Условия применимости модели динамического насыщения в задачах анализа спектра отклика нелинейных устройств Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАДЮЕЛЕКТРОШКА ТА ТЕЛЕКОМУШКАЦН

РАДИОЕЛЕКТРОНИКА И ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ

ИАБЮ ЕЬЕСТИОШСБ А^ ТЕЬЕСОММиШСАТЮКБ

УДК 621.373.54

С. П. Гулин

УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОГО НАСЫЩЕНИЯ В ЗАДАЧАХ АНАЛИЗА СПЕКТРА ОТКЛИКА

НЕЛИНЕЙНЫХ УСТРОЙСТВ

Получены условия применимости адаптивной модели динамического насыщения (МДН), обеспечивающие возможность достоверного моделирования установившегося отклика нелинейного безынерционного устройства на многочастотное воздействие, норма которого изменяется в широком динамическом диапазоне.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

При анализе или моделировании электронных (и других) систем в целом часто возникает необходимость исследовать работу отдельных функциональных узлов, работающих в нелинейных режимах. В последние годы при решении подобных задач наметилось новое направление, связанное с концепцией «динамического насыщения» [1-5]. В одной из работ указанного направления А. Д. Канном [3] была предложена передаточная МДН безынерционного усилителя, которая описывается функцией вида

с -1 /Б

у (х) = ь ■ (х )•[ 1 + (I / И Г ] , (1)

© Гулин С. П., 2005

где х и у - входное и выходное напряжения, а I и Ь -их уровни насыщения; Б - параметр, регулирующий кривизну годографа функции (1).

Как показано в [4], данная модель имеет существенные недостатки, которые не позволяют адекватно моделировать спектры отклика и нелинейные эффекты в устройствах при многочастотном воздействии. Однако ни в одной из известных автору публикаций, включая [1-5], не были исследованы причины проявления отмеченных недостатков и не были предложены пути их преодоления.

Предлагаемая работа посвящена решению сформулированных задач.

РЕШЕНИЕ

Необходимо отметить, что модель А. Д. Канна (1) не является пионерской в использовании и развитии принципа «динамического насыщения». Достаточно сослаться на работу Л. К. Регенбогена [2], которой была представлена простая модель безынерционного нелинейного устройства (БНУ) с использованием принципа управляемого насыщения.

С целью обобщения МДН [1-3, 5] автором в [6] была предложена функция

При подстановке (3) в (2) получим квазипериодическую функцию вида:

Y(X) = Y0 + A •[ 1 + (B/X)p]

-1 / S

(2)

которая обеспечивает эффективную реализацию принципа динамического насыщения, большую гибкость в изменении формы ее годографа и, самое главное, позволяет устранить недостатки, характерные для моделей Л. Н. Регенбогена и А. Д. Канна.

Не вызывает затруднений получение на основе функции (2) ее модификаций, обеспечивающих симметричное поведение во всех четырех квадрантах с сохранением принципа динамического насыщения, например:

У1(Х) = У0 + А • (Х)-[1 + (В/|X)Р]-1 (2а) либо

У2( х) = Уо • XI + А • (х) • [ 1 + (в/| X )р ]'

-1 / S

(26)

Смысл параметров А, В в (2) и X, У тот же, что и параметров Ь, I и х, у в (1); р, Я - параметры, регулирующие кривизну годографа функции (2) в пределах квадранта; Уо = У(0). При этом параметры А и Уо определяются из вольт-амперной характеристики (ВАХ) или амплитудной характеристики моделируемого БНУ. Не уменьшая общности рассуждений, полагаем У0 = 0 и вплоть до выяснения условий применимости МДН в форме (2) каждую из областей допустимых значений (ОДЗ) параметров {р} и {Я} ограничим интервалами (-<» ;<») и (0;ю), соответственно.

При изложении дальнейшего материала используем МДН в форме (2), полагая, что аргумент функции представляет собой многочастотное воздействие следующего вида:

X (t) = Xo + ~x = Xo + NXml • cos К • t + Фг) =

i = 1

- XN •

N Xml

1+z xT •cos (®i •t+ф1)

l - 0

N

(3)

где Xo - постоянная составляющая входного сигнала;

N

x- Z Xml • cos(rol • t + ф1); Xml,rol,9l - амплитуда,

i- 1

круговая частота и начальная фаза г-й гармонической компоненты (3), соответственно. При этом частоты компонент в общем случае предполагаются попарно несоизмеримыми величинами; Юо = 0, фо = 0; Xmо =

- X0 - XN; XN -

i- 0

норма сигнала.

Y[X(t)] - Y0 + A • a

1 /S ~p/S 0 •v •

N

(1

1 / S

a

x N) ,(4)

0 xN

где a0 - (Xn/B )p; Xn -

NX

1 + z xt •cos (rol •t+)

l-0

N

Чтобы преодолеть недостатки МДН Л. К. Регенбо-гена и А. В. Канна, необходимо определить условия, при которых функции, их представляющие, являются голоморфными [7]. Однако, как показали исследования, соблюдение этих условий оказывается не достаточным.

Ответ на вопрос, каким условиям должна удовлетворять МДН на основе (2), чтобы обеспечить достоверность моделирования режимов БНУ, дает следующая теорема.

Теорема. Необходимыми и достаточными условиями применимости МДН для анализа спектра отклика установившегося режима БНУ на многочастотное воздействие, норма которого меняется в широком динамическом диапазоне, являются: одновременное соблюдение условий голоморфности представляющей ее функции и неравенства нулю производных Тейлора от первого до к-го порядка включительно при сохранении заданной точности аппроксимации, где к - высший порядок учитываемого комбинационного колебания отклика.

В данной работе доказательство теоремы приведено для МДН на основе функции (2).

Необходимые условия определяются условиями существования производных Тейлора от первого до к-го порядка включительно. Для доказательства этих условий необходимо получить конечное выражение производной Тейлора к-го порядка функции (2) и исследовать его на отсутствие точек сингулярности. Для этого представим (4) следующим образом:

Y[Xвх(t)] - A •{ 1 + [B/Хвх(t)]p} - D0 • V(Xn)• F[ W(Xn)],

-1 / S

(5)

где

D0 - A • a0

p / S.

V(xn) - xx'

- ~r/S

F[W(xn)] -

- [ W(xn)]-17S - (1 + a0 • xPN)

-1 / S

Согласно правилу Лейбница о дифференцировании произведения двух функций (соотношение 0.42, с. 33 [8]), производная к-го порядка функции (5) имеет вид:

2

йку[хВх(т к (к\ йу(хы) йк-;>[w(хN)]

= о,

йх

'■IU■

N

к - 1

= о,

] = 0 йх N йх N

1гр/Б) йк-1 [(\ + „ ■ хР -1 /Б

мула, определяющая число неограниченных разбиений р(т) числа т (т ^ ж).

I (к) й(хРы ) й 1 [ ( 1 + ао ■ ^) ] (6) р(т) = (4 ■ 73 ■ т) 1 ■ ехр(п ■ „¡Ш73)■[ 1 + О(т1 /4 +^1],

= А V.// йх \г йх \г

V1 у ¿х1

1 = 0^ йxN

к -1 N

Первый функциональный множитель, входящий в 1-й член суммы (6), рассчитывается последовательным 1-кратным дифференцированием.

й1 (хNБ)/(¿1) = (р/Б) ■ (р/Б - 1) ■ ... ■ (р/Б -1 + 1) X х (X/XN)р/5 -1 = (р/Б)ч ■ (X/Хы)р/3-1 (7)

Второй функциональный множитель в (6) - сложная функция, (к -1 )-я производная которой может быть рассчитана с помощью соотношения Ди Бруни (0.43.2, с. 33 [8]).

-¡к -1

= У ( к -1 ) !

йх

-р[ ^хN)] = I ■

N

т = 1

W'] ( W"] (W'

йWm

1! I V 2

3!

W(

(8)

«внешняя» производная т-го порядка, которого определяется формулой, аналогичной (7).

йтГ( W)/йWm = (й)-т ■ у

й - т

(9)

где й = -1 /Б; (й)-т = й (й - 1>(й - 2)-...-(й - т + 1) =

= (-1)т (-й)т; у = 1 + а0- (Х0/XN)р.

Знак суммирования в (8) распространяется на все решения в целых положительных числах диофантова уравнения

г + 2 ■ г + 3-к + ... + ¡■к = т (10)

при выполнении следующего условия.

т = г + г + к + ... + к. (11)

Формула (8), хотя и определяет выражение искомой производной, тем не менее, не дает конкретного алгоритма ее реализации. Для преодоления указанного недостатка обратимся к методам комбинаторного анализа.

Согласно [9], решение диофантова уравнения (10) может быть сведено к определению числа всевозможных разбиений р(т) целого положительного числа т, равного значению индекса суммирования в (8), на целые неотрицательные числа-части т,, г = 1, т, удовлетворяющих (10) и (11). Впоследствии Харди и Ра-мануджаном [10] была получена приближенная фор-

где 8 удовлетворяет неравенству 0 < 8 < 1 /4.

Поскольку потребности практики при анализе спектра установившегося отклика современных нелинейных систем и устройств на многочастотное воздействие пока удовлетворяются значением т < 10.20 [11], то в большинстве случаев использовать формулу (12) нет необходимости. Для такого диапазона значений т целесообразно воспользоваться рекуррентным соотношением одного из следствий пентагональной теоремы Л. Эйлера [10].

р(т) -р(т - 1) + р(т - 2) -р(т - 5) -р(т - 7)+ ... + + (-1)т ■р [ т - т ■ (3^ т - 1)/2 ] + + (-1 )т ■ р [ т - т ■ (3^ т + 1 )/2] + ... = 0, (13)

где р (М) = 0 для всех отрицательных М, а р (0) = 1.

С учетом (13) (либо при необходимости (12)) можем записать (8) в более приемлемой форме, которая допускает алгоритмизацию и практическое применение.

'к 1 =к-(Ь ^.йтткж)х

F[ W(хN)] = I (к -])!■■

xN т = 1

р(т) т т тт.

х III к 1П ^

йWm

( w(г) ^

г=1 =0 д2=0 дт =0 г=1

г!

(14)

I Чг=т; I г■ Яг=т; д{>0, г=1,т г=1 г=1

где

Wг)(хN) = й(1 + а0 ■ хN)/йXN = а0 ■ (р)-г ■ (Х0/XN)р - г;

(р)-г = р^ (р - 1 К-.^р - г + 1) .

В качестве алгоритма генерации множества разбиений может быть использован алгоритм и программа, предложенные в [12].

С учетом формул (7) и (13), выражений, определяющих «внешнюю» и «внутренние» производные в (14), а также соотношений (10) и (11), искомая формула принимает вид

йкУ [ Хвх( *)]

йх

к -1

= Dk■IБI .■ I(-1 )т^

N ] = 0 4 У -1т = 1

р(т) т т т т г, *

-----[(р)-г]Чг

0т х

X

III--ш

г=1 д, = 0 д2 =0 Чт = 0 г=1

Яг!■ (г! )д''

(15)

I Яг = т; I г■ Яг =т; Чг >0, г=1,т

X

где Бк = Б0 • к!; = £ (/! )-1 • (Х0/Хы? ; Бт =

У = о

= (• У • а0 • (Х0/ХМ) •

Анализ выражения (15) показывает, что точки сингулярности, в которых производные Тейлора либо не определены, либо имеют бесконечные значения, отсутствуют, поскольку (15) содержит в себе только операторы суммирования, умножения, возведения в степень и деления на факториальные множители. Таким образом, необходимые условия теоремы - доказаны. Следовательно, остается доказать достаточные условия сформулированной теоремы: определить условия существования ненулевых производных Тейлора функции (2) от первого до к-го порядка включительно. Для этого необходимо выявить и исключить точки сингулярности соотношений, определяющих производные соответствующего порядка, после приравнивания их нулю• При этом алгоритм доказательства достаточных условий образует ветвления, обусловленные следующими особенностями:

- зависимостью значений множителей Пу, От в (15) от знака Х0, что требует раздельного рассмотрения каждого из вариантов (Хо > 0 и Хо < 0). Однако, учитывая свойство нечетности функции (2), ограничимся рассмотрением варианта Х0 > 0;

- зависимостью значений множителей Пу, От от условий существования ненулевых произведений (р/5) • и (р)_1 с учетом знаковых вариаций множителей, их образующих;

- зависимостью значений произведений (р/5) •, (ркак от значений параметров р и 5, так и от их взаимодействия с индексами у, г и т в (15);

- присутствием множителей, степени которых зависят от параметров функции р и 5.

Сохранение ненулевых значений производных Тейлора (15) возможно в том случае, когда для произведений (р/5) • и (р)_г одновременно выполняются две системы неравенств:

{(р)-г * 0}, г = 1, т;

{(р/5)- * 0}, у = 0, к.

(16)

(17)

Из предварительного анализа (15) с учетом (16) и (17) следует, что искомая совокупность возможных решений может быть получена:

- во-первых, когда показатель степени р не является целым положительным числом;

- во-вторых, когда показатели степени р, 5 являются несоизмеримыми действительными, в том числе и иррациональными числами;

- в-третьих, когда показатель степени р является целым положительным числом, превышающим макси-

мальный порядок рассчитываемой производной Тейлора.

В процессе моделирования нелинейного устройства на основе МДН в форме (2) значение параметра р, согласно (16), может изменяться в ОДЗ, представленной интервалами: -ю <р < 0; 0 <р < 1; 1 <р < к; к <р < < + ю. При этом если значение р принадлежит первому, второму либо четвертому интервалу ОДЗ, то выполнение условий (16) обеспечивается. Если параметр р принадлежит интервалу 1 < р < к, то он должен удовлетворять неравенство р * 1, к. При этом на параметр 5 не накладывается никаких ограничений.

Выполнение условий (17) в произведениях вида (р/5) • с учетом вариации параметров р и 5 требует их осмысленного относительного изменения. Последнее предполагает деление ОДЗ параметра р на три смежных интервала: 0 < р < 1; 5 < р < к • 5; к • 5 < р < +ю. При этом для 3-го интервала значений р выполнение (17) обеспечивается, в то время как для 1-го интервала необходимо дополнительно учесть условия (16).

Для интервала 5 < р < к • 5 условия (17) выполняются в двух случаях: когда р и 5 - несоизмеримые действительные числа, либо когда один из параметров (р или 5) - целое число, а другое - действительное, в том числе иррациональное число.

Далее, согласно общему алгоритму доказательства теоремы, рассмотрим его ветвления, учитывающие знаковые вариации множителей в произведениях (р/5) •, (р) г и множителя (-1 )т с учетом значений параметров р, 5, а также их взаимодействие с индексами •, г и т. Для этих случаев достаточные условия теоремы для МДН определяются условием:

IМ 51 (-1)т•П-х

• = 0 у у — т = 1 р(т) т т т т

" II2 к п

г=1 91=0 92 =0 Ят =0 г

[(р)-г]?' 1 Я! (г!)9'

= 0.

(18)

I я,=т; Iг• Я,=т; Я, а0, г=1,т

г=1 г=1

и анализа всей совокупности решений (18) с индексом • = 0к.

Прежде чем приступать к решению системы уравнений вида (18) с индексом / = 0, к, необходимо отметить, что в (18) входят три параметра: р, 5 и В. Алгоритм и метод определения параметров р, 5 и В на основе данных эксперимента предложен в [13]. Поэтому доказательство достаточных условий теоремы может производиться двумя путями.

Первый путь связан с решением системы уравнений вида (18) с индексом / = 0, к.

Если корни решаемой системы, при этом, - мнимые или комплексные, то на найденные (согласно алгорит-

му [13]) значения параметров р, 5 не накладывается никаких дополнительных ограничений, кроме условий (16) и (17). Если корни уравнения (17) - действительные числа, то это означает, что на найденные (согласно методу и алгоритму [13]) значения параметров р, 5 накладываются дополнительные ограничения, кроме условий (16) и (17).

Второй путь доказательства достаточных условий теоремы заключается в следующем. Если после определения параметров р, 5 и В (согласно [13]) осуществить прямую их подстановку в (18), то неравенство нулю (18) будет служить доказательством достаточных условий теоремы и пригодности МДН для симуляции режимов исследуемого устройства.

В данной работе выбран первый путь доказательства достаточных условий теоремы.

Ранее было показано, что параметр 5 при анализе уравнений вида (18) можно считать величиной положительно определенной.

В отношении параметра В, с учетом результатов работы [13], можно сказать, что при известной структуре входного сигнала его величина всегда может быть определена априори.

Сказанное позволяет для доказательства достаточных условий решать систему уравнений вида (18) не с тремя, а с двумя варьируемыми параметрами. Причем порядок уравнения определяется порядком используемой МДН.

Доказательство достаточных условий

применимости МДН первого порядка

Ч ч 1 /5

значения), то первый множитель а0 не равен нулю ни при каких значениях параметра р. Множитель р / Я равен нулю только для р = 0, поскольку ОДЗ параметра 5 определяет интервал (0;ю).

Множитель Хр1 = (Х0 / Хм )р1 равен нулю при нулевом смещении, т. е. Х0 = 0.

Производя необходимые преобразования, убеждаемся, что последний множитель не влияет на условие равенства нулю произведения (19).

Чтобы в (19) устранить особую точку, обусловлен-р -1 /5

ную множителем (1 + в0 • Х ) , необходимо выполнить неравенство Х0 * -В для параметра р = 0. Это неравенство означает, что выполнение достаточных условий теоремы для МДН первого порядка требует исключения из ОДЗ параметра р значения р = 0.

Вывод: достаточные условия применимости МДН первого порядка на основе функции (2) выполняются для значений параметра р > 0.

Доказательство достаточных условий

применимости МДН второго порядка

Достаточные условия для МДН второго порядка определятся из (18) после упрощения и приравнивания нулю соотношения, определяющего соответствующую производную:

?0/5 • (р/5) • (1 + а0 • Хр) 1 • Хр2 х

х[р/5- 1 - а0 • Хр • (р + 1)] = 0. (21)

Достаточные условия сформулированной теоремы для МДН первого порядка определятся из уравнения (18) с индексом к = 1:

1 / 5

•(р/5)• Хр/5 ^ (1 + а0 • Хр)

-1 / 5

1

х [ 1 -а0 • Хр • (1 + а0 • Хр) ] = 0. (19)

Левая часть (21) равна нулю, когда равен нулю хотя бы один из ее множителей:

1 / 5

= 0, р/5 = 0, (1 + а0 • Хр)

-1 / 5

= 0;

Хр2 = 0; р/5- 1 -а0 • Хр • (р + 1) = 0. (22)

Левая часть (19) равна нулю, когда равен нулю хотя бы один из его множителей:

1 / 5

= 0, р /5 = 0, Хр/Б 1 = 0;

(1 + а,

„ -1 / 5

0' Хр) = 0;

1

1 -а0 • Х • (1 + а0 • Х') = 0.

(20)

Рассмотрим каждое из равенств (20) более детально. Поскольку а0 = (Хы/В )р, В * 0 и Хм * 0 (в присутствии входного сигнала его норма и предельный уровень выходного сигнала имеют конечные ненулевые

Анализ первых четырех равенств рассматривался при доказательстве достаточных условий применимости МДН первого порядка. Осуществив замену а0 • Хр = = г в последнем равенстве (22) с учетом режима вычисления значения производной (Х ^ Х0), получаем решение параметрического линейного уравнения:

г = (р-5)/[5 (1 + р)].

(23)

Анализ решения (23) позволяет определить достаточные условия сформулированной теоремы для МДН второго порядка на основе функции (2) тремя неравенствами:

р *-1; 5 * 0; р * 5.

(24)

а

0

а

0

а

0

Условия (24) устраняют точки сингулярности, возникающие из-за несоответствия ОДЗ степенной функции решению (23). При этом последнее неравенство вносит дополнительное ограничение на МДН.

Вывод: достаточными условиями теоремы о применимости МДН второго порядка на основе функции (2) являются неравенства р ф Б и р > 0.

Доказательство достаточных условий

применимости МДН третьего порядка

Перед тем, как приравнять нулю производную третьего порядка, учтем тот факт, что анализ условий равенства нулю общего множителя (18) рассмотрен на предыдущих этапах доказательства. После сокращения (18) на указанный общий множитель, необходимых преобразований и подстановки а0 ■ Хр = г с учетом режима вычисления производной, приходим к трансцендентному уравнению.

г2 ■ (р2 + 3р + 2) - г ■

2

р

2( 3_+_Б Б

-р|3-3БI -4

Б

+ -р-2 - 3 -р + 2 = 0. Б2 Б

(25)

Прежде, чем приступить к решению уравнения (25), определим, к какому классу уравнений оно принадлежит. к классу действительных или классу комплексных уравнений.

Отсутствие в (2) частотно зависимых параметров означает, что для адекватного моделирования процессов, происходящих в БНУ с помощью МДН третьего порядка, необходимо, чтобы соотношение, определяющее достаточные условия применимости, принадлежало к классу действительных уравнений.

Анализ ОДЗ всех трех параметрических функций, представляющих коэффициенты уравнения (25), позволяет сделать обоснованный вывод. рассматриваемое уравнение принадлежит к классу действительных уравнений, что позволяет упростить дальнейший поиск достаточных условий применимости МДН третьего порядка.

Определим условия, при которых область возможных значений дискриминанта (25) - Q = р2 х х [р2 ■ (5 ■ Б~2 + 6 ■ Б_1+ 1) + р ■ (6 ■ Б~2 - 6) - 7] - принадлежит множеству действительных чисел.

2 2 -2 -1 -2 р ■ [р ■ (5 ■ Б + 6^ Б 1 + 1) + р^ (6^ Б - 6) - 7] > 0.

(26)

Корни левой части (26) определяются равенствами. р\, 2 =

р3,4 = (З^ Б 2 + 3 ± 2 ■ */9 ■ Б 4 + 17 ■ Б 2 + 42 ■ Б 1 + 16)

х (5 ■ Б 2 + 6^ Б 1 + 1) 1.

Исследуем поведение параметрической функции, определяющей дискриминант корней р3 4. Вводя переменную т = 1 / Б, получаем приведенное уравнение четвертой степени.

т4+ рт2 + дт + Г = т4+17/9 ■ т2 + 42/9^ т +16/9 = 0.

(27)

Ему, согласно [7], соответствует приведенное полное кубическое уравнение.

_ _2

р 2 , Я 3,17 2 т + ))■ т + т - — = т + ■ т + 2 64 18

±

■

2

9 ■ 16

= 0,

(28)

которое, используя подстановку т = у - 17/54, приводим к виду

у + р ■ у + Q = 0,

(29)

_ (р/2)2 (р/2)2 - 4 ■ Г - (р/2)

гдер = -р3т-+ 166 ; Q = 2Х—)-р/2х

_2 . . _2 _2 х рр__-)_4-:-г-^; г = -_7_

48 64' 9 ■16'

Подставляя значения соответствующих исходных коэффициентов, рассчитываем значения коэффициентов уравнения (29). Р = 0, 37; Q = 7, 462.

Поскольку коэффициенты уравнения (29) - действительные числа, то оно принадлежит к классу действительных уравнений, и, в соответствии с [7], имеет или один действительный корень и два сопряженных комплексных корня, или три действительных корня, по крайней мере, два из которых равны, или три различных действительных корня в зависимости от того, будет ли дискриминант (29) Q = (Р/3) + (Q/2) положительным, равным нулю или отрицательным числом.

Поскольку Q = 13, 922 > 0, то нам достаточно проанализировать лишь решение, представленное одним действительным и двумя комплексно-сопряженными корнями.

Действительный корень уравнения (29) определяется

соотношением у1 = А + В = М-Р/2 + ^ + М-Р/2 - , а соответствующий действительный корень уравнения (29) - выражением

Б!1 = у1 - 17/54 = А + В - 17/54 = М-Р/2 + ^ + + М-Р/2 - 17/54.

т-

Комплексно-сопряженные корни приведенного полного кубического уравнения (28) определяются выражением

__1

51 = у2,3 - 17/54 = (В - Л)/2 • [-17/54 ± (г • л/3)].

Согласно [7], четыре корня уравнения (29), характеризующего дискриминант, определяются из соотношения: ±,]5~1 ± ,/52 ± л/53, в котором сочетания знаков выбираются таким образом, чтобы удовлетворить условие

(±#1) • (±Д) • (±Д) = -12/7. (30)

С учетом (30) корни уравнения (29) определяются следующими сочетаниями:

51 = -Д+ Д+ л/53; 52 = Д-,/52+ Д; 53 = -Д + Т52- <Д; 54 = -Д[- Д2- аДэ.

Существование единственного действительного корня дискриминанта Q для параметра 5 упрощает процедуру нахождения действительных значений параметра р трансцендентного уравнения (25). При выполнении равенства Q = 0 достаточные условия применимости МДН 3-го порядка определяются «упрощенным» уравнением:

(Х0/В)р = ^ + 5^ + р2-3р- 4^ • (р3 + 3р + 2)-1. (31)

При этом значения параметра р, равные корням знаменателя (31) и образующие точки сингулярности функции (2), исключаются из ОДЗ неравенством р > 0.

Корни числителя правой части (31) определяются соотношениями: р1 = 451 /(3 + 51); р2 = -51 /(3 + 51). С учетом этого дробно-рациональная функция правой части (31) имеет два полюса и два нуля. Исключая точки сингулярности, ОДЗ этой функции разбивается на 5 интервалов: (-ю;-2), (-2;-1), (-51 /(3 + 51); 451 /(3 + 51)), (-1 ;-51 /(3 + 51)), (451 /(3 + 51);ю). Анализ интервалов знакопостоянства рассматриваемой дробно-рациональной функции аргумента р позволяет сделать следующие выводы:

1) первые три интервала не дают действительных решений уравнения (25) (р > 0);

2) в 4-м интервале функция - отрицательна и не согласуется с ОДЗ левой части (31);

3) в 5-м интервале функция - положительна, но эта область значений может быть получена только для комплексных значений параметра, 5, что не соответствует его ОДЗ.

Единственной точкой сингулярности, дающей действительное значение параметра р при значениях па-

раметра 5 из ОДЗ последнего, является точка р = = 451 /(3 + 51). Чтобы исключить ее, необходимо выполнить неравенство р * 451 /(3 + 51), представляющее собой достаточные условия применимости МДН третьего порядка.

Вывод: достаточные условия теоремы о применимости МДН третьего порядка на основе функции (2) определяются неравенствами: р * 5, р > 0 и р * * 451 /(3 + 51). При этом следует отметить, что ограничения на применимость МДН порядка к поглощают ограничения моделей порядка / = 1, (к - 1).

Вывод достаточных условий применимости для МДН к-го порядка требует решения и анализа трансцендентного уравнения (18) того же порядка, для чего необходимо использовать хорошо апробированные численные методы решения подобных уравнений [7].

ВЫВОДЫ

Доказана теорема, формулирующая условия корректного применения МДН для моделирования установившегося режима отклика БНУ на моно- и многочастотное воздействие, норма которого изменяется в широком динамическом диапазоне.

Полученные результаты позволяют:

а) корректно применять адаптивные модели на основе концепции динамического насыщения для моделирования режимов отдельных компонентов и электронных устройств, функционирующих в режиме безынерционной нелинейности;

б) унифицировать форму математических моделей функциональных устройств, работающих в широком динамическом диапазоне многочастотного сигнала;

в) осуществлять количественное и качественное сравнение характеристик устройств, принадлежащих к одноименному классу и предназначенных для реализации заданной функции преобразования входного сигнала, с целью получения оптимального схемотехнического либо структурного решения на основе выбранных критериев;

г) разработать библиотеку адаптивных моделей двух- и многополюсных нелинейных элементов и на этой основе повысить точность моделирования электронных компонентов и функциональных устройств;

д) использовать разработанные модели в современных универсальных программах машинного анализа электронных схем и системах символьной математики.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Верлань А. Ф., Горошко И, О., Гушель Т. П. Аппроксимация экспериментальных зависимостей полиномами с дробным показателем степени // Электронное моделирование. - 2002. - Т. 24, № 3. - С. 101-106.

2. Regenbogen L. K. Nonlinearity Model with Variable Knee Sharpness // IEEE Trans. Aerospace Electronic Systems. -1980. - Vol. AES-16, No. 5. - Pp. 410-414.

3. Cann A. J. Nonlinearity model with variable knee sharpness // IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst. - 1980. -Vol. AES-16, No. 11. - Pp. 874-877.

4. Loyka S. L. On the Use of Cann's Model for Nonlinear Behavioral-Level Simulation // IEEE Trans. on Vehicular Technology. - 2000. - Vol. 49, No. 5, September. -Pp. 1982-1985.

5. Бобков A. M, Яковлев H. H. Аппроксимация характеристик нелинейного безынерционного элемента // Радиотехника. - 1986. - № 5. - C. 25-26.

6. Гулин С. П. Анализ спектра отклика нелинейности, представленной аналитической трансцендентной функцией, на многочастотное воздействие большой нормы // Радюелектрошка. ¡нформатика. Управлшня. -2004. - № 1. - C. 21-28.

7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. - М.: Наука, 1978. - 832 с.: ил.

8. Градштейн И. С., Рыжик И. M. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Наука, 1971. - 1108 с.

9. Сачков В. H. Комбинаторные методы дискретной математики. - М.: Наука, 1977. - 320 с.

10. Эндрюс Г. Теория разбиений. Перевод с англ. - М.: Наука, 1982. - 256 с.

11. Богданович Б. M., Черкас Л. A., Задедюрин Е. В., Вуву-никян Ю. M. Методы нелинейных функционалов в теории электрической связи. - М: Радио и связь, 1990. -280 с.

12. Герасименко В. Ф., Гулин С. П. Алгоритм определения компонент нелинейных токов в программе анализа цепей класса Вольтерра-Винера // Машинное моделирование электрических и электронных цепей. - Киев: Наук. Думка, 1981. - C. 35-43.

13. Гулин С. П. Определение параметров адаптивной модели нелинейных компонентов, представленной аналитической трансцендентной функцией, на основе экспериментальных характеристик // Радюелектрошка. ¡нформатика. Управлшня. - 2005. - № 2. - C. 25-32.

Надшшла 18.04.05 Шсля доробки 28.10.05

Отримано умови застосування адаптивноi модел1 динам1чного насичення (МДН), що забезпечують мож-лив1сть достов1рного моделювання усталеного в1дклику нелтшного безтерцшного пристрою на багаточастотний вплив, норма якого змтюеться в широкому динам1чному д1апазот.

The conditions of its applicability the adapted of the model of dynamic saturation (MDS), providing an opportunity reliability of modelling of the steadystate response of the nonlinear unless memory device at multifrequency influence which norm changes in a wide dynamic range are received.

УДК 621.396.6.004

М. М. Касьян, К. М. Касьян, В. ¡. Глушко, В. Ф. Ошщенко

1НФ0РМАЦ1ЙНА ТЕХН0Л0Г1Я Д1АГН0СТУВАННЯ АНАЛОГОВИХ ПРИСТР01В ПЕРЕТВОРЕННЯ СИГНАЛ1В

Пропонуеться тформацшна технологля д1агностуван-ня аналогових пристрогв перетворення сигнал1в, яка при-значена для отримання б1льш високих показнитв ефек-тивност1 вироб1в шляхом проведення д1агностовного контролю Чх стану, виявлення й усунення потенцшно не-надшних елемент1в на стадИ виробництва та експлу-атацп. Для и реал1зацп розроблено метод забезпечення д1агностованост1, математичну модель та методику дi-агностування параметрiв електрорадiоелементiв на ета-пах виробництва та експлуатацп.

Надшшсть будь-якого техшчного пристрою, у тому числ1 й радюелектронного, визначаеться яюстю його розробки, забезпечуеться в процеи виготовлення й тд-тримуеться в перюд експлуатацп. Неможлив1сть ство-рення абсолютно надшних вироб1в робить актуальним дослщження, розробку й застосування принцитв, спо-соб1в, метод1в 1 засоб1в, що тдвищують надшшсть шляхом вчасного виявлення й усунення в1дмов апара-тури. До основних способ1в попередження в1дмов ра-дюелектронних засоб1в (РЕЗ) в1дносять ефективний контроль 1 д1агностування ¿¿хнього техшчного стану. Вчасне виявлення й усунення дефект1в тдвищуе 1мо-в1ршсть безв1дмовно! роботи, а також зменшуе ви-

© Касьян М. М., Касьян К. М., Глушко В. I., Онщенко В. Ф., 2005

трати на експлуатащю контрольованих об'екив. Час, що витрачаеться на д1агностику пристрою можна значно скоротити автоматизащею д1агностування й ви-користанням рацюнальних процедур д1агностики. 1с-нують р1зномаштш вар1анти «стратеги» пошуку дефек-т1в як для автоматизовано'1', так 1 неавтоматизовано! д1агностики.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧI

В1дмови, як1 виникають у схем1 за рахунок сильних зм1н значень параметров, легше виявити, бо вони приз-водять до значних змш в1дгуку схеми. В той же час дрейф параметров елемент1в, який викликаеться, на-приклад, у процес1 експлуатац1' стар1нням 1 впливом температури призводить до малих вар1ац1й в1дгуку пристрою при повальному попршенш властивостей. Кр1м того, не завжди вих1д параметра елемента схеми за меж1 поля допуск1в призводить до неприпустимого в1дхилення контрольовано' вих1дно' характеристики, оск1льки в1дхилення може бути компенсоване проти-лежним в1дхиленням працездатних елемент1в цього