On the accuracy of normal approximation of distributions of sums of dependent random variables Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.214.5

О ТОЧНОСТИ НОРМАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ

ВЕЛИЧИН

А.Г. Гринь

Получены оценки скорости сходимости в предельных теоремах о сходимости к нормальному закону для последовательностей слабо зависимых случайных величин без предположения о существовании дисперсии.

1. Введение. Формулировки основных результатов

Пусть {Сп} = {Сп, п = 1,2,...} — стационарная в узком смысле последовательность и пусть Т^п и Т-^п — а-алгебры, порождённые семействами {С : г ^ п} и {С : г ^ п}. Говорят, что последовательность {Сп} удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания (^-перемешивания) с коэффициентом перемешивания <^(п), если

(|Р(АВ) — Р(Л)Р(Б)| „ _ „ 1

*р(п) — 8ир -----(а)------ : А бТ^о, В £ ^ 0, п ^ то.

Обозначим

пп

Тп = ^Сп, Сп(?) = Сп1 {|Сп| ^ ?} , Тп(г) = ^^(г), ап(г) = ВТп(г).

к=1 ]=1

Введём так называемую универсальную нормирующую последовательность

{М:

Ьп = 8ир{г ^ 0 : ап(г) ^ г}

(см., например, [1]). Будем писать С = п, Сп П в случаях, когда, соответ-

п

ственно, распределения Си п совпадают и {Сп} сходится к п по распределению. Обозначим через N(0,1) случайную величину, имеющую стандартное нормальное распределение. Для того, чтобы при некотором выборе нормирующих постоянных Ап и Вп ^ имело место соотношение

Вп1Тп — Ап N(0, 1), (1)

Copyright (с) 2012 А.Г. Гринь

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского E-mail: griniran0gmail.com

достаточно, а если у(1) < 1 — и необходимо, чтобы при любом е > 0

пР (1^11 ^ еЬп} —^ 0, п — то (2)

При этом если выполнено (1) и у(1) < 1, то Ап = 6-1^С1(Ьп) + о(1), Вп ~ Ьп ~ ап(Ьп), (Ьп} является правильно меняющейся последовательностью порядка 1/2, и если ^(ж) — медленно меняющаяся функция такая, что пЛ,(6п) ~ Ьп, п — то, то

P{Ы ^ x} ^ , С> О (3)

x2

[1,2]. Обозначим

Ап

sup

x

Tn - nEfr(bn)

bn

<x

v/2n

exp

x

l

В дальнейшем будем писать g ^ h, если g(t,n,...) ^ ch(t, n,...), ще c > О не зависит от t,n,..., a g х h будет обозначать, что g ^ huh ^ g. Основным результатом настоящей работы является следующая

Теорема 1. (£п} удовлетворяет условию экспоненциально быстрого

у-перемешивания (то есть у(п) ^ е-ап, а > 0), у(1) < 1а выполнено

е > 0

Ап << пР (Ы ^ Ьп} + Ь-3пЕ|^1(Ьп)|3 + п-1+

Теорему 1 можно интерпретировать как распространение неулучшаемых в определённом смысле верхних оценок П. Холла из [3] на последовательности слабо зависимых величин.

Следствие 1. Если (£п} удовлетворяет условию экспоненциально быстрого ^-перемешивания, у(1) < 1, и Е|^1|“ < то, 2 < а < 3, то Ап < па-1.

Этот результат улучшает оценки А.Н. Тихомирова из [4].

Следствие 2. Если {£п} удовлетворяет условию экспоненциально быстрого ^-перемешивания и Р (|^1| ^ ж} = ж-“Л,(ж), 2 ^ а < 3, где Л,(ж) — медленно меняющаяся функция, то Ап < пР (|^1| ^ Ьп} .

Ясно, что при а = 2 у величин ^1 с указанным распределением дисперсия может и не существовать.

2. Вспомогательные результаты

Обозначим через F^n и F^n а-алгебры, порождённые, соответственно, семействами {£fc : k ^ n} и {£fc : k ^ n}.

Лемма 1. Пусть последовательность {£„} удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания (^-перемешивания) с коэффициентом перемешивания <^(n) и пусть случайные величины С а п измеримы относительно и F^n соответственно,

IICL =(Е|c|p)p < ^, Нп11« < ^ р> ^ q> 1, p + q = i.

Тогда при любых комплексных а и b

|Е£п — Е£Еп| ^ 2^1 (n)||£ - а|Цп - b||ff. (4)

Если же

IICHi = Е|С| < то ||nlU = waisup|n| ^ то

то

|Е£п — ^ 2^(n)|C - а| 1 Нп - bIL. (5)

Доказательство леммы легко получается, например, из теоремы 17.2.3 в [5] или из [6, с.236].

В дальнейшем будем обозначать через ^ ^(t, n,...), i = 1, 2,... — ограни-

ченные величины, (т.е. sup |0j(t,n, ...)| < то); обозначим также С = С — E£.

t,n,...

^ 1

Лемма 2. 1. Пусть ^ k^2 (k) < то. Тогда

fc=i

a2(z) = E£2(z) + 2 ^E£i(z)£fc+i(z) < то и sup |аП(z) — na2(z)| < ^^(z). fc=i

2. Если k^1 (k) < то, <^(1) < 1, выполнено соотношение (2) и

fc=i

lnp x ln n, lncn x lnn, mo ap(cn) ~ pa2(cn).

3. Если

1

3(k) < ^ mo ^^T?3(z)| < nE|C;i(z)|3.

fc=i

4. 5 условиях пункта 2

ETp(cn) < pE|£i(c„)|4 + pV4(c„).

5. £Ъггг

^ <p(k) < то, mo |b—2аП(b„) — 1| < nP {|Ci| ^ b„} . fc=i

Доказательство. Имеем

П— 1

аП(?) = иЕС12(?) + 2 ^(и - ).

к=1

С помощью леммы 1 получаем отсюда

1 аП(?) - па2(?)| =

П1

2п £ Е6(? )Ск+1(?) + 2 ^ Ш|1(?)|к+1(?)

к=п

к=1

П1

^ 4а2(?) I п 2 (к) + 2 (км ^ 4^?) 2 (к),

V к=п к=1 / к=1

что доказывает утверждение 1 леммы.

Докажем утверждение 2. В наших предположениях справедливо соотношение (3), из которого следует, что а2(ЬП) и а2 (сп) не превосходят некоторую медленно меняющуюся последовательность (см., например [5, с. 98]), так что а2(ЬП) = о(п£) и а2(ЬП) = о(п£) при люб ом е > 0 [7, с. 24].

(&П| является правильно меняющейся последовательностью порядка 1, а в силу утверждения 1 ЬП ~ аП(ЬП) = па2(ЬП) + 01а1(6П^, следовательно ЬП ~ па2(ЬП) и а2(ЬП), а вместе с ней и а2(п) являются медленно меняющимися последовательностями. Из утверждения 1 настоящей леммы выводим теперь

ар(сП) = ра2(сП) + б^2 (сп) ~ ра2(^).

Доказательство утверждения 3.

В силу стационарности последовательности {£П(?)}

Е7П(г)|« 6п £

О^г+^П—1

ЕС1(?)Сг+1(? )6+^+1 (?)

(6)

С помощью соотношения (4) (справедливого и при п = 0, <^(0) = 1) получаем ЕС1(?)Сг+1 (?)Сг+^+1(?) ^ 2^3 (*)||6(?)||з||&+1(?)&+^+1(?)|| | ^ 2^22 (0 ||6 (^ || 3,

ЕС1(?)Сг+1(?)Сг+^'+1(?) ^ 2^ 3 (? )||6+^'+1 (?) ! 3 || 6 (?)Сг+1 (?) Ц 1 ^ 2^1 О') |^1(?) Н|.

Отсюда

Е& (?)Сг+1(?)Сг+^+1(?) ^ 2(^(*)^(^')) 3 11^1 (?)

(7)

Из (6) и (7) следует утверждение 2.

Доказательство утверждения 4. Воспользуемся известным неравенством М. Пелиград [8]:

пусть при некоторых а > 0, 5 > 0 и натуральном т

<^(т) + шах Р{|Т,-(сп)| ^ 5а} ^ 7 < 1.

ККр

3

3

рдам > х} ^ -^р ( |;г1,(сп) | > 1 + -^р {||, (с,,) | > 5х

1 — 7 [ 1 + 45 ] 1 — 7 [ т(1 + 45)

При р/2 ^ 3 ^ р из неравенства Чебышева и утверждения 1 следует

р№ м»^»}«^.

Если же 3 < р/2, то с помощью полученного неравенства выводим

Р{1Т(Сп)| ^ N/ра(Сп)} ^ Р{|^гр(сп)| ^ N/ра(Сп)/2}+

^ ^ 8 +Р{|Тр(сп) — Т?(сп)| ^ N/ра(сп)/2} ^ —.

Два последних неравенства означают, что неравенство М. Пелиград справедливо при а = Nл/ра(сп), причём N > 0 и т е N можно выбрать такими, чтобы 7 (1 + 45)4

1 — 7

< 1.

ЕТ„4(сп) = Р{^г4(сп) ^ х} Лх ^ N4р2а4(сп) +

1 — 7 У I р 4 (1 + 45)4

N ^Рст(сп)

СЮ

+ Т^ I р(?4 (Сп) * «

1 — 7 У * }^1''"п' ^ т4(1 + 45)4

N ^рст(сп)

< ^ег4(с.)+р^^Е йы,

отсюда следует утверждение 3.

Докажем утверждение 4. Обозначим 5П = пР {|^1| > Ьп} . В силу определения Ьп существует последовательность положительных чисел Лп ^ Ьп такая, что 0 ^ Л-2а2(Лп) — 1 ^ 5П и 0 < Л,Ь—2 — 1 ^ 5П. Тогда

|Ь—2°га(Лп) — 11 ^ 5п. (8)

Далее, обозначим

П

Ж, = Т,(Лп) — Т,(Ьп) = ^ П?, П? = {Ьп < Ю| ^ Лп} , 3 = 1, ...,п.

?=1

Тогда

а,(Л,) = а,(Ьп) + 2ЕТп(Ьп)Ж, + ЕЖ,. (9)

В силу соотношения (5)

ЕСг(6п)П? ^ 2^(|г —3 {Ьп < Ю 1 ^ Лп} Ц1 « <£(|г — 3 |)ЬпЛпР {|0 1 > Ьп}

откуда

Е:гп(Ьп)Жп « пЬпЛ,Р {|С?| > Ьп} . (Ю)

Аналогично показывается, что

ш2« пЛ,рш| > Ьп}. (11)

Так как Л, « Ь,, то из (8), (9), (10) и (11) следует утверждение 4.

3. Доказательство основных результатов

Пусть п и р — натуральные числа, {сп} и {Лп} — последовательности положительных чисел. Ниже с помощью конструкции из [9] выводится представление для характеристических функций величин Тп(сп).

Обозначим

р ( г ^

О? (сп) Л— ^ ] С(?—1)р+1 (сп), /г (^) Еехр Ч Й (сп) / , 3',Г 1, 2, ...

1=1 I ?=1 )

Введём функцию

к к

^(?) = Е Д (/1 + ? (ехр {г^О?(Сп)} — /1)) = ^ ?т/к—тЕ5т(Хь ...,Хк),

?=1 т=1

где Х? = ехр{г^О?(Сп)} — /1, 3 = 1,...,к, а

^0(х1,...,хк) 1 (х1,...,хк) ^ ^ х?2 ..'х3к

1<?2<...<?т<к

т

функции ^к(?) (см., например, [10, с. 67]) получаем при I < к /к(*) = ^(1) = /к + /к-^£1(ХЬ ...,Хк) + ... + /к—гЕ(Хь ...,Хк) + Л,, (12)

где

л, = л,№....Х*) = ^ / • |р> 1. <*з>

и=р

Обозначим д, = ЕХ1...Х,, I ^ 1, в2 = Е|Х1|2 = 1 — |/1|2.

Лемма 3. Пусть выполняются условия Теоремы 1. Положим в определении /г(,) Лп = ап(сп). Тогда

1. Е$1 (Х1, ...,Хк) = 0, Е^2(Х1, ...,Хк) = (к — 1)д2 + 0(в2к2^2(р)),

Е5з(Х1, ...,Хк) = (к — 2)дз + 0(в2к3^2(р)). (14)

2. Пусть п = кр. Существует 7 > 0 такое, что при |, ^ 7аП(сП)а—1(сп)

/1 (,) = ехр % - • п + бзФ(п,^,СпП , (15)

где

£2ар(Сп)

2аП (сп )

рЕ|ЫсП)|3, 3 рЕ^41(сП) 4 ,4

ф(п,*,сп) = р у П))| И3 + р ;1( П),4 + .

аП(сп) аП(сп) к2

-1

3р

5. Пусть д* = /— 2^ д* = Л 303. При ^ ^ 7ап(сп)а3„1(сп)

|д*| « ,2 + 04Ф(п,*,еп), |д*| « а2,((Сп),2 + ббФ(п,^,Сп). (16)

а2(СП) а2(СП)

Доказательство. 1. Так как ЕХ? = 0, 3 = 1, 2,..., то

к

Е^1(Х1,...,Хк ) = Е ^ Х? =0.

?=1

В сумме Е£2(Хь ..., Хк) имеете я к — 1 слагаемое вида ЕХ? Х?+1 = д2 и (к — 1)(к — 2)/2 слагаемых вида ЕХ?Х,, |3 — /| > 1, каждое из которых по лемме 1 не превосходит 2^2(р)|Х?||2||Х,||2 = 2в2^2(р); это даёт нам нужную оценку для Е£2(Хь ...,Хк). Соотношение (14) доказывается аналогично.

2. При |, ^ 7ап(сп)а—1(сп). С помощью утверждения 2 леммы 2 получаем

/ м—«дц < 2, и,,—«• < ^«£ „„

а из (17) выводим

1п /1(,) = /1(,) — 1 + бб|/1(,) — 1|2 =

= _ <У,2(с„) + Е^3(е»)( .„3 + (Е Г(с,) + £<_

(с„) 6оП(Сп) г у аП(с„) к2

Отсюда уже легко выводится (15).

3. Нетрудно подсчитать, что д* = (/—2/2 — 1). Представ ив Д и /2 в виде

(15) и воспользовавшись леммой 2, получим при |, ^ 7ап(сп)а—1(сп)

{ {—2 Г а2р(с,) — 2ар(Сп)42 I а я,/ 4- \

ЛЛ = ехР^-----------0 2, ч-------*+ бзФ(п,,,Сп)

I 2аП(сп)

= ехр {#9 І2 + 6>1оФ(п,І,С„)} = в™.

I ^ Ы Л

В силу (17) при достаточно малых 7 > 0 |е™| = |/2/-2| ^ 4, и в™ - 1

ад

ад

^ |в™ - 1| ^ 5, И > 1,

так что из приведённого выше представления для в™ следует оденка для |#21 в

(16). Далее #3 = ё/—3/з — 1) — 2#2 — #2*, #2* = ЕХіХ3. Представив входящие в определение #3 характеристические функции в виде (15), аналогично оценке для |#21 выводим (16).

Пусть 2д < р. Обозначим

1 р-2я 1 я

Ц3 = (ТТ ^ у С(і-і)р+я+1(сга), ^3 = '7~Т ^^(С(І-і)р+1 (сп) + 3-я+г(сга)),

^П(СП) 11 ^П(СП) 11

и = и (і) = ЕехрІ^и}, V = г>(і) = Еехр{гіУ1}.

Тогда ф,-(с„) = Ц + V?, X? = У? + 2?, 3 = 1, 2,..., где

У? = (ехр{гіЦ} — и^, 2? = ехр{гіЦ }(ехр{ііУ?} — V) + то — /1,

так что

к

^(?) = Е Д (/і + ? (У? + 2?)). (18)

3=1

Лемма 4.

к

|^к(?)| ^ {1 — в2 + Р2^2 + 8р2<р(р)}2 + 16р^(д)£к, (19)

где 52 = 1 — |v|2, р = |?| ^ 1, а к-2 1-1

^ ^ ^3 )ІІ~

ж > т—г к — І— 1

вк = ^ || Д(/1 + ?Хз)||го{ 1 — в2 + р252 + 8р2^(р)} 2 +

г=2 3=1 к-1

. . к —2 + 11 Д(/1 + гХ3)|те І1 — в2 + р2^2 + 8р2^(р)} 2 .

3=1

Доказательство практически дословно повторяет рассуждения леммы 8 в [9].

пЕ Ц1 (Ь„)|3

Обозначим = пР Ш ^ Ьп} , Г,

__ ... п/

п } , Т п

Ь3

Лемма 5. Пусть к = к(п) = [п“], а =1---------------------, п = кр, к1 = к(р),

2

_ 1

= 7шіп^у/кї, Тп 2). 5 условиях теоремы 1 существует 7 > 0 такое, что при п-1 ^ |і| ^

/Л(і) = Еехр <( | = ехр | — і2 + #11 ^5«і2 + І +- + Тп(|і|3 + і4)

Доказательство.

Пусть n-1 ^ |t| ^ 7ara(cra)a-1(cra) 7л/к (см. лемму 2). Положи

м

p

n

LkJ

p3 k 3

Тогда, кстати, кд = о(р). При достаточно малых 7 > 0

в2 = Е |ехр 1*^X1} — /112 ^ Е |ехр 1*^X1} — 1|2 ^

Аналогично с помощью леммы 2 выводим

2 2 /2 £2а2(сга)

* = 1 — М‘)|2 « 2 В* ^ ^

t2^(c„) 1

< -.

2аП (cra) 2

(21)

(22)

Так как |v(t)|2 является характеристической функцией случайной величины W = V1 — V1, где V1 и V1 независимы и одинаково распределены и 3(1 — cos x) ^

x2, |x| ^ 1, то

/2

52 = 1 — Е^(/Ш) ^ -ЕШ21 {|/Ш| ^ 1} .

3

Далее, с помощью утверждения 2 леммы 2 выводим

ВШ = ЖV! < ^-2(сга)а2(с„) < ^-2(сга)^2(сга), так что при |/| ^ 7а-2(с„)^-1(сга)

(23)

{|/Ш| ^ 1} Э {|Ш| ^ С^^ОШ}, где С > 0 не зависит от п и 7. Далее, из леммы 4 в [1] следует

ЕШ21 ||Ш| ^ С7-1^)ш} = о7(1)БШ,

и при достаточно малых 7 > 0 и достаточно болыиих п из (23) следует теперь

/2

52 ^ ^ ^-2(с>2(с„). (24)

Из (12) и (13) при I = 3 с помощью утверждения 1 леммы 3 получаем Л(/) = /1°(/) (1 + (к — 1)^2 + (к — 2)#3 + $12^^^2 (р)^ + Дз,

jRsj

1

Ffc (z) dz

Положим в (26) р

2ni J (z — 1) z4 |z|=p

2 1 — в2

^ (P — 1) 1P 3 sup jFfc(z)1, jpj > 1.

(25)

(26)

|z|=p

Ы2

. При достаточно малых 7 и достаточно больших n

с помощью (21), (22) и утверждения 2 леммы 2 получаем

2kq ^ 1 / _2/ ч _1, ч

—27-^- ^ 2Y — ^ 2 при jt| ^ 7an (c™)a- (c™)

^n(cn) p 2

q

а при |/| ^ п 1 с помощью (24) —

р2 <____^________< п2.

к/2а2(с„)

Используя два последних неравенства, лемму 2, лемму 4, соотношения (19) и (26), выводим

IR3I « /kk Л + I + n2^(p)) + t2n3^(q)Bk «

“П(cn) V k

« /fcE|Тр(сга)|3И3 + t2n3^(q)Bk, (27)

13 3

-^n У

(-n)

где

k

Bfc ^ k(1 + 2p)k ^ 1 + 1 + nV(p)^ < k(1 + n2)k.

По условию <^(n) ^ exp{—an} и так как k ln n = o(q), то из последнего неравенства следует

n3^(q)Bfc ^ exp |3lnn + kln(1 + n2) — aq} ^ e-Q/q, 0 < a' < a. (28)

Из (16), (25) и (28) получаем

/k (t) = /k (t)

1 + 0 1 з ( “2^412 + kФ(n, t, Cn)

“П(cn)

+ 01 4t2 exp {—a'q} .

Так как a 1 (n) и a(n) — медленно меняющиеся функции (см. доказательство утверждения 2 леммы 2), то “2(cn)“-2(cn) = o(n1 -2є) при любом є > О, поэтому последнее соотношение можно переписать так

/k (t) = /k (t)

t2

n

Далее, из (15) и леммы 2 следует

1 + 0 15 ( 77132^ + kФ(n,t,Cn)

+ 01 6t2 exp {—a'q} . (29)

, і kt2ap(cn) і

/ (t) = exp ^ —0 2, , + о 1 7kФ(n,t,CnU . (30)

2аП Ы

Из леммы 2, аналогично тому, как при выводе (29), получаем = 1 + о(п-1+2е), так что из (29) и (30) следует теперь

2“П(cn)

/k(t) = exp j—12 +0 is ^nr=2j + k^(n,t,Cn^| . (зі)

Обозначим

- l } nEICl(cn)I3 ( nEf^cn)

^- = max

“П(cn) ’ l “П(cn)

Нетрудно видеть, что если |"| ^ 7шш(л/к,^п), то кФ(п,",сп) ^ 7"2, откуда легко выводится, что при достаточно малых 7 > 0

пехр{-а'д} = о ^ехр |-^ + 019 ^+ кФ(п,",Сп)^ ,

что вместе с (29) и (31) даёт нам

.,7П(с„) I { "2 ( "2

/ (t) = Eexp < i = exp j - "2 + 02^ ^“2! + кФ(п, t, c„^ I. (32)

|" ^ 7шт(л/к, ).

Обозначим к1 = к1(п) = к(р) = [р“] и пусть к1р1 = р. Последовательность {сп} выберем так, чтобы ср = 6п. Заменив в (32) п на р, к на к1 ^ р на рь получим

Еехр{ =ехр {" I+021 (+к‘ф(р'г'6”)

|"| ^ 7min(v/kl, р,р), откуда

* ЛЛ С |\Тр(&п)

/1(^) = Еехр < И--ГГ—

[ ММ

, , )Т( / ^ар(6„)

= ex^ - ^ ■+ Ч+ k.Ф (р. ^ Л>) , >, (33,

|t| ^ ymin^v/ki.^p)ara(6ra)a-1(6ra).

Далее, ага(6га) ~ 6ra^fcfci ~ n“+“(1“a) = Vn. а ар(6га)а-1(6га) ~ в силу леммы 2. Так как 6“4Е|<f:i(bn)|4 ^ 6“3Е|f1(bn)|3. то

ny^nj ^П) 1ЫЬ1 IV у /I/, Cl Vpyvnj

“4Е|^1(6n)|4 ^ 6“3Е||1(fen)

1

1 J РЕ 1^ 1 (6n)|3 ^E|4(6nM \ / ( ^

max{ -----3^—— . —4/, ч > ^ max(rn^Tn).

л/к^ л/к I ар(М ’ \ аП(Ы

При тп > 1 утверждение теоремы 1 выполняется очевидным образом, поэтому будем считать, что тп ^ 1, в этом случае л/к^р ^ тп 2. Поскольку

р.(£р^ л\ ^|t|3+

ММ ’ 7 ^n(6n)

+ ^‘4 + J^ < (|t|3 + "4)+ t4

аП (6п) 6П ^л/п’

то (33) можно переписать в виде

{ "2ар(6п) 1

/1(") = ех^ - + 02эФ1(*, пН , где (34)

I 2а2 (М ]

1

Фі (і,п)

і2

1-2є

+

рЕ|&(6“)|3- (№ + **)+

ь3

|"| ^ ^п = 7 шт ^-^/^1, тп ^ . Представив в виде (34) функцию /2 и, проведя рассуждения, приводящие к утверждению 3 леммы 3, можно получить оценку

йі « 4М*2+Фі(*.п), і«зі «-Ш*2+Фі(*.п).

-2(ЬП)

-2(Ьп)

(35)

Если теперь повторить рассуждения, приводящие к (32), используя (34) и (35) вместо (15) и (16), получим

Р . .. ТДЫ

Еехр < гі-

--1(М

ехр { -12 +024 (рр1 +Тп (|/|3+/4) + тп)

(36)

|і| ^ ^га. В силу утверждения 5 леммы 2

-2(ЬП)

Ь2

- 1

« = пР{|&| ^ 6„}

ар1 = р(р) = (п ^/2 ^л/2

п, так что из (36) следует теперь

/пСО = Еехр <( I = ех^ - ^ + 025Ф2(і,п)

(37)

/2 + /4

Ф2(і, П) = /2 +------------------/-+ Тп(|/|3 + /4), |і| ^ ^п.

і- £ П 2 Ь

Лемма доказана.

Лемма 6. 5 условиях леммы 5

/2

- ехР<! -^

« Ф2(/, п) ехр <{ - — } , |і| ^

Доказательство. Легко видеть, что при достаточно малых

/ — 1 \ "2

7 > 0 если |"| ^ ^п = 7шт ^лД!, т„ 2^, то |025|Ф2(",п) ^ — (напомним, что мы

рассматриваем только случай, когда |тп | ^ 1, в противном случае утверждение теоремы 1 очевидно). С помощью неравенства | ехр{г}- 1| ^ |г| ехр{|г|} из (37) выводим теперь

і2

/2(/) - ехН -^

откуда следует утверждение леммы.

2

Лемма 7. В условиях теоремы 1 при |t| ^ n2 £

^nCO! < exp{--jj + о(e-n). n ^^.

Доказательство.

Положим в (19) z = p =1. q = [Nne].p = [N 2n£], k = [np-1]. N > 0. cn = 6n. Получим

k

l/n(t)l = F(1)l S {1 - |v(t)|2 + 1/1 (t)|2 + s?(p)}k + 16^(q)Bk. (38)

ГДе

fc- 1

В = X! I1 - |^(")|2 + |/1(")|2 + М^} 2 .

1=1

Пусть |"| ^ ап(6п)а— 1(6п) ~ л/к. С помощью леммы 2 получаем при достаточно больших N > 0

^n (6n) ^n (6n) V к

Подставив это неравенство в (30), выводим

к

к

2

,М12 , м2 2t2a2(6n) t2ap(6n) /‘Л t2 ( 1) /t2\ t

|/1(t)i2-|v(t)i2 = _2- - т 1 -2N-1)+o - < - -

2k

Так как 6n

/nw = л ( ^ 11.

an(6n). аналогичная оценка справедлива и для

Доказательство теоремы 1. Прежде всего заметим, что

Р . Tn - nE|j(6n) < ] _ р ( Tn(6n) - ^E|1(6n)

< X

S 2P I [Jfe = («) [• S 2nP{||1| > 6„} = 2i„.

так что если обозначить

An = sup

X

то будем иметь

Р<т) ~ЬГ1(^) <4 - Wnl ex^ - ^ *

|An - An | S 2^n.

Далее воспользуемся классическим неравенством Эссеена т

х(‘)

t

4 ft2

dt + пт. x(t) = УПСО - expj -

т

(см., например, [5, с. 119]), при Т = п2 £. Получим

|t|Sn-1

x(t) dt + x(t) dt + x(t)

t J t J t

n-1S|t|S^n

n-2-е + /1 + /2 + /3.

dt =

^„S|t|Sn 2

При |"| ^ п 1 |/п(") — 1| ^ "2, откуда легко получается

/1 S n

2

/2 оценим с помощью леммы 6:

t2

/2 ^ J 1"1 Ф2 (",п)ех^ — — [> ^ < 5п + тп + п2 "

Наконец, для оценки /3 используем лемму 7:

(40)

(41)

(42)

/3

t2

ex^ -+ o(e n")

It]

dt С ^-2 + о (e n£) S Tn + о (e n£) . (43)

Из соотношений (39) - (43) следует утверждение теоремы. Доказательство следствия 1.

Пусть Е1111a < то>. 2 < a < 3. Так как < то, то, как нетрудно ви. , ___ * я т. rn v I мп 1Ж /1гм им I .iirivnvihi /. 1 .uni \/r I м I I » I i г"-./ п.Л2

Jn П

Л _ с!2

деть, ьп ~ ^п = ОТп. Из утверждения 1 леммы 2 следует, что ап ~ па2, где

I2 = Е|2 + 2 Y E|1|k+1 < то. а из соотношения (2) in ^ то. n ^ то. так что

k=1

I > 0.

5n = nP{||11 ^ 6n} S < n1 2 . Tn

nE||1 (6n)|3 S nE||1|

6“ ’ п ь3 ^ 6'

^п п п

Из двух последних соотношений следует утверждение следствия 1. Доказательство следствия 2.

1 a

< n1-2

Если P {||1| ^ x} функция, то

h(x)

xa

, 2 ^ а < 3, где Л,(ж) — медленно меняющаяся

E|6(x)|° = - [x3dP{||J ^ x}- x3P{Ы ^ x}. x ^то

I a

a

11, с. 324]. Отсюда

nE|^1(bn)|3 ^ Drit , . , _ nh(bn)

b3 « ^Ш1 £ U ^a

nn

и при достаточно малых е > 0

— 2 +£ 1— a— £

n 2 +£ n 2 £ = о

nh(bn)

k

n

(см., например, вывод соотношения (29)). Утверждение следствия 2 следует теперь из Теоремы 1.

n

Литература

1. Гринь А.Г. Нормирующие последовательности в предельных теоремах для слабо зависимых величин // Теория вероятностей и её применения. 1991. Т. 36, № 2. С. 285-300.

2. Гринь А.Г. Об областях притяжения для сумм зависимых величин // Теория вероятностей и её применения. 1990. Т. 35, № 2. С. 255-270.

3. Hall P. Two-sided bounds for nonuniform rates of convergence in the central limit theorem // Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb. 1983. Bd. 65, N. 1. S. 61-72.

4. Тихомиров A.H. О скорости сходимости в центральной предельной теореме для слабо зависимых величин // Теория вероятностей и её применения. 1980. Т. 25, № 4. С. 800-818.

5. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М. : Наука, 1965. 524 с.

6. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М : Наука, 1977. 351 с.

7. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М. : Наука, 1983. 142 с.

8. Peligrad М. An invariance principle for ^-mixing sequences // Ann. Probab. 1985. V. 13, N. 4. P. 1304-1313.

9. Гринь А.Г. Уточнения центральной предельной теоремы для сумм зависимых случайных величин // Математические структуры и моделирование. 2003. Вып. 12. С. 10-27.

10. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М. : Наука, 1973. 736 с.

11. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т. 2. М. : Мир, 1984. 751 с.