Условия устойчивости решений нелинейных сложных систем с переключениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Differentialgleichungen in der Nähe eines singulären Punktes / I. Petrowsky // Мат. сб. 1934. Т. 41, № 1. С. 107 155.

19. Petrowsky I. Nachtag zu meiner Arbeit «Über das Verhalten der Inte-gralkurven eines systems gewöhnlicher Differentialgleichungen in der Nähe eines singulären Punktes» / I. Petrowsky // Мат. сб. 1935. Т. 42, № 3. С. 403.

Поступила 13.02.2012.

удк 517.925.54

УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ

А. Ю. Александров, А. В. Платонов

Рассматриваются гибридные сложные системы, динамика которых описывается существенно нелинейными дифференциальными уравнениями с переключениями. С помощью метода функций Ляпунова определяются условия на законы переключения, гарантирующие асимптотическую устойчивость нулевых решений исследуемых систем.

1. Введение. В настоящей работе исследуется проблема устойчивости решений одного класса нелинейных сложных систем. Предполагается, что как в подсистемах, составляющих сложную систему, так и в связях между этими подсистемами имеют место переключения между различными режимами функционирования.

Известно, что для того чтобы доказать асимптотическую устойчивость, равномерную относительно закона переключения, достаточно построить для рассматриваемой гибридной системы общую функцию Ляпунова, подходящую для любого режима [6]. Однако универсальных методов нахождения такой общей функции Ляпунова нет.

В тех случаях, когда общую функцию Ляпунова построить не удается, обеспечить асимптотическую устойчивость можно за счет введения дополнительных ограничений на допустимые законы переключения (dwell-time approach [6; 9]).

2. Постановка задачи. Рассмотрим сложную систему

ii = F/o)(xi> + ¿R(;a)(t,x), i = 1, ..., n, (1)

j=i

описывающую взаимодействие n подсистем. Здесь xi е Rщ, x = (x*,...,x^)*; s = s(t) — кусочно-постоянная функция, определяющая

закон переключения, s(t) : [0, +да) ^ Q = = {1, ..., N}; элементы векторов Ft(s)(xj) являются непрерывными при Xi е Rm однородными функциями порядка mi > !> векторные функции R(j)(t, x) непрерывны в области t > 0, ||x|| < Д (0 < Д < +да, (Л — евклидова норма вектора) и удовлетворяют неравенствам

IR(s)(t, x)|| < cj ||x;|, cj > 0, ai; > 0;

i, j = 1, ..., n; s = 1, ..., N.

Таким образом, полагаем, что переключения не меняют порядки однородности mi взаимодействующих подсистем и степени влияния a ij одних подсистем на другие. Подобная ситуация имеет место, например, в случае, когда правые части подсистем и функции связей представляют собой однородные полиномы, а переключения происходят в коэффициентах этих полиномов.

Обозначим через 9i, i = 1, 2, ... моменты переключений, 0 < 81 < 82 < ... . Будем считать, что эти моменты известны, а порядок, в котором происходит смена режимов функционирования гибридной системы, нет. Пусть 90 = 0, функция s(t) в точках разрыва непрерывна справа, а последовательность

© Александров А. Ю., Платонов А. В., 2012

9}, 82, ... является минимальной, т. е. а(9,) Ф а^+Д I = 1, 2, ... . Кроме того, будем рассматривать только такие законы переключения, для которых функция а(0 на промежутке [0, +да) имеет бесконечное количество точек разрыва, а на любом ограниченном промежутке их может быть только конечное число.

Пусть для каждого I = 1, ..., п нулевые решения изолированных подсистем

7(5)(х,), 5 = 1, к, N

X,- = F(

(2)

дv,

дх,

аи

< а3,\

||Уг +1 < v¿(x¿) < Й2г ||х,|Г' +1,

дх,

Т(5)

а(5)

а4г

||Уг

боте [8] получены достаточные условия, при выполнении которых для совокупности (2) можно построить общую функцию Ляпунова в виде линейной комбинации частных функций Ляпунова, найденных для каждой 5-й подсистемы из (2) в отдельности.

Построим векторную функцию Ляпунова V(x) = (^(х}), к, (хп)) . Дифференцируя компоненты этой функции в силу системы (1), получаем при £ > 0, ||х|| < Д неравенства

асимптотически устойчивы.

Определим условия на связи между подсистемами и на закон переключения, при выполнении которых нулевое решение всей гибридной системы (1) будет также асимптотически устойчиво.

Отметим, что аналогичная задача рассматривалась в работе [8]. С помощью метода векторных функций Ляпунова для системы (1) строилась система сравнения без переключений, учитывающая всевозможные структурные вариации, возникающие при переключениях в системе (1). Однако такой подход может привести к «сверхдостаточным» условиям устойчивости. В настоящей работе для анализа системы (1) будем использовать систему сравнения с переключениями, что позволяет в ряде случаев более тонко учитывать особенности структурных изменений исследуемой системы.

3. Условия асимптотической устойчивости. Предположим, что при каждом I = = 1, ..., п для подсистем (2) удалось подобрать общую функцию Ляпунова v¿(x¿), удовлетворяющую требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости, в виде непрерывно дифференцируемой положительно определенной однородной функции порядка yi + 1, у г > 0. Тогда для всех XI е Rm¿ будут справедливы оценки

П+М.

V ь^чУг+1 + «Уг+11 4^у)+1,

)=1

г = 1,

Здесь

п.

Ьг(а) = Чг

Уг+тг

Уг +1

а1)

/ = азгС-ЧУг+1* У) +1

г,) = 1, к, п. Таким образом, система

Уг+Мг

щ = -Ь(ст)и.Уг+1 + иУг+1 У^

г г г г г/

г)

а)и У

/=1

(3)

г = 1,

является системой сравнения для (1). Значит, асимптотическая устойчивость нулевого решения системы (3) в неотрицательном ортанте К+ влечет за собой асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (1) [2].

Система (3) представляет собой гибридную систему, переключения в которой происходят между подсистемами

и = Ф(5)(и), 5 = 1, к, N. (4) Здесь и = (м1, к, мп)*, ф(5)(и) = (ф(5)(и), ...,

фП5)(и))*,

уг+тг

где аи, а-21, «зг, я4г — положительные постоянные, 5 = 1, ..., Ы; г = 1, ..., п.

Замечание 1. Известно [1; 7], что если нулевое решение 5-й подсистемы из (2) асимптотически устойчиво, то для нее существует своя частная однородная порядка уг + 1 функция Ляпунова, причем в качестве уг можно выбрать любое положительное число. В ра-

Ф(5)(и) = -Ь,(5)и.

= -ь(5)и. Уг+1 + и Уг +1 V Ау) +1

I 4

)=1

г = 1, к, п; 5 = 1, к, N.

Как уже отмечалось, для получения условий асимптотической устойчивости нулевого решения системы с переключениями можно или пытаться подобрать общую функцию

Ляпунова для подсистем, составляющих эту систему, или накладывать специальные ограничения на закон переключения. Применим второй подход (dwell-time approach).

Пусть при каждом s = 1, ..., N нулевое решение соответствующей подсистемы из совокупности (4) асимптотически устойчиво в K+. Подсистемы такого вида исследовались в [3]. Были найдены условия, при выполнении которых для них можно построить функции Ляпунова в форме

his)+1

Vs(u) = £l(s) hS^, lis)> 0, h(s)> 0,

¿=1 hiS) +1 (5)

i = 1, ..., n,

удовлетворяющие требованиям теоремы Ляпунова об асимтотической устойчивости. Кроме того, в указанной работе был предложен способ выбора подходящих значений

параметров 1(s), ..., и h[s), ...,

функций (5). В частности, показано, что в качестве hjs) необходимо взять hjs) = (1/h(s) -

- gi - mj)/(gi + 1), i = 1, ..., n, где ...,

..., — некоторое положительное решение системы неравенств

aijhj > mfii при dj = 0, i, j = 1, ..., n. (6) При этом без потери общности считаем, что 1/h(s) - gi - mi > 0, i = 1, ..., n.

Предположим, что совокупность систем (6) при всех s = 1, ... , N имеет общее положительное решение , • ■■, hn. Тогда получим, что hjs) = hi, i = 1, •••> n, где положительные числа hi, •••> hn не зависят от s e {1, ..., N}. Например, вид системы (6) не будет зависеть от номера s режима функционирования, если для любых i, j =

= 1, к, n коэффициенты с(1), ..., c(jN), а следовательно, и коэффициенты d^, ...,

к, d(.N) либо все положительны, либо все

ij

равны нулю, т. е. если переключения меняют в сложной системе только силу воздействия

подсистем друг на друга, но не характер этого воздействия.

Итак, далее будем считать, что для каждой подсистемы из совокупности (4) удалось построить свою функцию Ляпунова в форме

п , л uhi+1 /• л

Vs(u) = yAs) Т , s)> 0,

i=1 ' hi + 1 '

hi = (1 /hi - gi - mi)/(gi +1), s = 1, ..., N.

Существуют числа e > 0 и ß > 0, такие, что для каждого s = 1, ..., N производная

функции Vs (u) в силу s-й подсистемы из (4) удовлетворяет в области G = {u е K+ : : |U| < e} дифференциальному неравенству

Vs < -ßVs1+p, (7)

где p = maxi=i,K,n(mi - 1)/((gi + 1)(hi + 1))-

Найдем c = max max (1(s)/1(j)),

S,j =1,K, N i=1,K, n

b = c-p. Тогда c > 1, и для любых u e K+ имеем

Vs(u) < cVj(u), s, j = 1, ..., N. (8)

Замечание 2. Если c = 1, то Vj(u) = ...

... = Vn (u), т. е. для совокупности подсистем (4) построена общая функция Ляпунова. Тогда при любом законе переключения нулевое решение системы (3), а следовательно, и нулевое решение системы (1) будет равномерно асимптотически устойчивым. Поэтому далее считаем, что c > 1.

Пусть T = 9j-9i-1, i = 1, 2, ... . Построим вспомогательную функцию. Положим

k-1 , . y(m, 1) = 0, y(m,k) = YTm+b

i=1

при k = 2, 3, ...; m = 1, 2, ... .

Теорема 1. Если

y(m,k) ^ при k ^ да (9)

при всех m = 1, 2, ..., то нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво. А если предельное соотношение (9) выполнено равномерно относительно m e {1, 2, ...}, то нулевое решение системы (1) равномерно асимптотически устойчиво.

Доказательство. Используя известные частные функции Vi(u), ...,VN(u), строим

составную функцию Ляпунова Vs(t)(u), соответствующую закону переключения a(t). Выберем начальный момент времени ig ^ 0

и начальную точку ug е G, ug == 0. Рассмотрим решение u(t) системы (3), выходящее при t = tg из точки Ug. Найдем натуральное

число m такое, что tg е [9m_i,9m).

Если на промежутке [tg, 9m) решение

u(t) не выходит за пределы области G, то тогда из выполнения неравенств (7) следует, что на этом промежутке справедлива оценка

V(P9m_l)(U(t)) * Va(P9m_l)(U0) + РР (t " t0) . (Ю) Для каждого i > 9m можно указать такое натуральное число k, что 9m+k_i < t < 9m+£.

При этом k ^ а, когда t ^ Предположим, что в течение некоторого периода времени [ig, i] решение u(t) остается в области G. Последовательно интегрируя на промежутках [9m+ft-1> t], [9m+ft-2> 9m+ft-1]>

..., [ig, вт] соответствующие дифференциальные неравенства из семейства (7) и учитывая соотношения (8), имеем

Om+k-1) {u(t)) * V-Pem+k-1) {u(9m+k-1>) +

+ РР {t - 9m+k-1) * bVa(P9m+k-2)(u(0m+fe-1>> +

(11)

+ Рр (t - 9m+k-1) * K * bkva(P0m-1)(uo> +

+ Рр {{t - 9m+fe-1) + y(m, k) + bk {9m - to)).

Выберем такие ai > о и > 0, чтобы в области G выполнялись неравенства

a1 llullX+1 ^ Vs(u) ^ a2 ||u|h+1 , (12)

s = 1, ..., N. Здесь X = max{h1, ..., hn}, h = min{h1, ...,

..., hn}-

Используя оценки (10), (11) и (12), получаем:

- -L _ J_

||u(t)|| < a x+1 (a2r||uoP(h+1) +Pp (t _ to)) X-1

при t s [t0,9m), _ j_

||u(t)|| < a x+1(bka2p||u„||_p(h+1) +

_ j_

+ Pp ((t _ 9m+fe_1 ) + y(m, k) + bk (9m _ to)) 1 пРи t e [9т+ц 9m+kX k ^ 1

С помощью установленных неравенств дальнейшее доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 2 из работы [4].

Следствие. Если T ^ +œ при i ^ œ,

то нулевое решение системы (1) равномерно асимптотически устойчиво.

Замечание 3. Пусть y(1, k) ^+œ при k œ. Тогда k) ^ +œ при k ^ œ для

любого m = 1, 2, к .

Замечание 4. Теорема 1 справедлива и в случае, когда некоторые из порядков однородности Ц1, к, не превосходят единицы. Требуется только, чтобы выполнялось условие maxi=1,...n mi > 1.

4. Пример. Пусть задана система автоматического регулирования вида

x = Asx + Ssf

t( \ u* (13)

n = csf (n) + hsx.

Здесь x = (xi, к, xm) ; a = a(t) : [0, +œ) ^

^ Q = {1, k, N} — функция, задающая закон переключения и обладающая указанными ранее свойствами; A1, ..., AN — постоянные

гурвицевы матрицы; g1, ..., gN, h1, ..., hN —

постоянные векторы; q, ..., Cn — постоянные отрицательные параметры; функция f(v) определена и непрерывна при n s (-œ, +œ), nf(n) > 0 при n = 0.

Если cs = hjA_1gs, s = 1, к, N, то система (13) при любом режиме функционирования имеет единственное положение равновесия (x*,n )* = (0*,0)*.

Уравнения (13) можно рассматривать

как сложную систему, описывающую взаимодействие двух подсистем

х = Асх (14)

и

V = cf (п). (15)

Пусть Р — постоянная симметрическая положительно определенная матрица, удовлетворяющая неравенствам

А*Р + РА, <0, 5 = 1, к, N. (16)

Неравенства (16) понимаются как условия отрицательной определенности соответствующих квадратичных форм. Проблема существования требуемой матрицы Р исследовалась во многих работах (например, [5 — 6]). Тогда функция »1(х) = х Рх является общей функцией Ляпунова для систем х = А5х, 5 = 1, к, N, составляющих гибридную подсистему (14).

В качестве общей функции Ляпунова

для уравнений V = с5/(п), 5 = 1, к, Ы, составляющих гибридную подсистему (15),

V

можно взять v2(v) = | /(тМт.

0 3

Предположим, например, что f(п) = V , т. е. подсистемы (14) и (15) — однородные первого и третьего порядка соответственно. В этом случае нетрудно указать такие положительные постоянные Ь}5), Ь25), ¿{^, ,

5 = 1, к, Ы, что при всех х е Кт и V е (-да, +да) будут справедливы неравенства

|(13) < - Ь(аЧ(х) + ¿(£У2(х)г^4(г>), [»2 |(13) < - 62(а)»|/2(») + ^^(х)^ 4(»).

Таким образом, получаем для (13) систему сравнения

[ щ = -Ь^щ + ¿[^и^и^4,

(щ = -Ь2а)м|/2 + ^ЧЧ^

Пусть ¿1(2)^21) < Ь(5)Ь(5), 5 = 1, к, N. Тогда

[3] при любом фиксированном режиме функционирования нулевое решение системы (17) асимптотически устойчиво в К+.

Система (17) имеет вид (3). Здесь п = 2,

т = У1 = «21 = 1> Й2 = Т2 = «12 = 3. Найдем положительное решение соответствующих неравенств (6):

3Н2 > Н > 3Н2. Положим, например, Ну = 1/6, Н =1/18.

Тогда Г)1 = 2, Л2 = 3, р = 1/8. Согласно результатам работы [3] в качестве коэффициентов можно выбрать любые положительные числа, удовлетворяющие соотношениям

(^ )6 ь« (ь}5) )

Х

5 ч«

(5) Ь

№ )5

Отметим, что если

=1,..., N

< тт._

5=1,..., N

(¿21)

(¿1(2)) < (ь(5) )5 ь(5) (ь25) )5 (¿2(1 )6

5 = 1,

N.

(18)

(17)

то коэффициенты Х(5), Х^^, удастся подобрать едиными для всех значений 5, т. е. для подсистем, составляющих гибридную систему (17), будет построена общая функция Ляпунова. Если неравенство (18) не выполнено, то результаты работы [3] не позволяют гарантировать существование для указанных подсистем общей функции Ляпунова, и тогда для установления условий асимптотической устойчивости нулевого решения системы (13) следует вычислить значения параметров с и Ь и применить теорему 1.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зубов В. И. Устойчивость движения / В. И. Зубов. М. : Высш. шк., 1973. 272 с.

2. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова : анализ динамических свойств нелинейных систем / В. М. Матросов. М. : Физматлит, 2001. 384 с.

3. Aleksandrov A. Yu. Construction of Lyapunov's Functions for a Class of Nonlinear Systems / A. Yu. Aleksandrov, A. V. Platonov // Nonlinear Dynamics and Systems Theory. 2006. Vol. 6, No. 1. P. 17 29.

4. Aleksandrov A. Yu. On the Asymptotic Stability of Switched Homogeneous Systems / A. Yu. Aleksandrov, A. A. Kosov, A. V. Platonov // Systems and Control Letters. 2012. Vol. 61. P. 127 133.

5. Boyd S. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory / S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan. Philadelphia : SIAM, 1994. 193 p.

6. Liberzon D. Basic Problems in Stability and Design of Switched Systems / D. Liberzon,

A. S. Morse // IEEE Control Systems Magazine. 1999. Vol. 19, No. 5. P. 59 70.

7. Rosier L. Homogeneous Lyapunov Function for Homogeneous Continuous Vector Field / L. Rosier // Systems and Control Letters. 1992. Vol. 19. P. 467 473.

8. Vassilyev S. N. Stability Analysis of Nonlinear Switched Systems via Reduction Method / S. N. Vassilyev, A. A. Kosov, A. I. Malikov // Preprints of the 18th IFAC World Congress. Milano, Italy. August 28. September 2, 2011. P. 5718 5723.

9. Zhai G. Disturbance Attenuation Properties of Time-controlled Switched Systems / G. Zhai,

B. Hu, K. Yasuda, A. N. Michel // J. of the Franklin Institute. 2001. Vol. 338. P. 765 779.

Поступила 11.01.2012.

удк 517.9

О ПРОБЛЕМЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ТОЧНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ ЛЯПУНОВА КОМПЛЕКСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМ НЕЗАВИСИМЫМ ПЕРЕМЕННЫМ*

О. В. Дружинина, О. Н. Масина, А. А. Шестаков

В статье доказаны теоремы о существовании точного показателя Ляпунова для решения комплексной дифференциальной системы с действительным независимым переменным. Доказано существование ведущих координат, а также рассмотрены вопросы существования однократных и многократных точных показателей Ляпунова.

Введение. Статья является дальнейшим развитием исследования работ о существовании точных показателей Ляпунова решений обыкновенных комплексных систем дифференциальных уравнений с действительным независимым переменным [2; 8]. Вопросами, близкими к тематике настоящей статьи, занимались многие отечественные и зарубежные ученые, в том числе О. Перрон [10 — 12], И. Г. Петровский [13 — 14], В. В. Немыц-кий и В. В. Степанов [6], Ф. Хартман [7], В. В. Козлов [3], В. В. Козлов и С. Д. Фур-та [4], Ф. Хартман и А. Уинтнер [9], Б. Ф. Былов, Л. Э. Виноград, Д. М. Гроб-

ман и В. В. Немыцкий [1], В. М. Матросов, Л. Ю. Анапольский, С. Н. Васильев [5].

В данной статье установлено существование ведущих координат решений линейной комплексной дифференциальной системы при ее линейных возмущениях специального вида, а также рассмотрено существование однократных и многократных точных показателей Ляпунова. Методом решения указанных задач является метод редукции изучаемой обыкновенной дифференциальной системы к так называемым сопровождающей канонической форме некоторого индекса

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) (проект № 10-08-00826-а).

© Дружинина О. В., Масина О. Н., Шестаков А. А., 2012