X , Ч = рз А: з

Аналогично (8) с использованием леммы 2 нетрудно получить

ё2 = 1 - \v(t)\2 = 1 - exp •( — /2Е\ 2 + в7 (/ ’Е\ 3 + / 'Е\ ')}

2 t2q

„ . 2f2g „ / fV'

~ 1 — exp ^--------h Р8 I --/ Н----— I > ~

П\/П пс

п оо.

п

откуда при достаточно больших п выводим

г9 Ш2а r9 t2q а ё2 < —ё2 > — > -Дг,

п

п п

t2o2 1

(З2 = Е exp {//.V і }• — /і I < Е exp {/7 .V і }• — 1| < —< -

O'"

(22)

(23)

Положив в (5) и (6) I = 2, с помощью утверждения 1 леммы 4 получаем

/fc (A) = /f(A) (l + (к — 1)52 + $9(32к2(рі (p)^j + i?2, (24)

|i?2

1 [ Fk

2-7ГІ J (г-

z\=P

9 1 — /З2

Г =

< (p - 1) V 3 sup l-Ffe(^)

\z\=p

> 1.

(25)

при достаточно малых є и достаточно больших п с

помощью (22), (23), (25) и леммы 5 получаем

Р 2 = (1 — [З2) 1кё2 < 6-—^- < Oe2k2qn 1 < 7, р2 < '-~г < —

п

1

4’

п п — < —, qk 16

I-R2I < ЗО/і ( Iі!3 fl + \ + п2(р(р) ] + lQt2n2(p(q)Bk <

20

А.Г. Гринь. Предельные теоремы для зависимых величин

< /іЦ= + t2n2ip(q)Bk,

>п

где

1

Вк < к{1 + 2р)к ^1 + - + n2(p(p)j < к(1 + п)к.

По условию <р{п) < ехр{—cm}, и так как klnn = o(q), то из (27) следует n2(p(q)Bk < exp {3 In n + к ln(l + n) — aq} <C exp { —a'q} , 0 < a' < a. и соотношение (26) можно переписать так:

I/I3

|Д2| < + t2 exp {-a'q} .

(26)

(27)

n

(28)

Из (24) с помощью (9), (23), и (28) получаем

fk(t) = fi(t) |l + #10 j- + ®nt2 exP {^a><l}

Далее, из (8) и леммы 2 следует

(29)

Л* (*) = exp

kt2a2 А;(й)3ЕТ3 kt4a4

2^

+

6a3

+ 0i

ol

4-2 / 4-2 14.13 4-4

exp { ГвгА — + Ц= + т 2 \n \ n к

(30)

откуда с помощью (29) выводим

, . ft2 (kt2 |t|3 t4\ 1 2 r , 1

fk(t) = exp ^ —— + 0i3 + —j= + J j + ewt exp {—a q} .

Нетрудно видеть, что если |t| < :\/к. то при достаточно малых є > 0

, / ( t2 /ti2 |t|3 t4\ 1 \

nexp {—a q} = о I exp | — + |012| I — + + - 14,

так что (30) можно переписать так:

лю = а«м = «р{-£ + Цт + 5 + і)}' Pi)

Обозначим к\ = АДп) = к(р) = \ра] и пусть к\р\ = р. Заменив в (31) п на р, к на ki, и р на р\ получим

fkup,P1(t) = /і (ty ) = exp <j ^ + Qn

kit2 |t|3 t4

T+JP + k~i)*’

Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 12.

21

откуда

Л (t) = exp

t2(J2

+ e

15

Ы2 |

+

+

п k\Jn kik2

|t| < є у/kki (32)

Так как kki ~ na+a(1 a)

h 1

— ~ -—з=, то из (32) выводим n k\/n

Zl(<) = exp^ + в16(Щ| , <Э(() = (2 + |(|;i + <*, |<|<£I!

(33)

Представив в виде (33) функцию /2 и, проведя рассуждения, приводящие к утверждению 3 леммы 4, можно получить оценку

i9)i«m \и<^

(34)

Повторив рассуждения, приводящие к (31), используя (33) и (34) вместо (8) и

(9), получим утверждение леммы, ■

Лемма 8. В условиях леммы 1

fk(t) - exp —

tl

<n 2Q(t)exp \ > , \t\ < e\fk

Q(t)

Доказательство.

Нетрудно видеть, что при lil < enJ при достаточно малых є > О Iв41 ^\J <

у/п

j.2

1 + —, С помощью этого соотношения и неравенства | ехр{г} — 1| < \z \ exp{|z|} из (21) выводим

fk(t) - exp \ - —

< exp < > \в.

,Q(t)

exp ( тг + 1

п о

откуда следует утверждение леммы.

Лемма 9. В условиях теорем,ы 1 при |£| < єт

fk(t) = exp і НІ + 7п(т>)

где limlimsup І7„(є)| = 0,

Є^° ТІ,—5-00

Доказательство. При |і| < єпл, a = 1 — утверждение леммы следует из (21), Пусть t = t(n) таково, что єп% < |t| < єп*. Положим

' ЄП '

k = k{n, t) = [St2] , p = p(n, t)

q = q(n,t)

t2k

22

А.Г. Гринь. Предельные теоремы для зависимых величин

При |t| < єп& к < Зє2п'л, q емся соотношениями:

ЄП

ЗГ

> (Зе) Зпз. Вместо (22) и (23) воспользу-

£ < ы2 < 3^ < Зе, /?<1,

П 2

Положим в (24) и (25) р следующую оценку для В к :

,2_

кё2 '

Тогда є < р 2 < 6є и вместо (27) получим

к

Вк < к(1 + 2р)к ( 1 + -j- + n2<p(p)j <Зк\^АП

)к

так что при достаточно малых є

16 p<p(q) В к < ехр {1п48рА: + к/ЫЗ — In s/є) — aq} <

< exp jln48pA; + Зє2пА (In 3 — In s/є) — a (2є)^3пА J < exp | —anA J ,

Из (26) выводим теперь:

t2

І-Й2І = /і 0Є(1) + ЄХР — j Оп( 1).

Заменив в (21) п на р, к на к\, и р на рі получим

/*..»(<) = /і (*/) =схр{-^ + ві7у|г} ’ W-£p1, n = 1_7f'

(35)

откуда

2 __2

Го.

}\{t) = exp { f I 1 + 1 , kg2 < = oe(l).

2a?

(36)

Подставив теперь в (24) соотношения для R2, /і и g2 из (35) и (36) выводим

ft2 t2 1

/fe(t) = exp < + 019—— > (1 + On( 1) + Oe(l)) =

— exP ^ °є(-*-)) J (1 + °n(l) + Oe(l))

Из последнего соотношения следует утверждение леммы.

Лемма 10. В условиях теоремы 1 существует є і > 0 такое, что при єт < \t\ < Єі^ПІП-ї П

fk(t) = o(n~l), n -Ї 00.

Доказательство.

Положим в (12) z = р = 1, q = [Nlnn],p = [iV2lnn], k = [np-1], N > 0, Получим

\fk(t)\ = |^(1)| < {1 - \v(t)I2 + |/i(t)\2 + 8yip)}* + 16p{q)Bk, (37)

Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 12.

23

где

fc-1

= К*)I2 + \fi(t)\2 + 8ф)} 1

І-1 2

/= 1

Пусть єтг^ < |t| < єопо~1. С помощью леммы 2 получаем

<72 <72

(9=-^—,-©

Подставив это равенство в (37) выводим

\fk(t)\ < exp j-^- (l - 2.Y ') + о (t2) I + k(p{q) = о

_1 ______________ _ 1

Пусть теперь єопо < \t\ < Єц/nm з и

IЛ (*) I

К*) I

exp

t2o2^2o2\ „

1 (1 + 7пЫ)

2a?

t2ol{\ - 2N x)

exp ----------335-------} (1 + Уп(єі)) <

1 1

< exp|^: (^2 ” n) J C1 + ■

Из последнего соотношения следует, что Єї и N можно подобрать такими, что

V |Л(*)| „ п

hmsup , , < 1,

Н—5-00 \v(t)\

(38)

Далее,из леммы 9 вытекает

|r(t)| х exp -----------y ^ ~ ехр

t2Nlnn

п

> ехр |^щ2ЇУ(1пп)з |, (39)

Из (38) и (39) следует, что при достаточно больших п

\v(t)|2 - \fi(t)\2 > гГ\ Ъ < 1, єпs < \t\ < єіу/п\тГ*п. Подставив эту оценку в (37), получим

ІЛ(І)І < (1 - п~ь + 8ф)У + 16кф) = о

24

А.Г. Гринь. Предельные теоремы для зависимых величин

Доказательство теоремы 1, Утверждение теоремы следует из классического неравенства Эссеена

fk{t) - exp {-£} t

4

+ УГ

см,, например fk(t) — f *

exp

6, с,119] при |t|

где Т -< :н •.a

є^/піп 3 [п) а для оценки разности : 1 — используется лемма 8, при

єтіл < |t| < єнл - лемма 9, а при єпв < |t| < : i\/n In 3 - лемма 10,

Теорема 2. Пусть {£„} - стационарная последовательность с симметричным распределением и с экспоненциально быстрым, ц>-перемешиванием и пусть E|£i|r < оо, г > 3, Тогда Л„ = О i^nr^j .

Доказательство. Покажем сначала, что в условиях теоремы 2 утверждение леммы 8 примет следующий вид: при любом 8 > 0 при 3 < г < 4

fk(t) - exp • —-

<

І*Іг

+ П V2

exp

(40)

где к = к(п) = [па

1-----■=, \t\ < є\/к.

\/2 ~

В силу замечания 2 и (8) соотношение (10) можно привести к виду:

\t\':

І02І = і/Г25г2і « ЩЩ= + Т^-

№

кі

Повторив с очевидными изменениями рассуждения, приводящие к (31), с помощью последнего неравенства получаем первую итерацию для fk(t) :

fk(t) = exp

/2

-Д + 020

№ , jt\

s/Vi кд-

г

1

(41)

С помощью соотношения (41) аналогично (21) выводим вторую итерацию для fk(t):

jo=exp {4+вгі (4=+4(4) укі=т„

и т.д. После s-той итерации получаем

14

(kh

fk(t) = exp

1

(42)

Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 12.

25

В последнем соотношении

ккЛ...к3 ~ na(1+(1-a)+---+(1-a)s).

Ясно, что для любого S > 0 можно подобрать такое натуральное s, что о(1 + (1 — о) + ... + (1 — o)s) > 1 — S и (40) выводится теперь из (42) аналогично (21), Подберем в (40) 6 > 0 таким, чтобы (г — 2)(1 — 5) > 1, Тогда чтобы доказать теорему 2 в силу неравенства Эссеена и (40) достаточно показать, что \fk(t)\ < exp {—2}, b > 0 при є\/к, < |t| < є-sfn, є > 0, Пусть п = кр. Используя замечание 3 и лемму 6, аналогично (18) получаем

\fk(t)\

Е cos (tQi

<

(Ecos2 (tQj) + 2p(p))2

<

з=і

<

1 + A(2t)

+ 2 (pip)

(43)

Пусть к = k(n)

V

[|] , Тогда p = p{n) ~ > jy, В силу леммы 9

fi(2t) x exp

2 f2 1

' ■ ~exp{-2.Y}

так что N > 0 можно подобрать так, чтобы 2р(р) < |, fi(2t) < |, и из (43) следует теперь

ІЛМІ < (i)’ ~‘;xp{-(ln4jvlll3)f2}'

Теорема доказана, ■

Теорема 3. Пусть {£„} - стационарная последовательность с симметричным распределением и с экспоненциально быстрым, р -перемешиванием и пусть Е | |4 < оо и

limsup |Еехр {Шд}| < 1. (44)

t—5-00

Тогда при любом, S > 0 Ап = 0(нГ1+6)

Доказательство.

Пусть k = к(п) = [n0,2], q = q(n) = [n0,3], р = [|] , Положив в (5) и (6) I = 3, с помощью утверждения 1 леммы 4 получаем

fk(t) = fi(t) (1 + (к^ 1)92 + (к- 2)gl + в23/32к3рЦр)^ + R3, (45)

где в силу замечания 2 и соотношения (8)

І02І = 1/Г252і < ^2, Ш = |/Г353І < ^

26

А.Г. Гринь. Предельные теоремы для зависимых величин

Далее, в равенстве (45)

|Дз

/•/, (z) dz

2лі J (z — 1) г4

\z\=p

— (p 1) V 4 sup \Fk(z)\, \p\ > 1,

\z\=p

1 _ ^2

и, повторив при p2 = —; f9 вывод соотношения (28) , можно получить

kS2

1*1

|І?ЗІ < fi~-----------h r exp {-aq}

n

откуда аналогично (31) выводим

t2 f4'

Л(() = exp ^ + e24- [■ , |<|<£1

(46)

Рассматривая (46) как первую итерацию для fk(t), аналогично (42) после s-й итерации получаем

т = 1:хр{Л+^щЬд}- (47)

Так как для любого S > 0 можно подобрать такое натуральное s, что

ккг...к8 ~ n«(i+(i-«)+-+(i-«)‘) > п1-\

из соотношения (47) аналогично лемме 8 можно вывести

fk(t) exp \ —-

< n_1+<5|t|4exp

\t\ < е\[к.

В доказательстве Теоремы 2 показано, что \fk(t)\ < ехр{—fei2},

b > 0 при єу/к < |t| < S\Jn. В силу неравенства Эссеена для завершения доказательства теоремы достаточно показать, что

\fk(t)\ < /Л 0 < р, < 1, \t\ > єу^п

(48)

Если имеет место соотношение (44), то для любого є > 0 найдется т < 1 такое, что |Еехр{іДі}| = |Ecos{ii£i}| < т, \t\ > є (см,, например, [13], с,22), Выберем натуральное р так, чтобы 2<р(р) < (1 — т)/8. Тогда в силу лемм 1 и 6

\fk(t)\

EIIcOS

3=1

< Е Д \cos{itonlCjp}\ <

3=1

< (E|cos (tonl£i) I + 2(p(p)yp I <

1 — t\ [p I <1 —-

1 + T

+ 2 Ф) <

\t\ > E(7n \t\.

Из последнего соотношения и леммы 2 следует (48), Теорема доказана.

Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 12.

27

Литература

1. Philipp W. The remainder in the central limit theorem for mixing stochastic processis// Ann. Math. Statist. 1969. V.40, N.2. P.601-609.

2. Дубровин B.T., Москвин Д.А. Цент,ралъная предельная теорема для сумм функций от последовательностей с перем,сшиванием, // Теория вероятн.и ее примен. 1979. Т.24, N.3. С.551-564.

3. Stein С. A bound for the error in the normal approximation to the distribution of a sum of dependent random variables // In: Proc. 6-th Berkley Svmp. Math. Stat. Prob. V.2. P.583-602.

4. Тихомиров A.H. О скорости сходимости, в центральной предельной теореме для слабо зависимых величин // Теория вероятн. и ее примен. 1980. Т.25, N.4. С.800-818.

5. Rio Е. Sur le theorem,е de Berry-Esseen pour les suites faiblement dependant,es // J. Probab. Theory Relat. Fields. 1996. V.104, N.2. P.255-282.

6. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В.Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965.

7. Биллингсли П. Сходим,ость вероятностных мер. М: Наука, 1977.

8. Peligrad М. The convergence of m,om,ent,s in the central limit, theorem for p-mixing sequences of random variables j j Pros, of the American Math. Soc. 1987. V.101, N.l. P.142-148.

9. Лаврентиев M.A., Шабат Б.В. Методы т,еори,и, функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.

10. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: ИЛ, 1962.

11. Феллер В .Введение в т,еори,ю вероятностей и ее приложения. Т.2. М.: Мир, 1984.

12. Bradley R. On the p-mixing condition for stationary random sequences // Duke Mathematical Journal. 1980. V.47, N.2. P.421-433.

13. Петров В.В.Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987.