CC BY
33
МАТЕМАТИКА
УДК 517.929
И. Е. Зубер, А. Х. Гелиг
РОБАСТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЕМ ПО ВЫХОДУ НЕЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ 1
1. Введение. Начиная с работ [1-3], для стабилизации непрерывных систем управления используются преобразования специального вида, переводящие исходную систему к форме, позволяющей получить явное решение поставленной задачи. На этом пути для непрерывных линейных и нелинейных систем в [4-5] был получен аналитический синтез стабилизирующего управления при условии, что измерению доступен весь вектор фазовых координат (синтез по состоянию). В [6] аналитический синтез произведён для случая, когда измеряется лишь одна скалярная величина (синтез по выходу). Обзор работ, посвящённых синтезу по выходу содержится в [7].
Для импульсных систем [8, 9] аналитический синтез стабилизирующего управления по состоянию был осуществлен в [10] для случая стационарной линейной непрерывной части системы, в [11]—для случая нестационарной линейной непрерывной части и в [12, 13]—для случая нелинейной непрерывной части. При этом, если в [10, 11] предполагается линейность статической характеристики импульсного модулятора, то в [12, 13] допускается её нелинейность.
Аналитический синтез стабилизирующего управления по выходу для нелинейной импульсной системы был получен в [14]. Однако полученное там управление не было робастным, так как базировалось на модальном подходе. В данной статье рассмотрена нелинейная импульсная система с О-модулятором и нестационарной линейной непрерывной частью. Предложен метод синтеза робастного управления по выходу, которое стабилизирует не только рассматриваемую систему, но и все системы, коэффициенты которых принадлежат заданному диапазону. Рассуждения основаны на использовании уравнений наблюдателя, построении функции Ляпунова с трехполостной матрицей и методе усреднения.
2. Постановка задачи. Рассмотрим импульсную систему, описываемую функционально-дифференциальными уравнениями X = А(1)х + вш£, а = е*(1)х,
(1)
С = Mn, П = U (а), (2)
где A(t) £ Kmxm, x(t),c(t) £ Rm, e*m = (0,0,...,0,1), * —знак транспонирования, все величины вещественные. Уравнения (1) описывают линейную непрерывную часть системы, а — наблюдаемая величина (сигнал на выходе непрерывной линейной части), M — нелинейный оператор, описывающий функционирование импульсного модулятора, n(t) — сигнал на входе модулятора, C(t) — сигнал на его выходе. Предполагается, что M является G-модулятором [15]. Это означает, что он отображает каждую непрерывную на [to, +то) функцию n(t) в функцию C(t) и последовательность tn (n = 0,1, 2,...), обладающие следующими свойствами:
1) существуют такие положительные постоянные T и So, что для всех n верна оценка
So T < tn+i - tn < T; (3)
2) функция C(t) кусочно-непрерывна на промежутке [tn,tn+i) и не меняет знак на нем;
3) C(t) зависит только от значений ц(т) при т < t, tn зависит только от значений n(t)
при t < tn;
4) для каждого n существует такое tn £ [tn,tn+i), что среднее значение n-го импульса
1 ft n + l
€№
j-_ j /
fcn + 1 AnJtn
удовлетворяет равенству
Un = <f(n (tn)), (4)
где y(n) — монотонная и непрерывная на (-то, +то) функция, называемая эквивалентной нелинейностью. В большинстве случаев она совпадает со статической характеристикой модулятора. Предполагается, что у(0) = 0, у(+то) = +то, у (-то) = -то.
Свойствами 1-4 обладают различные виды комбинированной импульсной модуляции [8, 16, 17], например, широтно-амплитудная модуляция первого и второго рода. Матрица A(t), вектор c(t) и оператор M заданы. Требуется определить оператор и(а) таким образом, чтобы любое решение обладало асимптотикой
x(t) л 0 при t л +то, (5)
если параметр T удовлетворяет некоторой верхней оценке.
3. Формулировка результата. Положим в (2) n = y-l(Z), Z = Ui[a], где y-i — функция, обратная к у, a Ui — оператор, подлежащий определению. Тогда уравнения (2) примут
вид
С = MiZ, Z = Ui[a], (6)
где M i —оператор, обладающий свойствами 1-4 с той лишь разницей, что вместо (4) имеет место соотношение
Un = Z (t n).
Для нахождения оператора Ui мы воспользуемся развитой в [6] методикой построения наблюдателя Калмана—Луенбергера и разработанным в [16, 17] методом усредне-Предполагается, что в системе (1) матрица A = {aij} имеет треугольную форму: ®M+1 = 1 при 1 < i < m — 1, aij = 0 при j > i + 1, 1 < i < m — 2. Остальные элементы, также как элементы вектора c(t) являются произвольными функциями, равномерно ограниченными при t > to вместе со своими производными до порядка m — 1 включительно.
Для нахождения оператора Ui построим асимптотическую оценку состояния системы с помощью уравнения наблюдателя Калмана—Луенбергера. Рассмотрим сначала задачу стабилизации системы
У = A(t)y + em s*y. (7)
Согласно [17], существует такая трехполосная положительно определенная матрица Hi = {hij} (ha > 0, ft-i,j+i = ft-i+i,i = —Ал/ЬП hl+i,j+i, остальныеэлементыравнынулю), что производные по t в силу системы (7) от функции Ляпунова
Vl = y*H*y (8)
удовлетворяет при всех t > to, y G Km неравенству
Vl + eVi < 0,
если
s = XHiem, (9)
где A скаляр, в — заданное положительное число. При этом коэффициенты Hii и A зависят лишь от supt>to I aj (t) | . Запишем уравнение (1) в виде
X = D(t)x + em(£ — s* x), (10)
где D(t) = A(t) + ems*, и рассмотрим уравнение наблюдателя
x = D(t)x + d(t)c* (t)z + em(£ — s*x), (11)
где z = x — x — ошибка наблюдения.
Очевидно, что z(t) удовлетворяет уравнению
Z(t) = A(t)z + d(t)c* (t)z.
Выберем теперь столбец d(t) таким образом, чтобы выполнялась асимптотика
z(t) A 0 при t л +ю. (12)
С этой целью введем новые координаты
zi = c*(t)z, Z k = A Z k -1 (k = 2,...,m), где производные d/dt берутся в силу системы zz = A(t)z, и построим преобразование
z, = P (t) z , (13)
где Do(t) —матрица Фробениуса с функциональной нижней строкой, а e* = (1,... ,0). Согласно [17], для системы (14) при d = A2H-iei существует функция Ляпунова V2 = z*H2г, удовлетворяющая при всех t > to, г £ Rm неравенству
V2 + f3V2< 0, (15)
где в — фиксированное положительное число, Ж —трехполосная матрица. При
этом A и элементы матрицы Ж зависят лишь от в и границ изменения коэффициентов матрицы
Do(t). Из (15) вытекает свойство (12).
Теперь для доказательства асимптотики (5) достаточно убедиться в справедливости соотношения
X(t) А 0 при t А +то. (16)
При выборе в по формуле (9) в [17] с помощью функции Ляпунова (8) и метода усреднения [16] найдено такое Т*, зависящее только от supt>to || A(t) || и supt>to || с(^) | |, что соотношение (3) выполняется, если Т < Т*.
Заметим, что если с* = (1,0,...,0), то преобразование (13) делать не надо и, следовательно, требование наличия производных от элементов матрицы A(t) является излишним. Такая же ситуация имеет место, если первый элемент строки c*(t) = (ci(t),.. . , Cm(t)) превалирует над остальными, то есть выполнена оценка
Summary
I. E. Zuber, A. Kh. Gelig. Robust stabilization by output of nonlinear sampled-data systems.
A nonlinear sampled-data system with a time-varying continuous linear part is considered. The method of robust stabilizing control synthesis by output is provided.
1. Isidory A. Nonlinear Control Systems. Berlin: Springer Verlag, 1989.
2. Кунцевич В. М., Лычак М. М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука, 1977.
3. Zak S. H., MacCarliey C. A. State-feedback control of non-linear systems // Int. J. Control. 1986. Vol. 43. N 5. P. 14971514.
4. Зубер И. Е. Спектральная стабилизация нелинейных систем на основе специального преобразования подобия // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2000. Вып. 2 (№8). С. 8-13.
5. Зубер И. Е. Спектральная стабилизация динамических систем // Вестн. С.-Петерб. унта. Сер. 1. 2001. Вып. 1 (№1). С. 15-22.
6. Зубер И. Е. Стабилизация нелинейных систем уравления по выходу // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2002. Вып.3 (№17). С.27-31.
7. Крищенко А. П., Панфилов Д. Ю., Ткачёв С. Б. Глобальная стабилизация афинных систем с помощью виртуальных выходов // Дифференциальные уравнения. 2003. Т.35. №11. С.1503-1510.
8. Кунцевич В. М., Чеховой Ю. Н. Нелинейные системы управления с частотно- и широтно- имульсной модуляцией. Киев: Техника, 1970.
9. Цыпкин Я. З., Попков Ю. С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973.
10. Чурилов А. Н. Стабилизация линейной системы с помощью комбинированной импульсной модуляции // Автоматика и телемеханика. 2000. №10. С.71-76.
11. Гелиг А. Х., Зубер И. Е. Стабилизация нестационарных импульсных систем // Автоматика и телемеханика. 2004, № 5. С. 29-37.
12. Гелиг А.Х., Кабриц М. С. Стабилизация нелинейных импульсных систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2003. Вып. 4. С. 20-27.
13. Кабриц М. С. Синтез стабилизирующих для нелинейных импульсных систем // Дифференциальные уравнения и процессы управления (Электронный журнал). 2003, №4. http://www.neva.ru/journal
14. Гелиг А. Х. Аналитический синтез стабилизирующего управления по выходу для нестационарных импульсных систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 2. С. 15-22.
15. Гелиг А. Х, Чурилов А. Н. Частотные методы в теории устойчивости систем управления с импульсной модуляцией // Автоматика и телемеханика. 2006. №11. С.60-76.
16. Gelig A. Kh.., Churilov A. N. Stability and Oscillatioons of Nonlinear Pulse-Modulated Systems. Boston: Birkhauser, 1998.
17. Гелиг А. Х., Зубер И. Е., Чурилов А. Н. Устойчивость и стабилизация нелинейных систем. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006.
Статья поступила в редакцию 17 мая 2007 г.
