CC BY
33
______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XXI 1990
№ 2
УДК 629.7.015.4.023.2 629.7.015.4—977
УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ НЕРАВНОМЕРНОМ НАГРУЖЕНИИ С УЧЕТОМ ПЛАСТИЧНОСТИ
Г. Н. Замула, К. М. Иерусалимский, Г. С. Карпова
Дано развитие изложенной в [1, 2] методики расчета устойчивости сложных пластинчато-оболочечных цилиндрических конструкций при неравномерном нагреве и нагружении, состоящее в учете работы конструкции в пластической области. Создан и отлажен комплекс программ расчета, проведены исследования потери устойчивости ряда конструкций в пластической области.
1. Рассматривается неравномерно нагретая цилиндрическая плас-тинчато-оболочечно-стержневая конструкция произвольного сечения в общей системе координат ХУЕ (рис. 1), нагруженная осевой силой Рх и изгибающими моментами Му и Мг. Кроме того, считается, что в пластинчатых и оболочечных элементах могут действовать погонные усилия (л:, 5, 2 — местная система координат для элемента), которые
У
определены независимо (статически определимы). Таким образом, может быть учтен наддув в цилиндрической оболочке или усилия в плоских панелях.
Расчет устойчивости конструкций в пластической области проводится по следующей схеме:
— полагается, что все внешние нагрузки на конструкцию возрастают пропорционально одному параметру í,
— при каждом значении £ находится докритическое состояние конструкции с учетом пластичности из условия равновесия поперечного сечения (см. рис. 1).
Рх = §а*ар> Мг — §ахуйР\ Му = фохгс(Р, (1)
где с1Р = М$, 6 — толщина элемента, ^ — дифференциал дуги элемента. Для усилий справедливо соотношение:
Ч=аД (2)
где Ох и Ов — напряжения в элементах.
Деформации в поверхности приведения оболочечных элементов в местной системе координат можно записать в виде
гх=-£*-(ах — ^°Л+а7’; £*= -¿г К — '>*<}х) + лТ> (3)
где Е*, V* — переменные параметры упругости, зависящие от напряженного состояния; а — коэффициент линейного расширения; Т — температура.
Учитывая (2), из (3) можно получить:
«,=-^-4^—**.+(1 + '*)“г <4>
И
сх=Е*гх-^^ Е*<хТ. (5)
Из условия сгг=0 получается выражение для
•,= -Г^(‘* + 0 + т^£«7. <6>
В стержневых элементах напряжения и деформации связаны соотношением:
ал = Е* (ех — ас Тс), (7)
где Ес, ас, тс — переменный модуль, коэффициент линейного расширения и температура продольного элемента соответственно.
Примем для всего сечения закон плоской деформации:
£* = £о + ?уг + <?гУ, (8)
«о. фу. фг — деформация в начале координат и относительные углы поворота сечения.
Внося (8) в (5), а результат в (1), получим систему уравнений для определения трех неизвестных перемещений:
где
~Р <>у §г~ ч ■рх-р„+р,
С 7 7 ¿у *уг ' Ь ■ = ■ $ і +
Л 7, - ь Мг — УИгч-)- Мгі
Т=фЕ* 8
ф Е* 82 ¿5 + І.ЕІ ¡Ес г гс г, 52=^^8угі5 + ЕЯ:г^Сі.усг,
/уг=<£ £* 8_у гй5 + ИЕ*С і Рс і усігс „ 7у-фЕ* 8г2 ¿5 + ££с* / /"с ,• *5 і, 7г=§Е*ЪуЫ5,
Рх V = ф V* ^¿/5,
Р, = ^ Е* аТЬ ¿8 + 2£"с » і “с»Ті,
Му* = ф'І*
= (|) £* а 7*8 -+- 2£* І і ас г Г,- 2С „
М*« = (|р* Щуеіз,
Мг{ = <§,Е* аГ8угі$ 4- Е£* г / яс; Т¡уе ¡,
)
О)
(Ю)
^ег, Тг — площадь и температура стрингера.
Переменные параметры упругости Е* и V* согласно [1] вычисляются по формулам:
°г
Ег +
1 —2ч
З Е '
Е* І 1
— V
(П)
где
3. = V <РХ + 4 — а У'2
/(•* — г*)2 + (е, — О2 + (є, -- є*)2 •
(12)
Итерационная процедура вычисления пластического напряженного состояния строится следующим образом: на первом шаге переменные параметры упругости полагаются равными упругим Е и л Далее вычисляются выражения (10) М решается система уравнений (9). По полученным из решения значениям єо, фу, ф2 определяется еж в соответствии с (8), е8 — по (4) и е2 — по (6), є, — по (12) в заданных точках на каждом элементе. В этих же точках вычисляются значения в{. Про-
изводится пересчет интенсивности деформаций 8j к соответствующей деформации диаграммы растяжения по формуле
= ai- (13)
По полученной деформации еР и соответствующей диаграмме Ог—еР определяется в каждой точке переменный модуль Е* и по формуле (11) переменный коэффициент Пуассона v*. Далее расчет повторяется, начиная с вычисления коэффициентов (10) матрицы системы и правых частей (9). Итерационный процесс прекращается, если перемещения, полученные в предыдущей и последующей итерациях, различаются по норме меньше, чем на заданную малую величину.
На основе полученного докритического напряженного состояния производится расчет «касательных» жесткостей, связывающих приращения внутренних усилий с приращениями деформаций в момент бифуркации [1].
По методике [2] вычисляются матрица жесткости конструкции на основе уравнений нейтрального равновесия и ее определитель.
При возрастающих значениях параметра t проводятся указанные выше этапы расчетов и устанавливается интервал параметра t, на котором определитель системы уравнений нейтрального равновесия впервые меняет знак. Производится уточнение значения параметра нагрузки t, при котором определитель обращается в нуль. Найденное значение t* определяет критическое значение внешней нагрузки.
2. Используется следующий алгоритм установления первого нуля определителя. Известно, что определитель матрицы K(t) равен произведению диагональных элементов треугольной матрицы, полученной из исходной после прямого хода исключения по методу Гаусса.
det|K(i)| = aM, ... , аЙГ11,
где a{j-1)— диагональные элементы треугольной матрицы.
В этом случае при ¿=0, т. е. при отсутствии внешних воздействий, когда исходная конструкция заведомо устойчива и det | /С (i) | =5^=0, фиксируются знаки всех элементов а$-1) (0), причем все а%~1) (0)=т^0.
В дальнейшем, при увеличении t находится то значение fa, при котором хотя бы один из элементов а\1Г1) (fa) меняет свой знак. Смена
знака элемента а«_1) (fa) является сигналом для уточнения значения t на интервале [fa—Afa\ fa] путем деления интервала пополам. Запоминание всех знаков элементов (0) не является обязательным. Достаточно подсчитать число положительных элементов среди а(и~1) (0) и запомнить его. Пусть это число L>0. Тогда сигналом уточнения параметра t на интервале [fa—Afa; fa] будет условие ЬфЬк (Ьь — число положительных элементов среди a«-1) (fa). Очевидно, что предлагаемый алгоритм обеспечивает отыскание минимального собственного значения imin- Если tmm — кратное собственное число, то его кратность т равна:
m — \L — Lp,\ ,
где Lpt—число положительных элементов среди |imin + ~yJ ■
Чтобы найти следующее собственное число, достаточно в качестве L взять Lpz и продолжить процесс вычислений с шагом At от imlni по
7—«Ученые записки» № 2
97
указанному выше алгоритму. Таким образом, могут быть последовательно найдены второе, третье и т. д. собственные числа матрицы К(¿)-
3. На основе изложенной методики создан и отлажен комплекс программ, включающий расчет физически нелинейного докритическо-го состояния, критической нагрузки и форм потери устойчивости, графическое представление результатов.
1 Проведен расчет устойчивости подкрепленной панели при поперечном изгибе. Рассматривается панель (рис. 2), шарнирно опертая по контуру, имеющая в плане размеры а=0,55 м; £> = 0,51 м, подкрепленная тремя стрингерами 2-образного профиля, расположенными на обшивке с шагом /с=0,17 м. Толщина обшивки 6о=0,002 м, толщины и размеры стенки и полок профиля следующие: вертикальная стенка имеет высоту /1 = 0,03 м, толщину 6С = 0,0025 м; горизонтальные полки имеют размеры ап = 0,023 м, Ьп = 0,0035 м.
Таблица 1
а, МПа 300,0 320,0 340,0 358,0 374,0 380,0
є 0,0042 0,0046 0,0054 0,0065 0,009 0.012
■Чт 1,0 0,51 0,27 0,15 0,04 0
В табл. 1 даны узлы интерполяции диаграммы а—е и о— для этого материала в пластической области, причем
Еі —касательный модуль диаграммы а—є.
Проведен расчет устойчивости этой панели при изгибе ее моментом Му.
На рис. 2 показана эпюра напряжений в докритическом состоянии в случае, если Му<0, т. е. верхние полки стрингеров сжаты, а обшивка растянута. Потеря устойчивости произошла при Му — —293,25 Н. м с числом полуволн в продольном направлении п — 3. Форма потери устойчивости показана на рис. 3. При этом, как видно из эпюры напряжений, в докритическом состоянии на рис. 2, в верхних полках стринге-
© в ©
х
і ® II 1 е II 1 • II 1
|—. 100 МПа
Рис. 2
тЛіш и Ш'ЧШ т тщш в
^ 3 и Із 5 Л ^ 1
Рис. 3
Рис. 4
ров и вертикальных стенках напряжения находятся в пластической области.
Рассматривается задача расчета устойчивости конструкции отсека предкрылка, расчетная схема которой и нумерация узлов показаны на рис. 4.
Геометрические размеры приведены в табл. 2, 3.
Я — радиус кривизны элемента.
В узлах 3 и 5 находятся стержни с площадью поперечного сечения 2,52.10-4 м2 и 6.10-4м2 соответственно.
Характеристики материала следующие: модуль упругости
£=7,2.104 МПа, коэффициент Пуассона v = 0,3. Используется следующая диаграмма о — б и а-—г>т для этого материала в пластической области (см. табл. 4).
Предкрылок испытывает нагружение, приводящее к изгибу, характеризующемуся в среднем пролете между нервюрами величинами, пропорциональными следующим значениям изгибающих моментов:
Таблица 2
№ узла 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2, м —0,106 -0,113 0,015 0,135 0,375 0,198 0,069 0,04 0,048 0,098
У, м -0,0275 0,033 0,089 0,119 0,154 0.103 0,036 -0.028 —0,062 -0,065
Таблица 3
Эле- мент 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Л!, м 0,0375 0,34125 0 0 0 -0,3338 -0.075 0 0 -0,435
5, м 0,0015 0,0015 0,0015 0,00175 0.00175 0,0015 0.0015 0,005 0,0015 0,0015 0,005
Таблица 4
о, МПа 230,0 250,0 280,0 310,0 360,0 400,0
е 0,00319 0,00351 0,0046 0,00568 0,01200 0,02
% 1 0,845 0,471 0,231 0,0075 0
8 - «Ученые записки» № 2 99
Рис. 5
Мг =9580 Н.м и М* =2870 Н.м. Проведен расчет устойчивости предкрылка при постепенном увеличении указанных нагрузок пропорционально параметру
Получены следующие критические значения изгибающих моментов: Мг = 55800 Н.м иУИ* = 16700 Н.м, соответствующих ¿ = 5,82 при
числе полуволн в продольном направлении п= 1.
На рис. 5 показана эпюра докритического напряженного состояния, непосредственно предшествующего моменту потери устойчивости. Заштрихованы области эпюры, где напряжения находятся в пластической области. На рис. 4 показана форма потери устойчивости.
ЛИТЕРАТУРА
1. За мул а Г. Н., Иерусалимский К. М. К расчету .устойчивости каркасированных цилиндрических оболочек. — Ученые записки ЦАГИ, 1981, т. 12, № 3.
2. 3 а м у л а Г. Н., Иерусалимский К. М. Устойчивость и термоустойчивость цилиндрических систем. — Ученые записки ЦАГИ,
1987, т. 13, № 6.
Рукопись поступила 5/1 1989 г.
