Усредненные модели диффузии и конвекции примесей в абсолютно твердых пористых средах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УСРЕДНЕННЫЕ МОДЕЛИ ДИФФУЗИИ И КОНВЕКЦИИ ПРИМЕСЕЙ В

ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: [email protected],[email protected]

Аннотация. В работе рассматривается задача о моделировании диффузии и медленной конвекции примесей в абсолютно твердой среде, перфорированной системой пор, заполненных вязкой слабосжимаемой жидкостью. Наличие в точной физической модели малых быстро осциллирующих негладких коэффициентов делает практически невозможной ее численную реализацию. Предлагается вывод усредненной модели, не содержащей быстро осциллирующих коэффициентов.

Ключевые слова: уравнения Стокса, двухмасштабная сходимость, усреднение периодических структур.

Математическая модель рассматриваемой задачи содержит малый параметр е, равный отношению среднего размера пор l к характерному размеру L рассматриваемой области: е = l/L. Поэтому естественным упрощением, сохраняющим основные свойства задачи, является нахождение предельных режимов в точной модели при е ^ 0. Вторым упрощением является предположение о периодичности порового пространства. Пусть ограниченная связная область П G R3 с липшицевой границей есть периодическое повторение элементарной ячейки Y£ = eY, где Y = (0,1)3, Ys — твердая часть Y, Yf — жидкая часть,

Y = OYff] dYs. Тогда поровое пространство П£ есть периодическое повторение элементарной ячейки eYf, твердый скелет HS есть периодическое повторение элементарной ячейки eYS, граница Г = дП£\дП — периодическое повторение в П границы ej.

В безразмерных переменных изучаемая система уравнений для скорости жидкости v£(x,t), давления p£(x,t) и концентрации примеси c£(x,t) в области П£ х (0,T) состоит из уравнений Стокса, описывающих движение слабосжимаемой вязкой жидкости, в которых кинематическая вязкость жидкости зависит от концентрации примеси:

АБСОЛЮТНО ТВЕРДЫХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ Св.А.Гриценко, А.М.Мейрманов Белгородский государственный университет,

aT~Qj- = div (aßß((f)Vv£ + (a^div ve — рє) I) + F,

(1)

(2)

и конвективного уравнения диффузии:

——Ь veVce = ав Ас£. дЬ

На границе Г£ выполнено однородное условие Дирихле для скорости жидкости

(3)

v£(x,t) = 0 при x Є Г£,

(4)

и однородное условие Неймана для концентрации примеси

дс£ (х,Ь) „

---------------------= 0 при х £ Г . (5)

дп

Задача замыкается начальными условиями:

v£(x, 0) = 0, р£(х, 0) = 0, х Е П£, (6)

с£(х, 0) = с0(х), х Е П£. (7)

Чтобы говорить о предельном переходе при е ^ 0, необходимо рассматривать все функции и последовательности в фиксированной области (П£ зависит от е). Поэтому мы продолжаем все функции из области П£ С П в П. Скорость \^£ и давление р£ продолжаются в

П тривиально - нулем (на границе Г£ v£ = 0, р£ = 0). Концентрацию с£ можно продол-

жить, используя известные методы продолжения, но при этом для продолженной функции теряется важное для нас свойство — ограниченность производной дс£/дЬ в некотором сопряженном пространстве, необходимое для предельного перехода при е ^ 0. Поэтому мы поступаем по-другому.

„ є , 0, у Є П£ . є ) 0, у Є П

Положим Vе = < ~ * Аналогично, ре = < ~ „

л Vе, у Є Пє. ’ 1 1 рє, у Є П

Пусть Xе (х) = х(х/є) — характеристическая функция Пє в П, х(у) — характеристическая функция Yf в Y:

0, У Є Ya,

Х(У) I 1, У Е У/.

Введем малый параметр Л > 0 и рассмотрим вместо (3) уравнение: дс£

+ ^Ус£Л = сНу П \ <4, + А(1 — ;\£)) Усд), х ЕП, (30

а вместо краевого условия (5) — краевое условие

дс£х(х, і)

0 при х Є Б. (5;)

дп

Тогда для фиксированных є > 0 и Л > 0 справедлива следующая

Теорема 1 Задача (1),(2),(3’),(4),(5’),(6),(7) имеет хотя бы одно обобщенное решение и для него справедливы оценки:

тах [ (агкдІ2 + — рх2) сіх + [ )2 + а'„|\7^І2) сіх сЫ ^ МЕ2, (8)

0<*<Т,/п ар Jnт V /

тах [ \о£х\2 <1х + [ (х£ав + Л(1 — Хє))\^сх\2 ¿хві ^ ЫЕ2, (9)

О<і<Т J п J пт

где Ы - постоянная, не зависящая от є, Л и Е2 = /п \Г(х, і)\2 вхві.

Для доказательства мы определяем множество М как

М = {с Е С(ПТ) | 0 ^ с ^ 1}.

Для с Е М функция и(х,Ь) находится как обобщенное решение задачи:

du

ar~Q^ = div (a^jtt^Vu + (a^divu — q)I) + F, (10)

— + Q'pdivu = 0, (11)

dq

m

u(x,t)=0 при x Є Г, u(x, 0) = 0 при x Є П, (12)

Решение задачи (10) - (12) существует, единственно и для него справедлива оценка

шах [ (q:t|u|2 Ч---q2) сіх + [ fav(divu)2 + а Л Vu 12^) clxdt ^ MF2. (13)

°<t<Tjq ap JÜT V )

Далее вводится нормированное пространство N с нормой

(||u||N)2 = ^max / ат|u|2 dx + (^av(divu)2 + aM|Vu|2j dxdt.

°<^<T Jq Jqt

Решение задачи (10) - (12) определяет непрерывный оператор A : M ^ N такой, что u = A(c).

Полученное решение сглаживается при помощи следующего оператора:

wh(x,t.) = M{h)(u(x,t.)) = £ dr j Ч u(y, T) dy, wh(x,t.) Є C1QO(QT),

(*t+h Н

где усредняющее ядро п(з) Е С(Я3) - четная неотрицательная функция, п(з) = 0, если

|в| ^ 1, пФО ^ = 1,

и определяется функция с^(х,Ь) как решение задачи: дсь,

+ ’УУЬ\7с;г = сНу 'М\ м„ + Л(1 - х£)) Vc/г) (14)

дсь (х Ь)

---т-^— = 0 при х € Б, сь(х,0) = (со(х)), при х Е О, (15)

дп

где

1

(с0(х)) = уі fR3 v (^т~) с°(уї dy-

Задача (14) - (15) как задача с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами имеет единственное бесконечно дифференцируемое решение Ch(x,t), для которого справедлив принцип максимума:

0 ^ ch(x,t) ^ maxc0(x) ^ 1. (16)

Таким образом, для каждой фиксированной функции u Є N существует единственная функция ch Є M, то есть определен оператор B : N ^ M, такой что ch = B(u), и этот

оператор непрерывен.

Наконец, определяется оператор

Ф : М — М,

сн = Ф(с) = В (А(с)),

который непрерывен как суперпозиция непрерывных операторов, и более того, по теореме Арцела он вполне непрерывен и отображает выпуклое множество М в себя, то есть по теореме Шаудера о неподвижной точке существует хотя бы одна неподвижная точка этого оператора.

* ^^с^) — неподвижная точка оператора ф, и пусть и^

Пусть с*н = Ф(4) — неподвижная точка оператора Ф, и пусть и^ = А(с^). Тогда

ди^

®т-^~ = с11у (аМсъ)^К + КсНу< - д*к)1) + Е, (17)

да*

+ арсНуи;* = О, (18)

+ М1"’«) • V« = <и»((Х'ао + А(1- X*))74). (19)

и^(х,Ь) = 0 при х Е Б, и^(х, 0) = 0, (20)

дс* (х Ь)

—-— = 0 при х Е Б, с1(х, 0) = М^(с0(;г)) при х Е П. (21)

дп

Далее выполняется предельный переход при к — 0 и доказывается, что решение

к, р£х, с|) исходной задачи (1),(2),(3’),(4),(5’) — (7) есть предел при к — 0 решений

(и£, а1, с*н) задачи (17) — (21), которые зависят еще от е и Л.

Следующий этап — выполнение предельного перехода при е — 0 для фиксированного

Л.

Пусть выполнено следующее предположение: при е — 0

а^ —— 0, ат —— 0,

——> //. 1, 0 < ¿¿1 < оо,

е2

аи — и0, 0 < щ < то,

ар — по, 0 < по < то,

ав — В*, 0 < В* < то.

Определение 1 Двухмасштабная сходимость.

Последовательность {р£} С Ь2(ПТ) называется двухмасштабно сходящейся к пределу р Е Ь2(ПТ х У), если для любой гладкой 1-периодической по у функции а(х,Ь,у) имеет место предельное соотношение

(1) Ит / р£(х,Ь)а(х,Ь, х/е)йхйЬ = / р(х,Ь,у)а(х,Ь,у)йуйхйЬ.

£^^Пт г

Существование и основные свойства двухмасштабно сходящихся последовательностей утверждаются следующей теоремой:

Теорема 2 (теорема Нгуетсенга)

1. Из любой ограниченной последовательности в ¿2(ПТ) можно выбрать подпоследовательность, двухмасштабно сходящуюся к некоторому пределу р Е ¿2(ПТ х У).

2. Пусть последовательности {р£} и {еУжр£} равномерно ограничены в Ь2(0.Т). Тогда существуют 1-периодическая по у функция р(х,Ь,у) и подпоследовательность из {р£} такие, что р, р Е Ь2(ПТ х У), а {р£} и {еУжр£} двухмасштабно сходятся к р и р соответственно.

3. Пусть последовательности {р£} и {Ужр£} равномерно ограничены в Ь2(0.Т). Тогда существуют функции р Е Ь2(ПТ),ф Е Ь2(ПТ х У) и подпоследовательность из {р£} такие, что ф 1-периодична по у, Vуф Е Ь2(ПТ х У), а {р£} и {Ужр£} двухмасштабно сходятся к р и Vxр(x,Ь) + Vyф(х,Ь,у) соответственно.

Следствие 1 Пусть а Е Ь2(У) и а£(х) означает а(х/е). Пусть последовательность {р£} С ¿3(ПТ) двухмасштабно сходится к некоторому пределу р Е Ь2(ПТ х У). Тогда последовательность {а£р£} двухмасштабно сходится к ар.

Имеем оценку

[ |у£|2 йх ¿Ь ^ Ы¥2 (22)

J Пт

Таким образом, из последовательностей {у£}, {^у (VI)}, {р£} можно извлечь подпо-

следовательности, слабо сходящиеся в Ь2(0,т) и двухмасштабно в Ь2(0,т х У):

VI ^ VI, diy (VI) — <11у VI, р£ ^ рх слабо в ¿2 (^т),

VI — Ух(х,Ь,у), р£ — Рх двухмасштабно в Ь2(ПТ х У),

VI = (У)у = J У(х,Ь,у) ¿у, грх = (Р)у.

Кроме того, если положить

£ £ i V

q =р +

aV др£

ap dt ’

то уравнение (1) примет вид

dv£

Q'r-^ = div (Q'/i/л(c£)Vv£) - V<f + F, (1)

тогда

£ V) др ^ г /ГЛ .

q q = р Н---------слабо в ь2(\1Т),

По дЬ

V дР

д£ —> (¿(х, ¿, у) = Р Н---— двухмасштабно в Ь2(ПТ х У), q\ = Ю)у-

По дЬ

Оценка (9) позволяет из последовательности {с£} извлечь подпоследовательность, слабо сходящуюся в Ш2’°(ПТ). Имеем компактное вложение Ш^(П) С Ь2(П) С (Ш^(П))*. Обозначим Ш = {у|у Е Ш1>о(ПТ); ду/дЬ Е (Ш2(П))*}. Очевидно, что с£ Е Ш. По теореме о компактности (Лионс) вложение Ш С Ь2(Пт) компактно. Это означает, что

с£ — с сильно в Ь2(Пт).

Кроме того,

VcX — Vcх + VyСх(х,у,Ь) двухмасштабно в Ь2(ПТ х У).

Теперь выполним предельный переход при е — 0.

Уравнения Стокса после усреднения переходят в уравнения фильтрации Дарси:

= ®кП(-7^г{-— + Е)), Мсх) т

где

з

В(7) = (^ У(1) 0 е,)у/, (23)

г=1

а У(1) есть решения краевых задач для уравнений Стокса:

^ДуУ(1) - Vy+ е1 = 0, diyУ(1) = 0 тУ}, У(1)|7 = 0,

т = J х(у) ¿у.

Уравнение диффузии после усреднения принимает вид:

%+ул-Ус^сЫВ^Усд),

В(с) = (Вх(у))у1 + 5](ВхШС(г) 0 е1)у, (24)

г=1

функции С(г) есть решения периодических краевых задач

dІУy (Вх(у)^С« + е1)) = 0, у Е У,

Вх(у) = В*Х + Л(1 — х).

Матрицы В(^) и В(с) являются симметричными и положительно определенными.

Теорема 3 Решение (VI,р£,с£) задачи (1) - (7) сходится при е — 0 к решению ^х,рх,сх) усредненной системы:

^ = Кл(~1—л-— + Ю),

Мсх) т

щ др др

Ч = ------тг7 > -¿- + ща1У\х = 0,

по дЬ дЬ

О

+ УсЛ = ^(В^Усл). (25)

И, наконец, завершает задачу предельный переход при Л — 0.

Теорема 4 Пусть (vх,pх,cх) есть решение системы (25) для фиксированного Л > 0. Тогда при Л — 0 функции vх,pх,cх сходятся к решению ^,р, с) усредненной системы:

V = В|Я(—+ Б1)),

^(с) т

и0 др др

<1 = рЛ--"тг71 -777 + щагулг = 0,

по дЬ дЬ

дс

— +v- Vc= div(M{c)Vc). (26)

Литература

1. G. Nguetseng. A general convergence result for a functional related to the theory of homogenization, SIAM J. Math. Anal. 1989. V. 20, 608-623.

2. А.М. Мейрманов. Метод двухмасштабной сходимости Нгуетсенга в задачах фильтрации и сейсмоакустики в упругих пористых средах. Сибирский математический журнал, май-июнь 2007, том 48, Но. 3,645 - 667.

3. A. Meirmanov. Homogenized models for filtration and for acoustic wave propagation in thermo-elastic porous media, Euro. Jnl. of Applied Mathematics, Vol. 19 (2008), 259 -284.

4. С.А. Гриценко. О диффузии и медленной конвекции примеси в слабосжимаемой вязкой жидкости. Известия Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9, вып. 2. С. 19-24.

HOMOGENIZED MODELS FOR DIFFUSION AND CONVECTION OF THE ADMIXTURES IN THE ABSOLUTELY RIGID POROUS MEDIUM Sv.A. Gritsenko, A.M. Meirmanov

Belgorod State University,

Pobedy str., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: [email protected],[email protected]

Abstract. We consider the problem of the modeling of diffusion and slow convection of the admixtures in the absolutely rigid medium, perforated by a system of pores, filled with slightly compressible viscous liquid. Due to the availability of rapidly oscillating non-smooth coefficients, numerical simulations on a such model are unrealistic. Using the method of homogenization, we obtain the model without of the rapidly oscillating coefficients.

Keywords: Stokes equations, two-scale convergence, homogenization of periodic structures.