CC BY
47
С помощью предложенного подхода можно учитывать причинно-следственные связи процессов обработки информации, влияющие на уровень защищенности информационных ресурсов. Использование факторного анализа является шагом к получению объективных количественных результатов в процессе управления информационной безопасности.
Библиографические ссылки
1. Волкова В. Н., Денисов А. А. Теория систем и системный анализ : учебник для вузов. М. : Изд-во «Юрайт», 2010.
2. Применение факторного анализа и эволюционного алгоритма оптимизации для решения задачи управления информационными рисками систем электронного документооборота / В. Г. Жуков [и др.] // Системы управления и информационные технологии. 2009. № 3(37). С. 41-50.
3. Беллман Р. Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М. : Наука, 1969.
4. Антамошкин А. Н., Золотарев В. В. Алгоритм расчета прогнозируемого трафика при проектировании распределенных систем обработки и хранения информации // Вестник СибГАУ 2006. № 1. С. 5-10.
5. Сафонов А. А. Теория экономического анализа : учеб. пособие / под ред. Л. В. Моисеевой. Владивосток : Изд-во Владивост. гос. ун-та экономики и сервиса.
6. ГОСТ 34.003-90. Информационная технология. Комплекс стандартов на автоматизированные системы. Автоматизированные системы. Термины и определения. М. : Изд-во стандартов, 1990.
7. ГОСТ 27.002-89. Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения. М. : Изд-во стандартов, 1989.
8. Половко А. М., Гуров С. В. Основы теории надежности. 2-е изд., перераб. и доп. СПб. : БХВ-Петербург, 2006.
V V Zolotarev, E. A. Danilova
ABOUT APPLICATION OF THE FACTORIAL ANALYSIS IN PROBLEMS OF THE AUTOMATED SYSTEMS ELEMENTS SECURITY ESTIMATION
This article considers a possibility of application of the factorial analysis in estimation of information systems security condition. A procedure of selection and classification of factors is described and calculation of influence of factors on size of result indicator is given here as well.
Keywords: risk management, information security risk, factorial analysis.
© Золотарев В. В., Данилова Е. А., 2010
УДК 534.121.1
А. В. Лопатин, П. О. Деев
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНОЙ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ СО СВОБОДНЫМ КРАЕМ1
Решена задача определения основной частоты колебаний трехслойной пластины, у которой три края жестко закреплены, а один край свободен. Вариационные уравнения движения пластины были получены с помощью принципа Гамильтона. Решение этих уравнений было выполнено методом Канторовича и обобщенным методом Галеркина.
Ключевые слова: трехслойная пластина, частота колебаний, обобщенный метод Галеркина.
Исследование изгибных колебаний трехслойных пла- ставляет задача динамического анализа трехслойной пластин является важным этапом их проектирования. Трех- стины, в которой один из ее краев свободен, а три других слойные пластины, совершающие изгибные колебания, жестко закреплены. Для трехслойных пластин рассмат-обладают самыми разнообразными способами закреп- риваемая задача не имеет до настоящего времени своего ления краев. К настоящему времени большинство реше- решения. Такая ситуация обусловлена трудностями вы-ний задач об определении частот колебаний трехслойных бора функций, аппроксимирующих форму пластины в пластин получены для случая, когда все четыре края шар- рамках моделей, учитывающих особенности движения нирно закреплены. Большой практический интерес пред- трехслойной структуры. Вместе с тем из общей задачи
1 Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 20092013 гг.».
определения спектра частот колебаний трехслойной пластины можно выделить одну частную задачу, решение которой можно получить в компактном виде. Речь идет о задаче вычисления основной частоты колебаний трехслойной пластины с рассматриваемыми граничными условиями. В настоящей статье решена задача определения основной частоты колебаний трехслойной пластины со свободным краем, которая состоит из двух одинаковых композитных несущих слоев и ортотропного заполнителя. Вариационные уравнения движения пластины были получены с помощью принципа Гамильтона. Решение этих уравнений было выполнено методом Канторовича и обобщенным методом Галеркина.
Рассмотрим прямоугольную трехслойную пластину, состоящую из двух одинаковых композитных слоев и ор-тотропного заполнителя. Отнесем срединную плоскость пластины к декартовым координатам ху. Размеры пластины по осям х и у обозначим а и Ь соответственно. Край пластины при у = Ь свободен, а остальные три края (у = 0, х = 0, х = а) жестко закреплены.
Получим вариационное уравнение поперечных колебаний трехслойной пластины. Рассмотрим интеграл действия Гамильтона
S = pLd^
^Т1
(1)
T = -2
л a о
2 II
Bp
W + D
дг 0 p
. де
де x
дТ
+ 2 D12
+ Dp
дТ
dxdy; (3)
де, деy
дг д.
+D2
Ґ
+кі е
v дУ у
дw Y у ■ +— I +K.
дx 0 У
+ D3.
деі де yЛ
--------1-------
дг ду
. Cw
У +¥
dxdy,
(4)
9x (x, y, т) = 9x (x, y) sin ит,
0y (x, y, t) = 9y (x, y) sin ют, (5)
где w - круговая частота колебаний; w(x,y), 9x (x, y), 9 (x, y) - двумерные функции, определяющие форму трехслойной пластины при поперечных колебаниях.
Подставляя уравнения (5) в равенства (3) и (4), получим следующее:
T = Tmax “S' ют , U = Umax Sin" юТ (6)
где Tmax - максимальная кинетическая энергия пластины; Umax - максимальная потенциальная энергия изгиба пластины. Величины Tmax и Umax определяются следующими выражениями:
Tmax = 2 ю2 J J ( B9 w2 + Вр9/ + Dp9 y2) dxdy,
99, 99y
Um
і a b
=2II
D111 —^ | + 2D12^x^- + дг J дг д.
+D2
ду
ґ
+ D33
деі деу Л
----------1-------
дг д.
где т - время; т2 -х1 - интервал времени, на котором происходит движение пластины; Ь - функция Лагранжа. Числовые значения функционала £ зависят от подынтегральной функции Ь, которая определяется следующим равенством:
Ь = Т - и, (2)
где Т и и, соответственно, кинетическая энергия и потенциальная энергия изгиба трехслойной пластины, совершающей поперечные колебания. Кинетическая энергия и потенциальная энергия изгиба трехслойной пластины равна [1]:
а2 л2 Л2'
+K-Іе- +f ]'♦ Ky Ге у ♦£
dxdy,
(7)
где w = w (x, у), ^ =еx (x У), еу =еу (x, У) .
Подставляя выражения (2) и (6) в равенство (1), получим
S = I"1 (Tmax COS" ЮТ - Umax Sin" ЮТ) dт.
(8)
Будем рассматривать движение пластины за один период колебаний. Тогда
Т2 -Т1 = 2л IЮ. (9)
С учетом соотношения (9) равенство (8) примет следующий вид:
(•2лIЮ о (• 2лIЮ о
S = Tmax j 0 COS ЮТ d Т-Umax j 0 Sin ЮТ d Т. (10)
Выполняя интегрирование по времени, найдем л ,
S = (Tmax - Umax ) .
Ю
(11)
где w = w(х, у, т) - прогиб пластины; 0Х =0х (х, у, т), 0 у = 0 у (х, У, т) - углы поворота нормали к срединной плоскости; £>п, Д2 (£>12 = £>21), £>22, Б33 - изгибные жесткости трехслойной пластины; Кх, Ку - сдвиговые жесткости трехслойной пластины; Вр - инерциальный параметр; -Ор - параметр, обусловленный инерцией поворота.
Рассматривая свободные колебания трехслойной пластины, представим прогиб w и углы поворота 0х , 0у в следующем виде:
w (х, у, т) = w (х, у) sin ют,
В соответствии с принципом Гамильтона, интеграл действия (11) для действительного движения трехслойной пластины в промежутке времени 2л / ю имеет стационарное значение. Тогда
5£ = 0, (12)
где 5 - знак вариации.
Принимая во внимание равенство (11), из уравнения (12) будем иметь следующее:
5(Тшах - ишах ) = 0. (13)
Подставляя выражение (7) в формулу (13), получим
II
+ D12 -У-
дг с.
де у Л Г де
D
де,
дг
+ D^,
де. л д.
dl —x-1+
дг
Г де,, Л
д.
+Вз,
ду дх
(^зз^2х + Куііх )в у + Куііх^ + DззJзx ^
+Вз-
( двх дв у ^ ду дх
(об.Л
дх
+ Кх| вх + — |5вх + дх
й в
-| В1213хвх + В22Ах~, |^
йу
(йв йу
+кх (в х + ^ ^5Г^^ ) +
^ дх ) \дх 0
-у Iе у +1 )5вy +Ку (0 у +1 Ш)-
-ю2 (рw5w + Вр0х50х + Вр0у50у ) ^ ёхёу = 0. (14)
Уравнение (14) представляет собой основное вариационное уравнение, которому должны удовлетворять собственные формы действительных поперечных колебаний трехслойной пластины. Получим решение этой задачи с помощью метода Канторовича и обобщенного метода Г алеркина [2; 3].
На защемленных краях пластины х = 0 и х = а реализуются следующие граничные условия:
w = 0, 0х = 0, 0у = 0. (15)
Метод Канторовича позволяет понизить размерность вариационного уравнения (14), если прогиб w и углы
-ю2 (І^ + Вр 31х вх 5вх + Вр І1х в у 5в у ))йу = 0, (19) где Ы = w (у), вх = вх (у), ву =ву (у).
В уравнении (19)
'йП'2
йх
йх,
І3х =
а
0
"2 х 4 ^ Ї йх, "зх =1 Ух
йУх
йх
-йх, 31х =
а
| йх,
йих
йх
йх.
(20)
0 \ / 0 Подставляя выражения (17) в уравнения (20), получим
І1х =
аІ1х
630 :
І2 х =
2У 2 х
105а
І3х = -
Уз х
105
Узх
(21)
3 = а 3 = — 3 =
1х 210, 2 х 5а ’ 3х 105
поворота
представить в следующем виде:
w (х у) = w (у)Пх (х),
вх (х у ) = вх (у )Ух (х)
в у у, у ) = ву уу )Ух у),
где
(16)
У1х = 1 + 108у х + 3 024у х,
У 2х = 1 + 84у х + 2 520у 2, Узх = 1 + 42у х
(22)
Выполним далее операцию варьирования функцио-
где w(y), в х (у), ву у) — неизвестные функции, аппрок- нала (19). В результате преобра3оваHИЙ, учит^1Вая равен-симирующие форму пластинці вдоль оси у; Пх ух), Ух {х) - ства (21) получим следующее:
ь ( й2 w й ву 2 ^
11 КхІ2xW - КуІІХ — + КхЗзхвх - КуІІХ -у- - ВрЮ21^їх
известные функции, аппроксимирующие форму пластины вдоль оси х. Функции их (х) и ¥х (х) имеют следующий вид:
их ух ) = х (х -1
а I а
- \- -1|- 12у х а \ а
x8wйy-
тг/ч х к х х „
Ух ух) = -|2-2- з- +1
а I а
где
„ 0 (17)
у х = Оп/ Кха2. (18)
Безразмерный параметр ух характеризует сдвиговую податливость трехслойной пластины в направлении оси х. Из равенств (17) следует, что на краях пластины х = 0 и х = а функции их и Ух равны нулю. Поэтому выбранная аппроксимация прогиба и углов поворота (16) удовлетворяет граничным условиям (15).
Подставляя выражения (16) в формулу (14) и интегрируя результат по х, получим следующее одномерное вариационное уравнение:
! к (4х 0х+/2 ,«')5«'+КЛ (0 у +1 )5( 10+
О
Я Кх"3xW +(ВП 32 х + Кх3и )вх
й2в , , йв у
-Взз3,х -------^ + (В,2Ізх - В333зх )) -
йу
йу2
- Врю2 31х вх ]бв хйу +
Взз\31хйу + 3зх в у |8вх
= 0; (23)
К,І„^ + у Взз 3зх - В1;Ізх) ^ +
йу йу
+ уВ3312х + КуІІХ)ву -В2211
-Вр®2І1хву ]8вуйу +
В12 І3х вх + В22 І1х
й 2 в
йу
йву
йу
= 0.
уВ1132х + Кх31х )вх + Кх33хМ! + В12 І3х й
йу
+Вїі (3-г+3>хв у ^а( й"
8вх +
При традиционном подходе к решению задачи об определении основной частоты колебаний трехслойной пластины из соотношений (23) в силу произвольности вариаций 5w , 50х, 50 можно получить разрешающие дифференциальные уравнения движения вдоль оси у:
0
0
0
0
КхІ2xW - КуІ1
йу2
Уу уу )=ь
А--у+1
зь2 ь
(29)
й в
-Ку^х-т - Врю IlxW = 0; йу
Кх33х w + (Д132 х + 3 )вх -
й2вх , ч йв у 2 Л (24)
-Взз31х йу2 + (В>12І3х - В3333х ) ~у - Врю 31хвх _ 0;
. йw йвх
КуІ1х й + (В33 33х В12І3х ) +
йу йу
где
У у = В22 / КуЬ2. (30)
Безразмерный параметр уу характеризует сдвиговую податливость трехслойной пластины в направлении у.
Вариации функций, определяемых равенствами (28), имеют вид
5w = Пу5¥, 5вх = ПуЫх,
\ = Уу 5 Ту. (31)
+(Взз 12 х + КуІи
й в у 2 в у - В22 І1х-пт - ВрЮ2 І1х ву = 0,
у ^ « йу
и естественные граничные условия на краях у = 0 и у = Ь: галеркига:
Подставляя равенства (28) и (31) в выражения (23), получим, учитывая произвольность вариаций 5F, 5Тх и 5Ту, разрешающие уравнения обобщенного метода
КуІ1 х|ву + йу ^ = 0,
В33 | 31 х ~у~ + 3зх в у
5вх = 0,
В12 І3х вх + В22 І1х
йву_ Л йу
й2П Л
КхІ2Пу - КуІІХ
йу2
¥ +
+Кх3зхПуТх - КуІ1х
йУ„
йу
у Ту - ВрЮ І^
5в у = 0.
(25)
Для случая, когда край у = 0 жестко закреплен, а край у = Ь свободен, граничные условия (25) примут вид
хПуйу+[к уу)]ь = 0;
(вп3 2 х+3 П - В33 31
й иу ~йу2
Тх +
у = 0, w = 0, вх = 0, ву = 0, у = ь, КуІ1х\ву + ййу | = 0;
Взз I 31х йу + 3 3х в у 1= 0, й в у
В12 Ізх вх + В22 ІІХ~^ = 0, йу
(26)
йУу
+(В12Ізх - Взз3зх )^Ту - ВрЮ3^
хпуйу+[ кх уу )] 0=0;
Ь Г йПу .йПу
11 КуІх-^Р + ( В33 3зх - В12Ізх )^ +
(32)
йу
(27)
(Взз12х + КуІ1х )Уу - В2211
Уравнения (27) означают, что на краю у = Ь обращаются в ноль перерезывающая сила, крутящий момент и изгибающий момент.
Рассматриваемая задача определения первой частоты колебаний может быть решена с помощью обобщенного метода Г алеркина [3]. Для реализации этого метода необходимо воспользоваться уравнениями (23). В соответствии с основной идеей метода Галеркина заменим функции w (у), 0х (у) и 0 (у) приближенными аналитическими выражениями, которые достоверно аппроксимируют первую форму колебаний трехслойной плас-
йу2
ууйу+[ К уу)] 0 =0
йу
Т - Врю2І1ху
1х у |
где
к уу ) = КУІІХ
йП Л ¥
УТ +-
у у йу
П„
К уу ) = Взз
(
( йП 3
йу
уТх + 3зхУуТу
П
К уу ) =
В1213 хПуТх + В22 І1х
йУ„ Л
йу
Т
Уу.
(33)
При у = 0, иу = 0 и Уу = 0. Тогда из равенств (28) слета™ вдоль осиу. В качестве таких аппроксимирующих дует, что w (0) = 0 , вх (0) = 0, ву (0) = 0 . Таким обра-
функций можно принять функции, полученные при ре- зом, выбранная аппроксимация (28) и (29) удовлетворяет
шении задачи об изгибе консольно закрепленной балки граничным условиям (26) на защемленном краю трех-
шд дастмт постоянной нагрузки [4]. Представим слойной пластины. При у = Ь для функций Пу и Уу и их W (у), вх (у), ву (у) в следующем виде:
w (у) = ¥Пу (у) вх (у) = Тхиу (у)
ву (у) = ТуУу (у) (28)
где ¥ , Тх, Т - неизвестные числа; Пу (у), Уу (у) -
у у
первых производных справедливы следующие равенства:
Пу = 3(1 + 4уу), Уу = 1/3, йПу/йу = 4/1, йУу!йу = 0.
(34)
Подставляя равенства (28) при у = ь в левые части урав-
аппр°ксимирующие функции, определяемые в^1ражени- нений (27) и учитывая формулы (34), получим три не равные нулю выражения:
Пу (у )=у
КЛ \ 3 Ту + Л * 0, Взз (3Тх + 3 3зТу | * а
0
3В12/3хТх В1 + 4Уу )Ф 0. (35)
Подразумевается, что в общем случае F Ф 0, Тх Ф 0, Ту Ф 0. Из выражений (35) следует, что выбранная аппроксимация (28) и (29) не удовлетворяет традиционным
Кх (ь) = 12(1 + 4Уу)Взз31хТх +(1 + 4уу)Взз3зхТу, (42) Яу (ь ) = (1 + 4уу ) В123зХТХ.
Подставляя выражения (42) в уравнения (38), полу-
граничным условиям (27) на свободном краю трехслой- чим однородную систему лтштк алгебраических урав-ной пластины. Однако обобщенный метод Галеркина не нений:
требует обязательного точного удовлетворения функциями иу и Уу граничных условий на свободном краю пластины. Уравнения (32) автоматически обеспечивают приближенное выполне ние граничных условийпри у = Ь.
Величины [я (у)]Ь, [Ях (у)] ^ [ку(у^ 0, входящие в уравнения (32), могут быть представлены в следующем виде:
[я (у )] 0=я вь )-я (0), [ях ш:=я вь)-я (0),
[Яу (у)]0 = Яу (Ь)-Яу (0). (36)
Подставляя у = Ь в уравнения (33) и учитывая,
что иу = 0 и Уу = 0 , получим Я (0) = 0 , Ях (0) = 0 и
Яу (0 ) = °.
Тогда из формул (36) будем иметь:
[ Я (у )] 0 = Я (Ь ) ё Ях (у )] Ь = Ях (Ь )
[ Яу (у)] 0 = Я(Ь). (37)
Выполним в уравнениях (32) операцию интегрирования по у. В результате преобразований, учитывая равенства (37), получим
(Кх12х11у - Ку11х12у ) F + КхЗЪх11уТх -
-Ку11х1ъТ - ВрЮ21^/ + Я (Ь) = 0,
(КХІ2ХІ1У - КхІ1х~12у )¥ + Кх3зхІ1 уТх --КуІ1хІ2уТу - ВрЮ2І1хІ1уЕ = 0,
К3зАУ¥+[(ВП32х + КХ3ІХ )І1у - Взз3Й2у ] +
+ (В12І3хІ3у - В3333хї3у ) Ту - ВрЮ231хІ1уТх = 0, (43)
КуІ1х3з у¥ + ( Взз 3з х3з у - В12 Із х3 з у ) Тх +
+ [(Взз 12х + КуІ1х ) 31у - В22І1х32 у ] Ту -ВрЮ2І1х31уТу = 0, где
12 у = 12 у - 12 у1 + 4У у ) , І з у = 13 у -(1 + 4у у ) ,
3 з у = 3з у-(1 + 4У у ). (44)
Учитывая выражения (40) и (41), преобразуем равенства (44) к виду
где
- _ 24 - - -
2у з5ь У2у, 13у =-3зу, 33у =-І:
У 2у = 15 + 84У у + 280У у .
3 у’
(45)
(46)
Приведем уравнения (43) к уравнениям с безразмерными коэффициентами. Для этого подставим равенства (40), (45) в формулы (43) и затем умножим каждое уравнение на величину 3 96900аь В11В22. В результате пре-
+ (В12І3х - В3333х ) І3уТу - Вр®231хІ1 уТу + Ях (ь ) = 0, (38) образований п°Лучим
Кх3зхІ1 ¥ + [(В1132х + К3 ) І1у - В3331хІ2у ] Тх +
КуІ1х3зу¥ + (В333зх - В1213х ) 3зуТх + + [( Взз 12 х + КуІ1х ) 31у - В 2211x3 2 у ] Ту -
-ВрЮ2І1х31уТу + Яу (ь) = 0,
где
где
а11¥ + а12¥х + а13¥у -^ь11 ¥ = 0, а21¥ + а22¥х + а23¥у - ^ь22¥ = 0, аз1¥ + аз2¥х + азз¥у - Чьзз¥ = 0,
= аТх, ¥у = ьТ .
(47)
(48)
І1 у =1Пуйу,12у =1 П’1П‘,у- І-у =1 Пу?йу,
ь 4 й2 У ь йП
31у =1 Уy2йУ, 32у =1 Уy_йУLйУ, 3зу =1 Уу^йу. (39)
Подставляя выражения (29) в формулы (39), найдем 8ь 12 . Узу
йУ
Коэффициенты системы равны
а11 = 48
V
У х
а у
а22 = 48
І1у =-
315
У1у , 12у
35ь
У 2 у , 13 у
35
У 3 х у1у ,,-г)
а---------“ + 27Р33 У 2у
\ Ух 0
( " Л
3 = ь 3 =-± 3 = А_
1 у 14, 2у 5ь ’ 3у 35 Узу
азз 9
(40)
аУу
- + 60Р33 У 2 х
где
а12 = а21 = 96а
Узх У1у
У1 у = 91 + 999У у + 3 024Уу , У 2у = -5 + 28У у + 560У у ,
У3у = 5 + 56Уу, У3у = 5 + 14Уу. (41)
Определим значения величин Я (Ь), Ях (Ь), Яу (Ь), входящих в уравнения (38). Полагая в уравнениях (33) у = Ь и учитывая равенства (34), будем иметь следующее:
Я (Ь)= ( + 4У у + ( + 4У у )Ку/1хТу ,
Ух_
108 У1х У з у
а У у 1
(49)
:108Уз х ( 6Рз3 Уз у Ь12 У 3 у ) ,
ь11 = 16У1хУ1у , ь22 = 48 ГхУ1у , ьз3 = 45 ГУУ1Х .
В равенствах (49) введены следующие обозначения:
а = Вл.^5 Ь12 =
В22 а2
В12
Р33 =■
В3
лВВТ’ 33 ^в^
(50)
ю =
1 ШЖ:
аЬ
Вр
(58)
Г=В
х2 Вра
г =В
у ВУ
(51)
Величина Ц, входящая в уравнения (47) и определяемая равенством
В ю2 а У Ц = р------ , (52)
лВВТ
является безразмерным частотным параметром.
Таким образом, задача определения основной частоты колебаний рассматриваемой трехслойной пластины сведена к вычислению параметра Л , при котором однородная система (47) будет иметь нетривиальное решение. Приравняем к нулю определитель системы (47), т. е.
а11 -ЛЬ11 а12
det
а
а3
а
:-ЦЬ2:
а
а
а3,
23
а33 -ЦЬ3:
= 0.
(53)
■*31 32 ^33 '1^33 ^
Из условия (53), учитывая, что ап = а^, ап = а3Х, а1Ъ = а32, получим характеристический полином третьей степени
„3 ТТ „2
где
(55)
где
1 = лЯ (59)
Получим формулы для вычисления изгибных жесткостей В (тп = 11,12,22,33), сдвиговых жесткостей К , Ку и инерциальных параметров Вр, Вр. Рассмотрим структуру трехслойной пластины. Пусть суммарная толщина несущих слоев равна ,, а толщина заполнителя равна Н. Материал несущих слоев характеризуется коэффициентами жесткости АП (тп = 11,12, 22, 33), трансвер-сальными модулями сдвига и плотностью р,.
Аналогичные характеристики заполнителя обозначим А(Н> (тп = 11, 12, 22, 33) , О(А) О(А), рН.
тп V ’ ’ ’ /’хг’уг’гН
В рамках сдвиговой теории, используемой в настоящей работе для описания движения трехслойной пластины, изгибные и сдвиговые жесткости, а также инерциаль-ные параметры могут быть определены по следующим формулам:
Вт
н3^- Н 2^+ Н,ц- Н = 0, (54)
Н 3 = Ь11Ь22Ь33,
Н2 = а11Ь22Ь33 + а22Ь11Ь33 + а33Ь11Ь22 ,
Н1 = Ь11 ( а22а33 - а23 ) +
+Ь22 (а11а33 - ап ) + Ь33 (а11а22 - а22 ) ,
Н0 = а11а22а33 + 2а12а13а23 --а13а22 - а23а11 - а12а33.
Уравнение (54) имеет три вещественных корня. Наименьший из этих корней будет определять требуемый
частотньй параметр ц.
Если не учитывать инерцию поворота, то для вычисления параметра ц можно получить простую формулу. Пусть Вр = 0. Тогда из формул (51) следует, что гх = 0 и гу = 0. В этом случае коэффициенты Ь22 и Ь33 обратятся в ноль, и из уравнений (55) будем иметь следующее:
Н3 = 0, Н2 = 0, Н1 = Ьц (а22а 33 - а223 ) . (56)
Подставляя равенства (56) в уравнение (54), получим Ц = Н0/ Н,. (57)
Величина частотного параметра з, определяемого из уравнения (54) или с помощью формулы (57), зависит от безразмерных параметров ух, Уу, а, Р12, Р33, гх, гу, которые содержат всю информацию о жесткостных, геометрических и инерциальных характеристиках трехслойной пластины с композитными несущими слоями и ор-тотропным заполнителем.
При известном частотном параметре ц основная частота колебаний трехслойной пластины может быть получена из равенства (52) и представлена в следующем виде:
= А^П-Хтп, (тп = 11, 12, 22,33), Кх = О« ,С я, Ку = О? ,С
Г 12
Вр =р,,Ср, Вр =р,—Ср,
где
Хтп = Х +
Х = 1+3-+3 Ннт, , /2
, Н О(‘> ^ 1 + —
(60)
(61)
(62)
(63)
(64)
Г НЛ 2(
= 11+-
V
(л Н 2(
= 11+-
V
= 1+рнн , X
р, 1
, ОИ)
уг 0
.рнН! р, ,3
(65)
(66)
Получим расчетные формулы для параметров Ух , Уу, а, Р12, Р33, гх, гу. Подставляя формулы (60), (61) в выражения (18) и (30), будем иметь следующее:
Ух =
м,)
22
Уу = 12 О® I Ь2 к
у
1 а® (,2 ]Х
(67)
уг \ У ~уг
Из равенств (50) с учетом соотношения (60) получим
а= /А1(1) /^Трг = А12) Х[2 > А^2\ Х22 а' ’
Р33 =
А33>
(68)
Подставляя равенства (62) в формулы (51), найдем
1 ,2 Хр 1 ,2 Хр
гх = 12 ^ ер, Гу = й ^ Ср. (69)
Формула для частоты колебаний (58) с учетом равенства (60) и первого из равенств (62) примет следующий вид:
Ю=1
(7G)
Y x =
1 Лїї) f t2 'їх
12 Gi°
A(t) Л12
a = /Лї1_ b p = a V A22) a2’ b12 JAM
_1 ЛІ
12 G«
P33 =
(72)
A33)
лЙ1Л
ю=1
t 1
(73)
—(t) 2
EX) b2
, P12 =
Y x =
E a2
ЁУ
—(t) _L Ex_ її gF
E Х) v(,)
x ХУ f—(t)—(t)
Jeve
P33 =
G(')
ХУ
t 2
С xz
1A x.
12 a2 Cp
Y y =
A ElL
12 G«
= 1 tL Ip
Г 12 b2 CP
TT 1^, (74)
Выражение для частоты колебаний следует из равенства (73), т. е.
В трехслойных пластинах часто используется так называемый легкий заполнитель, обладающий малой жесткостью в плоскости ху. Для такой структуры можно принять Л^ = 0 (тп = 11,12, 22, 33). Тогда из формулы (63) следует, что Хтп = X (тп = 11,12, 22, 33). В этом случае равенства (67) и (68) примут следующий вид:
Ю=1
t___1_
ab 2S\
(75)
Параметры гх и гу остаются без изменений. Подставляя в формулу (70) Хп =Х22 =Х, получим для определения основной частоты колебаний трехслойной пластины с легким заполнителем следующее выражение:
аЪ 2^3^ р, "УСр
Как уже отмечалось, задача определения основной частоты колебаний трехслойной пластины со свободным краем не имеет решения до настоящего времени. Поэтому для верификации полученных в статье формул выполним сравнение вычисленных с их помощью частот с частотами, найденными методом конечных элементов.
Рассмотрим пластину с ортотропными несущими слоями и легким ортотропным заполнителем. Для такой пластины расчетные формулы (72), (71), (69) примут следующий вид:
р, vzp
Пусть материал несущих слоев обладает следующими параметрами: Е(х ) = 54,551 ГПа, Е{у) = 54,551 ГПа, G® = 20,668 ГПа, vf) = 0,319 7, v(') = 0,319 7, G(0 = 3,779
ху z1 ^ ху -1 -1 ук у у xz ^
ГПа, GG = 3,779 ГПа, р, = 1 500 кг/м3. Материал заполнителя имеет GZ = 440 МПа, G® = 220 МПа ph = 83 кг/м3. Пусть размеры пластины в плане принимают следующие значения: b = 1 м, а = 1, 3, 5 м. Толщина несущих слоев , = 0,001 м, а толщина заполнителя h = 0,01; 0,05; 0,1 м. Для пластины с рассмотренными выше характеристиками найдем частоту колебаний f = ю / 2 л. Входящий в формулу (75) безразмерный частотный параметр 1 (напомним, что 1 =*Jh) определяется из решения уравнения (54). Значения частот, определенных для различных значений а и h, приведены в табл. 1. Далее получим значения основной частоты колебаний рассматриваемой трехслойной пластины с помощью метода конечных элементов. Для этих целей воспользуемся пакетом COSMOS/M [5]. Моделирование трехслойной пластины было выполнено с помощью конечного элемента SHELL4L, который позволяет рассчитывать трехслойные конструкции. Частоты колебаний рассматриваемой трехслойной пластины, найденные методом конечных элементов, приведены в табл. 2. Сравнение данных таблиц позволяет сделать вывод, что разница между частотами, вычисленными разными способами, не превышает 5 %.
Таким образом, решена задача определения основной частоты колебаний трехслойной пластины, три края которой жестко закреплены, а один свободен. Для решения уравнений движения был использован метод Канторовича и обобщенный метод Галеркина. Была выполнена верификация разработанной модели вычисления основной частоты колебаний. Определение основной частоты колебаний трехслойной пластины может быть надежно, без значительных вычислительных усилий выполнено по формулам, предложенным в статье. Полученные формулы окажутся особенно полез-
Таблица 1
Частоты колебаний, вычисленные с учетом инерции поворота
rx
h, м a, м
1 3 5
0,01 102,23 21,771 17,017
0,05 304,381 66,563 52,124
0,10 440,017 99,286 77,931
Таблица 2
Частоты колебаний, вычисленные методом конечных элементов
h, м a, м
1 3 5
0,01 99,759 21,614 16,911
0,05 293,335 65,816 51,694
0,10 420,151 97,888 77,167
ными при проектировании трехслойных пластин, когда ограничения накладываются на основную частоту ко -лебаний.
Библиографические ссылки
1. Vasiliev V V Mechanics of composite structures. Taylor & Francis, 1993.
2. Kantorovich L. V, Krylov V. I. Approximate methods of higher analysis. New York : John Wiley & Sons, 195S.
3. Королев В. И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. М., Машиностроение, 1965.
4. Пратусевич Я. А. Вариационные принципы в строительной механике. М. ; Л. : ОГИЗ, 194S.
5. COSMOS/M : User Guide // Structural Research & Analysis Corporation, 2GG3.
A. V Lopatin, P. O. Deev
DETERMINATION OF THE FUNDAMENTAL FREQUENCY FOR RECTANGULAR SANDWICH PLATE WITH FREE EDGE
In the article the problem of determination of the fundamental frequency of sandwich plate with three clamped edges and one free edge is solved. Variation equations ofplate dynamics were obtained with the help of Hamilton principle. The equations were solved via Kantorovich method and via generalized Galerkin method.
Keywords: sandwich plate, vibration frequency, generalized Galerkin method.
© Лопатин А. В., Деев П. О., 2010
УДК 519.62
В. А. Нестеров
МАТРИЦА ЖЕСТКОСТИ КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ БАЛКИ С НИЗКОЙ ТАНСВЕРСАЛЬНОЙ СДВИГОВОЙ ЖЕСТКОСТЬЮ
Разработан конечный элемент балки, в расчете которой учитываются трансверсальные сдвиговые деформации. При вариационной реализации метода конечных элементов получена матрица жесткости пространственной балки. В качестве одних из основных узловых кинематических параметров присутствуют углы трансвер-сального сдвига.
Ключевые слова: балка, метод конечных элементов, трансверсальный сдвиг.
В последние годы все чаще композитные конструкции используются в производстве космической техники. Композиты обладают высокой удельной прочностью и жесткостью, а также способностью к направленному изменению механических свойств в соответствии с назначением и условиями эксплуатации конструкции. В частности, космические антенны представляют собой композитные рамные конструкции балочного типа. Вместе с тем композитные конструкции, в том числе и балки, отличаются рядом особенностей, которые должны быть учтены при проектировании и расчете. Основная среди них - низкая сдвиговая жесткость по отношению к трансверсальным напряжениям. Учет указанной особенности при реализации численного (конечно-элементного) расчета приводит к повышению порядка разрешающих уравнений за счет введения в рассмотрение углов трансверсального сдвига. Это обстоятельство от-
личает матрицу жесткости, полученную в работе, от традиционных балочных конечных элементов.
Рассмотрим пространственную задачу об изгибе слоистой балки с низкой жесткостью при трансверсальном сдвиге. Для решения воспользуемся вариационным алгоритмом метода конечных элементов. Уравнения равновесия конечного элемента балки получим вариационным методом, для этого выделим элемент длиной I и запишем для него выражение полной потенциальной энергии
Е = и + П, (1)
где и - потенциальная энергия деформации; П - потенциал внешних сил.
В качестве исходного для и возьмем соответствующее выражение из линейной теории упругости трехмерного тела:
