Разрешимость в целом задачи нелинейной диффузии в слабосжимаемой вязкой жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Библиографический список

1. Нигматулин, Р.И. Динамика многофазных сред: в 2 т./ Р.И. Нигматулин. - М.: Наука, 1987. - Т. 1, 2. -360 с.

2. Кутателадзе, С.С. Тепло-, массообмен и волны в газожидкостных системах / С.С. Кутателадзе, В.Е. На-коряков. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1987. -302 с.

3. Нигматулин, Р.И. Проявление сжимаемости несущей фазы при распространении волн в пузырьковой среде / Р.И. Нигматулин, В.Ш. Шагапов, Н.К. Вахи-това // Докл. АН СССР. - 1989. - Т. 304, № 5. -С. 1077-1088.

УДК 517.958:531.72, 517.958:539.3(4)

РАЗРЕШИМОСТЬ В ЦЕЛОМ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФУЗИИ В СЛАБОСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

С.А. Гриценко

Белгородский государственный университет, кафедра прикладной математики и механики E-mail: [email protected]

В работе рассматривается система уравнений, состоящая из уравнений Стокса, описывающих движение слабосжимаемой вязкой жидкости, в которой кинематическая вязкость жидкости зависит от концентрации примеси, и конвективного уравнения диффузии. Доказывается существование обобщенного решения начально-краевой задачи в ограниченной области с однородным условием Дирихле для скорости жидкости и однородным условием Неймана для концентрации примеси.

Ключевые слова: слабосжимаемая вязкая жидкость, уравнение Стокса, конвективное уравнение диффузии.

4. Самарский, А.А. Разностные методы решения задач газовой динамики / А.А. Самарский, Ю.П. Попов. -М.: Наука, 1980. - 352 с.

5. Нигматулин, Р.И. Двумерные волны давления в жидкости, содержащей пузырьковые зоны / Р.И. Нигматулин, В.Ш. Шагапов, И.К. Гималтдинов, М.Н. Га-лимзянов // Докл. АН. - 2001. - Т. 378, № 6. - С. 763767.

6. Шагапов, В.Ш. Двумерные волны давления в жидкости, содержащей пузырьки / В.Ш. Шагапов, И.К. Гималтдинов, М.Н. Галимзянов // Механика жидкости и газа. - 2002. - № 2. - С. 139-147.

The Global Solvability of the Problem of Nonlinear Diffusion and Slow Convection in Slightly Compressible Viscous Fluid

S.A. Gritsenko

Belgorod State University,

Chair of Applied Mathematics and Mechanics

E-mail: [email protected]

The paper deals with Stokes system, corresponding to the motion of slightly compressible viscous fluid where kinematic viscous depends on the admixture concentration. The system also contains the convective diffusion equation. The article proves the existence of generalized solution of the initial-boundary problem for this system in the limited domain with the homogeneous Dirichlet condition for the fluid velocity and the homogeneous Neumann condition for the concentration of admixture on the boundary of domain.

Key words: slightly compressible viscous fluid, Stokes equation, convective diffusion equation.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть О е К3 — ограниченная связная область с липшицевой границей Г, v(x,í) = (у1(х,Ь), г>2(х1Ь)1у3(х1Ь)) — скорость жидкости, р(х,£) — давление, с(х,£) — концентрация примеси.

В безразмерных (не отмеченных звездочкой) переменных х* = хЬ, £* = 1г, V* = vL, Е* = ¥д, р* = РРо изучаемая система уравнений для скорости жидкости v(x, £), давления р(х, £) и концентрации примеси с(х, £) имеет вид

д v

ат — = div (а^ ß(c)Vv + (av div v — p)I) + F,

+ ap div v = 0,

dp dt

v(x,t) = 0 при x e Г, v(x, 0) = 0 при x e O,

dc

— + vVc = aD Ac dt

dc(x t)

= 0 при x e Г, c(x, 0) = co(x), при x e O,

1.1)

1.2)

1.3)

1.4)

1.5)

д n

где д(с) — безразмерная вязкость, I — единичная матрица, Е — заданная плотность внешних массовых сил, п — единичный вектор внешней нормали к Г.

Безразмерные положительные постоянные а, (г = т, V, ...) определяются формулами:

Ь V 2до ро Бт

ат 2 , аи т , ац 7- , ар ~г , аО ,

дт2 тЬдро тЬдро Ьдро Ь

где Ь — характерный макроскопический размер (диаметр рассматриваемой физической области), т — характерное время данного физического процесса, ро — средняя плотность воздуха при атмосферном давлении, д — ускорение силы тяжести, ро — атмосферное давление, — вязкость жидкости при нулевой концентрации примеси, Б — коэффициент диффузии.

Функциональные пространства и нормы в них обозначаются, как принято в работе [1].

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Определение 1. Функции v(ж, £), р(ж, £) и с(ж, £) называются обобщенным решением задачи (1.1)-(1.5) в области 0т = О х (0, Т), если

1) др/д£ е Ь2(Пт), V е ш2'о(0т), с е (От) П (От);

2) почти всюду в области От выполнено уравнение неразрывности (1.2);

3) функции V, р и с удовлетворяют интегральному тождеству:

д^

>п

(атv ■ -dt — а^,u(c) Vv : Vt — avdiv v div t + p div t + F ■ ^ dx dt = 0 (2.1)

для произвольной гладкой вектор-функции ^(х, £), равной нулю на границе Г и при £ = Т, и интегральному тождеству

I (-с^ + V УсС + ав Ус - Ум ¿ж^ = I со(ж)С(ж, 0) ¿ж (2.2)

./пт V д£ У ./п

для произвольной гладкой функции С, равной нулю при £ = Т. Здесь используются обозначения:

3 3 3 гч гч

ди, дг>.

u ■ v = ^ Ui Vi, Vu : Vv = ^ У^

г ^ ^i

Oxi dx.

i=1 i=1 j = 1 j j

Пусть выполнено следующее предположение: д(е) е C2(0, H^T < v0-1, 0 < v0 < д(е) < V0,

0 < c0(x) < 1, c0(x) е L^(O), JQt |F|2 dxdt = F2 < те.

Теорема 1. Задача (1.1)—(1.5) имеет хотя бы одно обобщенное решение и для него справедливы оценки:

max (аТ|v|2 +--p2) dx + / (av(div v)2 + ап|Vv|2) dxdt < MF2, (2.3)

o<t<Tjn V 1 1 ар У 7nT м

0 < c(x, t) < 1. (2.4)

где M — постоянная, зависящая только от v0 и T.

3. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

Пусть множество M определено как M = {с е C(OT) | 0 < с < 1}. Для с е M определим функцию u(x, t) как решение задачи

д u

аТ— = div (a^(e)Vu + (av div u — q)I) + F, (3.1)

+ ap div u = 0, (3.2)

dq dt

u(x, t) = 0 при x е Г, u(x, 0) = 0 при x е O, (3.3)

Определение 2. Функции u(x, t) и q(x, t) называются обобщенным решением задачи (3.1)-(3.3) в области Ot, если

1) dq/dt е L2(От), u е W 1,0(От);

2) почти всюду в области От выполнено уравнение неразрывности (3.2);

3) функции u и q удовлетворяют интегральному тождеству:

I (атu ■ — a^(c) Vu : Vp — avdiv u div р + q div р + F ■ (Л dx dt = 0 (3.4)

для произвольной гладкой вектор-функции р(х, t), равной нулю на границе Г и при t = T.

Лемма 1. Для каждого фиксированного с е M существует единственное обобщенное решение задачи (3.1)—(3.3) и для него справедлива оценка

0maxT J (V|u|2 + О-q2) dx + J (av(divu)2 + a^|Vu|2) dxdt < MF2. (3.5)

Доказательство. Полагая в тождестве (3.4) u = р и выражая в нем div u в третьем слагаемом из уравнения неразрывности (3.2), получим стандартным образом равенство

1 d i (аТ I u|2 + — q2) dx + av i (div u)2 dx + a^ f ^(e)|Vu|2 dx = f F ■ u dx.

2 at J n ^ a- ' Jn Jn Jn

Проинтегрируем его по времени в пределах от 0 до T, учтем предположение 0 < v0 ^ д(е) ^ 1/v0, а правую часть оценим с помощью неравенства Коши с е:

1 max I (aTlui2 + — q2%) dx + av / (divu)2 dxdt + auv0 / IVu|2 dxdt <

2 0<t<TJn\ a- ) JnT Jn

1 f eT1 f

< 1 IF|2 dxdt + e— max |u|2 dx, V e> 0. 2e JnT 2 0<t<TJnl 1 '

Полагая e = aT/2—, получим требуемую оценку (3.5).

Она позволяет доказать существование и единственность обобщенного решения методом Фаэдо -Галеркина, подробное изложение можно найти, например, в работе [2, с. 88]. Лемма доказана. Пусть N — нормированное пространство с нормой:

u||N)2 = 0maxT |u|2 dx + j" ((div u)2 + |Vu|2) dx dt. (3.6)

В силу леммы 1 определен оператор А : М ^ N такой, что и = А(с). Лемма 2. Оператор А — непрерывный.

Доказательство. Пусть щ = А(с1), и2 = А(с2), и = и1 — и2, с = с — с2, д = — д2. Тогда разность (и, д) является решением следующей начально-краевой задачи:

д и

аТ — = (а^с^Уи + (а^ и — д)1) + а^ ё1у ((д(с1) — д(с2)) Уи2), (3.7)

+ ap div u = 0,

дд

и(х, £) = 0 при х е Г, и(х, 0) = 0 при х е О. Умножим уравнение (3.7) на функцию и и проинтегрируем по области О:

ат [ д— ■ и ¿х — а^ [ div (д(е1) Уи) ■ и ¿х — / ё1у((а^ ё1у и — д)1) ■ и ¿х =

д Jп Jп

= аЛ ё1у((^(б1) — ^(с2))Уи2) ■ и ¿х.

Jп

Выполняя интегрирование по частям и выражая ё1у и из уравнения неразрывности, имеем:

17Т I (ат|и|2 + — д2^ ¿х + аи [ (div и)2 ¿х + а^ / д(с1)|Уи|2 ¿х =

2 ш J п ^ ар ' Jп 7п

= -аЛ (^(с1) - д(с2))(Уи : Уи) ёх. Проинтегрировав последнее равенство по времени в пределах от 0 до Т, получаем

шах I (ат|и|2 + — ёх + 2аи / (Шу и)2 ёхёЬ + 2аи / а(е1)^и|2 ёхёЬ =

о<г<т]п V 1 1 ар ) Уп Уп

= / (д(с1) - д(е2))(Уи2 : У и) ёхёЬ. (3.8)

Jпт

Оценим теперь правую часть (3.8), пользуясь ограниченностью производной д'(с), неравенством Гель-дера и неравенством Коши с е:

- 2а^ [ (д(с1) - д(с2))(Уи : Уи) ёх ёЬ < — / |сУи : Уи| ёхёЬ < ./п ^ ^ Пт

< I |сУи212 ёхёЫ [ |Уи|2 ёхёЬ < ^ ( е[ |Уи|2 ёхёЬ |сУи12 ёх ёЬ

"0\]пт У^Пт ^ V2./ Пт 2еУ Пт

Учитывая строгую положительность функции д(е) оценим левую часть (3.8) снизу выражением М0 ||и||<эт.

Далее положим е = V2/2 и воспользуемся оценкой (3.5) для |Уи2|. Имеем:

(||и||эт)2 < М^2 / |с|2 ёхёЬ = М^2 (|с||2,пт)2 < М^2|От|(шах |с|)2 = М2 (|с|£))2 .

Jпт пт V /

Таким образом, ||и||^ ^ л/М2 |с|ПгГ, что и доказывает непрерывность оператора А. Лемма доказана.

Полученная таким образом функция и, вообще говоря, не является достаточно гладкой, поэтому далее она сглаживается с использованием следующего оператора усреднения по переменным х и Ь:

Wh(х, Ь) = М(л) (и(х, Ь)) = 1 ёт { п (^^ и(у, т) ёу,

где усредняющее ядро ц(в) € С(Л3) — четная неотрицательная функция, ц(в) = 0, если |в| > 1, ./¡в|<1 п(|в|) ёв = 1. Функции wh являются гладкими, финитными и при Н ^ 0 сходятся к и по норме Ь2(ОТ) в любой строго внутренней подобласти ОТС ОТ, Н < 6. Определим теперь функцию е^(х,Ь) как решение задачи

дсь

— + whУch = ав Аен, (3.9)

д n

где

dCh (x,t)=0 при x € Г, ch{x, 0)= Mi(h) (со (x)) при x € О, (3.10)

1

Mi(h)(co(x)) = I J П (^^ co(y) dy.

Задача (3.9)-(3.10) как задача с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами имеет единственное бесконечно дифференцируемое решение Ch(x,t), для которого справедлив принцип максимума:

0 ^ Ch(x,t) < maxc0(x) < 1. (3.11)

Таким образом, для каждой фиксированной функции u е N существует единственная функция ch е M, т. е. определен оператор B : N ^ M такой, что ch = B(u).

Лемма 3. Оператор B — непрерывный.

Доказательство. Пусть wi = M(h)(ui), w2 = M(h)(u2), w = wi — w2, ci = B(ui), c2 = B(u2) (индекс h для краткости опускаем), c = ci — c2.

Тогда разность c является решением следующей начально-краевой задачи:

dc

— + w1 -Vc = aD Ac — w ■ Vc2, (3.12)

дс дп

= 0 при х е Г, с(х, 0) = 0 при х е О.

Умножим (3.12) на с и проинтегрируем по области О, применяя в двух слагаемых формулу интегрирования по частям:

1Т I с2 ^х + [ |^с|2 Тх = I ^ ё1у w1 Тх — I cw ■ Ус2 Тх. 2 «ип ./п ./п 2 ./п

По построению | ё1у w11 < N (Л), |Ус2| < ^(Л). Оценим последнее слагаемое

(3.13)

cw ■ Ус2 Тх

<

|сУс2|2 ТЕл/ / |w|2 Тх ^N1 (Л)„

I с2 Тху J |w|2 Тх <

< N2^)- с2 Тх + / |w|2 Тх 2 п п

Обозначим у = /п с2 Тх, тогда (3.13) влечет за собой неравенство

I < (Л) (у + /м'2

Воспользовавшись неравенством из [1, с. 112], получим

тах / с Тх < N3 / ТхТЬ,

0<*<ТУп 7пт

или

|с||2,Пт ^ N3 ,Пт .

Чтобы получить оценку (2.14) для |с|(0), обратимся к лемме 3.3 из [1, с. 95]. В нашем случае с(х, Ь) е Ш4'2(От), т. е. I = 2, г = 0, 5 = 0, п = 3, Л = 0,

|с|п0Т < Ь152 ((с)^т + Ь25-2 ||с||2'Пт = А52 + В5-2 = /(5).

>(4)

(3.14)

Функция /(5) достигает минимума при 5 = (53)1/4, в этом случае /(5) = 63А5/8В3/8 и

|с|ПТ < Ь4 (((с))24Л т )5/8 (|с|2'Пт )3/8

Окончательно получаем оценку

|с|(0) < Ы|с||2'Пт < Ьб || w|2'Пт ^ Ь7 ||и|2'Пт .

Таким образом, |с|(°)) ^ 67||и||2,пт, что и означает непрерывность оператора В. Лемма доказана. Определим теперь оператор Ф : М ^ М, сн = Ф(с) = В (А(с)). Лемма 4. Оператор Ф имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Доказательство. Оператор Ф непрерывен как суперпозиция непрерывных операторов. Более того, можно доказать, что он вполне непрерывен. Для доказательства воспользуемся теоремой Арцела о том, что множество М непрерывных функций, определенных в М, компактно тогда и только тогда, когда входящие в М функции равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.

В нашей задаче для фиксированного Л > 0 функции сн(х, Ь) по построению обладают ограниченными производными по х и по Ь, поэтому

|сн(х',Ь) — сЛ(х", Ь)| < дснд(х,Ь) |х' — х''| < Nj |х' — х''|, 3 = 1, 2,3,

|сн(х,Ь') — сн(х,Ь'')| < дсн^ |Ь' — Ь''| < N|Ь' — Ь''|,

п

п

п

т.е. функции ен(х,Ь) равностепенно непрерывны по х и по Ь. Равномерная ограниченность очевидна. Таким образом, оператор Ф переводит любое ограниченное множество в компактное, т. е. является вполне непрерывным.

Множество М, очевидно, является выпуклым.

Все вышесказанное позволяет применить к оператору Ф : М ^ М теорему Шаудера о неподвижной точке [3, с. 411]. Лемма доказана.

Пусть = Ф(е£) — неподвижная точка оператора Ф, и пусть = А(е^). Тогда

ди| дЬ

= ё1у )Уи^ + (а^ и*н - ql)l) + Г, (3.15)

д0*

+ ар ё1у и*н =0, (3.16)

дЬ

и£(х, Ь) = 0 при х е Г, и*н(х, 0)=0 при х е О, (3.18)

дЬ

де*

+ М(н) К) ■ Уен = ав Ае^, (3.17)

де^=0 при х е Г, е^(х, 0)= М1(н) (ео(х)) при х е О. (3.19)

д п

4. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД

Лемма 5. Решение (V, р, е) исходной задачи (1.1)—(1.5) есть предел при Н ^ 0 решений (и£, , е^) задачи (3.15)—(3.19).

Доказательство. Индекс * опускаем. Умножим (3.15) на произвольную гладкую вектор-функцию р(х, Ь), равную нулю на границе Г и при Ь = Т, и проинтегрируем по области От.

I (атиь ■ — а^р(ен)Уиь : Ур — а^div иь div р + он div р + Г ■ йх йЬ = 0.

•/П-г ^ дЬ '

Пусть Н ^ 0. Легко видеть, что оценки (3.5) и (3.11) справедливы для всех Н с постоянными, не зависящими от Н. Оценка (3.5) позволяет из последовательности (ин} выбрать подпоследовательность такую, что ин ^ и слабо в (От).

Согласно [2, с. 18] имеем компактное вложение Ш2(О) С (О) с (Ш2(О))*. Обозначим Ш = {V V е ш2'°(От); дЦ е (^^2(О))*|. Очевидно, что ин е Ш. По теореме о компактности [2, с. 70, теорема 5.1] вложение Ш с Ь2(От) компактно. Это означает, что ин ^ V сильно в Ь2(От).

Аналогично в силу оценки (3.11) из последовательности (ен} можно выбрать подпоследовательность такую, что ен ^ е слабо в Ш2'°(От). Согласно той же теореме о компактности ен ^ е сильно в Ь2(От), а так как р(ен) непрерывна, то р(ен) ^ р(е) сильно в Ь2(От). Отсюда мы имеем слабую сходимость

а^р(ен)Уи : Ур ^ а^(е)Уи : Ур.

Из оценки (3.5) заключаем также, что он ^ р слабо в Ь2(От), ^ др слабо в Ь2(От), и выполняем предельный переход в остальных слагаемых тождества (3.15), а также в уравнении (3.16).

Рассмотрим теперь предельный переход в уравнении диффузии (3.17), которое представим в виде интегрального тождества. Умножим (3.17) на произвольную гладкую функцию £(х,Ь), равную нулю при Ь = Т, и проинтегрируем по От:

—ендЬ + М(н)(ин) Уен£ + ав Уен ■ йхйЬ = ^ М(н) (е°(х))£(х, 0) йх. (4.1)

Получим оценку для Уен. Умножим (3.17) на ен и проинтегрируем по О:

1 й ,

ен йх + / ен М(н) (ин) ■Уен йх = аЛ |Уен |2 йх. (4.2)

2 «и п 7п 7П

Учитывая (3.11), оценим второе слагаемое:

енМ(н)(ин) ■Уен йх ^ / М(н) (ин) ■Уен йх |М(н) (ин)|2 сх/ / |Уен |2 йх <

'п V -'п

п

п

е 1

< N ||uh||2,n ■ ||VCh ||2,n < II2'" )2 + 2е II2'" )2'

Положим е = ад и проинтегрируем (4.2) по времени, получим

«D (||VCh |2'"т )2 < 1(|Ch|2'"T )2 + (||VCh|k"T )2 +

2

2ад

|uh 112'"t )2,

откуда (||Ус^||2,пт)2 < N1 (||и^||2,пт)2. Следовательно, Ус^ ^ Ус слабо в (От). Таким образом, в уравнении диффузии есть сложность в одном слагаемом:

/ (иЛ) -Ус^ М = 4,

поскольку оба сомножителя всего лишь слабо сходятся. Из свойств усреднений имеем М(Л) (и) ^ и сильно в Ь2 (От), ||М(Л) (и^)|2,Пт < N ||иь ||2,Пт . Поэтому

/Л =[ С(М(Л)(и^)-М(Л)(и))-УсЛ С(М(Л)(и)-и)-Усь Си-Ус^ ¿х^ = /1 +/2+/3,

|/11 < тах 1^1 |Ус^^2,Пт

||М(Л)(иЛ - и)||

2,Пт ^ N||иЛ - и|2,Пт ^ 0, Н ^ 0, |/21 < N1 ||М(Л)(и) - и||2,пт ^ 0, Н ^ 0.

Окончательно получаем

^ Си -Vcdxdt, h ^ 0.

J"T

В остальных слагаемых интегрального тождества (4.1) предельный переход будет стандартным. Лемма доказана.

Из доказанных лемм следует утверждение теоремы 1.

Библиографический список

1. Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные ных краевых задач / Ж.-Л. Лионс. - М.: Мир, 1972. -уравнения параболического типа / О.А. Ладыженская, 588 с.

В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева. - М.: Наука, 1967.

- 736 с. 3. Треногин, В.А. Функциональный анализ / В.А. Тре-

2. Лионс, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелиней- ногин. - М.: Наука, 1980. - 496 с.

УДК 517.956

ЗАДАЧА ТРИКОМИ

ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА В НЕСИММЕТРИЧНОЙ ОБЛАСТИ

О.В. Лаштабега, А.Н. Зарубин

Орловский государственный университет,

кафедра математического анализа и дифференциальных

уравнений

E-mail: [email protected], [email protected]

В работе исследуется краевая задача для уравнения смешанного типа с двумя перпендикулярными линиями вырождения и запаздыванием в производной.

Ключевые слова: уравнение, краевая задача, смешанный тип, линия вырождения, запаздывание.

Tricomi Problem for Differential-Difference Equations of Mixed Type in the Asymmetric Field

O.V. Lashtabega, A.N. Zarubin

Orel State University,

Chair of Mathematical Analysis and Differential Equations E-mail: [email protected], [email protected]

The paper examines the boundary value problem for mixed type equations with two perpendicular lines of degeneracy and the delay in the derivative.

Key words: equation, boundary value problem, mixed type, the line of degeneracy, the delay.

1