CC BY
25
ГЕОМЕХАНИКА
УДК 622.272 : 516.02
С.В. Черданцев, Н.В. Черданцев
ОБ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ВИНТОВОГО СТЕРЖНЯ С ЦЕЛЬЮ ПОВЫШЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ВЫРАБОТОК
Проблема устойчивости горных выработок является важнейшей задачей при их проектировании и строительстве горных выработок. Выработка считается устойчивой, если за ее контуром не образуются зоны нарушения сплошности (З.Н.С.) окружающего массива (или эти зоны небольшие). Если выработка сооружается в достаточно прочных породах, то за ее контуром не возникают З.Н.С. Если же породы слабые, то размеры З.Н.С. могут быть достаточно большими и выработка может потерять устойчивость, вследствие чего происходит обрушение пород в выработку. Из сказанного следует, что устойчивость выработок зависит от напряженного состояния массива горных пород в окрестности выработки и от прочностных свойств горных пород.
Задача о напряженном состоянии массива пород вокруг выработки следующим образом [1]: вдоль оси х3 на бесконечный упругий массив действуют напряжения с33С = уИ, горизонтально
..у ..у ОС
вдоль осей XI, Х2 действуют напряжения Сц = с22С = ЛуИ, где Л - коэффициент бокового давления. Внутри массива имеется полость, моделирующая заданную выработку, на всей поверхности которой (или какой-то ее части) изнутри приложены усилия ¥, создаваемые реакцией крепи.
Для решения поставленной задачи авторы использовали метод граничных интегральных уравнений, сущность которого заключается в следующем [2]. К поверхности полости прикладывается компенсирующая нагрузка интенсивностью а. Суммарные напряжения от действия внешней и компенсирующей нагрузок в каждой точке полости должны удовлетворять условиям на поверхности. Напряжения от компенсирующей нагрузки определяются интегрированием по решению Кельвина в пределах поверхности полости. В результате условия на поверхности приводится к интегральному уравнению [2]
1-ад(0в) - ЯФдт(в0,М0)ат(М0№°М0 = О
2
= пд(в0)Сдд -¥д(во)
дд 1 д\
(1)
в котором ФтвоМо) - тензор Грина, ¥д(в0) -
реактивный отпор крепи на окружающий массив, СддХ - тензор напряжений на бесконечности, О -площадь поверхности полости, пд, пт - единичные векторы внешних к поверхности полости нормалей в точках в0, М0.
Уравнение (1) решено численно при условии, что выработка имеет круглую форму поперечного сечения и в ней отсутствует крепь (¥д(в0) = 0). З.Н.С. вокруг выработки определяются как совокупность точек, в которых произошло разрушение пород по критерию прочности Мора:
Т. р. = Сvtgф + К , (2)
где Т.р.,Сv - безразмерные касательные и нормальные напряжения, отнесенные к уИ, возникающие на площадках с нормалью V, где происходит разрушение пород, К - коэффициент сцепления горных пород, также отнесенный к уИ, а ф является углом внутреннего трения пород.
На рис. 1 показаны З. Н. С. (в виде затемненных областей) в окрестности выработки круглого поперечного сечения в массиве, нарушенном горизонтальными поверхностями ослабления, породы которого имеют К =0.25 , а ф = 2(° и нахо-
а.164
z cd■
• • •
ь-1.164
ь- 0.999 Уcd.,Уi .0.999
J
Рис. 1. Зоны нарушения сплошности вокруг незакрепленной выработки
1
z
дятся в гидростатическом поле напряжений (Л = 1).
Для повышения устойчивости выработок используются различные типы крепей. Как правило, крепи являются ограждающими или несущими конструкциями. На процесс формирования З.Н.С. они не влияют, поскольку не создают реакцию отпора (Рч(во.) = 0). В этом смысле они являются «пассивными» конструкциями. Крепь анкерного типа, за счет увеличения натяжения анкера, может влиять на размеры З.Н.С. и поэтому является «активной» крепью. В данной работе обсуждается возможность повышения устойчивости выработок круглой формы поперечного сечения с помощью
dQ2
ds
+ *30Q1 — *10Q3 +
+ ~~—M 3Q1 --¡—M1Q3 + q2 = 0; A33 A11
dQ3
ds
1
1
A22 dM1
ds
A11
-K30M2 = 0;
+ K30M1 —K10M3 +
dM2 ds
+ —^M3M1 —M1M3 — Q3 = 0;
A33
A11
dM3
ds
+ K10M2-------M 2M1 +
1
A11
a22
M1M2 + Q2 = 0;
d$1
ds
1 —
cos $2
cos S3
Л
(
K10 +
sin$1tg$3 —
sin $2 cos$3
(3)
*30-
d$2
ds
M1 cos $2 M3 sin $2
Ац cos$3 A33 cos$3
(
= 0;
— cos$2tg$3*1Q +
sin $ 1 cos $3
— sin$2tg$3
*30
M1 M 2 M 3
-----— cos$2tg$3------ -----M3 sin$2tg$3 = 0;
A11 a22 a33
d$3
------+ sin $2*10 + (cos $1 — cos $2 )* 30 +
ds
M1 M3
+----— sin $2-------cos $2 = 0;
A11 A33
du 1 M3 M2 , ,
*30u2 —~л— U2 +-—M2U3 +
Рис. 2. Геометрические параметры винтового стержня
предварительно обжатого винтового стержня.
Напряженно-деформированное состояние винтового стержня (рис. 2) круглого поперечного сечения длины I, материал которого следует закону Гука, описывается системой уравнений, в связанной системе осей имеющей вид [3]:
- к30в2 -~~М30.2 +~т М2в3 + д1 = 0 ™ А33 а22
ds * А33 А22
+ cos $2 cos $3 — 1 = 0; du2 ds
——M3U1------—M1U3 — sin$3 = 0;
A33 A11
+ *30u1 —*10u3 +
du3
ds
+ *10u2
1
a22
M2u 1 +
+ -
M^2 + sin $2 cos$3 = 0.
A11
В этих уравнениях : Q1, Q2, Q3 - соответственно продольная и перерезывающие силы в поперечном сечении стержня, M1, M2, M3 - крутящий и изгибающие моменты в этом же сечении стержня, A11, A22, A33 - крутильная и изгибные жесткости поперечного сечения стержня,
&1, &2, &3 - углы поворота осевой линии стержня относительно оси стержня, ее главной нормали и бинормали, Ui, и2, U3 - перемещения вдоль оси стержня, вдоль главной нормали и бинормали, qi, q2, q_3 - компоненты вектора внешней распределенной по длине стержня нагрузки. Кручение Кю и кривизны К20, К30 осевой линии стержня в естественном состоянии, определяемые как [4]
sinacosa cos 2 а
К10 =-----R-----,К20 = 0,К30 =—R—,(4)
где R - радиус недеформированного стержня, а - угол подъема его витков. Поскольку материал
+
1
стержня работает в упругой стадии, то:
M1 = А11(к1 ~к10)>
M2 = а22(к2 ~к20)> (5) M3 = а33(к3 ~к30)’ где К1, К2, Кз - компоненты кручения и кривизны осевой линии деформированного стержня.
Пусть цилиндрическая оболочка круглого поперечного сечения радиуса R подкреплена винтовым стержнем такого же радиуса и равномерно обжимается на величину Л, оставаясь круглым цилиндром. Естественно, величина перемещения U2 в стержне будет постоянной и равна известной величине обжатия оболочки Л. Пусть концы стержня не закреплены, тогда их перемещения, очевидно, симметричны относительно точки, находящейся посередине стержня, а сама срединная точка не перемещается. Следовательно, если начало координат совместить с этой точкой, то перемещения U1, U3 и угол поворота З1 будут
и1(0) = 0,из(0) = 0,&1(0) = 0. (6)
Поскольку оболочка в результате равномерного обжатия остается круговым цилиндром, то и винтовой стержень, находящийся внутри оболочки после деформации также сохранит винтовую форму. Поэтому угол поворота относительно бинормали Зз =0 и последние шесть уравнений системы (3) преобразуются к виду:
+ (1 - cos&2 К10 - sin&2K30 -
ds
1 M1 cos З2------1—M 3 sin З2 = 0;
A11 a33
d32 1
------h sin З к 30-----------M2 = 0;
ds A22
ІПЗ2К10 + (cos З1 - cos З2 К30 +
sm
h——M1 sin З2----1—M3 cos З2 = 0;
A11 a33
du1 1-і,
КЗ0и2 —;— M3u2 +
ds
a33
1
(7)
h-M2u3 + cos З2 -1 = 0;
a22
M3 M1
Кз0и1 -К10из +-— u1 —-— из = 0;
a33 a11
du З M2 Mi . n „
+ K10U2------U1 h------— U2 + sin32 = 0.
ds A22 A11
Из уравнения (7)i с учетом (5) вытекает уравне-
ние
d31
ds
+ К10 -K1cos32 -K3sin32 = 0, (8)
где кручение К1 и кривизна К3 стержня после его обжатия могут быть определены по формулам (4)
sinai cosai cos2 ai
К1 =------1------L,K3 =-------z—1, (9)
R1
R1
где ОС} и Ri = R - U2 - соответственно угол подъема витков пружины и ее радиус после обжатия. С учетом формул (9) представим уравнение (8) следующим образом
d3i cosaisiníai +З2) „
1+K10---------} / _ —— = 0, (10)
ds
R(1 - U2)
U2
где Ы2 = —— безразмерная величина обжатия.
Рассмотрим далее уравнение (7)3, которое в силу (5) и (9) представим в виде
cosalcos(al +3?) „
С0831к30---------------------------------1 2/ = 0. (11)
К(1-_2)
Решив совместно уравнения (10) и (11), полу-
+ К10 -tg(ОС1 +З2)cos3K3Q = 0 . (12)
-3\
ds
Заметим, что угол подъема витка а! после деформации представляет собой алгебраическую сумму угла подъема витков а недеформированной пружины и угла поворота З2 относительно главной нормали:
а1 = а-З2. (13)
С учетом формулы (13) уравнение (12) приводится к виду
d31
ds
- (cos31 - 1)к10 = 0,
(14)
решение которого, в силу граничного условия (6)3, и теоремы о единственности решения представляется тривиальным
&1 = 0 . (15)
Из уравнения (11) и формул (13) и (15) вытекает уравнение
К30(1 -U2)-cos(a-&2)cosa = 0 (16)
(К30 =K30R X
откуда следует, что угол поворота &2 = const. Приведем уравнение (16) к виду
2
tg З2 - a tg32 + b = 0,
(17)
где
a =■
2 tga
(1 - u2) - tg a
, b =
(1 - U2)2 -1 (1 - u2) - tg a
Уравнение (17) имеет два корня. Один корень (отрицательный) соответствует правой навивке пружины (км> О), другой корень отвечает левой навивке (к¡о < О). В дальнейшем рассматривается
чим
пружина с правой навивкой.
Учитывая, что &1=0, &2 = const, из уравнений (7)ь (7)2 и (7)3 получим выражения для моментов
M1 = К10 cos&2 -К30 sin&2 -К 10,M2 = 0,
M3 =к 10 sin&2 +K30cos&2 -К30,
(18)
в которых
M, = MM,m3 = M3R
А11 А33
а к 10 =кюЯ,кз0 =кз0Я - безразмерные кручение и кривизна осевой линии стержня.
Учитывая, что моменты М1 и М3 постоянны, а М2=0, из (3)5 и (3)6 определяем внутренние усилия, возникающие в обжатом винтовом стержне:
в2 = 0,вз = в3*2 =
А11 <19>
= К30М1 - ткюМз + М1М з( 1 - т), где т = А33/А11.
Рассмотрим далее уравнения (3)1 - (3)3, приведя их к безразмерной форме, имеем,
Я + д1 = 0,(к30 + М3)в1 - (20)
- (к10 + М1)в3 + д2 = 0,д3 = 0, где Я = С0sa, — = —^- безразмерная координата, а безразмерные компоненты внешней нагрузки определяются как
*=ап!.
А11
Поскольку д3 = 0, система (20) сводится к
двум уравнениям с тремя неизвестными функ-
циями ,д1 ,д2 и для исключения неопределенности воспользуемся гипотезой Кулона
д1 = 142, (21)
где силой трения является д!, а/- коэффициент трения стержня об оболочку. Поскольку д1 противоположна перемещению _1, то в уравнении (20)1 ее следует принять отрицательной. В силу сказанного система (20) принимает вид:
Я-/ д2 = 0,
(к30 + М3)в1 - (к10 + М1)в3 + д2 = 0, _ (22)
исключив из которой д2 , получим дифференциальное уравнение
dQ1
ds
+ k Q1 -р = 0,
(23)
где
к = ЯЯ (к30 + М3^ Р = Я(к10 + М1)в3 .
Поскольку концы пружины свободны, то продольная сила в концевых сечениях
в1(0,5!) = 0 . (24)
Выражение (24) - граничное условие для уравнения (23), решение которого в этом случае
7^.=Р\
Q1 =^ | 1 - e -k(s -0’5l)
(25)
Далее из уравнения (20)! и формулы (21) определяем
д1 = Я ^ д1 =Яр е-к(э-0,51), (26) &
а распределенную нагрузку - из уравнения (22)2
д2 = (к10 + М1)в3 - (к30 + М3)в1. (27) Таким образом, для равномерного обжатия цилиндрической пружины необходимо приложить к ней неравномерную внешнюю нагрузку, компоненты которой определяются по формулам (26) и (27). Если равномерно обжатую цилиндрическую пружину установить в выработку круглого поперечного сечения, то последняя будет создавать реактивный отпор на окружающий массив. Величина отпора ¥д(в00) (см. уравнение (1)), очевидно, равна распределенной нагрузке д2 .
На рис. 3 показаны зоны нарушения сплошности в окрестности выработки круглого поперечного сечения, подкрепленной цилиндрической пружиной с углом подъема витков а = 50, предварительно обжатой на _2 = 0,1. Видно, что размер зоны нарушения сплошности вокруг закрепленной выработки уменьшается на 14,2% по сравнению с
jj 1.035
V -2 0 ,
l-0.999 У cd.,yi J
uO.999,
Рис. 3. Зоны нарушения сплошности вокруг закрепленной выработки
незакрепленной выработкой. Следовательно,
предварительно обжатая цилиндрическая пружина повышает ее устойчивость выработки.
В заключение, отметим, что необходимый диаметр поперечного сечения стержня в безразмерном виде может быть определен по формуле
о м,
(28)
вытекающей из условия прочности.
Здесь G - модуль сдвига материала стержня, [О] - его допускаемые напряжения,
3 — ±
Я
и М р =
I
м2 + ш2М22
- безразмер ные диаметр стержня и расчетный момент .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Баклашов И.В., Картозия Б.А. Механика подземных сооружений и конструкции крепей. -М.: Недра. - 1992. - 544 с.
2. Лурье А.И. Теория упругости. - М.: Наука. - 1970. - 940 с.
3. Черданцев С.В. Нелинейные уравнения равновесия пространственного винтового стержня. // Вестн. КузГТУ. -Кемерово, 2000, № 1 - С. 12 - 17.
4. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. - М.: Гос. изд.-во техн.-теор. Литературы. -1956. - 420 с.
□ Авторы статьи:
Черданцев Николай Васильевич
- канд. техн. наук, докторант каф. строительства подземных сооружений и шахт
Черданцев Сергей Васильевич
- канд. техн. наук, доц. каф.строительства подземных сооружений и шахт
УДК 622.241.54
Н. В. Черданцев
ЗОНЫ НАРУШЕНИЯ СПЛОШНОСТИ В ОБЛАСТИ СОПРЯЖЕНИЯ ДВУХ ВЫРАБОТОК КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ
Задача распределения напряжений в окрестностях горных выработок и их сопряжений является важной в механике подземных сооружений, поскольку позволяет при использовании критериев разрушения материла массива определять зоны нарушения сплошности,
оценить устойчивость выработок, а, следовательно, и нагрузку на крепь. Ниже приводится решение задачи определения зон нарушения сплошности в области сопряжения двух выработок круглого поперечного сечения, оси которых пересекаются под углом в (рис. 1).
го сечения
Задача о напряжённом состоянии вокруг выработок формулируется следующим образом [1- 3]: вертикально вдоль координатной оси г на бесконечный упругий массив дейст-
X ТТ
вуют напряжения О % — уп ,
горизонтально вдоль осей X, у действуют напряжения
X X л тт
Ох —Оу — ЯУН ,
где Я - коэффициент бокового давления. Внутри массива имеется произвольных размеров и формы полость, имитирующая заданную выработку. На всей поверхности выработки или какой-то её части изнутри приложены напряжения ¥, которые могут создаваться, например, реакцией крепи. Требуется найти напряжённое состояние в любой точке массива вокруг выработки.
В работе для определения
