Уточнение выхода фаззи-регулятора с помощью рекурсии Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ТЕОР1Я I МЕТОДИ АВТОМАТИЧНОГО УИРАВЛШНЯ

ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

THEORY AND METHODS OF AUTOMATIC CONTROL

УДК 681.515

И.А. Орловский

УТОЧНЕНИЕ ВЫХОДА ФАЗЗИ-РЕГУЛЯТОРА С ПОМОЩЬЮ РЕКУРСИИ

Для повышения чувствительности фаззи-регулятора во всем диапазоне входных переменных предлагается уточнение результатов для каждого правила вывода с использованием свойства рекурсии. Логика рассуждений, сформулированная в правилах, повторяется для части диапазона входных переменных, что позволяет уточнять выходные сигналы регулятора. Получены уравнения пересчёта входных и выходных переменных. Рассмотрен конкретный пример уточнения выхода регулятора.

В настоящее время существует большое количество разнообразных вариантов построения контуров регулирования. Наиболее очевидным способом использования фаззи-регулятора является подключение его вместо классического регулятора. Однако, разработчики такой способ используют редко, "не доверяя" фаззи-регулято-ру. Это объясняется отсутствием в настоящее время в теории фаззи-регулирования однозначных простых методов оценки фаззи-систем регулирования [1], а также недостаточной чувствительностью фаззи-регулятора к изменению входных сигналов. Одним из недостатков фаззи управления является возможность появления скачков выходного сигнала регулятора при переключении с одного правила на другое. Кроме того, результат одного правила может оставаться неизменным при достаточно широком изменении части входных сигналов регулятора. Этот недостаток можно снизить, неограниченно увеличивая число правил и число термов для входных и выходных переменных, что сразу значительно усложняет фаззи-регулятор, уменьшает его быстродействие, а также усложняет возможность правильно сформулировать большое количество правил, используя только логические рассуждения. Точная формулировка большого количества правил может стать невыполнимой задачей.

Человек в своих рассуждениях при осуществлении точного перемещения вряд ли использует число правил, превышающее десятки. Заменяя человека в системах управления на автоматическое устройство, стараются максимально повторять способы рассуждений человека. Считается, что в основе способности мышления человека лежит рекурсивность процесса формирования понятий [2]. Свойства рекурсии получили развитие в математической логике. Доказано, что существуют рекурсивно решаемые задачи, не решаемые без рекурсии и без привлечения других внешних средств.

Цель статьи - использовать свойство рекурсии для выработки уточнённых результатов для каждого правила вывода.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Общие положения

Использование свойства рекурсии позволяет уточнить результаты для каждого правила вывода, вычисленные из функций принадлежности входных и выходных переменных. При этом используется следующее рассуждение: если применённые функции принадлежности входных и выходных переменных и правила вывода при управлении позволили уменьшить ошибку управляемой координаты и производную ошибки этой координаты до малых значений, то можно, с определённой долей уверенности утверждать, что данные функции принадлежности и правила выбраны удачно. Также возникает желание для уменьшения ошибки управления, либо для уточнения выходного сигнала в каком-то диапазоне, по-

вторить те же правила, но уже для меньшего диапазона изменения значений ошибки управления. В этом случае для входных термов, участвующих в правиле, выполняется рекурсивное определение "часть равна целому", т.е. отдельный терм представляется в виде термов так же, как и весь входной сигнал (первая рекурсия). Для новых термов входных сигналов выполняется тот же набор правил. Полученное выходное значение корректируется так, чтобы оно находилось внутри диапазона изменения выходного терма в первоначальном правиле до рекурсии. Каждый терм входных переменных первой рекурсии вновь может быть представлен "равным целому" (вторая рекурсия). Над термами второй рекурсии могут быть выполнены те же правила вывода и получено значение выхода. Это значение выхода также корректируется. При необходимости процесс может повторяться нужное число раз. В зависимости от расположения термов входных и выходных сигналов для данного правила необходима различная корректировка выходного сигнала.

Корректировка входных и выходных

сигналов

Рассмотрим фаззи-регулятор выходной координаты системы управления объектом. Входными переменными фаззи-регулятора являются ошибка регулирования выходной координаты (х) и её производная (у). Выход регулятора - 2. Пусть каждой входной и выходной переменной соответствуют пять лингвистических термов:

- PL - Positive Large (положительная большая);

- PS - Positive Small (положительная малая);

- Z - Zero (нуль);

- NS - Negative Small (отрицательная малая);

- NL - Negative Large (отрицательная большая). Форма граничных функций PL и NL принимается трапецеидальной. Форма остальных функций - треугольная. Треугольная и трапецеидальная формы функций принадлежностей наиболее простые, что уменьшает затраты машинного времени при расчетах. Функции принадлежности размещаются таким образом, что значения входных и выходных переменных принадлежат всегда двум термам внутри рабочего интервала или одному трапецеидальному терму вне рабочего интервала. Фаззи правила, аналогичные [1], представлены в табл.1.

Таблица 1 - Фаззи правила

У

PL PS Z NS NL

X PL NL NL NS NS Z

PS NL NS NS Z PS

Z NL NS Z PS PL

NS NS Z PS PS PL

NL Z PS PS PL PL

четких правила вида

П1: если х есть А\К у есть В\, тогда г есть С),

П2: если х есть Л2 и у есть В-2, тогда 2 есть С2, где х и у - имена входных переменных, 2 - имя переменной выхода; А\, А2, В1г В2, - некоторые заданные функции принадлежности. Необходимо определить четкое значение г0 на основе приведенной информации и четких значений х0 и у0.

Математически алгоритм может быть описан следующим образом.

1. Фаззификация: находятся степени истинности для предпосылок каждого правила: А^(х0), /12(х0), В\(у0),

В2(уо>-

2. Агрегация: находятся уровни "отсечения" для предпосылок каждого из правил с использованием операции логического минимума, если в правилах условия связаны союзом "и":

= А^(хд) А Ь2 = А2(х0) л В2(у0) , (1)

где через знак " л" обозначена операция логического минимума. Затем находятся усеченные функции принадлежности (импликация)

С,1(г) = (а1 дСДг» - С2(г) = (а2 л С2(г» ■ <2>

3. Аккумуляция: производится объединение найденных усеченных функций с использованием операции максиму, обозначаемой как "V", что приводит к получению итогового нечеткого подмножества для переменной выхода с функцией принадлежности

Hz(z) = C(z) = C\(z)vc'2(z) = = (щ aC1(Z))V(а2 лС2(г)Х

(3)

4. Дефаззификация: нахождение 20 проводится, например, центроидным методом ('как центр тяжести для кривой

Zo =

j z-\JLz(z)dz jpi^(z)dz

(4)

Выход фаззи-регулятора вычисляется по алгоритму Мамдани [3]. Для объяснения дальнейших рассуждений и расчётов приведём кратко алгоритм Мамдани.

Пусть для простоты базу знаний организуют два не-

Рассмотрим более подробно уточнение выхода правила, используя метод рекурсии. Пусть система работает в зоне нулевой ошибки по выходной координате (терм - Z для х) и в зоне нулевой ошибки по производной выходной координаты (терм - Z для у). В этом случае выход формируется четырьмя правилами, одним из которых является правило: если х есть Z и у есть Z, то 2 есть 7.. Для приведённого выше правила выходное значение находится в терме Z выходной координаты 2. На (рис.1,а) показано формирование итогового выходного терма (заштрихованная область) для данного правила, согласно алгоритму Мамдани. При использовании в операции агрегации логического минимума изменение входной величины х в пределах от хМ1П до хмах не влияет на результат этого правила.

Термы входных и выходных переменных N1 N5 г РБ Р1_ N1 N5 1 РЭ рь N1 N8 г РБ Р1_

а

Термы входных и выходных переменных

Рисунок 1 - Расположение входных и выходных термов, а - без рекурсии, б - после первой рекурсии

Для выполнения первой рекурсии рассмотрим диапазоны нахождения входных и выходных переменных для данного правила. Согласно рис. 1 терм Ъ для х заключён в диапазоне от х\ до х2 (точки А и В), терм Ъ для у заключён в диапазоне от у\ до г/2 (точки С и Б), терм Ъ для выходной величины г заключён в диапазоне от 2, до г2 (точки Е и И). Выполним первую рекурсию, проделаем следующие операции:

1. Представим диапазон для х от х\ до х2 (от точки А до точки В) как полный набор термов переменной х (рис. 16). Вычислим новое значение входной переменной х

хнов = Кх ■ Ч > Кх=йх /(х2 - х,) , (5)

где Ох - диапазон изменения входной переменной х (если х меняется от -1 до +1, то Г)х равно 2), Кх - коэффициент пересчёта переменной х.

2. Представим аналогично диапазон для у от у1 до у2 (от точки С до точки Б) как полный набор термов переменной у. Вычислим новое значение входной переменной у

У нов =Ку-хо , Ку=Оу /(у 2 - ух) -

где Оу - диапазон изменения входной переменной у (если у меняется от -1 до +1, то равно 2), Ку - коэффициент пересчёта переменной у.

3. Применим те же правила (табл. 1) и определим форму выходного терма и значение выходной переменной гнов, как центра тяжести полученного выходного терма. Полученное значение гнов должно быть пересчитано так, чтобы оно подобным образом находилось вну-

три выходного терма данного правила. Для рассматриваемого случая выход вычисляется по формуле

Zo=Kz■zнoв, Кг=(12-11)/Ог, (7)

где В2 - диапазон изменения входной переменной г (если г меняется от -1 до +1, то равно 2), К2 - коэффициент пересчёта переменной г.

Входные и выходная переменные могут принадлежать внутренним или граничным термам. Возможны различные комбинации принадлежности входных и выходной переменных различным термам (табл. 2).

Используемые термы в рассмотренном выше правиле являются внутренними и относятся к варианту 1 табл.2, как частный случай. Если значения входных величин х, у и значения выходной величины 2 не принадлежат нулевым термам Ъ, то формулы для расчёта используются другие. Рассмотрим вычисления выхода данного правила для случаев, когда термы входных и выходных переменных являются внутренними и могут быть как нулевыми, так и не нулевыми.

Таблица 2

№ варианта Входные термы Выходной терм

X У г

1 Внутренний Внутренний Внутренний

2 Внутренний Внутренний Граничный

3 Внутренний Граничный Внутренний

4 Внутренний Граничный Граничный

Граничный Внутренний Внутренний

б Граничный Внутренний Граничный

7 Граничный Граничный Внутренний

8 Граничный Граничный Граничный

Пусть имеется правило, в котором участвуют термы, показанные жирной линией на рис.2а. Если х есть РБ и у есть Z, то г есть ЫБ. Расчёт выхода выполняется следующим образом.

1. Вычисляется

Хнов = °х(х0 ~х\) Ах2 - Х1 > - °х / 2 ■ (8)

2. Вычисляется

Уно.=Оу(у0-у1)/(у2-У1)-Оу/2. (9)

Если учесть, что у принадлежит нулевому терму, тогда у\ = -0,5, у2 = 0,5, уравнение упрощается и принимает вид Унов = Оу • у0.

3. Согласно правилам вычисляется гнов и выходное значение 20

г0 =(гх + г2)/2 + 1Н0в-К,,К1 = (г2-гх) / Ог. Ш

Для обеспечения заданной динамики системы с фаз-зи-регулятором необходимо при настройке регулятора не только уточнение выхода методом рекурсии, но и правильный выбор масштабирующих коэффициентов для входных и выходной переменных. Настройка масштабирующих коэффициентов в данной статье не рассматривается, а только даются рекомендации, необходимо или нет их изменение.

Рассмотрим случай, когда входы принадлежат внутренним термам, а выход принадлежит граничному терму (вариант 2 табл. 2, рис.26). Обозначим через и г2 начало и конец возрастающего (убывающего) участка граничного терма. Тогда расчёт уточнённого выходного терма выполняется по формулам (8)-(10) с применением алгоритма определения выхода фаззи-регулятора. В этом случае возрастает диапазон изменения выходной переменной 2 (координаты центра тяжести результирующей фигуры). Масштабирующие коэффициенты входных и выходной переменных не изменяются.

Рассмотрим случай, когда значения одного из входных сигналов, например х, принадлежат граничному терму, а выходной сигнал принадлежит внутреннему терму (варианты 3 и 5 таблицы 2, рис.2в). Так как результат правила вырабатывается использованием операции логического минимума, то для значений входной переменной х0 меньше хх, вход х не влияет на выход этого правила при любых значениях входа у. Если х0 находится между х1 и х2, то при выполнении первой рекурсии участок ххх2 расширяется на весь диапазон входной переменной х. Расчёт уточнения выхода выполняется по формулам (8)-(10) с применением алгоритма определения выхода фаззи-регулятора. При значениях входа меньше х1 система нечувствительна к переменной х, следовательно, требуется изменение масштабирующих коэффициентов.

Рассмотрим случай, когда значения двух входных сигналов принадлежат граничным термам, а выходной

сигнал формируется внутренним термом (вариант 7 таблицы 2, рис.2г). Обозначим через хх и х2, у\ и у2 соответственно начало и конец убывающего и возрастающего участков граничных термов входных переменных. Если значение переменной х0 находится в интервале между хх и х2 и значение переменной уо между у\ и у2, то расчёт уточнённого выходного терма выполняется по формулам (8)-(10) с применением алгоритма определения выхода фаззи-регулятора. При нахождении входных значений в зоне насыщения терма (меньше Х\ и (или) больше у2), то система оказывается разомкнутой по одной и (или) двум входным координатам соответственно. В этом случае требуется изменение масштабирующих коэффициентов входных и (или) выходной переменных.

Рассмотрим случай, когда значения одного из входных сигналов принадлежат граничному терму и выходной сигнал для данного правила также формируется граничным выходным термом (варианты 4 и 6 таблицы 2, рис.2д). Обозначим через х1 и х2 начало и конец убывающего (возрастающего) участка граничного терма переменной х, через г\ и г2, начало и конец возрастающего (убывающего) участка граничного терма выходной переменной 2. Если значение переменной х0 находится в интервале между Х| и х2, то расчёт уточнённого выходного терма выполняется по формулам (8)-(10) с применением алгоритма определения выхода фаззи-регулятора. Если значение х0 находится в зоне насыщения (меньше Х(), то требуется изменение масштабирующих коэффициентов.

Рассмотрим случай, когда значения двух входных сигналов принадлежат граничным термам и выходной сигнал для данного правила также формируется граничным выходным термом (вариант 8 таблицы 2, рис. 2е). Обозначим через хх, г/1, 2( начало, а через х2, у2 и г2, конец убывающих (возрастающих) участков граничных термов. Если значение переменной х0 находится в интервале между хх и х2 и значение переменной г/0 меж-ду ух и у2, то расчёт уточнённого выходного терма вы-полняется по формулам (8)-(10) с применением алгоритма определения выхода фаззи-регулятора. Если значение переменной х0 и (или) значение у0 находится в зоне насыщения, то необходимо изменение масштабирующих коэффициентов.

Часто операцию агрегации выполняют, используя алгебраическое произведение значений функций принадлежности

а! = А/хо) • Вх(у0) , а2 = А2(х0) ■ В2(у0) ■

Однако в алгебраическом произведении при одном и том же результате сомножители могут иметь множество различных значений, что также снижает качество управления. В этом случае для уточнения выходных значений данного правила также может быть использован метод рекурсии.

N1 ыэ г ре РЬ

N1 N3 г РЭ Р1.

N1 N5 г РБ Р1_

N1 N5

г)

е)

Рисунок 2 - Варианты принадлежности переменных различным термам

Пример расчёта уточнённого выхода первой рекурсии фаззи-регулятора

Для удобства пронумеруем правила, расположив в ячейках таблицы номера правил (табл. 3).

Пусть значения входных переменных следующие х0 = -0,3; у о = 0,1. Значения каждой из входных переменных принадлежат двум термам (х принадлежит термам Z и КБ, у - Ъ и РБ), следовательно, при выработке выхода участвуют 2*2 = 4 правила, а именно 8, 9, 13, 14. Выход регулятора при этом равен 20 = 0,153 (рис.3).

Выполним первую рекурсию (уточнение выхода) правила 13. В этом правиле входные и выходные термы являются нулевыми (2), при этом х, = -0,5; х2 = 0,5; У\ = -0,5; г/2 = 0.5; г\ = -0,5; г2 = 0,5. Расчёт уточнённого выхода выполним, используя уравнения (5) и (6). При этом Кх = 2, хнов = -0,6, К у = 2, унов = 0,2, вычисленный выход гнов = 0,29. Пересчитанное значение выхода, согласно уравнению (7), составляет Кг = 0,5; г0 = 0,145. При выработке выхода гнов участвуют также 4 правила -9, 10, 14, 15, показанные на рис.4.

Таблица 3

У

PL PS z NS NL

PL 1 6 11 16 21

PS 2 7 12 17 22

Z 3 8 13 18 23

X NS 4 Ö 14 19 24

NL 5 10 15 20 25

Выполним первую рекурсию (уточнение выхода) правила 8. В этом случае х} = -0,5; х2 = 0,5; у\ = 0; у2 = 1; 2) = -1; г2 = 0. Используя формулы (8) и (9), вычислим хнов = 2(-0,3 + 0,5)/(0,5 + 0,5) - 1 = - 0,6; унов =2(0,1 - 0)/(1 - 0) - 1 = - 0,8; вычисленный выход гнов = 0,594. Пересчитанное значе-

ние выхода, согласно уравнению (13) составляет Kz = { 0 + 1)0,5 = 0,5; z0 = 0,5(0 - 1) + 0,594 0,5 = -0,203. При выработке выхода гнов участвуют также 4 правила - 19, 20, 24, 25, показанные на рис.5.

Выполним первую рекурсию (уточнение выхода) правила 9. В этом случае xi = - 1; х2 = 0; у\ = 0; у2 = 1; 2j = - 0,5; 22 = 0,5. Используя формулы (8) и (9) вычислим

хнов = 2(-0,3 + l)/(0 + 1) - 1 = 0,4; Унов =2(0,1 - 0)/(1 - 0) - 1 = - 0,8; вычисленный выход гнов = 0,303. Пересчитанное значение выхода согласно уравнению (10) составляет К2= 0,5; 20 = 0,1515. При выработке выхода гнов участвуют также 4 правила - 17, 18, 22, 23, показанные на рис.6.

Рисунок 3 - Правила влияющие на вычисление выхода Рисунок 4 - Первая рекурсия правила 13

при х=-0,3 и у=0,1

19

20

24

25

/ / \

\

\

/

17

18 22 23

/ \

А

/ \

А

Е

7\

Рисунок 5 - Первая рекурсия правила

7

8 12 13

/ _ \ \

/ / \ \

А

у «О 2

/ \

А

~7\~

Рисунок 7 - Первая рекурсия правила 14

Рисунок 6 - Первая рекурсия правила 9

Выполним первую рекурсию (уточнение выхода) правила 14. В этом случае Х\ = -1; х2 = 0; у\ = -0,5; у2 = 0,5;

= 0; г2 = 1. Используя формулы (8) и (9), вычислим хнов = 2(-0,3 + 1)/(0+ 1) - 1 =0,4;

Унов = 2(0,1 + 0,5)/(0,5 + 0,5) - 1 = 0,2; вычисленный выход гпов = -0,365. Пересчитанное значение выхода, согласно уравнению (13) составляет

Кг = (1 - 0) 0,5 = 0,5;

10 = 0,5(1 + 0) - 0,365 0,5 = 0,3175. При выработке выхода гнов участвуют также 4 правила -7, 8, 12, 13, показанные на рис.7.

/

1,0

о 0,1 0,3 0,5 zb=0.153

z0=0.08S б)

Рисунок 8 - Итоговые нечеткие подмножества выходной переменной, а-безрекурсии, б - после первой рекурсии

Далее, согласно уравнению (3), выполним объединение найденных усеченных функций (аккумуляция) для получения итогового нечёткого подмножества после выполнения первой рекурсии (рис.86). Для наглядности на рис.8а показано объединение итоговых нечётких подмножеств без использования рекурсии. Центр тяжести полученной фигуры (zq = 0,085) является уточнённым выходом регулятора после первой рекурсии.

Если сравнить полученные усеченные выходные функции без уточнения и после выполнения первой рекурсии, то уточнённая функция размещается более компакт-

но относительно своего центра тяжести. Для кра' них значений выходной переменной z от -1 до -0,5 и от 0,75 до 1 значение функции равно нулю. При дальнейших рекурсиях функция примет ещё более компактный вид. Повышение компактности выходной функции возникает из-за более близких результатов, полученных от каждого правила. Более детальное исследование рекурсивного регулятора является задачей дальнейших исследований.

ВЫВОДЫ

Предложенный метод рекурсии логических правил, позволяет уточнить выхо регулятора, а также расширить диапазон изменения выходной переменной при нахождении её в граничных выходных термах. Приведены уравнения пересчёта вхо ных параметров пере рекурсивным применением правил, а также формулы корректировки выходного значения. Рассмотренный конкретный пример подтвердил возможность получения уточнённого выхода по предложенной методике.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Калашников B.I., Палю Ф., Лозинський О.Ю. Основи фази-лопки та фази-регулювання. Донецьк, Магдебург, AbBiB, 2000. с. 86.

2. Анисимов А.В. Информатика. Творчество. Рекурсия/Отв. Ред. А.Г. Ивахненко. - Киев: Наук. Думка, 1988. - 224с.

3. Дьяконов В.П., Абраменкова И. В., Круглов В.В. MATLAB 5.3.1 с пакетами расширений. Под ред. Проф. В.П. Дья-конова.-М.: Нолидж,- 2001 г., 880 с.

Наджшла 18.02.04 Шсля доробки 16.03.0'

Для тдвищення чутливост1 фазорегулятора в усьому diana3oni exidnux змтних пропонуеться уточнения резуль-mamie для кожного правила выводу, при цьому використо-вуються властивост1 рекурсп. Логта м1ркуванъ, що сформована в правилах, повторюеться для частини д{апазону exidnux змтних, що дозволяв уточнювати euxidni сигналы регулятора. Отриманм р1вняння перерахунку exidnux i ви-xidnux змтних. Розглянутий конкретный приклад уточнения виходу регулятора.

То increase the sensitivity of the fuzzy-regulator in all the range of input variable the more precise definition of the results for each of the conclusion rules is suggested, using the recursion characteristic. The logics of the reasons formed in rules are the same for the part of the range of input variables. This consider enable to amplify the output regulator signals. The equations of recalculation of input and output variables are obtained. The real example of the amplification of the regulator output has been considered.

УДК 681.34

В.А. Тимофеев

0 НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМАХ СИНТЕЗА КРИТИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

В статье рассматриваются и анализируются проблемы, Предлагаются структуры закона управления ARMAX-mo-возпикающие при синтезе критических систем управления. дели в пространствах L(m,8) и D(m,$).