Устойчивость шарнирно опертой цилиндрической оболочки с прямоугольным поперечным сечением Текст научной статьи по специальности «Физика»

М. В. Кликушина

УСТОЙЧИВОСТЬ ШАРНИРНО ОПЕРТОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ПРЯМОУГОЛЬНЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ*

Рассматривается задача устойчивости упругой цилиндрической оболочки с прямоугольным поперечным сечением, сжимаемой между двумя абсолютно твердыми параллельными плитами. Предполагается, что смещениям края оболочки в плоскости плиты могут препятствовать только силы трения между оболочкой и плитой. Если силы трения так велики, что исключают перемещения краев оболочки в плоскости плиты, то граничные условия на краях оболочки совпадают с условиями шарнирного опирания краев. Форма потери устойчивости равномерно покрывает всю поверхность стенок оболочки.

Точное значение критической нагрузки для оболочки с квадратным поперечным сечением, имеющей два шарнирно опертых края, приведено в статье [1]. Устойчивость такой оболочки со слабо закрепленными краями рассмотрена в [2, 3].

В данной работе найдено точное численное решение задачи устойчивости для шарнирно опертой оболочки с прямоугольным поперечным сечением. Кроме того, асимптотическим методом получено приближенное значение параметра критической нагрузки для оболочки, сечение которой близко к квадратному. В качестве начального приближения используется решение задачи устойчивости оболочки с квадратным поперечным сечением. Проведено сравнение полученных результатов с результатами расчетов методом конечных элементов.

1. Формулировка проблемы. Рассмотрим упругую оболочку с прямоугольным поперечным сечением (рис.1) под действием однородной распределенной нагрузки На, где Н — толщина оболочки, а — напряжение. Одна стенка оболочки представляет собой пластину длиной а и шириной Ь, другая — длиной а и шириной с.

Рис. 1.

Дифференциальное уравнение для определения бокового перемещения и!(к^ (X, у) стенки с номером к имеет вид [4]:

где Б — жесткость на изгиб, Е — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона.

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 01-01-00327).

© М. В. Кликушина, 2004

БААи)(к^ (х, у) + Нат^у! (х,у) = 0, к = 1, 2, 3, 4,

(1)

В силу симметрии будем рассматривать только первую и вторую стенки оболочки. Областью изменения х и у является множество = {х, х, у} = ([—Ь, 0] и [0, с]) х [0, а]. Граничные условия в углах оболочки (рис.2) могут быть записаны в виде [1]:

и(1)(0, у) = и(2)(0, у) = 0, иХ }(0, у) = иХ )(0, у)

и(Х (0, у) = и(0, у).

(2)

А (2) * IV

V/

<г

,(1) -к

J 5 ^ |_

к

ъ

>

1 - г

> Г V/

я

V и/

Рис. 2.

,(4)

Для того чтобы функция и(к) (х, у) удовлетворяла условиям шарнирного опирания

и(к (х, у)

д210(й) (ж, у) ду2

0 при у = 0, у = а,

ищем ее в виде

и(к') (х, у) = /(к) (х) Бт

. /тпу

к = 1, 2.

(3)

(4)

Подстановка функции (4) в (1) дает уравнение для определения функции /(к) для стенки с номером к:

¿4/(к) 2т2п2 /(к) т4п4 (к) т2п4

¿х4

а2 ¿х2

(5)

где

На

От: 2

параметр нагрузки.

Подставив (4) в (2), получим условия в месте соединения двух пластин:

/(1)(0) = /(2)(0) = 0, /1}(0) = /(2)(0), /£}(0) = /£}(0). (6)

В силу симметрии оболочки по ширине х, можем рассмотреть 1/2 каждой стенки. Положим Ь = 1, с = 1 + £. Тогда область изменения координат ^2 = {х,х,у} = ([—1/2, 0] и [0, (1 + е)/2]) х [0, а].

Запишем соответствующие граничные условия симметрии:

1 + £

0.

(7)

а

а

а

Л

2. Точное решение задачи. Решения уравнений (5) ищем в виде:

а2

/<*> =ерх, к= 1,2 =Ф- 74 - 272 ---2Л+1 = 0. (8)

ha a в

2 Г)7 ^ *

п2^ m п

а г—

В зависимости от того, положительно или отрицательно выражение 1------------у А, воз-

можны два случая разрешения уравнения (8). Предположим, что 1----л/\ < 0. Тогда

т

корни уравнения (8) имеют вид

7i = Jl + —Va, 72 =-71, 7з = *7з = / —VA — 1, 74 = -7g.

Xl m у m

Общие решения уравнений (5)

f(1) = ci sh Yizx + C2 chYizx + C3 sin73ZX + C4 cos Y3ZX,

f(2) = di sh 71ZX + d2 ch71ZX + ¿3 sin 73ZX + ¿4 cos Y3zx, где z = mn/a, подставим в граничные условия (6) и (7). Получим систему уравнений:

C4 = -C2 , ¿4 = —¿2,

ciYi ch 71П — C271 sh 71П + C373 cos 73П — C273 sin 73П = 0,

C173 ch 71 n — C2Y1 sh Yin — C3Y3 cos 73П + C2y3 sin 73П = 0, diYi ch Yip + ¿271 sh Yip + ¿373 cos Y3P + ¿273 sin 73P = 0, diY3 ch 71P + ¿273 sh 71P — ¿373 cos 73P — ¿273 sin 73P = 0,

C171 + C373 = di7i + d373 , C2(72 + 73) = ¿2 7 + 73),

где

mn (1 + e)mn

n = ——, p

2а 2а

Для того, чтобы эта система имела решение, ее определитель должен быть равен нулю. Равенство нулю определителя дает нам уравнение для нахождения параметра нагрузки А.

Будем решать это уравнение численно, меняя параметры а, е. Результаты вычислений приведены в таблице 1.

Табл. 1.

е \ а 0.4 1.0 2.0 4.0 8.0 10.0

0.0 27.04(2) 6.25(2) 4.00(2) 4.00(4) 4.00(8) 4.00(10)

8.41(1) 4.00(1) 4.694(3) 4.203(5) 4.056(9) 4.037(11)

0.1 26.769(2) 5.974(2) 3.594(2) 3.594(4) 3.594(8) 3.594(10)

8.144(1) 3.594(1) 4.388(3) 3.791(3) 3.610(7) 3.596(9)

0.2 26.496(2) 5.690(2) 3.208(2) 3.208(4) 3.208(8) 3.208(10)

7.868(1) 3.208(1) 4.081(3) 3.284(3) 3.176(7) 3.174(9)

0.3 26.272(2) 5.440(2) 2.869(2) 2.869(4) 2.869(8) 2.869(10)

7.629(1) 2.869(1) 3.704(1) 2.847(3) 2.80(7) 2.806(9)

Каждая строка подразделяется на две, где в первую записываем значения А для антисимметричной формы потери устойчивости, а во вторую — для симметричной, в скобках указано число волн по длине т, соответствующее форме.

В [1] было показано, что для оболочки с квадратным поперечным сечением (при е = 0) наименьшее значение параметр нагрузки А принимает при т, наиболее близком к а; если длина а является натуральным числом, то наименьшее А = 4.0 достигается при а = т (Для четных а этому случаю соответствует антисимметричная форма потери устойчивости, для нечетных — симметричная форма).

Хотя в задаче устойчивости нам интересны только наименьшие А и соответствующие им формы потери устойчивости, мы приводим значения А как для симметричной, так и для антисимметричной форм, что позволяет нам для данной длины а наблюдать чередование форм, соответствующих наименьшему А, в зависимости от параметра поперечного сечения е. Можно видеть, что для оболочки с прямоугольным поперечным сечением (при е = 0) для данной длины а при увеличении е происходит смена формы потери устойчивости на противоположную, при этом число волн т уменьшается. Таким образом, для натуральных длин а наименьшее значение А достигается не обязательно при а = т.

3. Приближенное решение задачи. Рассмотрим случай, когда е мало. Разложим решение ](к) уравнения (5) в ряд по степеням е. Будем искать только два первых члена асимптотических рядов:

Подстановка (9) в уравнение (10) и граничные условия (6), (7), (8) дает задачу нулевого приближения (слагаемые, не содержащие є0) и задачу первого приближения (слагаемые с множителем є1). Краевая задача нулевого приближения выглядит так:

/(к) = /0Й) + єї{к) + Л = Ао + єАі + ...

(9)

Домножим обе части уравнения (5) на V2 = а2/(т2п2). Тогда уравнение (5) примет

вид:

Ь/(к) = п2Л/(к), к = 1, 2,

(10)

где

Ь/0к) = п2Ло/0к), к =1, 2,

/о(1)(о) = /02)(о) = о, /012(0) = /022(0), /012 ж(0) = /022ж(о),

(11)

(12)

Решение задачи первого приближения удовлетворяет уравнению

Ь/((к) = п2(Л0/1к) + А1/0к)), к =1, 2

(13)

и граничным условиям

Решение задачи нулевого приближения, соответствующее оболочке с квадратным сечением, приведено в [1]:

/0

(к)

22 ха т

эш (ттх)^ к = 1,2, Л0 = -г- + 2н-

т2 а2

Введем скалярное произведение:

г

(/,д) = J/gdx,

где г = —1/2 или 1/2 для первой и второй стенки соответственно. Скалярно умножим уравнение (13) на /0к). Получим

(/(к), /к)) = ^2(А0(/[к), /к)) + А/, /(к))), к =1, 2.

(15)

Преобразуем левую часть уравнении (15) интегрированием по частям, пользуясь нулевым приближением:

(Ь/1к) ,/0к)) = Ск + (Ь/0к) ,/1к)) = Ск + п2 Л0(/1к) ,/0к)),

где Ок находится из граничных условий. Подставляем (16) в (15):

Л1(/0к),/0к))= п2Ск, к =1, 2,

(16)

(17)

где

С1 = V2

/(1) /(1) _ /(1) /(1) і /(1) /(1) _ /(1) /(1)

•I 1,ххх ■> 0 ^ 1,хх •> 0,х ' ■> 1,х ^ 0,хх ■> 1 ■> 0,ххх

-1/2

2

/(1) /(1) /(1) /(1))

/1,х І0 ¡1 /0,х)

-1/2

С2 = V2

/(2) /(2) /(2) /(2) і /(2) /(2) /(2) /(2)

I1,xxx ^ 0 / 1,хх/0,хТ / 1,х ^ 0,хх «/1 I0,xxx

1/2

2

/(2) /(2) _ /(2) /(2)) /1,х ^0 /1

1/2

Складываем уравнения (17) при к =1, 2. Упрощаем с помощью граничных условий (14) сумму О1 и О2:

С1 і С2 = п2

Из уравнений (17) находим:

А1 ((/¿1}, /о1}) + С/о(2\ /о(2))) = -^(С1 + С2) = - + 1

т2

где

(/01),/01))

1/2

(/02), /02)) = J (віп (пх))2 ¿X = 1/2.

-1/2

0

0

0

0

2

а

2

т

Окончательно получаем формулу для нахождения поправки первого приближения к параметру критической нагрузки:

Параметр критической нагрузки складывается из нулевого и первого приближений:

А = Ао + еА1.

Будем находить приближенное значение А, меняя а и т и рассматривая различные е. Считаем V = 0.3.

Занесем в таблицу 2 наименьшие значения А, не указывая форму потери устойчивости (антисимметричную или симметричную) и соответствующее число волн т, т.к. они такие же, как и в первой таблице.

Табл. 2.

е \ а 0.4 1.0 2.0 4.0 8.0 10.0

0.0 8.41 4.00 4.00 4.00 4.00 4.00

0.1 8.178 3.60 3.60 3.60 3.60 3.598

0.2 7.946 3.20 3.20 3.20 3.149 3.151

0.3 7.714 2.80 2.80 2.674 2.688 2.704

Сравнивая точные и приближенные результаты, приведенные в двух таблицах, видим, что при малых значениях е < 0.2 относительная погрешность мала, не более 1.11%. Это дает возможность пользоваться в данном случае асимптотическим методом. Но при увеличении е погрешность возрастает и доходит при е = 0.3 до 6.1%. На рисунке 3, на примере оболочки длиной а = 8, видно, что при дальнейшем увеличении параметра е значения А асимптотического метода расходятся с точными.

4. Расчет в программе ADINA. Рассмотрим оболочку длиной а, с шириной одной стенки — 1, шириной второй стенки — 1 + е, где е берем от 0 до 0.3 с шагом 0.1, толщиной Н = 0.01.

При моделировании оболочки в силу симметрии по ширине и длине можем рассматривать 1/4 каждой стенки, т.е. область = ([ —1/2, 0] и [0, (1 + е)/2]) х [0, а/2].

Значения параметра критической нагрузки также запишем в таблицу 3, где М — количество элементов, на которое мы разбиваем 1/4 каждой стенки:

Табл. 3.

£ \ а 0.4 1.0 2.0 4.0 8.0 10.0

0.0 8.245 3.897 3.888 3.947 3.992 4.001

0.1 8.998 3.496 3.489 3.544 3.586 3.591

0.2 7.745 3.114 3.109 3.160 3.181 3.182

0.3 7.524 2.782 2.778 2.824 2.802 2.801

м (20 х 8) (20 X 20) (10 х 20) (10 X 40) (6 х 60) (6 х 60)

Сравнивая результаты точных вычислений и расчетов методом конечных элементов в пакете ADINA, отметим, что относительная погрешность уменьшается (от 3% до

0.03%) при увеличении количества элементов и увеличении длины оболочки.

На рисунке 3 можно видеть разницу между величиной точного параметра А, приближенного и вычисленного с помощью программы ADINA на примере оболочки длиной 8.

л

Рис. 3.

Рис. 4.

Форма потери устойчивости для оболочки длиной a = 10 при £ = 0.2 приведена на рисунке 4.

Summary

Klikushina M. V. The buckling of a simply supported shell with the rectangular cross-section.

The simply supported cylindrical shell with the rectangular cross-section compressed between two absolutely hard parallel plates is considered. The exact analytical value of a critical loading parameter is found. The asymptotic method for the buckling problem solution of this shell is applied. The approximate analytical solution of the corresponding boundary value problem is obtained. The results of exact the solution and the asymptotic method, and also the exact value and results of the finite element method are compared.

Литература

1. Филиппов С. Б. Устойчивость цилиндрической оболочки с квадратным поперечным сечением // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1999. Вып. 3. С. 97-101.

2. Filippov S. B., Haseganu E., Smirnov A. L. Buckling analysis of axially-compressed square elastic tubes with weakly supported edges //Technishe Mechanik, 2000. Т. 2, № 1. С. 13-20.

3. Кликушина М. В., Филиппов С. Б. Устойчивость цилиндрической оболочки с квадратным поперечным сечением, имеющей два свободных края //Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2001. Вып. 1. С. 86-92.

4. Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. ОГИЗ-Гостехиздат, 1946. С. 291-302. Статья поступила в редакцию 3 июня 2003 г.