Условия существования d-робастного управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.712.517.977.5

УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ Б-РОБАСТНОГО УПРАВЛЕНИЯ

В.Н. Афанасьев

Кафедра технической кибернетики Российский университет дружбы народов 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, б

Разрабатывается теория терминальных робастных систем с неполной информацией о состоянии, интервальной параметрической неопределенностью и заданном функционале качества (с!-робастное управление). Получены необходимые и достаточные условия существования ё-робастного управления.

Теория робастного управления только еще формируется, и основные результаты получены для анализа робастной устойчивости и робастной стабилизации линейных объектов. При анализе робастной устойчивости исследуется не одна заданная линейная система, а устойчивость целого семейства систем, соответствующих исходной (номинальной) системе при наличии неопределенности. Задачи управления, как правило, сводятся к задачам стабилизации или оптимального управления при не заданном времени окончания переходного процесса. Этим и объясняется применение для решения таких задач классических методов, которые основаны на использовании теории матриц и передаточных функций (комплексных коэффициентов усиления) [1]. Использование частотных методов для синтеза управляющих воздействий для нестационарных систем при заданном интервале управления невозможно.

В данной работе рассматривается терминальная задача управления нестационарным объектом с заданным условием на правом конце.

Пусть нелинейный нестационарный управляемый объект описывается векторным дифференциальным уравнением

где х 6 Яп - вектор начальных условий состояния объекта, Х0 - множество возможных начальных состояний объекта, и е Яг - вектор управляющих воздействий. Задан функционал качества

— х(() = /(х,0 + Ж*>0м(0>

Ж

(1)

х#0)еХ0,

Дх,и) = - хт(Г)/ВД+ Ц)Ох(!) + ит(0Ди(0}<Й ’

2 п

о

(2)

где Т - время окончания переходного процесса, задано.

Задача управления объектом (1) заключается в построении и(1), доставляющего минимум функционалу (2), и выполнении условия

Т] ‘ Х(Т) < й > 0 . (3)

Управление и(0,Т), при котором обеспечивается выполнение условия (3) и минимизируется функционал (2) на объекте (1), будем называть <1-робастным управлением [4].

Предположим:

1) /Дх(У),0> Ь1](х(0^), / — 7=1,..., г - элементы матриц/и В со-

ответственно непрерывны относительно х(7) и t;

2) зккол &ММ ММ непрерывны п0 х(0

и Г для г, к = \,...,п, у = 1,...,г;

3) управление есть линейная функция состояния объекта (1), т.е.

и(Г) = Кх^). (4)

Эти предположения позволяет представить исходное уравнение объекта в окрестности точки х = 0 в виде

— х(/) = [А + а(х,/)]л:(0 + \ВХ + (3{х^)\Кх^) + 3(х,0, (5)

с//

/(х,/) = [Л + а(х,0]*(0 + 3^. СМ)>

В(х,()Кх(0 = [Б, + /?(х,0]^х(0 + 3Й (х,/-),

где А +а(х^) = д/(х,1)/дх^)пр11 х=0, (х,/) - остаточный член разложения

К

функции /(х,0 , #1 + /?(х, ?) = £{ дЬи (х,0/дх(0У при х=0 , (х,/) - остаточный

(=1

член разложения функции В(х^)Кх^), 3(х,а(х,/%/?(х,?)) = 3^ (х,?) + (х,/1)

- нелинейная вектор-функция, при чем 3(х,?) = 3 (а) = 0 при х(0) = 0 .

3 у(сг){3(сг)-<х} < 0, х(7) * 0 . (6)

Пусть начальное состояние объекта принадлежит области замыкания множества начальных состояний х'0 € дХ0, при которых условия выполнения поставленной задачи являются «наихудшими». Тогда, при условии успешного выполнения задачи управления, матрицы а(х,1), /?(х,0 и вектор 3 (сг) будут иметь интервальный характер неопределенности.

Пусть О -множество возможных траекторий а(х^) и /?(х,/), т.е.

а(х,1), /?(х,0 еОи сс*, /3* - «наихудшие» значения матриц, лежащих на границе замыкания множества возможных значений параметрических возмущений, т.е. а* ,Р* е дО., при которых удается выполнить поставленную задачу управления объектом (5).

Синтез регулятора, т.е. поиск матрицы К будем осуществлять с использованием линейной модели объекта, которая имеет вид

-г ■хм (?) = [А + а ]хм (Г) + [б, + /?* ] и (0, at

хи (?о~) = х0.

(7)

Если назначить матрицу Р в первом слагаемом функционала (2) в виде Р = Б, где положительно определенная матрица 5 есть решение уравнения Риккати-Лурье

ф + а*]+[л + ег*]Г5-ф, +У0*]Л“1[51 +p'\s + Q = 0,

(8)

то оптимальное управление для модели (7) с функционалом (2), в котором вместо х(^) подставим хм (?), будет имеет вид [2]

В,(0 = -Л'1[в,+^’]&«(')•

Отметим, что в этом случае матрица S(t) = const, t є [О, г].

(9)

Используем структуру управления (9) для построения управлением объектом

(5):

М(7) =-ІГ1 [Я, +p'\Sx(t).

(10)

Найдем условия существования стабилизирующего управления вида (10) для объекта (5).

Решение уравнения (5) с управлением (10) имеет вид

х(Т) = |expjj4 + а* -[#, + P*\r~x\b^ + Р*\}| х*(0) + |Цр-А-сс* +[bx+P*]ra[b, + р']Т s\t\z(<t)cIz 1

+

или

і

х(Т) = [ехрОЯТ)] {х*(0) + Дехр(-#г) ]3(сг)й?т},

(П)

где Л^А + а -{В, + р']іГ'[вх + Р']Т S = const.

Рассмотрим норму скалярного произведения |^,х(0)|. Если управление (10) стабилизирует объект (5), то при Т -» оо должно выполняться условие:

т]тх'(0)+ J{exp(—І7Г г)}3(сг)^т

—> 0 при Т —> со

ИЛИ

/

77У х*(0)| — |{ехр(-ЭТ"г) }( 3(сг)|йт -» 0 при Т -» со.

(12)

Так как первое слагаемое имеет конечное значение, то и второе слагаемое при управлении, стабилизирующим объект, должно иметь конечное значение при Т —> со. Последнее выполняется в том случае, если подынтегральное выражение будет убывать. Потребуем, чтобы положительно определенное подынтегральное выражение убывало монотонно. Это условие будет выполняться, если производная по времени от положительно определенной формы

т]г{ехрН7Г/] 13(сг)| >0, сг * 0, Г -> со будет отрицательной, если {ехр [-1С ?] 3(сг) >0, сг^О, / -> оо, т.е.

(13)

д_

д1

[77г {ехр[—/] }3(ст) ] < 0, ст^О

положительной, если Г}' {ехр[-^7Г 3(сг) < 0, сг * 0, t —>СО, т.е.

[77г {ехр [—^7Г /] }3(сг) ] > 0, а* 0.

В обоих случаях условие монотонного убывания подынтегрального выражения (13) имеет вид

7Г#{ехр [-^Г] }3(сг) > г]1 {ехр [-#"/] (14)

Из условия (14) можно получить условие на изменение во времени нелинейной функции 3(ег):

с/ 3(сг) / . . 711С {ехр \_~TC /] }

6?/ Ч 77 {ехр [-7Г/]|

3(ег)|, сг*0.

(15)

Так как при выполнении условия (15) обеспечивается монотонное убывание нормы подынтегрального выражения (12), то система «объект(5)-управление(10)» в этом случае асимптотически устойчива.

Отметим, что матрица УТ = А + а’ - [#, + /Г ]•/?"' [в, + /?* ]?5, содержащая постоянные параметры, зависит от ряда параметров, существенным из которых для выполнения условий задачи стабилизации системы «объект(5)-регулятор(10)» является положительно определенная матрица 5, которая будет решением уравнения (8). Можно сказать, что 5 = . Назначая соответствующим образом матрицы

<2 и К, можно получить решение уравнения (8) таким, что будут выполняться условия (14), (15).

Отметим, что полученное условие является необходимым для существования с1-робастного управления, но не достаточным.

При конкретных выражениях аналитических нелинейностей можно определить область возможных значений состояния системы Х(1) и возможных начальных

условий Х0, при которых управление в задаче с параметрической интервальной

неопределенностью будет выполнять достаточное условие существования <1-робастного управления.

Очевидно, что граница множества начальных условий |х*(0)] = дХ0, при которых существует стабилизирующее управление нелинейной системой (5) с управлением (10), будут определяться следующим соотношением

х*(0)|| = 1]^ХР-А-а +[в] +/ґ]іГ‘[£, + /?*]’' $]г}з(х,0

СІТ. (16)

Условие (15) определяет «сектор», которому должны принадлежать характеристики нелинейной части стабилизируемой системы с заданным управлением (10), с известным множеством параметров нестационарных матриц а(хЛ), /?(х,Г) є О и

множеством начальных условий {х(0)} = Х0 , определяемых условием (16).

Рассмотрим вопрос о существовании управления вида (10) при движении нелинейной нестационарной системы в заданном интервале времени из любого начального состояния, принадлежащего заданному множеству, в заданную область.

Определение

Будем называть систему «объект-регулятор» ё-робастно управляемой с заданным показателем робастности, если:

1) найдется такое управление и(і0,Т) є V для объекта

х(/) = /(х,и,а,О, хе И\ / е{70,7],

которое при любых возможных траекториях параметров, принадлежащих заданному множеству траекторий (а (/0, Т) е А), переводит объект из начального состояния, принадлежащего заданному множеству начальных состояний (х(?0) е!0), в состояние х\Т), при котором цель управления достигается с заданной точностью (\§(х\Т))\<<1У,

2) функционал, оценивающий качество управления, принимает значение, не превышающее заданного (J(x, и) < У тах (х, и)).

Такое управление будем называть с1-робастным.

Запишем условие с1-робастности для объекта (1) с управлением (10):

rjTx(T)

7Г[exp{UTГ)кх*(0)- Дехр {-ОXr)\^{x,t)dr

<d

или

7г[ехр(і7ГГ)]|И х*(0)

|[ехр(-7Ґ т) ] '3{x,t)dr

<d.

(17)

Учитывая, что rjт [ ехр 7ҐТ ] > 0, условие (17) можно переписать в виде

х*(0) < TJ7 [ ехр(^7ГГ)] II d-

j

Дехр^^г )\^(x,t)dT

(18)

Если условие (18) не выполняется, то это означает, что для объекта

— х(?) = [А + а(х, 0]х(0 + [-6] + Р(х, 0]&с(0 + 3 (х, 0 с начальным условием dt

х(0) е Х0 и заданным периодом управления [0,Т] в общем случае не существует

управления вида и(() = —В.”1 |д + Р*\5х(0 с постоянной положительно определенной матрицей 5, определяемой решением Риккати-Лурье

5'[^ + аг*]+[^4 + а*]Г5,-5'[51+ 0 = 0, которое может обеспечить заданный показатель робастности d. Так как х*(0) е дХ0, то условие (18) определяет область начальных состояний системы Х0, при которых выполняется

поставленная задача управления.

Полученный результат сформулируем в виде теоремы утверждения.

Теорема

В задаче управления нелинейным нестационарным объектом вида

d

dt

x(t) = [А + a(x,t)\c{t) + [5, + p{x,t)]u(t) + 3 (x,t),

где и(?) = -11~х [б, + р* ]&х(0 и матрица 51 является решением уравнения Рикка-ти-Лурье

ф + + + /0*]дф1 +/Г]Г5 + 0 = О,

с заданным интервалом управления, заданным интервалом параметрической неопределенности а(х,/), /?(х,/) е О и заданной областью возможных начальных состояний Х0, и условия

d^5(xj) rjTUt {exp [-Я7] j

d t <ч ?7Г{ехр[-;7П]}|

х*(0) < т)т[ ехр(ТГГ)] II d

I

J[ exp (—i7T т )] Z(x,t)dT

являются соответственно необходимыми и достаточными для существования d-робастного управления.

Утверждение

Необходимые и достаточные условия существования d-робастного управления можно обеспечить соответствующим назначением матриц Q и R уравнения Рик-кати-Лурье, определяющего своим решением матрицу усилений регулятора (10).

ЛИТЕРАТУРА

1. Поляк Б. Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление,- М.: Наука, 2002. -303 с.

2. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. - М.: Высшая школа, 2003. - 615 с.

3. Афанасьев В.Н. Алгоритмическое конструирование систем управления с неполной информацией - М.; Изд-во МИЭМ, 2004. - 170 с.

CONDITIONS OF EXISTENCE OF D-ROBUST CONTROL

V.N. Afanasiev

Technical Cybernetics’ Department Peoples’ Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya St., Moscow, Russia, 117198

The theoiy terminal robust systems with the incomplete information on a state condition, interval uncertainty of parameters and criterion of quality is developed. Necessary and sufficient conditions of existence d-robust control are received.

научная бЙЙЙЗЙзд