CC BY
32
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2007, вып. 4
В. А. Муранов
УСТОЙЧИВОСТЬ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ С МОНОТОННОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ МОДУЛЯТОРА1
1. Введение
Наиболее общие частотные условия устойчивости в целом непрерывных систем с монотонной нелинейностью, принадлежащих заданному сектору, опубликованы в [1]. Были получены частотные условия устойчивости в целом импульсных систем, эквивалентная нелинейность модулятора которых является дифференцируемой [2]. В данной работе рассмотрена импульсная система с монотонной эквивалентной нелинейностью без предположения ее дифференцируемости и получены частотные условия устойчивости в целом, которые при стремлении частоты импульсации к бесконечности переходят в условия, установленные в [1] для непрерывных нелинейных систем
2. Постановка задачи
Рассмотрим импульсную систему, описываемую функционально-дифференциальными уравнениями йх
— =Ах + ЬА, £ = Ма, а = с*х, (1)
йЬ
где А б Кшхш; Ь, с О Б.“; £, а О К1; х О Б.“, а — сигнал на входе импульсного модулятора, £ — сигнал на его выходе. Предполагается, что матрица А гурвицева.
В системе (1) М —нелинейный оператор, который каждой непрерывной на [0, +ж) функции а(1) ставит в сооответствие последовательность {Ьп} (п = 0,1, 2,...; 1о = 0) и функцию £ф), обладающие следующими свойствами:
1) существуют такие положительные постоянные Ти во, что для всех п верна оценка
ЗоТ < 1п+1 — Ьп < Т;
2) функция £ф) кусочно-непрерывна на каждом промежутке [1п, ^+1) и не меняет знака на нем;
3) £ф) зависит только от значений а(т) при т < Ь, Ьп зависит только от значений а(т) при т < Ьп;
4) для каждого п существует tn б [1п, ^+1) такое, что среднее значение п-го импульса
Ьп+ 1
еф) л
Ьп+1 Ьп J Ьп
удовлетворяет равенству
Уп = у>(а(Ьп)'), (2)
1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-00290). © В. А. Муранов, 2007
где непрерывная функция у>(а) — «эквивалентная нелинейность» импульсного модулятора, удовлетворяющая условию у>(0) = 0, а также для некоторого числа к б (0, +ж)
при всех а', а" С К выполняются неравенства
0 < (<р(а') - 4>{0"))(а' - а ") < к(а' - а ")2.
(3)
Если в уравнении (1) £ заменить на <р(а), то получится «эквивалентная» нелинейная система
— =Ах + Ьср(сг), а = с*х, (4)
йЬ
для которой в [1] были получены следующие достаточные условия устойчивости в целом.
Теорема 1. Предположим, что существует такая дробно-рациональная функция Ь(р), что Ь(гш) (ш О Б) является преобразованием Фурье от некоторой вещественной функции 1(Ь) О Ы(-и, +то), удовлетворяющей условию
11'Ь ¿(-то, + то)11 < 1.
Пусть при некоторых Б > 0 и в при всех ш > 0 выполнено частотное условие
Бе{(1 + шв + Ь(ш))(Ш(гш) + 1 /к)} > Б\ Ш(ш) \2, (5)
где Ш(р) = с*(А-р1)-1 Ь. Предположим также, что либо функция А>(а) нечетна, либо 1(Ь) < 0 при всех Ь О Б. Тогда состояние равновесия х = 0 системы (4) устойчиво в
целом.
Целью работы является получение верхней оценки на Т, при котором состояние равновесия импульсной системы (1) будет устойчиво в целом, если выполнены условия теоремы 1 для «эквивалентной» непрерывной нелинейной системы (4).
3. Формулировка результата
Желая воспользоваться методом усреднения [3-4], введем функции
v(t)= vn,tn < t <tn +1; u(t)=f [£ (А) - v (A) j.
Jo
Сделав в (1) замену переменной х = у + Ьи, получим уравнения
*Н
y = Ay + bv + Abu л + л * а = л + к, л = c*y, к = c* bu.
(6)
Воспользуемся методом расширения пространства состояний. С этой целью, следуя [1], дополним систему (6) двумя новыми системами дифференциальных уравнений:
(7)
А±=Р ^I + дЫс( А = P2Z2 + дЫС1 Ф(С) = С - Ар- , аЬ аЬ к
где гурвицевы матрицы Р1, Р2 и векторы ф, д2, т\,т2выбираются так, чтобы функция
" *>0: t < 0,
была оригиналом преобразования Фурье Ь(1ш). Введя обозначения
Щ) -
(8)
для системы (6), расширенной при помощи (7), приходим к уравнению
+ <1Л С) +
где-
. г — Abu + b(v —
Рассмотрим функцию Ляпунова в форме Лурье Постникова:
Ї
У(ш) -w*Hw + d I
Ее производная в силу системы (9) имеет вид
!>(«;) - 2w*H(Bw + qp(Q + g) + вс*(Ау + bp(Q + r)p(Q.
ПО
Воспользовавшись обозначением tp — запишем равенство (10) следующим образом:
V (■>!') — 2>п* Н ( Яw + qp) + в'-рс* (Ау + Ьр + J + X? (10
где
Введем обозначения:
X ~ 2«;* Hg + 0рс*г. (12)
г) - -врс*{Ау + Ър) - Ї? - ёС2 - ^ |у|2.
Р = '-рФ І | Г2*2-ф, ї-=С-р
Квклндопу норму матрндьт или вектора будем обозначать | ■ |. 'Тогда рапеттстпо (11) можно представить в следующем виде:
V(•«?) = 2w*H(ß-w I q<p) - J — F - SC2 -d'il'ü/p І Д-.
(13)
В [1] было показано, что б силу сделанных предположений относительно функции при любом /д- > 0 справедливо свойство
1-Л'
/
Fdl > 0.
(14)
Выберем теперь матрицу ТТ гак. чтобы выполнялось неравенство
2го* 11 (В w | </г) — г) ^ 0-
(15)
Для этого воспользуемся частотной теоремой для невырожденного случая [5]. С этой целью распространим квадратичную форму 3 (т, у) до эрмитовой и подставим в нее следующие выражения, индуцированные системой (9), то есть системами (6), (7):
у = (ітІ - Л)-1Ъ(р, ф = -(Ш(іт) + 1/к)(р,
Ш (і-^ = с* (А — іАІ )-1Ь, Иі = (і'теї — Рі)-1ді'1>, Z2 = (і-^ — Р2 )-1Я2Ь, где І — единичные матрицы соответствующихразмерностей. Имеем представление
ReJ(w, ф) = Re{[l + r*(iu>I — Pi)~1qi — г г (ш1 + P2)~1q2 + iu>6] AW(tu) + Aj -
в|Ш (1л)|2 — в11 (А — 1ш1)-1Ь|2}!л|2. (16)
В силу (8) справедливы соотношения
о
Ь((ш) = ] ¡(Ь)е‘иЬёЬ = ] г*еР1Ьд1 е‘иЬёЬ + ] г**е-Р2Ьд2е‘иЬёЬ = г* (1ш1 — Р1)-1 д1 — г** (1ш1 + Р2)-1д2,
Л
0
Л
поэтому равенство (16) можно записать в виде
ИеЛ^, ф) = Ке{(1 + шв + Ь(^)) (Ш(1ш) + 1/к) — в | W(1w)| 2 — в1КА — 1и1)АЬ \ 2}А2.
Предположим, что при всех ш > 0 выполнено частотное условие:
Бе[(1 + шв + Ь(^))(Ш (1ш) + 1/к)] > S|W(lw)|2 + вхКА — ¿и1)-1Ь|2. (17)
Тогда в силу частотной теоремы [5] существует матрица Н, при которой при всех ш и ф выполнено неравенство (15) и, следовательно, ввиду (13) имеет место соотношение
1/ <—^ — SZ2 — в1|у|2 + х. (18)
Нашей дальнейшей целью является оценка выражения х. Из (12) и (3) вытекают неравенства
(18)
X < 2И|Я||г| + НИМИ < МЫ2 + -Н2 + ЩЛ (р\у? + -) , (19)
ц
2\
Р
где р — положительный коэффициент, который будет выбран в дальнейшем. Оценим величину |г|. Ввиду (2) и (6) справедливо соотношение
\г\<\А\\Ь\\и\ + \Ь\\и - фл )|.
(20)
Предположим, что Ь б [1п,1п+1) и Ьи —величина из промежутка [1п, 1п+1), при которой справедливо свойство (2). Тогда
V — фЛ) = фШ) + Ки(1”п)] — фШ) =
= фА (Ьи )) — фШ) + ф(20;~п ) + Ки(1”п)] — ф^~п )). Отсюда ввиду свойства (3) вытекает соотношение
|у — ф(Z)| < k\Z(tn) — 2(1)| + k\K\\u(tn)\.
В [4] были получены следующие неравенства:
Ь и+ 1
Ьи+1
Оценим величину
,Т„ - (г- у>(С)')2<&-
Поскольку очевидны неравенства V2 < 2 (0) и 9?(С) < &|с||?у|. справедливо
соотношение
-ч-г /
(„,+ |
2 1 ,2 [ I 2,
с^и< 21/„ + 2А-"|с|" у |,у|"Л.
г„
Из формулы (21) в силу свойств (22) следует оценка
/ ?<й + 2кгТ2к? / -Ай.
(23)
Ввиду (6) имеет месю формула
С — с^{Ау + Ьс + АЬи), поэтому в силу (22) справедливо неравенство
с < 3|с|2|Л|2|(/|2 | Зк2г>2 | ■ ,1| V,-'
Заменяя в (21) С этим выражением, приходим к оценке
■ „ | I л < т-кI у •',// ■ у,,-, у
3(Й,
где
К-1 =
-4А.' , ,о, , ,о 24А1" ^ ^ 1^1 .11^111^\ , л 1*7 *>
---гМ* л ‘, /V? = - - - - - -
(к2 | Г2|е|2|Л|>|2) | 2/гк2.
(25)
7Г ^ 7Г-
Подотавив в правую часть неравенства (23) вместо ,1п правую часть неравенства (25), получим соотношение
П.+ 1
¿« + 1 ^п-1 ^
У 'с2ей < 2«2Г2 У 1-,2Л. + «з I \у\'с11,
(26)
где 2/.-2 ' : I 1>',
Предположим, что 2' удовлетворяет оценке
2коТ2 < 1.
Тогда и:! (26) вытекает формула
¿-I 1
t,í. 1
^ С2гМ < К4 У |у|3(М;
(27)
(28)
Следовательно, supt>o \c*y(t) \ < то. А тогда из системы (7) следует равномерная на [0, +то)
ограниченность функций Zl(t) и Z2(t). Поэтому справедлива оценка
sup \w(t) \ < то. (35)
t>0
Положим теперь ц = T, K13 = K12 + K8, Si = 2K13T. Тогда неравенство (33) примет форму
K13 TY < Vo - VN.
Отсюда в силу (35) и произвольности N вытекает свойство \y(t) \ G L2[0, +то).
Из первого уравнения (6) в силу свойства (35) следует, что supt>0 \y(t) \ < то. Поэтому
Iim \y(t) \ = 0. t—>то
Докажем, что \x(t) \ л 0 при t л +то. Из формулы (28) вытекает неравенство
(tn+1 - tn) < K4 sup \ 2 y(t) \ (tn + 1 - tn).
tG[tn,tn + i )
Отсюда следует, что v(t) А 0 при t А +то. А тогда согласно первому свойству (22) u(t) Л 0 при t л +то. Поскольку x = y + bu, имеем \x(t) \ Л 0 при t л +то.
Для устойчивости в целом состояния равновесия x = 0 следует убедиться в его устойчивости по Ляпунову.
Предположим, что в некоторой окрестности точки а = 0 функция 9(a) дважды непрерывнодифференцируема, \9'(а)\, \9''(а) \ ограничены и матрица A + bc*9'(0) гур- вицева. При этих условиях в [6] была получена верхняя оценка на T, при выполнении которой состояние равновесия x(t) = 0 системы (1) асимптотически устойчиво. Сформулируем полученный результат.
Теорема 2. Предположим, что матрица A гурвицева, выполнены свойства (27), (34) и все условия теоремы 1 с заменой частотного неравенства (5) на неравенство
Re{(l + шв + L{iu)) {W{iu)) + у)} > 5\W(iu)\2 + 2тзТ\(А - йи1)лЫ2. (36)
k
Тогда x(t) л 0 при t л +то и всех x(0) G Rm.
Если, кроме того, в некоторой окрестности точки а = 0 функция 9 (а) имеет непрерывную вторую производную и \9'(а)\, \9''(а)\ ограничены, матрица A + bc*9'(0) гурвицева и T удовлетворяет
полученной в [6] верхней оценке, то состояние равновесия x(t) = 0 системы (1) устойчиво в целом.
Заметим, что при стремлении T к нулю частотное условие (36) переходит в неравенство (5), установленное для непрерывных систем.
Summary
V. A. Muranov. Stability of pulse-modulated systems with a monotonous equivalent nonlinearity of the modulator.
A pulse-modulated system described with a functional differential equation is regarded. Sufficient frequency conditions for global stability are obtained by an averaging-out method and the frequency theorem.
1. Барабанов Н.Е. Частотные критерии устойчивости и неустойчивости в целом стационарных множеств нелинейных систем дифференциальных уравнений с одной монотонной нелинейностью // Сиб. мат. журнал. 1987. T.XXVIII, №2.
2. Кузнецов Н. В. Устойчивость одного класса функционально-дифференциальныхуравнений в простейшем критическом случае с монотонной дифференцируемой нелинейной характеристикой // Дифференциальные уравнения и процессы управления (Электронный журнал). 2004, №3. http ://www.neva.ru/journal
3. Гелиг А. Х., Зубер И. Е., Чурилов А. Н. Устойчивость и стабилизация нелинейных систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006.
4. Gelig A. Kh.., Churilov A. N. Stability and oscillations of nonlinear pulse-modulated systems. Boston: Birkhauser, 1998.
5. Yakubovich V. A., Leonov G. A., Gelig A. Kh. Stability of Stationary Sets in Control Systems with Discontinuous Nonlinearities. New Jersey—London—Singapore: World Scientific, 2004.
6. Гелиг А. Х. Устойчивость нелинейных импульсных систем по первому приближению // Прикладная математика и механика. 2003. Т. 62. №8. С. 231-238.
Статья поступила в редакцию 17 мая 2007 г.
