CC BY
13
Математические структуры и моделирование 2018. №2(46). С. 33-38
УДК 539.3 DOI: 10.25513/2222-8772.2018.2.33-38
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕОДНОРОДНЫХ ТРЁХСЛОЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ ПРИ НЕРАВНОМЕРНОМ ПОЛЕ ТЕМПЕРАТУРЫ В НЕЛИНЕЙНО УПРУГОЙ СРЕДЕ
Р.Э. Мамедли
доктор философии по математике, e-mail: [email protected] Нижневартовский государственный университет, Нижневартовск, Россия
Аннотация. В статье исследуется задача устойчивости трёхслойных неоднородных прямолинейных стержней на нелинейно упругом основании под действием сжимающих нагрузок. Здесь предполагается, что стержень находится в неравномерном температурном поле и модули упругости материала слоев зависят от температуры. Для упругого основания принимается нелинейный модель и предполагается, что гипотеза плоских сечений справедлива для всей толщины элемента стержня. В общем виде получено уравнение устойчивости рассматриваемого стержня и для конкретного случая найдена формула для определения критической нагрузки.
Ключевые слова: неоднородный трёхслойный стержень, температура, устойчивость, критическая нагрузка.
Введение
Многослойные стержни часто используются в качестве несущих элементов во многих сложных конструкциях, работающих в различных режимах нагруже-ния. Такие конструкции в некоторых случаях находятся на нелинейно упругом основании и в неравномерном температурном поле.
В работах [1-4] исследована устойчивость однослойных и многослойных стержней при нормальной температуре и под действием высокой температуры.
В данной работе исследуется задача устойчивости трёхслойных неоднородных стержней, которые находятся в неравномерном температурном поле и на нелинейно упругом основании.
Постановка задачи
Рассмотрим устойчивость трёхслойного неоднородного стержня на нелинейно упругом основании, имеющем две оси симметрии поперечного сечения, сжимаемого по концам силами Р при неравномерном нагреве.
Координатная система выбрана следующим образом: оси OY и OZ находятся в поперечном сечении стержня; ось ОХ направлена по оси стержня.
Здесь предполагается, что температура в каждом слое является функцией координаты толщины (т. е. Тг = Тг(г)).
Слои стержня изготовлены из различных неоднородных материалов, и модули упругости зависят от координат и температуры следующим образом:
Е^г) = Ею - Рг(Т - То), Е2(г) = Е2о - ^(Т - То), Е{г) = Ео - Р(Т - То).
(1)
В возмущённом состоянии стержня связь между приращениями напряжений и деформаций будет иметь вид:
• _/ ч * — hо ко
Да = Е(г)Де, ^ * ^ у, Да1 = Е1(г)Де) - к ^ г ^ -ко
2
2
(2)
к к
Да2 = Е2(г)Де,к° ^ г ^ 2 + ^
Здесь к1, к2 — толщины соответствующих слоёв. Предположим, что гипотеза плоских сечений справедлива для всей толщины стержня т. е.
Де = ео + г к.
(3)
Здесь ео — дополнительная деформация оси стрежня, к — кривизна центральной линии. В этом случае приращение усилий и момента определяются по формулам:
ДР = Ь
С учётом (1)—(3) из (4) находим
2 2 ¡2 ДаЧг + Ь ДоАх + Ь
Да2Ах.
2
' н0 2
(4)
ДР = [Еюа01 - ргАо + Еоао - /ЗАо + Е2оа°2 - р2А02]е+
+ - + Е0аг - /ЗА1 + Е2оа2 - ^А^]к, ДМ = [ЁГоа1 - ДА1 + Жоа1 - /ЗА1 + £2^2 -+ [ЁГоа21 - р1А2 + Ё~оа2 - /ЗА2 + £2^2 - ^А2.,]к. В этих формулах введены следующие обозначения:
а\1
¿г,
4й-^1
/10
¿г,
-М
а0о = Ь
¿г,
о\ = Ь
-1й-Н1
г^й Ь гйг,
° -2й
•1й +^2
а2
(5)
1
1
1
й
й
1
й
2
о
Ь
а
1
й
2
-л
й
2
1
Ь
а
1
й
2
а1 = Ь
г ¿г,
2
-к0-Л1
А» = Ь
А0 = Ь
, к0 2
Т (г)йг,
Ь г ¿г,
-Ь 0
Т (г)^г, = Ь
А1
-ко
. к0 2
г
Т (ф^, А\ = Ь
Т (г) г2йг,
, к0 2
Ь Т (ф^, А1 = Ь Т (ф2^,
-ко+^2
^0 = Ь Т (г )<1г,
' к0 2
А»
' к0 2
А
•^20 +^2
' к0 2
Т (г) г 2йг. (6)
Получение уравнения устойчивости
Уравнения равновесия рассматриваемого стержня имеют вид
АР = 0;
ДМ = - РШ
(7)
С учётом (5) из первого уравнения системы (7) получим
[£»0а1 - + Еоа1 - /ЗА1 + Е20а» - 132А»] е = —=-=-=-к.
(8)
[Е^ - [3+ Еоа0 - [ЗА0 + Е2Оа0 - ^0]
С учётом (8) из (5) для приращения момента получим следующее выражение
ДМ = К21 к. (9)
Здесь К21 — обобщённая характеристика твёрдости стержня определяется следующим образом
{
К21 = < [Е10а( - $ХА[ + Е0^ - ¡ЗА2 + Е20^ - [32А22] -
[#10а1 - + Е0а1 - [ЗА1 + -
[
(10)
Е10а^ - ^1^0 + Е00° - [ЗА0 + £20^0 -Учитывая, что к = , из второго уравнения системы (7) с учётом (9) получим
„ „о Р
йх2
+ Я2М = 0;
К2Г
(11)
Таким образом, уравнение устойчивости рассматриваемого стержня получено в виде (11).
к
0
2
2
2
ь
а
а
2
к
0
2
к
к
0
0
2
2
2
к
0
0
0
2
2
2
ь
ь
Решение задачи
Для решения конкретных задач необходимо задавать вид зависимости модулей упругости от координат. Допустим, температура является линейной функцией координаты толщины, т. е.
г + £
Подставляя (12) в (6), получим:
а^ = Ьк]^, ао = ЬЪо, а!° = ЬЪ2
(12)
ЪЪ2
- -Ъ- Р 1 + я,
ЬЪ2
0,
Ъ1
ко
«2 = и-Ът [^2 + й = Ъ2,
ЪЪ*
2
-«3
ко
ЬЪо 12 :
ЬЪо
(2 + - 8
А'1 = Ыю{ ТА + Ц
{
4 - <2+
л!
-
т\ •2
1 - (2+^
А2 = ьъ3А 5
11
8 + (2
+ ^ + ¿О3
+1 + ?
-4+«4+
1
Гб
,1
£ + й)4
= ЬТЪ
А1
ад
12
А2
12
^о = ЪЪо{ Т182 + у
{
4+«2 - 4
л; = ьъп ^
(2 + «2 - 4
+ ^
3
(2 + * )3 - 8'
4 = ьъЗЛ Т1/3
(4+«з - 8
+!
(13)
( ! г а с 12 + б2)4 - 1 16
Подставляя выражения (13) в (10), определяем обобщённые характеристики жёсткости стержня и вычисляем критическую нагрузку на основе формулы (10).
Приведены вычисления при разных значениях параметров, и полученные результаты показаны на рисунке 1.
1
1
а
1
2
2
а
1
3
2
а
2
1
-*■
i ъ
V \
\
О ОЧИ 0,01s 0,020 0.025 0.03 (#/h)i<r3
Рис. 1. Результаты
Ею = Е20 = ; Е0 = 1.8^; ¿1 = ¿2 = 0.2; £ = 0.5;
см2 см2 b
= = 1000 кг/см2град; ft = 800 кг/см2град;
То = 300Я; ТЦ = 300Я; Т? = 500Я; 5* = P/Ewbhi.
Литература
1. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.
2. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М. : Изд-во МГУ, 1976. 320 с.
3. Шаповалов Л.А. Влияние неравномерного нагрева на устойчивость сжатого стержня // ПММ. 1957. Т. XXII, № 1. С. 119-123.
4. Зубчанинов В.Г. Об упругопластической устойчивости слоистых стрежней // Прикладная механика. 1970. Т. 6, № 2. С. 127-129.
5. Yang Y.B., Lin T.J., Len L.I. Thermal effect on the Postbuckling Behavior of an elastic or elasto-plastic truss // Journal of Mechanics. 2008. Т. 134, № 4. С. 330-338
6. Heydarpour A., Bradford M.A. Nonlinear Analysis of Composite Beams with Partial Interaction in steel Frame Structures at Elevated Temperature // Journal of Structural Engineering. 2010. Т. 136. С. 968-978.
7. Voshoughi A.R., Malekzadeh P., Banan Mo.R. Thermal postbuckling of laminated composite skev plates with temperature-dependent properties // Thin Walled structures. 2011. Т. 47, № 7. С. 804-811.
8. Vo T.P., Thai H.-T. Vibration and buckling of composite beams using refined shear deformation theory // International Journal of Mechanical Sciences. 2012. Т. 62, № 1. С. 67-76.
STABILITY OF INHOMOGENEOUS THREE-LAYERED RODS AT NON-UNIFORM TEMPERATURE FIELD IN A NONLINEARLY
ELASTIC MEDIUM
R.E. Mamedli
Ph.D. (Math.), e-mail: [email protected]
Nizhnevartovsk State University, Nizhnevartovsk, Russia
Abstract. We study the problem of three-layered nonhomogeneous rectilinear rods on a nonlinear elastic foundation under the pressure of compressive loads in this article. It is assumed that the rod is in the uneven temperature field and the elasticity modules of the material layers depend on temperature. For the elastic foundation of nonlinear model is accepted and it is assumed that the hypothesis of plane sections is valid for the entire thickness of the element of the rod. In general, we achieve the steadiness equation of the considered rod, and a formula is found for determining the critical load in the certain case.
Keywords: nonhomogeneous three-layered rod, temperature, stability, critical load.
Дата поступления в редакцию: 01.03.2018
