CC BY
33
УДК 534.121.1
УСТОЙЧИВОСТЬ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПАНЕЛИ СО СВОБОДНЫМ КРАЕМ В СОСТАВЕ КОНСТРУКЦИИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА*
А. В. Лопатин, П. О. Деев, М. А. Рутковская
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 Е-mail: [email protected]
Рассматривается задача определения критического усилия сжатия прямоугольной трехслойной пластины со свободным краем, у которой два противоположных края шарнирно-закреплены, а один край жестко закреплен. В такой постановке задача не имеет до настоящего времени аналитического решения. В данной работе вариационные уравнения устойчивости пластины решены методом Канторовича и обобщенным методом Га-леркина. В качестве базисных функций при решении использованы балочные функции специального вида. Получена аналитическая формула для критического усилия трехслойной пластины, по которой вычислены критические усилия для нескольких пластин с различными сочетаниями размеров. Верификация расчета в конечноэлементном пакете показала высокую точность полученной формулы и возможность ее использования в проектировочных расчетах при минимальных вычислительных затратах.
Ключевые слова: трехслойная пластина, критическое усилие, обобщенный метод Галеркина.
STIFFNESS OF THE SANDWICH PANEL WITH FREE EDGE AS A CONSTRUCTIONAL PART OF A SPACECRAFT
A. V. Lopatin, P. O. Deev, M. A. Rutkovskaya
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31 “Krasnoyarskiy Rabochiy” prosp., Krasnoyarsk, 660014, Russia Е-mail: [email protected]
The article considers the problem of critical pressure load determination for rectangular sandwich plate with one free edge, two opposite gimbal-mounted edges and one cantilever edge. Gimbal-mounted edges of the plate are under linearly varying load. This problem is not analytically solved yet. In this work the variation equations of plate stability were solved via Kantorovich method and via generalized Galerkin method, with special beam functions as basic functions. The analytical formula for critical pressure load is obtained. Calculations of critical loads for several variants ofplates were done using this formula and the results were verified via finite-element package. The verification shows that the analytical formula could be successfully used in engineering and design calculations with minimal computational cost and high accuracy.
Keywords: sandwich plate, critical load, generalized Galerkin method.
При проектировании трехслойных пластин, применяемых в конструкциях космических аппаратов, часто возникает задача расчета устойчивости пластины, когда один из ее краев свободен.
Задача устойчивости такой пластины наиболее подробно изучена для случая, когда к шарнирно закрепленным краям приложена равномерная сжимающая нагрузка.
Вместе с тем большой практический интерес представляет случай, когда к шарнирно закрепленным краям пластины приложены линейно изменяющиеся усилия.
Уравнения устойчивости такой пластины содержат переменный коэффициент, и поэтому их интегрирование оказывается затруднительным. В данной статье решена задача определения критических усилий для трехслойной пластины со свободным краем под действием линейно-изменяющейся нагрузки.
Рассмотрим трехслойную пластину с одинаковыми композитными несущими слоями и ортотропным заполнителем. Два противоположных края пластины шарнирно-оперты, а один край жестко закреплен.
Пластина нагружена в своей плоскости линейно -изменяющимся усилием.
*Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение № 14B37.21.0405.
Математика, механика, информатика
Запишем выражения для потенциальной энергии деформации трехслойной пластины [1]:
' 0 0
Д
50Х
дх
+ 2Д
12
д^ 50у
дх ду
2
+ Д
(30У)2 (д0 50 у )
22
ду
+ Д
33
- +
ду дх
+ Кх
Су V ^ (о °у
. +— I + Ку I 0 у +
дх
ду
и для работы внешних сил:
' 0 0
-_0 ( ду)2 „,г0 ду 3у ,г0 (дуЛ
N° I —\ + 2МХУ—— + N01 —
ху дх ду у ( ду
дх
При рассматриваемом нагружении
N0 =-И I 1 - 2 У
Вариация энергии деформированной пластины
0 0
30.
Дп^+Д^
дх ду
30 у 1„(30
51 -^т'+
дх
(
Д2 5г + Д22 ^
дх ду
Г 00 У 1
5у
+Д
33
( 30х 50у ^Го0 —-+—-ду дх
5 ду '+
+ Д3
(30 30 у )
" + -
ду дх
( 30,,)
дх
3у
+ Кх I0х +-дх I50х + (4)
!!
0 0
30„
+ Д2-Т?
дх 5у
5(^' +
(
д0
Д^-г+Дц-у 3х ду
ч ду у (30 У 1
+ Д33
(30х+50: 1
3у дх
50х
ду
+Д3
(30, +30у 1
3у дх
3х 4 й* у
+ Кх I 0х +
ду
дх
■ + Кх I 0х +
+ Ку I0 у +%
у У у
ду ы ду
дх )5( дх
ду
)5( 3у У
- N1 - 2 у ¥- У3»’
Ь У( дх У I дх
Согласно методу Канторовича, представим прогиб и углы поворота в следующем виде
У = Ут (у) ¡¡ШКх 0х = 0хт (у)С^Хтх
пт а
пт
0у = 0ут (у)вШКх Хт =----------------- (т = 1,2,3,...) (7)
Подставим (7) в (6) и выполним необходимые преобразования. Тогда получим
йхйу (1)
2 й 0 ут 1
А^0хт - Д12^т^ йу
50хт +
( й 0 у
Д
22 '
йхйу (2)
йу й 0„
■ Д12^ т 0 хт
( й 0 ут 1
ут
+ Д33 I Чхт + ^т0ут 15 хт
йу
йу й 0„
йу
№°у = 0, №у = 0. (3)
+Д33 I Хт
й0
йу
хт + Хт0ут I 50ут +
+Кх (хт + ХтУт ) 50хт + Кх (Хт0хт + ХУУт )5*т +
+Ку |0ут + ^
, К I 0 , йут У йут
-,т + Ку|® „ *~у Д^у
- X2 N! 1 - 2 У I у 5у
IX ь \ ™т т
йу = 0 .
(8)
Далее выполним операцию варьирования функционала в уравнении (8), и получим три вариационных уравнения с естественными граничными условиями
+К (в‘ +£ М!)+Ку [0 у +1у У50 у+
+к(0 у+!У Н! )] лйу.
и вариация работы внешних сил
5аЧ!Н‘-(5)
Таким образом, получим основное вариационное уравнение деформированной трехслойной пластины
Кх (0хт + Хт™т ) - Ку
2
йу йу2
-XІNI 1 - 2у \
!
Кх (0хт +Хт™т ) +
5^тйу + Ку (0ут + йу*- \5^„
( й 0)
= 0,
ДХ0хт -Д12Хт ут
йу
- Д
33
( й 0хт +х й0у*
2т йу2 йу
Д I й0хт +Х 0
33 I ! т ут хт
йу
п‘ +
= 0,
(9)
Ку I 0ут +Хт
йу
йу
д й 0ут д Х й0хт
Д22 , 2 Д12Хт
йу 2
йу
й0
+ Д331 X+ Хт 0Ут
йхйу = 0 . (6)
йу
( й 0
- Д12Х т 0хт
йу
ут
ут
йу +
= 0.
Получим решение уравнения (6) с помощью метода Канторовича и обобщенного метода Галеркина [2; 3].
Решим систему вариационных уравнений (9) обобщенным методом Галеркина. В соответствии с этим, представим прогиб и углы поворота в следующем виде
+
ут = Атиу (У) , 0хт = Втиу (У) ,
0ут = СуУу (у) , (10)
здесь Ат , Вт , Ст - неизвестные числа, подлежащие
определению; Пу (у), ¥у (у) - известные функции,
аппроксимирующие прогиб и углы поворотов. Эти функции имеют вид
и- (у)=Ь
¿. - 4 4+6 У - 12у ,1У - 2
(у )=!
2
21_ - У+1
3Ь2 Ь
\
(11)
где уу =
КуЬ2
Д22
Вариации функций (11) будут
Ут = и у 5Ат, 0хт = ^ВВ* , 0 у* = У- 5Ст . (12)
Подставив (10) в (9), с учетом (12), получим
Кх {ХтВтиу +ХУАтиу )- Ку
-Х2NI 1 -2У IАти„
йУу Су —У + А,
т у
йу т йу
иу 5АтйУ +
К
СтУу + Ат У
йу
иу 5Ау
= 0.
!
К (в.и, +Х„4,и, )■
(
, йУу)
ОиХ2тВтиу -Д^тСт-У-
-Д3
( й2иу -Уу
_____У + х С ______У
, 2 т т 1
( йу2 йУ у
Вт
иу 5В,йу +
( йи у
Вт~Т + ХтС„Уу йу
КУ
СтУу + Ля'
йиу 1
(
йу
(13)
иу 5Ву
= 0,
й 2Уу йиу
- Д,Х.В. У
22 т 7 2 12т т
йу
йу
+ Д
33
ХтВт
йиу , 1
— + Х,СтУу
йу
Уу 5СтйУ +
У
-Уу
Л
^22С, ~—~ - Д12ХтВУиу
йу
Уу 5Ст
= 0,
йи у иу~йу~
Ь\
-КУ 1Ууиу ]Ь) - А.ХИ[1 -2!) и2-- =0
Ь ( Ь Ь
АуКхХт ! иу2йу + Вт Кх ! иу2йу + ДПХт ! иу2йу -
( 0
ь й 2и
- Д33 ! иу йу + Д3:
йу2
иУ
йиу йу
- С
'•-'га
Ь йУ Ь йУ
БиХ. ! и- “ + А3Хт ! иу-ууйу -
Д33Хт
[иуУу ]Ь)
0
= 0,
йу
(14)
Ь йи ( Ь йи
А.К- ! Уу~тйу + В. Д2Х. ! Уу—--йу + 0 -у ( 0 -у
Ь йи у
+ °>>Х"!Уу-^йУ-ЛАт [и-Уу]
+С.
ь л2
й 2У,
Д33Х. ! Уу2 йу - ^22 ! Уу-р-йу-0 0 йу
+ Ку ! Уу2 йу + Д
Уу
йу
Ь
= 0.
Введем обозначения входящих в уравнения (14) интегралов и безынтегральных членов
1,у =!и>; Т- =!У; ;
00
! й2иу ! й2уу
12 у =!иу-й-2- й- ; Т2у =! Уу ~~—ГйУ ;
0 йУ 0 йУ
! йУу ! йи у
1У =! ^ =! Уу-и-У*-;
/1У =! (\ - 2 У)иу йу; (15)
«■у =[и-УУ ]!; «2у =
йиу
и, у
-У
; «3 у =
У„
йу
Численные значения интегралов и безынтеграль-ных членов (15) будут
/ = _8!. • т =!
1у 315У1у; 1у 14
/ =- 12 •
/2 - = - У 2 у ;
‘2 у
35!
Учитывая произвольность вариаций 5Ат , 5Вт и 5Ст получим систему разрешающих уравнений обобщенного метода Галеркина в следующем виде
/ ь ь й 2и
А. Кх X. ! и-2 йу - К-1 иу-^у + К-0 0 -у
ь ( ь йУ
+ В.КхХу ! и2йу - С. Ку ! и- ~—-у-У -0 ( 0 —
Т2 У = 5! ; /3 У =
Уэ.
35
у
/3 у =
•
35 ;
6 -
2Ь =
т3 - ^тгУ3 -; 11- =^—У1-; «1- =У1у;
35
315
12-
«2 у = ! У1у ; «3 у = 0 ■
где
У1у = 91 + 999уу + 3024у2 ;
У 2 у =-5 + 28У у + 56°У
Ь
0
у1у — 220 + 2043уу + 4536у2 ;
У1у = 1+4у у; Узу =5+14у у; Узу =5+56Уу • (17)
Принимая во внимание, что Я1у -13 — Оъ , и подставляя (16) в (14), получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных чисел Ат , Вт и Ст
аз — а -
2 8*
^т
8Ъ
Кх К 315 У1у + Ку 35Ъ У 2 у + Ку~Ъ~ У1у I Ат +
12
35Ъ
6 -
■уз,
8Ъ
+ КхХт 315У 1уВт +Ку 35УзуСт "^т^У1 уАт = 0>
8Ъ
12-
■У:
2—
15
,2 8Ъ
КхХт 315У1 уАт +1 Кх 315У1 у + АЛт 315У1 у +
12
12-
+ °33 35Ъ у2у + °33 Ъ У1у IВт +
С 6 — У3 ^
п X — у3 - Д2Х —
33 т 35 <3у 12 т 35
О, — о.
(
Ку 35 У3уАт + П33Хт 35 У3у П12Хт 35
В„ +
+1 к—+п,—+хт I ст — о.
~у 14 22 5Ъ 3314' ~т ^т
Приведем систему (18) к удобному для вычислений безразмерному виду. Для этого умножим обе час-
315Ъ
ти каждого уравнения на величину —-—, ,
2хтл/п11п22
и, обозначив ¥хт — аВт и ¥хт — ЪСт, получим следующее матричное уравнение ЛЕ — О
где
Л —
Е —
а11 -ПЪ11 а12 а13
а21 2 2 С а23
а31 а32 а33 ,
' Ат ¥
хт ; О — 0 .
г у -1 т 0
Элементы матрицы Л имеют вид
Г +
54У 2 у У у 189°У1уУу
2 2 п т г
Ъи — У:у; а12—
4У\уУхГ .
пт
2 2 п т г
27У 3у У у
а13 — 2 2
птГ
а01 — а1 -
а22 —
4У\у У X
2 2 п т
- + 4у!уГ +
54У 2 уГ33 189°У1уГ33
2 2 п т
2 2 п т
пт
2пт
а33 —
45у у
а32 — а2
63
45г3
-.2 2 2 2 2п т г п т г
Величина п, входящая в уравнение (19) и определяемая равенством
П —
ЫЪ2
л/ап
(22)
22
(18)
называется безразмерным коэффициентом устойчивости трехслойной пластины.
Однородная система (19) будет иметь нетривиальное решение только тогда, когда будет выполнено условие
аег(Л) — о. (23)
Решив уравнение (23), получим аналитическое выражение параметра п, которое после упрощения с учетом равенств (28) примет следующий вид
П —
а11а22 а33 + 2а12 а12 а23 а11а23 а22 а13 а33а12
Ъ11 (а33а22 а23 )
. (24)
(19)
Величина п зависит от числа полуволн деформации т вдоль оси ординат. Точке бифуркации формы равновесия пластины, очевидно, соответствует такое т , при котором п принимает минимальное значение. Это значение и будет соответствовать критическому коэффициенту устойчивости пластины пкр .
При известном значении пкр, из равенства (22)
определим критическое усилие для трехслойной пластины
Ыкр — Пк
•у/П11П22
Ъ2
(25)
(2°)
(21)
В качестве примера расчета, определим критическое усилие для трехслойной пластины, с рассматриваемым закреплением краев. Суммарная толщина несущих слоев пластины принимает значения t = 0.001, 0.002 м; толщина слоя заполнителя И = 0.01, 0.05, 0.1 м.
Материал несущих слоев характеризуется модулями Юнга Бх = Бу = 54.55 ГПа, модулями сдвига вху = 20.67 ГПа, вх2 = ву2 = 3.78 ГПа, и коэффициентами Пуассона vxy = 0.32, ^ = 0.32. Материал заполнителя характеризуется только модулями сдвига 0х2 = 440 МПа, вх2 = 220 МПа. Размеры пластины в плане: а = 0.5; 1; 1.5; 2; 3; 5 м; Ъ = 1 м. Результаты расчетов для пластины представлены в табл. 1.
Верификация результатов расчета критического усилия выполнена в конечно-элементном пакете С08М08/М с помощью конечного элемента 8ИБЬЬ4Ь [4] (табл. 2). Сравнение результатов обоих расчетов позволяет сделать вывод о достаточной точности предлагаемого метода, так как расхождение результатов не превышает 5 %.
Таблица 1
Критические усилия для трехслойной пластины
Параметр a, м; (b=1 м)
0.5 1 1.5 2 3 5
h, м; (t = 0.001 м) 0.01 ПкР 75.402 28.766 22.358 22.846 22.358 22.086
NKP, кН/м 114.08 43.524 33.828 34.566 33.828 33.416
m 1 1 1 1 2 3
0.05 ПкР 71.962 28.616 22.441 22.963 22.441 22.189
NKP, кН/м 2577.8 1025.1 803.88 822.61 803.88 794.86
m 1 1 1 1 2 3
0.1 ПкР 67.838 28.347 22.474 23.045 22.474 22.250
NKP, кН/м 9909.6 4140.8 3283.0 3366.4 3283.0 3250.2
m 1 1 1 1 2 3
Таблица 2
Критические усилия для трехслойной пластины, вычисленные МКЭ
Параметр a, м; (b=1 м)
0.5 1 1.5 2 3 5
h, м; (t = 0.001 м) 0.01 Nm, кН/м 111.13 42.611 33.342 34.169 33.394 33.047
m 1 1 1 1 2 3
0.05 Nm, кН/м 2493.7 996.57 786.76 807.61 787.88 780.53
m 1 1 1 1 2 3
0.1 Nm, кН/м 9621.2 3997.8 3190.6 3281.4 3195.3 3169.2
m 1 1 1 1 2 3
Таким образом, решена задача определения критических усилий трехслойной пластины со свободным краем, у которой два противоположных края шарнир-но-закреплены, а один край жестко закреплен. Для решения уравнений устойчивости был использован метод Канторовича и обобщенный метод Галеркина. Выполнена верификация полученного аналитического решения, показавшая, что определение критических усилий может быть выполнено с достаточной инженерной точностью без значительных вычислительных затрат. Поэтому полученные формулы могут быть полезными при проектировании трехслойных пластин.
Библиографические ссылки
1. Vasiliev V. V. Mechanics of composite structures. Taylor & Francis, 1993.
2. Kantorovich L. V., Krylov V. I. Approximate methods of higher analysis. New York : John Wiley & Sons, 1958.
3. Королев В. И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. М. : Машиностроение, 1965.
4. COSMOS/M: User Guide // Structural Research & Analysis Corporation, 2003.
References
1. Vasiliev V. V. Mechanics of composite structures. Taylor & Francis, 1993.
2. Kantorovich L. V., Krylov V. I. Approximate methods of higher analysis. New York : John Wiley & Sons, 1958.
3. Korolyov V. I. Sloistye anizotropnye plastinki i obolochki iz armirovannykh plastmass (Laminate anisotropic plates and shells made of fiber reinforced plastics). Moscow : Mashinostroenie, 1965.
4. COSMOS/M: User Guide // Structural Research & Analysis Corporation, 2003.
© Лопатин А. В., Деев П. О., Рутковская М. А., 2013
