CC BY
37
УДК 517.977
Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2015. Вып. 3
П. А. Лакрисенко
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ГИБРИДНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ*)
Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9
Рассматривается нелинейная гибридная механическая система с переключаемыми потенциальными и диссипативными силами. Она состоит из n подсистем, описываемых уравнениями Рэлея, и некоторого закона переключения, определяющего для каждого момента времени, какая из подсистем активна. Предполагается, что действующие на подсистемы потенциальные и диссипативные силы нелинейны и однородны с различными порядками однородности. Исследуется вопрос устойчивости нулевого решения описываемой гибридной системы. С использованием второго метода Ляпунова продемонстрировано, что положения равновесия всех подсистем асимптотически устойчивы. Затем при помощи составной функции Ляпунова выводятся условия для закона переключения, при выполнении которых нулевое решение системы с переключениями будет асимптотически устойчиво. Такой подход ранее успешно применялся для линейных, квазилинейных подсистем и подсистем с однородными правыми частями. В данной работе удалось воспользоваться этим методом для системы с переключениями, состоящей из подсистем, правые части которых могут быть неоднородны. Сначала рассматривается случай, когда известны только моменты переключения, а затем предполагается, что известен еще порядок переключения между подсистемами. Приводится пример, демонстрирующий эффективность предложенного подхода. Показано, что если закон переключения не удовлетворяет полученным условиям, то положение равновесия системы с переключениями может быть неустойчиво. Библиогр. 11 назв. Ил. 2.
Ключевые слова: системы с переключениями, механические системы, асимптотическая устойчивость, функции Ляпунова, составная функция Ляпунова.
P. A. Lakrisenko
ON THE STABILITY OF THE EQUILIBRIUM POSITIONS OF NONLINEAR MECHANICAL HYBRID SYSTEM
St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg, 199034, Russian Federation
Stability of trivial equilibrium position of nonlinear mechanical system with switched potential and dissipative forces is studied. The switched system consists of n subsystems described by Rayleigh equations and some switching law determining at each time instant which subsystem is active. It is assumed that potential and dissipative forces are nonlinear and homogeneous. Asymptotic stability of equilibrium position of subsystem is demonstrated. By the use of Lyapunov multiple function and dwell-time approach, the conditions on switching law are obtained. The fulfilment of these conditions provides asymptotic stability of the equilibrium position of switched system. Also the case of known order of switching between the subsystems is considered. An example is presented to demonstrate effectiveness of the proposed approaches. Furthermore it was shown that the equilibrium position may be unstable if switched law is chosen that doesn't satisfy derived conditions. Refs 11. Figs 2.
Keywords: switched systems, mechanical systems, asymptotic stability, Lyapunov functions, multiple Lyapunov function.
Лакрисенко Полина Александровна — аспирант; e-mail: p.lakrisenko@gmail.com
Lakrisenko Polina Aleksandrovna — post-graduate student; e-mail: p.lakrisenko@gmail.com
*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 13-01-00376-a) и Санкт-Петербургского государственного университета (НИР, проект № 9.38.674.2013).
Система с переключениями представляет собой гибридную систему, состоящую из семейства подсистем и закона переключения, определяющего для каждого момента времени, какая из подсистем активна. Системы с переключениями широко применяются при моделировании разнообразных процессов в механике, робототехнике, в задачах управления воздушным и автомобильным транспортом, биологическими системами [1—4]. Проблема устойчивости систем с переключениями изучалась во многих работах, но большая часть результатов получена для случая, когда переключения происходят между линейными подсистемами. Потому особый интерес представляет исследование вопроса устойчивости нелинейных систем с переключениями [1, 5]. Известно, что из устойчивости и даже асимптотической устойчивости всех подсистем не следует устойчивость системы с переключениями [1]. По этой причине возникает задача определения классов законов переключения, для которых можно гарантировать устойчивость системы с переключениями.
Было показано, что при некоторых дополнительных ограничениях на правую часть рассматриваемой системы она будет устойчива, если все подсистемы также устойчивы и переключения между ними происходят через достаточно большие промежутки времени [1]. Для нахождения класса переключений, обеспечивающего устойчивость гибридной системы, необходимо определить ограничения на длины промежутков времени между последовательными переключениями. Полезным инструментом при решении данной задачи служит составная функция Ляпунова [1, 2]. Такой подход разработан для линейных и квазилинейных систем [1] и распространен на нелинейные системы с однородными правыми частями [6].
В настоящей статье этот способ применяется для того, чтобы добиться асимптотической устойчивости положений равновесия класса систем с переключениями в случае, когда все подсистемы нелинейны и правые части могут быть неоднородны. Исследуется нелинейная механическая система с переключаемыми диссипативными и потенциальными силами. Переключения могут быть вызваны как внутренними причинами, например действие логического регулятора, так и внешними, в частности если движение происходит в среде с изменяющимся сопротивлением [7]. Предполагается, что все подсистемы асимптотически устойчивы, а потенциальные и диссипативные силы нелинейны и однородны с различными порядками однородности. Рассматривается вопрос асимптотической устойчивости нулевого решения системы с переключениями.
Стоит отметить, что многие результаты, касающиеся устойчивости систем с переключениями, сформулированы для систем общего вида и оказываются неприменимы для механических подсистем. Механические системы описываются дифференциальными уравнениями второго порядка и имеют свои особенности [7, 8]. Так, известно, что для семейства линейных стационарных подсистем общая квадратичная функция Ляпунова существует, если матрицы подсистем удовлетворяют условию коммутативности [7]. Для механических подсистем это условие всегда будет нарушено. Потому при исследовании механических подсистем будем опираться на конкретную структуру изучаемых уравнений.
Постановка задачи. Пусть задано семейство N систем, описываемых уравнениями Рэлея
где х € К", функции ^ (X) — положительно-определенные однородные порядка ^ +1,
д П;
(1)
а функции Пг(х) — положительно-определенные однородные порядка Л +1, Л; / — рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями, Л > 1, / > 1. Случай / =1 рассмотрен в работе [9], здесь полагаем /л > 1.
Рассмотрим систему с переключениями, состоящую из подсистем, эквивалентных уравнениям (1), и закона переключения а:
X1 = Х2,
OF дП (2)
Полагаем, что закон переключения определяет кусочно-постоянная функция a(t): [0, —> S = {1,...,N}. Обозначим через Ti, i = 1, 2,..., моменты переключения. Считаем, что функция a(t) в точках разрыва непрерывна справа и последовательность {Tk}(j=i является минимальной, т. е. а(т^) = a(Tk+i), к G N. Кроме того, будем рассматривать только такие законы переключения, для которых функция a(t) на промежутке [0, имеет бесконечное количество точек разрыва, а на любом ограниченном промежутке их может быть только конечное число.
Необходимо определить ограничения на закон переключения, при выполнении которых нулевое решение системы с переключениями (2) асимптотически устойчиво.
Построение функций Ляпунова. Для каждого i G {1,..., N} выберем функцию Ляпунова для подсистемы с номером i
14(ХьХ2) = ^2\\2 + + mW^f-1^^,
здесь ni > 0, ß > 1 [10].
При помощи этих функций Ляпунова можно показать, что нулевое решение каждой из подсистем является асимптотически устойчивым. Производная функции Vi(xi, Х2) в силу i-й подсистемы из семейства (2) имеет вид
тУ T dFi 11 iiö— 1 T dFi 11 nö— 1 T dni ,
+ ni(ß - 1)yxiy^-3(xTx2)2 + nillxill^ltell2.
Можно показать, что для достаточно малых величин ni и при выборе
ß = max { — (/хА + 1 + /х — А), — 1 (3)
I2
существуют такие постоянные 0 ^ ¿2i(0 ^ к\, 0 ^ £>2 ^ ^ к2, D2 ^
0 < D{i) < (А + 1 )ки 0 < D(i) < (м + 1 )кз, Н, что для ||Xl|| < Я, ||х2|| < Я, для каждого i G {1,..., N} будут верны соотношения
Vi < -l^r+D(i) - nillxillß+XD(i), (5)
здесь ki = min n(xi), к2 = max n(xi), к3 = min F(x2). Из соотношений (4), (5)
llxl|l = i l|xi|| = i ||X2 У = i
можно сделать вывод, что для каждого г € {1,..., М} функция Ляпунова Уг(х1, х2) положительно определена, производная функции Уг(х1, х2) в силу г-й подсистемы отрицательно определена и, следовательно, нулевое решение каждой из подсистем асимптотически устойчиво.
Кроме того, будут верны дифференциальные неравенства
й(х1 (г), х2^)) < -^Уг(х-1(г), х2 (г))1+« , (6)
где £ = ^Рг — некоторые положительные постоянные.
Воспользовавшись неравенствами (4) и выбрав
(В2 Р^г)
для каждой пары функций Ляпунова, приходим к соотношению У ^ ^¿з V • Возьмем 7 = тах тах {7^} и получим, что при ЦххЦ ^ Н, ||х21| ^ Н справедливы оценки
1=1,N ] = 1,N
^(хьх2) <7^(хьх2), 1,0 = 1 ,ЛГ. (7)
Введем обозначение: г(х1(£), хг(£)) = 11Х2)112 + ||х1(£)||л+1. Можно показать: при ||XI|| ^ Н, ||х21| ^ Н существуют такие С_ > О, С > 0, что верны соотношения
Воспользуемся теперь полученными оценками при исследовании системы с переключениями.
Определение классов допустимых законов переключения. Введем следующие обозначения:
к-1
к-ъ
Т\ = 0, Тк = £ (тт+г - гт+4_1), к = 2,3,
¿=1
Теорема 1. Если
Тк ^ ж при к ^ж, (9)
то нулевое решение гибридной системы (2) асимптотически устойчиво. Если условие (9) выполняется равномерно относительно т = 1, 2,..., то нулевое решение равномерно асимптотически устойчиво.
Доказательство. Выберем го ^ 0, 0 < е < Н. Рассмотрим решение гибридной системы с начальными данными Х1(го), Х2(¿о), для которых верно соотношение г(Х1(го), Х2(го)) ^ е. Построим составную функцию Ляпунова Уа(г) (Х1, Х2), соответствующую закону переключения <г(г). Найдем натуральное число т такое, что ¿о € [гт-1,гт). Предположим, что г(Х1(г), Х2(г)) < е для г € [¿о, г']. Если г' € (¿о,тт], то, проинтегрировав неравенства (6), придем к соотношению
У-1—)(Х1 (г), Х2(г)) > - ¿о) + у-„-^(г), Х2(г))
при I € [¿о, Где ср = тт{у(г)}, г=
г
Если тт ^ г ^ г', то существует натуральное число к такое, что г € [тт+к-1, тт+к). Проинтегрировав соответствующие дифференциальные неравенства из семейства (6) на промежутках [тт+к-1 ,г], [тт+к-2,тт+к-1], ..., [го,тт] и учитывая оценки (7), имеем
Уа{тт+к-1) (x1(г), Х2 (г)) > Уa(тm+k-1)(Х1(Tm+к-1), Х2(тт+к-1 )) + - тт+к-1) >
> (7)-? У-тт+к-2) (x1(тm+к-1), Х2(тт+к-1))+ - тт+к-1) >
> ... > (7)-к«У-£т-1)(Х1(го),Х2(го)) + ... + ^£(г -тт+к-1).
С использованием соотношений (8) нетрудно показать, что при г € [¿о, тт), г ^ г', будет справедливо следующее ограничение на решение гибридной системы (2):
< е-1 + 0),х2(*0))Г* , (10)
а при г € [тт+к-1 ,тт+к), г ^ г' — соотношения
+ - тт+к_1))~* = С"1 ((7Г*^(тт - г0) + - гт+к_1) +
+ + • (11)
Выберем натуральное число ко такое, что Тк > Седля всех к /го. Возьмем
^^ССС)-1. (12)
Учитывая оценки (10), (11), получим, что если г(Х1(го), Х2(¿о)) < 3, то г(Х1(г), Х2(г)) < е для всех г ^ ¿о. Кроме того, из выражения (11) видно, что если выполнено условие теоремы, то г(Х1(г), Х2(г)) ^ 0 при г ^ +ж. Таким образом, нулевое решение системы (2) асимптотически устойчиво.
Предположим, что условие (9) выполняется равномерно относительно т. Покажем, что в этом случае нулевое решение системы (2) равномерно асимптотически устойчиво.
В данном случае ко может быть выбрано независимо от т, а значит, и от го. Следовательно, нулевое решение гибридной системы (2) равномерно устойчиво.
Зафиксируем е € (0,Н), выберем 3 по формуле (12). Для доказательства того, что решение равномерно асимптотически устойчиво, нужно показать, что для любого е' > 0 существует © > 0 такое, что если го > 0, г(х1 (го), Х2(го)) < 3, то г(Х1(г), Х2(г)) < е' для г ^ ¿о + ©.
Выберем е' > 0. Существует 3' такое, что если г(Х1(г'), Х2(г')) ^ 3', то г(Х1(г), Х2(г)) < е' для г > г' > 0.
Существует натуральное число к' ^ 1 такое, что
тк > —е(сз')-«
для всех к > к'. Возьмем © =
Рассмотрим решение системы (2) с начальными условиями, удовлетворяющими неравенствам ¿о ^ 0, 0 < г(х1 (¿о), Х2(4о)) < 6. Если количество переключений на интервале [¿съ^о + ©] превосходит к', то верна оценка
г(х1(*0 + е)> + ©)) < ОТ1 < <*'•
В противном случае верна оценка
г(х1(*о + в),х2(*о + в)) «СС;-1 (7^©)^ <<5'.
Следовательно,
г(х1 (¿о + ©), Х2(¿о + ©)) <£'
для £ ^ ¿о + ©. Теорема 1 доказана.
Следствие 1. Если т; — т;-1 ^ ж при г ^ ж, то нулевое решение системы с переключениями (2) равномерно асимптотически устойчиво.
Случай полной информации о законе переключения. Пусть теперь известны не только моменты времени, в которые происходят переключения между подсистемами, но и порядок переключений между ними. В таком случае может быть использован другой подход для получения достаточных условий асимптотической устойчивости нулевого решения системы (2) [7, 9]. Выберем подсистему из семейства (1) и найдем такое соотношение между промежутком активности этой подсистемы и промежутками активности остальных подсистем, которое будет обеспечивать асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (2).
Пусть выбрана первая подсистема. Ей соответствует функция Ляпунова
14(хьх2) = ^||х2||2 + П1(х1)+т||х1||'3-1х[х2.
Обозначим через ^1|(я) производную функции У1(х1, Х2) в силу подсистемы с номером в, в = 1, 2,.. Она имеет вид
т> I Т и ..я— 1 т и ..я— 1 тдП ,
дП ^дП,
+ m(fj - 1)||Х1|Г3(хТх2)2 + + х^ - хТ
9xi 9xi
Воспользовавшись теоремой Эйлера и свойствами однородных функций [11], получим оценку сверху
V1|(S) < "(м +1)fcisyx2y^+1 - m(A + 1)k2s||xi||^+A + niksjxill^
+ ni ^|xi|^-i|x2|2 + (kis + k4i )|x2||xi|A,
где kis, k2s, kss, k4s — некоторые положительные постоянные.
Сделаем в функции (k4S + k4i)|xi|A|x21 замену yi = ||xi||^+A, y2 = ||x2||M+i.
Л 1
Тогда она примет вид (k4s + k4i)yi3+Ay2+1. Применив неравенство Иенсена, придем к соотношению
А(/ц + 1) /3+А
/ Л I 1 \ /3+2Л + ^Л / Л I 1 \ /3+2Л + ^Л
+ У.эФх+^т^, /3 + А У.эФх+^т
^ +[тггктд; ++;
Необходимо, чтобы кроме условия (3) было выполнено неравенство + ^ 1. Следовательно, нужно выбирать /3 = —, а для постоянных и и А должно быть выполнено соотношение
"«дТГ (13)
В этом случае можно показать, что для достаточно малых значений П1 существует такая постоянная Н > 0, что, если ЦХ1Ц ^ Н, ЦХ2Ц ^ Н, будут справедливы оценки
Сг(х1(*),х2(*)) < У1(х1(4),х2(4)) < Щх^), х2(*)), тУЦ(Я) < ^У1(Х1(г),Х2(г))1+«,
в которых £ = ^(х+1)' ^ ~ некоторые постоянные, в = 1, М, < 0, С_ > 0, С > 0.
Для данного закона переключения а(г) построим вспомогательную кусочно-постоянную функцию п(г) = -^а(ь), г ^ 0.
Теорема 2. Пусть выполнено условие (13). Если для заданного закона переключения а (г) имеет место соотношение
г
J п(т)Лт ^ ж при г ^ ж, (14)
о
то нулевое решение системы (2) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Рассмотрим некоторый закон переключения а(г), построим для него функцию п(г). Выберем е > 0, ¿о > 0. Если условие (14) выполнено, то существует постоянная ро такая, что
г
J п(т)йт > ро при г > ¿о.
о
Выберем 3, удовлетворяющую условию
(Щ-^+Сро > (Се)-£.
Рассмотрим решение системы (2) с начальными данными Х1(го), Х2(го) такими, что г(Х1(го), Х2(го)) < 3. Если выполнено соотношение (13) и г(Х1(г), Х2(г)) < е для г € [¿о, г'], то будет верно соотношение
У-1(2) < -п(г)У1(Х1(г), Х2(г))1+« для г € [го, г']. Воспользовавшись им, можно показать, что
Следовательно, г(х1(1), х2(£)) < е для 4 > ¿0. Кроме того, г(х1(1), х2(4)) ^ 0 при 4 ^ то.
Пример. Рассмотрим механическую систему, представляющую собой две одинаковые тележки массой то, соединенные пружинами и поршневыми демпферами (рис. 1) [9]. Положения тележек характеризуются координатами Х1 и Х2 соответственно, пружины не деформированы при Х1 =0 и Х2 =0.
X | х2
Рис. 1. Тележки с присоединенными к ним пружинами и демпферами
Пусть для всех пружин сила упругости пропорциональна кубу растяжения (сжатия) пружины, а силы сопротивления демпферов — степени 9/5 скорости движения поршня относительно цилиндра. Предположим, что верхние демпфер и две пружины могут быть независимо друг от друга отсоединены в произвольные моменты времени, а через некоторое время присоединены обратно. Нижние демпферы и пружины не могут быть отсоединены.
Система описывается уравнениями
тох1 + — 6^Ь(Х2 — Х1)9/5 + сх1 — с(х2 — Х1)3 + Дсх^ = 0, тоХ2 + Ьх9/5 + \) Ь(Х2 — Х1)9/5 + сх| + с(х2 — Х1)3 + 6^\) Дсх| = 0,
(1)
где Ь — одинаковый для всех демпферов коэффициент затухания; с и Дс — постоянные Гука для нижних и верхних пружин соответственно; а(Ь) — закон переключения, 6°а(€ {0; 1}, ] = 1, 2, 3. Таким образом, система состоит из восьми подсистем и в каждый момент времени одна из них активна.
Система (14) — частный случай системы (2). Здесь N = 2, /х = Л = 3,
П<7(()(жь х2) = ({с + &с)х\ + с(х2 - хл)А + (с + д'^Афо) ,
Ра[фих2) = (Ьб^хо - Х1)14/5 + Ъх?/5 + Ъх?/5) .
Возьмем, например, то = 3, Ь = 0.11, с =1, Дс = 4.5 и в качестве начальных условий выберем Х1(0) = 0, Х1(0) = 0.65, Х2(0) = 0, Х2(0) = 0.65. Результаты численного
моделирования представлены на рис. 2. Рисунок 2, I соответствует закону переключения, который не удовлетворяет условию теоремы 1. В соответствии с этим законом нечетные переключения происходят при Х\ = 0, а четные — при х\ = 0, промежутки активности всех подсистем ограничены. При таком законе переключения амплитуда колебаний быстро возрастает, и положение равновесия неустойчиво.
Рис. 2. Зависимость положения первой тележки от времени (случай неустойчивого (I) и устойчивого (II) положения равновесия)
Пусть теперь стремятся к бесконечности промежутки времени, в течение которых активны подсистемы, для которых
(¿(1), ¿(2), ¿(3)) =(1,0, 0) и (S(1), ¿(2), ¿(3)) =(1,1,1),
промежутки времени, в течение которых активны остальные подсистемы, ограничены. Этот закон переключения удовлетворяет условию теоремы 1. Зависимость положения первой тележки от времени в данном случае показана на рис. 2, II.
Литература
1. Liberzon D., Morse A. S. Basic problems in stability and design of switched systems // Control System Magazine. IEEE. 1999. Vol. 19, N 5. P. 59-70.
2. Decarlo R. A., Branicky M. S., Petterson S., Lennartson B. Perspectives and results on the stability and stabilizability of hybrid systems // Proc. of the IEEE. 2000. Vol. 88, N 7. P. 1069-1082.
3. ¡Shorten R. A., Wirth F., Mason O., Wulf K., King C. Stability criteria for switched and hybrid systems // SIAM Rev. 2007. Vol. 49, N 4. P. 545-592.
4. Александров А. Ю., Платонов А. В. О предельной ограниченности и перманентности решений одного класса дискретных моделей динамики популяций с переключениями // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2014. Вып. 1. С. 5-16.
5. Александров А. Ю., Платонов А. В., Чэнь Я. К вопросу об абсолютной устойчивости нелинейных систем с переключениями // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2008. Вып. 2. С. 119-133.
6. Александров А. Ю., Платонов А. В. Об устойчивости гибридных однородных систем // Вестн. Самарск. гос. техн. университета. Сер. Физ.-мат. науки. 2010. № 5(21). С. 24-32.
7. Александров А. Ю., Косов А. А., Чэнь Я. Об устойчивости и стабилизации механических систем с переключениями // Автоматика и телемеханика. 2011. Вып. 6. С. 5-17.
8. Мурзинов И. Е. Построение общей функции Ляпунова для семейства механических систем с одной степенью свободы // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2013. Вып. 4. C. 49-57.
9. Aleksandrov A. Yu., Platonov A. V, Lakrisenko P. A. Stability analysis of nonlinear mechanical systems with switched force fields // Proc. of the 21st Mediterranean Conference on Control & Automation. Platanias-Chania, Crete, Greece, 2013. P. 628—633.
10. Александров А. Ю., Александрова Е. Б., Екимов А. В., Смирнов Н. В. Сборник задач и упражнений по теории устойчивости. СПб.: ООО «СОЛО», 2003. 162 с.
11. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. 272 с.
References
1. Liberzon D., Morse A. S. Basic problems in stability and design of switched systems. Control System Magazine, IEEE, 1999, vol. 19, no. 5, pp. 59-70.
2. Decarlo R. A., Branicky M. S., Petterson S., Lennartson B. Perspectives and results on the stability and stabilizability of hybrid systems. Proc. of the IEEE, 2000, vol. 88, no. 7, pp. 1069-1082.
3. Shorten R. A., Wirth F., Mason O., Wulf K., King C. Stability criteria for switched and hybrid systems. SIAM Rev., 2007, vol. 49, no. 4, pp. 545-592.
4. Aleksandrov A. Iu., Platonov A. V. O predel'noi ogranichennosti i permanentnosti reshenii odnogo klassa diskretnykh modelei dinamiki populiatsii s perekliucheniiami [On the ultimate boundedness and permanence of solutions for a class of discrete-time switched models of population dynamics]. Vestnik of St. Petersburg State University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2014, issue 1, pp. 5-16. (In Russian)
5. Aleksandrov A. Iu., Platonov A. V., Chen' Ia. K voprosu ob absoliutnoi ustoichivosti nelineinykh sistem s perekliucheniiami [On the absolute stability of nonlinear switched systems]. Vestnik of St. Petersburg State University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2008, issue 2, pp. 119-133. (In Russian)
6. Aleksandrov A. Iu., Platonov A. V. Ob ustoichivosti gibridnykh odnorodnykh sistem [On the stability of hybrid homogeneous systems]. Vestnik of Samarsk. State Tech. University. Series Phys.-math. Sciences, 2010, no. 5(21), pp. 24-32. (In Russian)
7. Aleksandrov A. Iu., Kosov A. A., Chen' Ia. Ob ustoichivosti i stabilizatsii mekhanicheskikh sistem s perekliucheniiami [On the stability and stabilisation of switched mechanical systems]. Avtomatika i telemekhanika [Automatics and telemechanics], 2011, no. 6, pp. 5-17. (In Russian)
8. Murzinov I. E. Postroenie obshhej funkcii Lyapunova dlya semejstva mexanicheskix sistem s odnoj stepen'yu svobody [On construction of common Lyapunov function for a family of mechanical systems with one degree of freedom]. Vestnik of St. Petersburg State University. Series 10. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2013, issue 4, pp. 49-57. (In Russian)
9. Aleksandrov A. Yu., Platonov A. V, Lakrisenko P. A. Stability analysis of nonlinear mechanical systems with switched force fields. Proc. of the 21st Mediterranean Conference on Control & Automation. Platanias-Chania, Crete, Greece, 2013, pp. 628-633.
10. Aleksandrov A. Iu., Aleksandrova E. B., Ekimov A.V., Smirnov N. V. Sbornik za,d,a,ch i uprazhnenii po teorii ustoichivosti [Collection of Problems on stability theory]. St. Petersburg, ООО "SOLO", 2003, 162 p. (In Russian)
11. Zubov V. I. Ustoichivost' dvizheniia [Stability of Motion]. Moscow, Vysshaia Shkola Publ., 1973, 272 p. (In Russian)
Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья поступила в редакцию 30 апреля 2014 г.
