CC BY
31
УДК 539.3
В. В. КРАВЕЦЬ, Т. В. КРАВЕЦЬ, О. В. ХАРЧЕНКО (ДПТ)
УДОСКОНАЛЕННЯ МЕТОДУ ОБЧИСЛЕННЯ МАТРИЦ1 1НЕРЦП КОЛ1СНО1 ПАРИ З УРАХУВАННЯМ ТЕХНОЛОГ1ЧНИХ ПРИПУСК1В НА ВИГОТОВЛЕННЯ
Запропоновано алгоритм обчислення матрицi шерци колено! пари з урахуванням технологiчних припускав на виготовлення. Метод обчислення побудований на основi кватернiонних матриць, якi враховують перекос осей симетрп та змiщення пiдконструкцiй в допустимих межах.
Предложен алгоритм вычисления матрицы инерции колесной пары при учете погрешностей изготовления. Метод вычисления построен на основе кватернионных матриц, учитывающих перекос осей симметрии и смещения подконструкций в допустимых пределах.
A computation algorithm for inertia matrix of wheel pair taking into account the manufacturing inaccuracies is suggested. It is based on quaternion matrices, which take into consideration the skew of symmetry axes and the shift of substructures within permissible limits.
Вступ
Сили шерцп [2] здшснюють суттевий вплив на динамшу та стшюсть швидюсного рухомого складу, на динамiчну навантаженють елемеппв конструкцп та коли [4], викликаючи штенсивш вiбрацн кузову, тдвищений знос колiс та ре-йок. Одним iз джерел цих негативних динамiч-них явищ е асиметрiя конструкцп колюно1 пари та пов'язана з цим змша И шерцшних характеристик, що обумовлена низкою випадкових фа-кторiв, якi призводять до змщення центру мас вщносно осi симетрп, перекосу головних осей шерци вщносно геометричних осей [7, 8].
Негативш динамiчнi явища у виглядi шуму, вiбрацil, коливань, биття, пiдвищеного зносу та руйнування конструкцп обумовленi в цiлому вщцентровими та гiроскопiчними силами i моментами, що наростають пропорцiйно квадрату швидкост [5], !х оцiнка та урахування при про-ектуваннi та експлуатацп швидкiсного рухомо-го складу набувають важливого значення, без-посередньо пов'язаного iз безпекою руху [3]. Матриця шерци е основним показником шерцшних властивостей колюно! пари, тому розро-бка ефективних алгоршмв приведення матрицi шерцп до конструктивно зручного центру i базового трiедру, з урахуванням технологiчних припускiв на виготовлення та монтаж складае актуальну задачу.
В данш робот пропонуеться вдосконалений метод обчислення матрицi шерци колюно1 пари з урахуванням вказаних технологiчних погрш-ностей на виготовлення, що базуеться на вико-ристанш кватернiонних матриць. Використання вiдомих методiв [1] щодо вирiшення розгляну-
то! задачi приводить до громiздких розрахунко-вих формул, якi е незручними для програму-вання та наступних обчислень на ЕОМ. Квате-рнюнш матрицi складаються за параметрами Родр^а-Гамшьтона, якi враховують перекiс головних центральних осей шерцп колiс i осi ко-люно1 пари вщносно геометричних осей симетрп та за координатами характерних точок, що враховують вщхилення фактичних координат центру мас колю i ос колюно1 пари вiд геометричних центрiв симетрп в межах заданих при-пускiв на виготовлення та монтаж.
Постановка задачi
Компоновочна схема колюно1 пари наведена на рис. 1, де О - полюс базового трiедру, який розмщено та зорiентовано на буксовому вузлi; О1, О2, О3 — геометричш центри симетрп ко-
лiс, ос колюно1 пари та вiдповiднi зв'язаш сис-теми координат.
Основнi геометричнi параметри колюно1 пари заданi конструктивно номшальними розм> рами. Введенi системи координат, яю пов'язанi iз кожним колесом (полюс 01, О3) та вiссю
(02) в геометричних центрах симетрп. Ос вве-дених систем координат зорiентованi по геометричних осях симетрп елеменпв розглянуто1 конструкцп. Нехай базовий трiедр (полюс О) розмщений та зорiентований на буксовому ву-злi вщповщно до рисунку, тодi координати по-люсiв колiс i осi котсно1 пари у базовому трь едрi вiдповiдно дорiвнюють
хт] (/ = 1, 2, 3,] = 1, 2,3 ) .
Рис. 1. Компоновочна схема колено! пари i системи координат, яш пов'язаш з геометричними центрами i осями симетрп конструкцп
Погрiшностi виготовлення
Номшальш величини мас колiс та ос колюно!' пари позначимо вщповщно m1, m 2, m 3,
причому m1 = m 3. В силу випадкових факторiв
фактична величина цих мас може змшюватись в межах вiдомих припускiв на виготовлення ±Дmt, тобто mt ±Ami (i = 1, 2, 3) , погршнють
виготовлення i монтажу призводить до вщхи-лень фактичних координат центр1в мас колю i ос колюно!' пари вiд геометричних центрiв симетрп в межах заданих припускiв ±s°j (j = 1, 2, 3) . Вважаемо, що величини голо-
вних центральних моментiв шерци колiс i ос колюно!' пари також змiнюються в межах заданих припусюв на виготовлення IС ± ДС , при-
jci jai тс1 jc3 A 7c1 A jc3
чому Iu = 133, а також Iü = Iü , Д1 ü = Д1 ü .
Номiнальнi величини головних моментiв шерци осi колюно!' пари i колю задаш дiагональни-ми матрицями Icj . Орiентацiя головних
центральних осей шерци колiс i осi колюно!' пари вiдносно геометричних осей симетрп (введених зв'язаних систем координат) визна-чимо кутами Ейлера-Крилова, якi в силу поставлено! техшчно! задачi е малими величинами та вибираються в межах заданих припускiв
±Аасг, ±Арсг, ± Аус , наведено на рис. 2, де С13 С3, С2 - центри мас колю, осi колюно! пари та вiдповiднi головнi центральш осi шерци;
О''I = 1,2,3) — вщхилення координат центрiв мас колiс (' = 1,3) та осi (' = 2) вiд но-мшального положення;
±Аас' ,±Авс' ,±Аус' — кути Ейлера-Крилова, що характеризують вщхилення фактичних головних центральних осей шерци двох колю i ос колюно! пари вiдносно вiдповiдних зв'язаних систем координат;
±Ат1 — вiдхилення фактично! маси колiс i ос колюно! пари вiд номiнальних величин;
±А/с' — вiдхилення фактичних головних
центральних моменпв шерци колiс та ос кол> сно! пари вщ номiнальних величин.
Матрична формула приведення головних центральних моментiв шерци колю та ос кол> сно! пари до власних зв'язаних систем координат (геометричних осей симетрп). Приведення головних центральних моменпв колю та ос колюно! пари до власних геометричних осей симетрп проводиться за наступною розрахун-ковою формулою, яка враховуе перенiс та поворот у тривимiрному просторi:
21 о' = 2Ас' х 'Ас хIе хАС х %' + Еа Щ + V« )
Рис. 2. Схема розташування та орieнтацil головних центральних осей шерцд колю та ос колено! пари
Тут
Iе = — ш,
10 0 0
0 Ц{ 0 0 0 01С2 0
0 0 0 I
33
А... =
30 31 32 33
з^1 30 -з3сг 32
32 33 30 -з1
33 -32 31 30
О С с. с.
1 2 3
0 -е3сг е2сг е3сг 0 -е1"
с. с. с. &3 2 1
Е. =
-е1
-е2
Параметри Родр1га-Гамшьтона
з; (] = 0,1,2,3)
визначаються за заданими вище кутами Ейлера-Крилова у видк
Ау" 008- 2 Ав" 008- 2 Аа" 008 2 - . Ау" 81П 2 . Ав" 81П 2 . Аа" 81П 2
30 зС Ау" 008- 2 Ав" 008- 2 . Аа" 81П 2 + . Ау" 81П 2 . Ав" 81П 2 Аа" 008 2
зЗ зс . Ау" - 81П- 2 Ав" 008- 2 . Аа" 81П 2 + Ау" 008 2 . Ав" 81П 2 Аа" 008 2
. Ау" 81П- 2 Ав" 008 2 Аа" 008 2 + Ав" 008 2 . Ав" 81П 2 . Аа" 81П 2
Враховуючи те, що поворот головних центральних осей шерци вiдносно геометрич-них осей симетри е малим, знайдемо:
1 -
А/" Ав
Аас
2 2 2
Аасг АГсг + —— 2 Ав
2 2
Ав А/сг Аасг
2 -2 2
Аусг Авсг + —— Аасг
2
2
2
Далi, нехтуючи малими величинами другого порядку та вище, отримаемо:
1
Аас'
2
Дв
2
А/с
2
Погршносп монтажу. В процесi зборки колюно! пари, що складаеться з двох колю та ос, в силу низки випадкових факторiв вщбува-еться змiщення !х центрiв симетри Ог (г = 1, 2, 3) та перекiс !х геометричних осей
вiдносно базового трiедру, що може бути обра-ним, наприклад на буксовому вузлi (рис. 3).
Рис. 3. Схема змщення 1 перекосу в процес монтажу геометричних осей симетри колю та оа колюно! пари вщносно базового тр1едру
Матрична формула приведення моменпв iнерцi! колiс та осi колюно! пари до базового трiедру мае вигляд:
21бт = 2А X А X Та X А X саС +
+(( + X)(( + Х)Хы (( + Х-),
де
X . = X + А хЕ . х'А':
01 1 с1 1
Х'с1 = ХО. + А, X Е1г X А
Х =х, + А X ЕС г XАС;
Хог, ХОг, СХ0г, СХо. - кватернюнш матрицi, якi складено за координатами полюсв х]ог (г = 1, 2, 3; у = 1, 2, 3), що враховують зм>
щення елементiв конструкци колюно! пари при монтажу;
Xci, X'ci, tXtci, tXci - кватернюнш матрицi,
яК складено за координатами центрiв мас xjci
елементiв конструкци колюно! пари у базовому TpieApi;
Ai, At, tAt, tAi - кватернiоннi матрищ, якi
складено за параметрами Родр^а-Гамшьтона а Joi (i = 1, 2, 3; j = 0, 1, 2, 3), що враховують пе-
рекiс елементiв конструкци колюно! пари при монтажi вщносно базового трiедру.
Результуюча матриця шерци колюно! пари в зборi з урахуванням погрiшностей виготов-лення та монтажу, що приведена до базового трiедру, визначасться за формулою:
o / ' . . oi •
i=i m + m2 + Шз Висновок
Пропонуеться використовувати обчислюва-льний алгоритм перетворення матрицi шерци при поворот й переносi у тривимiрному прос-торi, який базуеться на використанш кватерш-онних матриць. Кватернiоннi матрищ склада-ються за параметрами Родрта-Гамшьтона, що враховують перекiс головних центральних осей шерци колiс i ос колюно! пари вiдносно геоме-тричних осей симетри та за координатами ха-рактерних точок, якi враховують вщхилення фактичних координат центру мас колю i осi колюно! пари вщ геометричних центрiв симетри в межах заданих припускiв на виготовлення та монтаж. Використання кватернюнних мат-риць дозволяе отримати компактний симетрич-ний запис розрахункових формул та забезпечи-
ти як зручнiсть реалiзацil на ЕОМ, так i ефек-
тивнiсть обчислювально! програми.
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Гернет, М. М. Определение моментов инерции [Текст] / М. М. Гернет, В. Ф. Ратобыльский. -М.: Машиностроение, 1969. - 247 с.
2. Ишлинский, А. Ю. Механика относительного движения и силы инерции [Текст] / А. Ю. Ишлинский. - М.: Наука, 1981. - 191 с.
3. Юрпа, Г. М. Пасажирським перевезенням -швидшсть i комфорт [Текст] / Г. М. Юрпа, Ю. В. Дьомш // Зал1зн. трансп. Украши. -2004. - № 4.- С. 4-7.
4. Котуранов, В. Н. Нагруженность элементов конструкции вагона [Текст] / В. Н. Котуранов. -М.: Транспорт, 1991. - 238 с.
5. Кравец, В. В. Об оценке центробежных, корио-лисовых и гироскопических сил при скоростном движении железнодорожного экипажа [Текст] / В. В. Кравец, Т. В. Кравец // Прикладная механика. - 2008.- 44, № 1. - С.123-132.
6. Лысенко, Л. Н. Симметризованный подход к представлению тензора инерции составных асимметричных объектов ракетно-космической техники [Текст] / Л. Н. Лысенко, В. В. Кравец // Вестник МГТУ. Сер. Машиностроение. - 1996. - № 1. - С. 36-45.
7. Larin, V. B. On the Problem of Control of a Compound Wheel Vehicle [Текст] / V. B. Larin // Int. Appl. Mech. - 2007. - 43, N 11. - P. 1297-1302.
8. Lobas, L. G. Theory of Inverted Pendulum with Follower Force Revisited [Текст] / L. G. Lobas, V. V. Koval'chuk, O. V. Bambura // Int. Appl. Mech. - 2007. - 43, N 6.- P. 690-700.
Надшшла до редколеги 23.06.2008.
