Влияние эксцентриситета на устойчивость подкрепленных шпангоутами цилиндрических оболочек под действием внешнего давления Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЛИЯНИЕ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА

НА УСТОЙЧИВОСТЬ ПОДКРЕПЛЕННЫХ ШПАНГОУТАМИ

ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК

ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНЕШНЕГО ДАВЛЕНИЯ*

0. М. Малышева1, С. Б. Филиппов2

1. University of Alberta (Edmonton, Canada), аспирант, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

Несмотря на происходящее в последние годы интенсивное развитие численных методов расчета тонкостенных конструкций, их использование в задачах динамики и устойчивости подкрепленных оболочек связано с определенными трудностями. В связи с этим в теории подкрепленных оболочек до сих пор сохраняют ведущие позиции асимптотические [1, 2] и вариационные [3, 4] методы.

Задача определения оптимальных параметров подкрепленной цилиндрической оболочки, обеспечивающих максимальное значение критического давления для оболочки с фиксированной массой, решена в [1] асимптотическим методом для случая, когда центр тяжести поперечного сечения шпангоута находится на срединной поверхности оболочки. Однако в реальных конструкциях расстояние между центром тяжести поперечного сечения шпангоута и срединной поверхностью оболочки, называемое эксцентриситетом, отлично от нуля, так как шпангоуты расположены либо внутри оболочки, либо снаружи от нее.

Основное внимание в данной работе уделяется изучению влияния эксцентриситета на величину критического давления и значения оптимальных параметров подкрепленной шпангоутами круговой цилиндрической оболочки.

1. Постановка задачи и основные уравнения

Рассмотрим задачу о потере устойчивости безмоментного напряженного состояния подкрепленной шпангоутом круговой цилиндрической оболочки под действием равномерного бокового внешнего давления p (рис. 1).

Рис. 1. Цилиндрическая оболочка, подкрепленная шпангоутом.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №07-01-00250).

© О. М. Малышева, С. Б. Филиппов, 2009

Шпангоут представляет собой круговой стержень постоянного поперечного сечения. Выберем за единицу длины радиус цилиндрической оболочки Д и введем на срединной поверхности цилиндрической оболочки безразмерные координаты в € [0,1] —длину дуги меридиана и ^ € [0, 2п] — угол в окружном направлении.

После разделения переменных систему уравнений устойчивости цилиндрической оболочки запишем в безразмерном виде [1, 5]:

Т{ + тБ = 0, Б' — тТ + ^2 + 2Н' = 0, + т^2 — Т2 + Лт$2 = 0,

$1 = —ад', $2 = тт + V, ^ = М' + 2тН, ф2 = —тМ2,

Мх = ^4($1 + ^т$2), М2 = ^,4(т$2 + ^$1), Н = ^4(1 — ^)^2, (1)

Т\ = и' + г/(го + тг>), ТЬ = го + тг> + г/г*', Б = —-—(г>' — ти),

где штрих означает дифференцирование по в, т — число волн по параллели, фх, ^2,

Т1, Т2, Б — усилия, Мх, М2, Н — моменты, $1, $2 —углы поворота, и, V, т — проекции

перемещений точек срединной поверхности, Л = ар/(ЕН) —искомый параметр нагру-

жения, а = (1 — V2), Е — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона, Н — безразмерная толщина оболочки, ^4 = Н2/12 — малый параметр.

Предположим, что на краю оболочки в = 0 заданы четыре однородных граничных условия. На подкрепленном краю в = 1 должны выполняться четыре условия сопряжения оболочки и шпангоута. Эти условия приведены в монографии [1] для задачи о свободных колебаниях подкрепленной цилиндрической оболочки. Отбрасывая в формулах (2.20) из [1] инерционные члены, содержащие множитель Лс, получим следующие условия сопряжения для рассматриваемой задачи устойчивости:

тБ — фі + Дс(т2 — 1)(ш«с + тс) = 0, тфі — (1 + ет2)Б + ,1Х ш2(ш2 — 1)(ттс + -ос) = 0, Мі + Ті — й(фі — тБ) + Лу (т2 — 1)(т2ис — ^1) = 0, (ет2 — 1)Ті + йт(тфі — 5) + т2Мі + т2(т2 — 1)(ис — $і) = 0.

(2)

Здесь

{Дс, л, Зу) = {Бс, Іх, Іу}, Л = ^1к, (3)

Бс — безразмерная площадь поперечного сечения шпангоута, 1Х, 1у —безразмерные моменты инерции поперечного сечения относительно осей х и у (рис. 2), 1к —безразмерный фактор крутильной жесткости, Ес, Ос — модули упругости материала стержня, ис = и + е$і, тс = т + й$і, «с = V — йти + етт — проекции перемещения центра

Рис. 2. Верхняя часть поперечного сечения шпангоута.

тяжести сечения шпангоута С, е — эксцентриситет шпангоута, ! — расстояние от края оболочки до проекции точки С на срединную поверхность.

Рассмотрим прямоугольное поперечное сечение шириной а и высотой 6:

а63 а3 6 4/ХI

*„ = <*, 4 = ^, /, = ^, (4)

Критическое давление р1 определяется по формуле

Р1 = ЕНЛ1/а, (5)

где Л1 — наименьшее значение параметра нагружения Л, для которого система уравнений (1) имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее граничным условиям.

2. Приближенное решение краевой задачи

Будем рассматривать цилиндрические оболочки средней длины, для которых 1 ~ 1. Предположим, что граничные условия не допускают изгибаний срединной поверхности оболочки. В этом случае, как показано в [5], Л ~ ^3, т ~ ^-1/2, а любую неизвестную функцию у из системы (1) можно представить в виде суммы основного решения ур и простого краевого эффекта у и:

у ~ тв ур + т7 уи, Ур = уо + т-2у1 + ...,

где в и 7 — показатели интенсивности. Функции уи являются линейными комбинациями четырех приближенных решений системы (1), два из которых быстро убывают при удалении от края оболочки в = 0, а два других — при удалении от параллели сопряжения в = 1.

Уравнение для определения приближенного значения параметра критического давления Л имеет вид

(14и)о 4 4 Ато6 - //то8

——:-а. 11) о = и, а = --------------------------------------. (о)

ав4 а

Уравнение (6) совпадает по форме с уравнением поперечных колебаний балки.

Граничные условия для уравнения (6) находятся после разделения восьми граничный условий исходной краевой задачи на главные и дополнительные. Из четырех главных условий путем отбрасывания второстепенных членов получают приближенные граничные условия нулевого приближения для уравнения (6). Процедура разделения простейших однородных граничных условий описана в монографии [5]. Разделение условий сопряжения (2) подробно исследовано в работе [1]. Приведем здесь только основные результаты.

Если на краю оболочки в = 0 заданы условия шарнирного опирания, жесткой заделки или свободного края, то в первом случае условия нулевого приближения для уравнения (6) имеют вид и>о(0) = и>0'(0) = 0, во втором случае — и>о(0) = т0 (0) = 0, а в случае свободного края т0'(0) = т0''(0) = 0. Эти условия совпадают с условиям шарнирного опирания, жесткой заделки или свободного края для конца балки. Предположим, что

а ~ т-а, Ь ~ т-в,

где а и Ь — характерные ширина и высота поперечного сечения шпангоута. Условия сопряжения нулевого приближения меняют вид при изменении параметров а и в. В работе [1] получены условия сопряжения для уравнения (6) в различных областях квадрата

р

О 2 4

Рис. 3. Область и.

ф = {(а, в) : 0 < а, в < 4}. Наибольший интерес представляет окрестность V точки а = в = 3, изображенная на рис. 3.

Значениям а, в € V соответствуют оптимальные значения а и Ь, обеспечивающие максимальную величину критического давления для оболочки с фиксированной массой. В области V условия сопряжения нулевого приближения имеют вид

т0' = 0,

т0'' = еш0,

= 1,

где

т8 ( е2Тс

с = V \'Тх + ТТб

6 =

^е( + 2?М4)

1/4

я =

(7)

4д3/14т6( Л + д/г4) ’ ■* у/2 /т?2

Эти условия аналогичны условиям, наложенным на конец балки, подкрепленный пружиной с безразмерной жесткостью с.

3. Вычисление критического давления

Предположим, что цилиндрическая оболочка (рис. 4), подкрепленная шпангоутами по параллелям в = в*, г = 1, 2,... п — 1, находится под действием равномерного бокового давления.

Рис. 4. Подкрепленная цилиндрическая оболочка Потеря устойчивости подкрепленной оболочки в нулевом приближении описывается

уравнениями

а4,„М

а т0 4 (*) _ п

-^-аго0 -0,

г = 0,1,2,..., п — 1.

Условия сопряжения для уравнений (8) имеют вид

(*) _ .„(‘+1)

(*) „(*+!)'

(4)'' — , „(*+1)'

„(0'

(*+1) _

.,(*+1)

г = 1,2,..., п — 1.

(8)

в

0

0

0

в=в

Предположим, что при в = 0 и в = 1 заданы однородные граничные условия нулевого приближения. В частности, для шарнирно опертой оболочки

wo (О) = w0/ (О) = wo(l) = wO^) = О.

(1О)

Уравнения (8) с граничными условиями (9), (10) описывают также колебания шарнирно опертой балки, подкрепленной пружинами жесткости с в точках в = в*. Случай с = 0 соответствует неподкрепленной балке. При с = то пружины превращаются в шарниры.

Из второй формулы (6) следует, что приближенное значение параметра Л1 для шарнирно опертой оболочки определяется по формуле

где а1(с) —наименьшее собственное значение параметра а, для которого краевая задача (В)—(І0) имеет нетривиальное решение. Величина а1 и соответствующая ей форма потери устойчивости могут быть найдены путем решения краевой задачи (В)—(І0) методом прогонки.

Таким же способом определяется параметр Аі при других вариантах граничных условий на краях оболочки s = О и s = І.

4. Оптимальное расположение шпангоутов

В большинстве работ по теории подкрепленных оболочек рассматривается равномерное расположение шпангоутов, для которого s* = іі/п, i = 1, 2,..., n — 1. Очевидно, что в ряде случаев путем изменения расположения шпангоутов можно добиться увеличения критического давления. Из формулы (ІІ) следует, что при увеличении аі возрастает и Аі, поэтому для определения оптимального расположения шпангоутов на оболочке достаточно решить задачу об определении оптимального расположения пружин на балке.

При с ^ ж условия опирания на пружину жесткостью с превращаются в условия опирания на шарнир, а оптимальное расположение пружин стремится к оптимальному расположению шарниров. В работе [б] показано, что для балки, подкрепленной шарнирами, величина аі имеет наибольшее значение, если шарниры расположены в точках s = s*, которые являются узлами n-й формы колебаний wn неподкрепленной балки. Такое расположение названо предельным оптимальным расположением [б]. Так, например, в случае шарнирного опирания концов балки wn = sin nns/l и s* = il/n, т. е. предельное оптимальное расположение является равномерным.

Если с ^ 1, то предельное оптимальное расположение будет близким к оптимальному. В дальнейшем предполагается, что условие с ^ 1 выполнено, и рассматривается расположение пружин в узлах формы колебаний wn неподкрепленной балки. При таком расположении пружин собственное значение ап(О), соответствующее wn, одновременно является и собственным значением краевой задачи для балки, подкрепленной пружинами, так как функция wn удовлетворяет граничным условиям (9). В случае шарнирного опирания ап(О) = nn/l.

Приравнивая нулю производную по m от функции

(11)

получаем, что функция Лп(0, т) имеет минимум при т8 = 3стаП(0)/м4. Следовательно, в случае предельного оптимального расположения шпангоутов краевая задача для подкрепленной цилиндрической оболочки имеет собственное значение

4а1/4 а„(0)и3

Л„(0) = 1шпЛ„(0, то) ~-----^-------, (12)

которое не зависит от с и совпадает с собственным значением для гладкой оболочки.

Формула (12) является приближенной, так как т — натуральное число. Ее погрешность

— 2

имеет порядок т 2.

5. Метод Релея. Эффективная жесткость

Формулу Релея для подкрепленной пружинами балки запишем в следующем безразмерном виде:

а4 = [/і(ад) + І2(ад)]//о (ад),

г1 п—і г1 (13)

/і(ад) = / (ад/;)2йв, І2(ад) = ^Х''ад2(бі), /о(^) = / ад2йв.

Л і=і Л

Подстановка в формулу (13) первой формы колебаний аді неподкрепленной балки при с = 0 дает точное значения для собственного значения а і (0). В общем случае с помощью подстановки в (13) формы колебаний аді, нормированной условием /о(аді) = 1, мы получаем приближенную формулу

п— і

ад2 (

і=і

а4(с) = а4(0) + ^ 7 = 53 ад2(ві), (14)

которая годится для определения первого собственного значения при малых с.

В случае шарнирного опирания нормированная форма адх = \/2/18ш(7гв/1). Из равенства

—1

2

5^8іп2(п*/п) = п/2

г=1

следует, что 7 = п/1, и формула (14) принимает вид

(с) = (0) + сп/1.

Последняя формула получена в [1] методом осреднения упругих характеристик, который применим в случае равномерного расположения шпангоутов. При граничных условиях, отличных от условий шарнирного опирания, предельное оптимальное расположение шпангоутов не является равномерным.

Подстановка (14) в (11) дает приближенную формулу

Лх(77) = тшА^гу, то), Л 1(77, то) = _|_ <Ц4ТО2(1 _|_ (15)

т т6

где безразмерная величина

V = я лс т8^4

пропорциональна отношению изгибной жесткости шпангоута к изгибной жесткости оболочки.

В инженерных расчетах широко используется формула Брайнта—Кендрика [3], [4], которая в обозначениях данной работы имеет вид

<то4(0) СГПІс . 2 -I \

1 = (ш2 + а\(0)/2 - 1)(то2 + а2(0))2 + ~ [ ]

где /с — момент инерции поперечного сечения шпангоута и сечения части оболочки, заключенной между соседними шпангоутами, относительно их общего центра масс.

Пусть шпангоут и оболочка изготовлены из одного материала, а шпангоут имеет прямоугольное поперечное сечение шириной а ~ т—3 и высотой Ь ~ т—3. Тогда Ес = Е,

т __ т , / \2 о і Ір БРес _ Ь -\- 1г _ еБс _ НІ _ Ы

1С — їх + (е - ес) Бс Н , е ——-—, ес — ————, 1р — —-, — —,

а 2 Ьс + Ьр 12п п

причем е ~ т—3, Ьр ~ т—4, Ьс ~ т—6, ес ~ т—5, /х ~ /р ~ т—і2, так как Н ~ т—4. Учитывая, что т ^ 1, сохраним в формуле (17) только главные члены. Получим

, / ч ааі(0) л т8 . Т .

Аі(т7ь, т) =----т---\-/л пі (1+г]Ь), щ = „ 4 сь, сь = —(7ж+еТс). (18)

<т6 <т8114 гг

Первая формула (18) получается из второй формулы (15) заменой безразмерной жесткости с, заданной формулой (7), жесткостью сь. Ввиду того, что 5 > 0, выполняется неравенство сь > с, поэтому приближенная формула Брайна—Кендрика (18) дает завышенное значение критического давления. С другой стороны, использование формул (18) позволяет получить более простое выражение для вычисления критического давления. Действительно, в этом случае величина пь не зависит от т, функция Л1(п, т) имеет минимум при

8 3а«4(0)

7Т) = ---------

М4(1 + ПьУ

и вместо формулы (15) можно пользоваться приближенной формулой

Л1(пь ) = Л1(0)(1 + пь)3/4. (19)

Корень Пе уравнения

Л1(п) = Л„ (0)

назовем эффективной жесткостью. При п € [0, пе] для определения параметра нагрузки можно использовать формулу (15). В этом диапазоне изменения п критическое давление увеличивается с увеличением п. При п > пе наименьшим собственным значением является величина Лп(0), которую можно найти по формуле (12). Увеличение п после достижения ею значения пе не приводит к росту критического давления, имеющего при п > пе постоянную величину.

С помощью формулы (19) можно найти приближенное значение пе:

„ - г4/3 _Х _ а"(°)

Щ~п ’ Гп-а!(0)-

В частности, в случае шарнирного опирания г„ = п.

6. Определение оптимальных параметров подкрепленной оболочки

Рассмотрим цилиндрическую оболочку толщиной Н и длиной I, подкрепленную п — 1 шпангоутом прямоугольного поперечного сечения шириной а и высотой Ь = ка. Пусть оболочка и шпангоуты изготовлены из одного материала с плотностью р. Тогда Е = Ес,

М8 = М (Н) + Мс,

где Мя —масса подкрепленной оболочки, М(Н) = 2пД3рН1 — масса гладкой оболочки (обшивки), Мс = 2пД3р(п — 1)а2& — масса шпангоутов. Предположим, что Мя = М(Но), где М(Н0) = 2пД3рН01 — масса гладкой оболочки толщиной Но. Тогда М(Но) = М(Н) + Мс. Из последнего равенства вытекает, что

а =1 — Аа2, (20)

где

h _ M(h) _ nsk ho M(ho) ’ Ih0 ’

ns = n — 1 —число шпангоутов.

Для того, чтобы найти критическое давление ро для гладкой оболочки толщиной ho, положим h = ho, n =1 в формуле (12). Получим

_ Eh0А°(0) лО/п\ _ 4g1/4a1(0)feo^2

РО ^ , ^l(O) 03/2 • V21)

Введем обозначение f = pi/po, где pi —критическое давление для подкрепленной оболочки, зафиксируем параметры ns, k, ho, e = b/2 и будем искать оптимальное значение параметра d = d*, соответствующее максимальному значению f* функции f (d). Таким образом, при заданных числе шпангоутов, форме поперечного сечения, массе подкрепленной оболочки и эксцентриситете решается задача об оптимальном распределении материала между шпангоутами и обшивкой, которому соответствует наибольшее значение критического давления.

Значение e = b/2 соответствует расположению шпангоутов снаружи от оболочки. Известно (см. [1]), что в случае e = — b/2, когда шпангоуты располагаются внутри оболочки, критическое давление оказывается несколько выше, чем при e = b/2. Приближенные формулы (15) и (18) эту разницу не улавливают, так как содержат только величину e2.

Из формулы (20) следует, что оптимальный размер а* поперечного сечения шпангоута выражается через величину d* по формуле а* = {1 — d*)/A.

Принимая во внимание формулы (5), (12), (15) и (21), получаем

f(d) = d5/2rn при 0 ^ d ^ de, f(d) = ~TW7^~d при de ^ d ^ 1, (22)

Ai(0)

где для вычисления функции n(d) используются формулы (3), (4), (7), (16) и (20), а de является корнем уравнения

n(d) = Пе • (23)

Если вместо формулы (15) использовать приближенную формулу (19), то выражение для функции f (d) существенно упрощается и принимает вид

f(d) = I d5/2Г”’ 0 < d < de’ (24)

f (d)=\ d5/2 [1 + g(d — 1)2/d3]3/4, de < d < 1, (24)

где д = 4апк1/(коп^), а уравнение (23) превращается в кубическое уравнение

(гП/3 - 1)й3 - д(а - 1)2 =0, (25)

имеющее единственный корень в интервале [0,1].

Формулы (24) и (25) совпадают с формулами, полученными в [1] для случая е = 0. Отличается только выражение для коэффициента д, который при е = 0 оказывается в 4 раза меньше, чем при е = 6/2. В [1] доказано, что при малых значениях ко функция (24) имеет максимум при й , т. е. эффективная жесткость является оптимальной. Следовательно, максимальное значение /* функции /(й) можно найти по приближенной формуле

/* = ТгЛ/2. (26)

Для решения уравнения (23) и вычисления максимума функции (22) применялись численные методы. Оказалось, что во всех рассмотренных примерах й* = , поэтому

для определения /* использовалась формула (26).

7. Численные результаты

На рис. 5 для шарнирно опертой оболочки с параметрами I = 4, ко = 0.01, V = 0.3 показана зависимость /* от числа шпангоутов с прямоугольным поперечным сечением па и их формы, заданной параметром к. Точки, соответствующие целым значениям па, соединены сплайнами.

02468 и, 0 2 4 6 8 щ

Рис. 5. Зависимость / от Пв и к.

Слева для случая к = 3 изображены кривые 1-3, первая из которых соответствует случаю е = 0. Кривая 2 получена с помощью асимптотических формул (22), (23) для е = 6/2. Кривая 3 построена по приближенной формуле Брайанта—Кендрика (18).

Прежде всего отметим, что даже в случае е = 0 критическое внешнее давление для оболочки, оптимально подкрепленной десятью шпангоутами, примерно в 5 раз превосходит критическое давление для гладкой оболочки с той же массой. При наличии эксцентриситета подкрепления критическое давление, выдерживаемое подкрепленной оболочкой, еще больше увеличивается. Формула Брайанта—Кендрика, рекомендованная в США для инженерных расчетов, дает завышенное значение критического давления. При п8 = 10 относительная погрешность формулы (18) достигает максимальной величины и составляет 19%.

Справа для трех значений к приведены кривые, построенные по формулам (22), (23) при е = 6/2. Как и следовало ожидать, с увеличением к увеличивается и критическое давление для оптимально подкрепленной оболочки, однако, предложенная постановка

задачи не позволяет рассматривать большие значения к, так как в этом случае в качестве модели шпангоута следует выбирать не круговой стержень, а кольцевую пластину.

Увеличение критического давления происходит и при росте числа шпангоутов. В связи с этим следует отметить, что асимптотические формулы для определения критического давления получены в предположении, что части, на которые оболочка делится шпангоутами, имеют среднюю длину. Чрезмерное увеличение числа шпангоутов при фиксированных толщине и длине оболочки приводит к нарушению этого предположения.

В одном из примеров в работе [3] рассматривается шарнирно опертая подкрепленная оболочка с параметрами l = 6, h = 0.01, ns =6, a = 0.03, k = 2.153, v = 0.3. Для этого примера d = 0.806, толщина гладкой оболочки с той же массой ho = 0.0119, а отношение критического давления pi для подкрепленной оболочки к критическому давлению po для гладкой оболочки f = 4.49. Расчеты по формулам (22), (23) показывают, что выбор оптимальных параметров d* = 0.857, a* = 0.0281 позволяет увеличить отношение f до величины f* = 4.76.

В работе [7] вычисление оптимальных параметров для подкрепленной оболочки с заделанным и свободным краями проведено на основе формулы Брайанта—Кендрика. Сравнение полученных результатов с результатами расчетов по формулам (22), (23) показывает, что, как и в случае шарнирно опертой оболочки, погрешность формулы (18) растет с увеличением числа шпангоутов ns от 1 до 10. Наибольшего значения 28.5% погрешность достигает при ns = 10.

Литература

1. Филиппов С. Б. Теория сопряженных и подкрепленных оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1999. 196 с.

2. Андрианов И. В., Лесничая В. А., Маневич Л. И. Метод усреднения в статике и динамике ребристых оболочек. М.: Наука, 1985. 224 с.

3. Tian J., Wang C. M., Swaddiwudhipohg S. Elastic buckling analysis of ring-stiffened cylindrical shell under general pressure loading via ritz method // Thin walled structures. Vol. 35. С. 1-24. 1999.

4. Gill S. S. The stress analysis of pressure vessels and pressure components. Oxford: Pergamon Press, 1970. P. 405-511.

5. Товстик П. Е. Устойчивость тонких оболочек: асимптотические методы. М.: Наука, 1995. 320 с.

6. Филиппов С. Б., Лопатухин А. Л. Низкочастотные колебания и устойчивость тонкой цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2001. Вып. 2. С. 84-90.

7. Малышева О. М. Определение оптимальных параметров для подкрепленной цилиндрической оболочки // Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды» 2005-2006. Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2006. С. 40-51.

Статья поступила в редакцию 18 сентября 2008 г.