Устойчивость гибкого вала при медленном вращении в жестком канале Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Михаил Иванович Осипов родился в 1938 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1963 г. Д-р техн. наук, заведующий кафедрой "Газотурбинные и нетрадиционные энергоустановки" (Э-3) МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 243 научных работ в области теории и проектирования газотурбинных и комбинированных энергоустановок, газодинамики, тепломассообмена.

M.I. Osipov (b.1938) graduated from Bauman Moscow Higher Technical School in 1963. D. Sc. (Eng.), professor, Head of "Gas Turbine and Non-traditional Power Plants" department of Bauman Moscow State Technical University. Author of 243 publications in the field of theory and designing of for gas turbine engines and combined power plants, gasdynamic, heat and mass transfer.

Рамиль Зарифович Тумашев родился в 1938 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1961 г. Канд. техн. наук, доцент кафедры "Газотурбинные и нетрадиционные энергоустановки" (Э-3) МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 107 научных работ в области теории и проектирования компрессоров газотурбинных и комбинированных энергоустановок.

R.Z. Tumashev (b.1938) graduated from Bauman Moscow Higher Technical School in 1961. Ph. D. (Eng.), assoc. professor of "Gas Turbine and Non-traditional Power Plants" Department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of 107 publications in the field of theory and design of compressors for gas turbine and combined power plants.

ДИНАМИКА, ПРОЧНОСТЬ, НАДЕЖНОСТЬ |

УДК 539.3

В. А. Светлицкий, Д. В. Бондаренко

УСТОЙЧИВОСТЬ ГИБКОГО ВАЛА

ПРИ МЕДЛЕННОМ ВРАЩЕНИИ В ЖЕСТКОМ

КАНАЛЕ

Изложена теория и численное решение уравнений равновесия гибкого вала, внедренного в жесткий канал. Рассмотрен режим медленного вращения вала на входе в канал. Определен интервал значений отношений кривизн вала и канала, при которых имеет место устойчивое вращение вала, когда при непрерывном изменении угла на "входе" угол на "выходе" изменяется непрерывно. Показано, что при значениях отношения кривизн больше определенной величины имеет место потеря устойчивости режима вращения вала.

Уравнения равновесия пространственно-криволинейного стержня. На рис. 1, а показан гибкий вал, находящийся в жестком "плоском" канале. На входе в канал (сечение А) валу передается принудительное медленное вращение. Требуется установить связь между

Рис. 1. Вал в жестком канале (а), естественном состоянии (б), после внедрения в канал (в) и плоском канале (г)

углом поворота на "входе" и углом поворота вала на "выходе" (сечение В) при различных кривизнах осевых линий вала и канала.

До внедрения в канал вал может быть как прямолинейным, так и криволинейным, а сечение вала может быть круглым и не круглым, что существенно влияет на режимы передачи вращения от сечения А к сечению В. После внедрения вала в канал между валом и ка-

налом возникают распределенные контактные силы д, которые (если не учитывать трение) ортогональны осевой линии вала. При внедрении вала в канал, осевой линии которой служит пространственная кривая, осевая линия вала тоже становится пространственной кривой, поэтому воспользуемся нелинейными уравнениями равновесия пространственно-криволинейного стержня [1]. Эти уравнения в безразмерной форме записи в связанных осях имеют вид:

dQ

dn dQ2 dn dQs dn dMi dn dM2 dn dMa dn

1 + Q3K2 - Q2K3 + qi = 0;

+ Q1K3 - Q3K1 + q2 = 0; + Q2K1 - Q1K2 + q3 = 0; + M3K2 - M2K3 = 0; + M1K3 - M3Ki - Q3 = 0; + M2K1 - M1K2 + Q2 = 0;

(1)

M1 = A11 (K1 - K10); M2 = A22 (K2 - K20); M3 = A33 (K3 - K30),

(2)

где

7 Q Q^ji2

s =7n; Qi = AüW

4i73

Mi = :

j A33 (0);

Ki — Ki7; qi —

A33 (0)'

=

Цг1

2

A11 (n) =

A33 (n) =

¿11 ,

A33 (0);

¿433

¿22 (n) =

¿33 (0); ¿422 ¿33 (0);

-, (i = 1, 2,3)

А33 (0): (величины с — размерные).

В систему уравнений (1) входят неизвестные проекции на связанные оси вектора внутренних сил Q (Qj), вектора внутреннего момента М (Mj) и вектора контактных сил я (qj). Входящие в систему (1) Kj

( Ь \ -

есть проекции вектора кривизн к к = Kje j осевой линии стерж-

V j=l )

ня на главные оси сечения после внедрения в канал; кj0 — проекции вектора кривизн осевой линии стержня на связанные оси до внедрения в канал.

Элементы пространственно-криволинейного стержня в естественном состоянии (до внедрения в канал) и после внедрения в канал показаны рис. 1, б и в.

Вектор кривизн к осевой линии стержня после внедрения в канал, связанный с главными осями сечения, когда (общий случай) к стержню в сечении n = 0 может быть приложен крутящий момент M10, равен

(j.q(/) \ , ) , )

+ "¿T ) е1 + sin V 1 + 62 + cos Г1 + ез'

(3)

где Пь 03 — компоненты вектора Дарбу О [1],

0 = Q1e(1//) + П3е3//);

о d, - о

= —--кручение осевой линии канала; ,1 — угол поворота есте-

dn

ственных осей |е(//)|, связанных с осевой линией канала, при перемещении трехгранника осей вдоль осевой линии; 03 = -, где р —

Р

d,/

кривизна осевой линии вала; —---кручение вала, вызванное мо-

dn

ментом M10.

Суммарная "крутка" элемента стержня в канале равна

К1 =01 + f- = ^ + f- = f Ш + = Л) . (4)

dn dn dn dn V /

Поэтому компоненты вектора к (3) можно представить как

d, л Л

К1 = "Т"; К2 = 03 sin Л1; К3 = 03 cos Л1. (5)

dn

Аналогично можно получить выражение для вектора кривизны вала в естественном состоянии к0 (см. рис. 1, б):

3

.„ „ о „ , c¿30 sin ,10 е20 + 030 cos vw-

Ко = КгОвгО = П^ю + П30 sin $10^20 + ^30 COS $10^30, (6)

i=1

где К10 = О10 = d,10-; К20 = О30 sin K30 = O30 cos O30 = —.

dn Р0

Выражения (2) для моментов M¿, входящих в систему (1), имеют

вид

Ml = All

3(0)N

dn dn J ; M2 = A22 sin $1 - П30 sin ,

M3 = A33 ( П3 cos $( - П30 cos $'

(0) '10

Подставив Kj (5) и Mj (7) в четвертое уравнение системы (1), получаем

d_ dn

A

ll

d$(

dn

- П

l0

+ A33 ( П3 cos $1 - П30 cos $(°0) ) П3 sin $(-

- A22 ( П3 sin $ - П30 sin $(°0)) П3 cos $1 = 0

или

d2 $1 A33

dn2

П30П3 cos $ (°0) sin $ ( + П30П3 cos $ 1 sin $ (00) + A A

+ (П3)2 sin 1 = П10). (8)

2A

li

Уравнение (8) — уравнение равновесия гибкого вала некруглого сечения, находящегося в жестком канале.

Ограничимся частным случаем, когда осевые линии канала и вала — плоские кривые (А22 = А33), П 1 0 = 0 ^ ^ = о), $ 1 = 0, $ 1 = $ ^. Из уравнения (8) получим

d2$1'

/)

A

П30П3 sin $ 1/) +

(/)

A33 - A

22

Af A 1 1 —......... ' 2Ai 1 ^ ^ = °- (9)

Численное исследование равновесия при медленном вращении плоского вала в плоском канале (рис. 1, г). Вал круглого поперечного сечения. Уравнение равновесия вала в канале при A22 — A33 есть частный случай уравнения (9):

^ A33 О О sln #) — 0

- A33°30Оз sin А — 0

Для этого частного случая из системы (7) получаем

dn

(10)

M1 = An, M2 = А22П3 sin$1/), M3 = A22 (^3 cos $1/) - П30) .

Уравнение (10) можно представить в виде системы двух уравнений первого порядка

dyi

dr¡

У2 A

11

dy2

— = А33П30П3 Sinyi,

dn

где У! = У2 = Мь

Рассмотрим режим вращения вала, когда при п = 1 М1к = 0. Для того чтобы получить решение, удовлетворяющее этому условию, приходится, задавая угол —10 и изменяя М10, при помощи численного решения системы уравнений (11) определять такое значение М10, при котором при п = 1 М1 (п) = 0. При численном решении системы уравнений (11) брались следующие числовые значения размерных параметров:

d = 5 • 10-3 м, l = 1 м,

l = 1 nR

А33 = А22 = E

nd4

= 6,443 Н • м2,

А(( = GJk =

64

E nd4 2(1 + р) ~32~

= 5,113 Н • м2,

E = 2,1 • 1011 Па, p = 0,26, ll3 = 1 = const, ll30 = -1 = const

R Ro

(R, R0 — радиусы кривизн канала и стержня).

Безразмерные параметры, входящие в уравнения (11), можно

представить как

A22 = A33 = 1, An = 0,7937, п nR R

l3 = —, l30 =--, Y = -.

3 30

R 3 R0 R0

Результаты численного решения системы уравнений (11) приведены на рис. 2-7. На рис. 2 приведен график зави-

симости §

(/)

§(/) §10

'1* для разных значений параметра 7. При значениях 7 из интервала 0 < 7 ^ 1,2 имеет место

однозначная зависимость §

(/)

(/) ik

от -$10, т.е. при непрерывном Рис.2. Графики зависимости угла от изменении угла угол угла изменяется также непрерывно.

При 7 > 1,2 (например, при

7 = 2,5) однозначная зависимость -к от -10? имеет место до определенного угла поворота входного сечения ^-Ю?*). При -10' > -10'* (при принудительном вращении входного сечения угол монотонно возрастает) равновесное состояние вала в канале возможно как при ■Ц,', так и при —к (см. рис.2). Состояние равновесия вала в канале,

о(1)

соответствующее углу поворота выходного сечения , становится неустойчивым. Скрученный вал из неустойчивого состояния равновесия (т. 1, см. рис. 2) переходит в устойчивое состояние равновесия (т. 1', см. рис.2), при котором выходное сечение вала скачкообразно поворачивается на угол Д-к = -к? — -Ц?. Изменение угла -к при потере устойчивости происходит на конечную величину. Если направление вращения изменить на обратное (7 = 2,5), то при уменьшении угла -10* (т. 2, см. рис. 2) происходит потеря устойчивости вала и угол -к изменяется на конечную величину, до значения, соответствующего т. 2' (см. рис. 2).

На рис.3,а приведены графики зависимости возникающего в сечении п = 0 крутящего момента М10 при медленном принудительном

Рис. 3. Графики зависимости момента Мю от угла (а) и угла (б)

вращении вала при условии, что крутящий момент на выходе (М1к) равен нулю. При потере устойчивости вала момент М10 изменяется

скачкообразно на конечную величину от значения М^1 до значения

М(2)

М10 .

На рис. 3, б приведены графики, связывающие момент М10 и угол -к при непрерывном вращении вала в канале без потери устойчивости (при 7 < 1,2) и при потере устойчивости (7 = 2,5)

На рис. 4, (а-г) приведены графики изменения по длине вала (на участке вала в канале) безразмерных проекций векторов Q (Qj),

3

М (Mj) и д (qj) на связанные оси. Графики получены для 7 = -

и = ^П, М10 = 0,5132 (М1к = 0). Из графика Q1 (п) (см. рис. 4, а)

следует, что при равновесии вала в канале, если на входе (п = 0) осевое усилие равно нулю, на выходе к валу должно быть приложено осевое усилие Q1fc. Если на выходе из канала не приложить силу Q1fc, после того как вал внедрен в канал и осевого усилия на "входе" в канал нет ^10 = 0), вал (имеется в виду вал конечной длиной /) "выскочит из канала".

Если при передаче вращения вала требуется, чтобы осевое усилие было равно нулю (при п = 1), то в этом случае на "входе" к валу должно быть приложено сжимающее осевое усилие, равное Q1k. Изменение Q1 (п) для этого случая показано на рис. 4, а штриховой линией.

6

4

Рис. 4. Изменение внутренних сил (а) и моментов (б) по длине вала, проекций (и модуля) контактных сил (в) и угла поворота сечений вала (г)

Рис. 5. Вал в плоском канале

На рис. 4, в приведен график модуля |q| распределенной контактной

силы |q| = у/+ gf.

2 + q32-

График изменения угла (п) (от входа ^^ к выходу канала $ l^) приведен на рис. 4, г.

Вал некруглого поперечного сечения. Уравнение равновесия вала в канале (рис. 5) при A22 = A33 имеет вид (уравнение (9))

d2A33n n . Q(/) , A33 - A22 (п 4 2 . о q(/) п поч

-----— П30П3 sin $17) +--—-(Пз) sin = 0, (12)

dn2 Аи""30""3.....1 ' 2А

которое можно представить в виде системы двух уравнений первого порядка:

d"1 = У1_;

^2 A11 2 (13)

"d"2 = (A22 - A33) (О3)2 sin У1 cos У1 + A33О30О3 sin У1,

где "1 = "2 = M1.

При численном решении системы уравнений (13) брались следующие числовые значения размерных параметров:

d = 5 • -0-3 м, l = - м (l = ; b = 2,24 • -0-3 м;

~ b3 a ~ ba3

a = 4,47--0-3м; A22 = E-= 0,88Н-м2; A33 = E-= 3,50Н-м2;

-2 -2

E

A11 = GJk = —--вЬ3а = 0,95Н-м2; в = 0,229 [2];

2 (- +

43 = — = const, 4 30 = -1 = const. R R0

Безразмерные следующие:

A33 = 1; A22 = 0,250

параметры

п

An = 0,273; П3 = ^

п R

R

R

Рис. 6. Зависимость угла ^^ от угла

^30 ч г? ' ^ г? ' 3 Л0 Л0

Результаты численного решения системы уравнений (13) приведены на рис. 6, 7. Для вала некруглого сечения область неустойчивых значений угла -Ю (интервал (а, Ь) на оси -10?, см. рис. 13) при 7 < 2,5 (см. рис. 6, а) существенно больше аналогичной области неустой-

чивых значений (а, Ь) для вала круглого сечения (см. рис. 2).

Если для стержня круглого сечения предельное значение параметра 7*, при котором не происходит бифуркаций состояний равновесия

Рис. 7. Зависимость момента Мю от угла (а) и угла (б)

вала в канале, равно 2,5, то для вала некруглого сечения предельное значение y* практически равно 0. На рис. 7, а, б показаны графики, связывающие момент M10 с углами #10) и #1/2, которые качественно аналогичны графикам (см. рис.3,а, б) для вала круглого сечения. Штриховыми линиями показаны теоретически возможные зависимости (они получаются из решения уравнений равновесия) M10 от и #1/2, которые при принудительном вращении вала не реализуются из-за бифуркаций состояний равновесия вала.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Светлицкий В. А. Механика стержней. - М.: Высш. шк., 1987 г.

2. Пановко Я. Г. Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем. - М.: Наука, 1967.

3. Ф е о д о с ь е в В. И. Сопротивление материалов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.

Статья поступила в редакцию 22.05.2006

Валерий Александрович Светлицкий родился в 1927 г., окончил Московский авиационно-технологический институт (МАТИ) в 1952 г. Д-р техн. наук, профессор кафедры "Прикладная механика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Заслуженный деятель науки и техники России, член Российского национального комитета по теоретической и прикладной механике, лауреат премии Совета Министров СССР, награжден медалью имени академика Келдыша, член Американского общества инженеров-механиков. Автор 14 монографий и учебников, более 100 научных работ в области механики деформируемых тел и теории прочности машин, статистической механики.

V. A. Svetlitsky (b. 1927) graduated from the Moscow Institute of Aviation Technology in 1952. D. Sc. (Eng), professor of "Applied Mechanics" Department of the Bauman Moscow State Technical University. RF Honoured Worker of Science and Technology, member of Russian National Committee on theoretical and applied mechanics, USSR Council of Ministers Prize Winner, awarded to Academician Keldysh Medal, member of American Society of Mechanical Engineers. Author of 14 monographs and textbooks, of more than 100 publications in the field of mechanics of deformed body, machine strength theory, statistic mechanics.

Дмитрий Владимирович Бондаренко родился в 1984 г., студент кафедры "Прикладная механика" МГТУ им. Н.Э. Баумана.

D.V. Bondarenko (b.1984) — student of the Bauman Moscow State Technical University, department of Applied Mechanics.