Анализ спектра отклика нелинейности, представленной аналитической трансцендентной функцией, на многочастотное воздействие большой нормы Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

РАДЮЕЛЕКТРОШКА ТА ТЕЛЕКОМУШКАЦН

РАДИОЕЛЕКТРОНИКА И ТЕЛЕКОММУНИКАЦИИ

RADIO ELECTRONICS AND TELECOMMUNICATIONS

УДК 621.372.011.72

С.П. Гулин

АНАЛИЗ СПЕКТРА ОТКЛИКА НЕЛИНЕЙНОСТИ, ПРЕДСТАВЛЕННОЙ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТРАНСЦЕНДЕНТНОЙ ФУНКЦИЕЙ, НА МНОГОЧАСТОТНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ БОЛЬШОЙ НОРМЫ

Предложена аналитическая трансцендентная функция для моделирования двух- и многополюсных безынерционных нелинейных элементов. Получена формула для отклика нелинейности, амплитудная характеристика которой представлена предложенной функцией, на многочастотное воздействие большой нормы. Полученные результаты позволяют моделировать как отдельные компоненты, так и широкий класс электронных устройств в режимах малого и большого сигналов с произвольным спектром.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

При анализе или моделировании электронных (и других) систем в целом часто возникает необходимость исследовать работу отдельных функциональных узлов, работающих в широком динамическом диапазоне при многочастотном входном сигнале.

Объектами исследования могут служить как отдельные компоненты (диоды, транзисторы, электронные лампы, оптоэлектронные преобразователи и пр.), так и устройства в целом: операционные усилители, параметрические и непараметрические усилители, умножители частоты, амплитудные ограничители, управляемые аттенюаторы, детекторы, компрессоры, экспандеры и конвертеры различного рода сигналов.

Для моделирования режимов работы перечисленных устройств, применяются математические модели с использованием различных функций: полигональных [1, 2], степенных [2], экспоненциальных [3], полиномиальных [2, 4-6], тригонометрических [7], гиперболического тангенса [8], ошибки [9, 10], комбинированных

[11, 12], трансцендентных [13], трансцендентных полиномов [14]. Перечень приведенных работ отобран автором из соображения представительства аппроксимирующих функций, которые наиболее часто применяются для решения задач данной проблематики. Перечисленные функции дают возможность моделировать режимы работы рассматриваемого класса устройств и компонентов с различной степенью точности, однако не обладают достаточной степенью гибкости при изменении их формы.

С целью обобщения и унификации моделей функциональных устройств различного назначения возникла задача поиска гипотетической "универсальной" аналитической функции, которая была бы относительно простой и, что самое главное, включала ряд параметров, вариация которых обеспечивала бы необходимую гибкость в изменении ее формы в широком диапазоне значений аргумента.

Следующая задача возникает при моделировании режимов устройств рассматриваемого класса на основе подобной функции и анализе спектра отклика на многочастотное воздействие, норма которого изменяется в широком динамическом диапазоне.

Решение двух сформулированных выше задач и определяет содержание настоящей работы.

РЕШЕНИЕ

Определим систему требований, которым должна удовлетворять гипотетическая универсальная аппроксимирующая функция.

Из анализа работ [1-14] следует, что универсальная функция должна:

- быть линейной для малого сигнала;

- асимптотически стремиться к некоторому регулируемому уровню насыщения;

- иметь замкнутую аналитическую форму;

- быть экономичной при компьютерной реализации;

- позволять варьировать крутизну наклона линейного участка функции и кривизну участка перехода от малосигнального режима к режиму большого сигнала;

- обеспечивать возможность перемещения графика функции по направлению каждой из координатных осей и против указанных направлений;

- обеспечивать требуемую точность аппроксимации во всей области изменения аргумента.

В качестве одной из таких функций предлагается использовать выражение вида

Y = Y0 + А- +(В/х)р]

(1)

где х - аргумент; Уо> А, В, э, р - параметры, смысл которых будет ясен из последующего изложения.

Каждое из множеств возможных значений {р} и {5} в рамках данной работы ограничим множеством натуральных чисел, которые удовлетворяют соответственно неравенствам р > 1 и 5 > 2, поскольку они представляют наибольший практический интерес. Не уменьшая общности рассуждений, в дальнейшем полагаем, что У0 = 0.

Для сравнения возможностей предлагаемой функции (1) и некоторых из выше перечисленных функций на рис.1 приведены их нормированные по ординате графики, аппроксимирующие амплитудную характеристику "мягкого" ограничения. Там же приведены два дополни-

тельных графика функции (1), которые демонстрируют ее возможности в изменении крутизны наклона линейного участка и кривизны участка перехода к уровню насыщения.

Сравнение графиков рис. 1 позволяет сделать вывод о том, что функция (1) удовлетворяет всем перечисленным ранее требованиям и может быть принята в качестве обобщающей для решения поставленных задач.

Методика определения параметров функции на основе результатов измерений характеристик моделируемых устройств является предметом отдельной публикации.

При анализе спектра отклика безынерционной нелинейной цепи, амплитудная характеристика которой аппроксимирована функцией (1), будем полагать, что ее аргумент представляет многочастотное воздействие

N

= + XХ™ " С08(ш< " ' + Ф."> =

¡=1

¡=0 XN

(2)

где Х0 = const; Xml, со,-, ф, - соответственно, амплитуда, круговая частота и начальная фаза i - й гармонической компоненты входного сигнала; Хт0 = XQ - XN, UN -норма, определяемая соотношением

(3)

(=0

Ниже рассматриваются случай, при котором частоты СО; являются несоизмеримыми.

й

JL

— (35 x)+sW3 *»

_± arctg Л 2

th(x) it

Н-ч1

J I^mO 0005,1 _I

.J Vi+oottiV

Рисунок 1 - Характеристики моделей "мягкого" ограничения

При подстановке (2) в (1) получим квазипериодическую функцию, для которой определим область допустимых значений (область сходимости или абсолютной сходимости). С этой целью представим функцию (1) в следующем виде

I £ _1

У(*) = Г0 + А • а,? -(1 + а0-хр) 5, (4)

где а0 ={Х„ /ВУ\ N х

х = [1 +^•со5(ю, - г + ф,)] = 1 + г; ¡=0 ХN

г = 8(01,. - г + ф,-).

¿=о Хлг

У(г) = У„ +А-0 + — -х-р)

и рассмотрим вспомогательный ряд

Г" =[а + г)Т1 =<2]ь<-г')-1

1=0

= (У—£__г'-)-1.

1=0

(8)

4=0

4=0

"0 4=0

при условии Ь0 = 1,(10 = 1, <1к = 0 для всех к = 1, При этом ряд частного (8) сходится в интервале

(-р/(М+1),р/(М+1>), где ре (0,г);М = вир\Ьт |х)

N

хрт; г - радиус сходимости ряда (1 + ^ ск ■ ?к).

4=1

Коэффициенты ск в (8) с учетом предыдущих условий и конечного значения верхнего индекса суммирования, согласно [16], определяются либо из соотношения

(5)

Определение условий сходимости рядов, входящих в правую часть (4), выполним для двух случаев соотношений между нормой сигнала Хдг и коэффициентом В: Хы < В и Хы > В.

Рассмотрим условия сходимости (4) при Хдг < В. Так как множества {р} и {5} принадлежат положительной полуоси действительных чисел, а <1, то при Х^ < В, со-£

гласно [15], ряды х5 ш хр являются абсолютно сходящимися.

Так как 1/5 <1, то для ХЫ<В ряд (1 + я0 ■ хр) 5 также является абсолютно сходящимся. Произведение

£ _1

двух абсолютно сходящихся рядов 3с5 и (1 + а0 ■ хр) 5, согласно [15], также является абсолютно сходящимся рядом при любых вариациях нормы входного многочастотного воздействия. Таким образом, необходимые и достаточные условия сходимости результирующего ряда для функции (1), аргументом которой является выражение (2), для случая Хдг < В доказаны. Аналогично доказывается сходимость (1) и для Хдг > В.

Так как поведение функции (1) при вариации нормы Хм уже изучено, приступим непосредственно к решению основной задачи данной работы - анализу спектра установившегося отклика нелинейности, описываемой функцией (1), на многочастотное воздействие произвольной нормы. Для этого представим (1) в виде

ск = ак

■2>

4 сЛГ-4>

(9)

4=1

где с0 = с10 /Ь0 = с10 / \ = 1, либо по правилу Крамера [15]

Ск=\*>к\/Ы (Ю)

где \Бк | и \Вк\ - детерминанты числителя и знаменателя (8), определяемые формулами

К-1

к

'4-1

о

о

о

К-к К-к-2 Ьп-к+\ К-к-1 о о

ь0 о

Ь\ ьо

Если и - велико, то более целесообразно коэффициенты ск определять из системы Ь0 ■ с0 = й0, Ь1 ■ с0 + + Ь0-с1=с11, Ь2 -с0 +Ьу -сх +Ь0 -с2 = с помо-

щью метода Гаусса либо другого метода, более эффективного, чем решение по формуле Крамера.

В матричной форме формула для расчета коэффициентов ск имеет вид

(6)

с4

1

о

(11)

(7)

7~Р

Для получения развернутого выражения ряда х воспользуемся теоремой о частном двух абсолютно сходящихся рядов [15]

V1 Ьк-2 ьк Ьк-\ ■■■

С учетом (7 - 11) выражение (6) принимает вид

¥(О = ¥0 + А-а$ г'] =

¡=о

1 р I

= ¥0 + А-а* -[(^Гс. -г'Г'Р, (12)

¿=о

где С0 = 1 + а0, а С, = с, для [ = 1, р.

1

0

Применяя повторно операцию нахождения результи-р

рующего ряда частного (^С, - г')-1 в (12), получаем

<=о

промежуточную форму (1)

компонент спектра входного сигнала (2), преобразуем (16) следующим образом

*,=0*2=0 * = 0

(13) х

¡=о

¿=1

1=1

1 ^ _

где О, = С, - — ■ А-* Ск, I 1,р.

Со *=1

Для дальнейших преобразований введем вспомогательные переменные С/,- = (Ц /О0) ■ г', / = 1,р; О0 = (1 +

+ После их подстановки выражение (13) прини-

мает вид

■а-х»)-" ■{C£JXmk■exp(j■щ■t)]-

k=l

N

+ ■ехр(-;-ю4 -О]}1*,

(17)

Ат=1

где

и

= Хтк -ехрО'-ф*),

¿=1

У« = У0 + -А,)5 +

(14)

1=0

к _

Для возведения (1 + ^ (У,-)-5 в дробную степень, вос-

¿=0

пользуемся разложением [16]

0 + 1>>у = 1Х"1>(у-1)х

¡=0 *,=0*2=0 *р=0

х (у - 2) •... ■ (у - ^ +1) • •,

где у - любое действительное число.

С учетом (15) выражение (14) принимает вид

1 СО ОО оо

У(г)=У0 + А-(я0О о)7-ХЕ-Е_><

=0*2=0 * =05

^»л = хтк -ехр(-у-ф4).

Применяя формулу бинома Ньютона к выражению в фигурных скобках (17), получаем

У(О = У0 + А-(а0-Я0)*

*, =0*2=0 ^О5

(15)

7 ' ' П-^Г^ х

1=1 1=1 1

х (2 ■ ХМУ* ■ ¿М []Г Хтк -ехр(у . О), . ОГ X

х(£хтк ■ехр(-].щ-0]"-т. (18)

*=1

Выражения в квадратных скобках (18) представляют собой мультиномиальные разложения, которые согласно [16], определяются формулами

т т т N у

5 I ^ к Л к=1 9,=092=0 <7„=0 *=1

1=1 г=1 1

1 тк

=т Чк-

= У0 + А-(а0.О0)^

=0*2=0 *р=0

1=1 1=1 1

*,=0 *2 =0 *р=05

- г],

*=1

N

ехрО'-т* 01

(19)

(¡-т

4-тА-т с1-т

тк

г,=0г2=0 ^=0 *=1

N

хехр^З-С^г^ы,, -I], к=1

_Л[_ у!, • ГЦ*

(20)

х[ехр[/-(ш4-г + ф4)]+ехр[-у-(ш4 •/ + ф4)]}'-1 ■ (16)

Используя формулу Эйлера для косинуса и вводя комплексные и комплексно-сопряженные амплитуды для

где г,} - множества возможных разбиений целого числа (1 на 2М неотрицательных целых чисел и нулей.

С учетом (19) и (20) общее выражение (18) для отклика нелинейности (1) на многочастотное воздействие произвольной нормы определяется формулой

х

1 во ©О ОО |

= Ко + А• Ц, • А,)1 • X Z-Z->

fc, =о*2=о кр= о

1 1=1 т т

(fi/Qp) к,1

JL Y Ik

m=lv J q,=0q2=0 qN = 0 4=1 Нк'

d-md-m d-m

x exp

xtZZ-Z^-^-riTrix

"r2=0 rjv=0 4=1

/V /V

= y0+A-(a0-D0H -ZZ-Z-

4,=042=0 4o=0S

1 1 p d 5 г ^— A—

<n

P / r\ / t\ m m m d-md-m d-m

dq> .xz- ZZZ-Z-

d!

N

q,=0q2=0 9;V=0r,=0r2=0 rv=0j~J

4=1

94!'r4!

JV

iV . N N . N

Z* =f = f <*-2>*>- (23)

4=1

4=1

4=1

4 = 1 W JV

4=1 4=1 4=1

Используя симметрию полного спектра Фурье выходного сигнала (1), в процессе анализа его комбинационного и гармонического состава можем ограничиться только множеством неотрицательных суммарных частот. Для этого рассмотрим комплексную амплитуду комбинационного колебания общего вида с частотой

N

(О^ = пк шк, где {пк} - множество целых чисел.

4=1

Из (21) следует, что в процессе разбиений числа

N

¿1 - ^ Пк; определяющего порядок заданного комбина-4=1

ционного колебания, на 2Ы целых чисел - частей, элементы множеств {цк} и {гк} могут принимать положительные целые или нулевые значения. В зависимости от соотношения величин дк и гк соответствующие

коэффициенты при а>к также могут принимать положительные, отрицательные либо нулевые значения.

Взаимодействие множеств {} и {гк} в процессе образования возможного множества комбинационных частот • описывается двумя системами диофантовых уравнений

{<?*} +К} = (М> Ш-{гк} = {Ьк), (22)

где Ьк, пк - целые числа или нули; к = 1, N.

Суммируя по индексу к уравнения каждой из систем, последовательно вычитая и складывая полученные результаты, получаем

Из (23) видно, что если величина (У/?, ~^пк)> 0, то

¿=1 4=1

множество {гк} совместно с множеством{^}(& = 1,Ы) являются решения систем диофантовых уравнений (22) в целых числах. Однако полученные решения этих систем в общем случае не являются неотрицательными. Действительно, пусть {¿>у}<0. Тогда все множества {гк},

для которых выполняются неравенства 0 < {гк} < {\Ьк |}, дадут отрицательные значения.

Для исключения избыточности из всех возможных множеств разбиений необходимо брать только те, у которых {гк}>\{Ьк}\, если {|^|}<0. В противном случае, если

N N

величина (^д,- пк ) < 0 , то решения систем уравне-¡=1 4=1

N

ний (22) отсутствуют, даже если число (с1 - ) > 0

4=1

и является целым.

Таким образом, необходимым и достаточным условием существования решения систем уравнений (22) в целых неотрицательных числах может служить неравенство

Z'-^Zkl-

(24)

i=i

Из (24) следует, что суммы, входящие в (23), должны быть равны числам одинаковой четности. В дальнейшем считаем, что условие (23) выполняется.

С учетом (23) и (24) системы уравнений (22) можно заменить одной эквивалентной системой уравнений

{qk}-{rk} = {\nk\}. (25)

С учетом (25) соотношения (23) принимают вид

N . N N . N

j>4 = f а* + Zi »* i>;Z * = j■(d ~ Zi »* i)(26)

4=1 4 = 1 4=1 4 = 1

Если определить qk как меньшее из двух чисел qk и

гк, то большее из них определится как сумма gk+\nk\. Поскольку для интересующих нас частот со2>0, то ограничиваясь положительной частотной полуосью, введем следующие обозначения

N N

« = EMP = Z*f (27)

4 = 1 4=1

где круговым частотам компонент с комплексными амплитудами Хтк (1) будут соответствовать неравенства пк> 0, а круговым частотам компонент с комплексно-

X

сопряженными амплитудами - X тк~пк <0. Учитывая изложенные соображения и соотношения (26) и (27), получаем

У0) = У0 + А . (а0 • / х . X £... X (-1)" X

*, =0*2=0 *р=0

(-1/А, -ГГ^/^о)

,п-1

п

*, <1

к,!

^ 1=1 I' т=1

т т т й-тй-т Н-т

и-ш-х-

<7^0*72 =0 <7^ =0г, =0 г2 =0 гд,=1

«Л

к=1

*=1

2-2Р.1.(1_1).....(1_и-2.р + 1) =

5 V 2 /р у ^ /р

где = к . (£ + 1) •... • (к + т -1) - символ Похгамме-

а, а (к)т = 1 для т < 0, пол чаем сок ащенн ю о -мулу отклика У (О

У(0 = У0 + А • („о ■ • £ ¿(-1)" х

=0*2=0 *р=0

2

2 АА *,!

1=1 ' т=1

И-1/Л-1

г! <1 ¡1

Р <г,=0?2=0 <?„=0

(31)

*=1

Й--11-1П

а>,/р0)*'

у П ОП-1 ¿—¡¿—1 1 1 I |

Ллг *, =0*2=0 *р=0 1=1

и

п-[П—1/5+1

т=1 V ^ Ур

т т т ¿-тй-т й-т т

(32)

?1=0д2=0 ^=0^=0^=0 Гдг=0*=1

ПРИМЕРЫ МОДЕЛЕЙ

Возможности применения предложенной функции (1) рассмотрим на примере нелинейной модели усилительного каскада, схема которого приведена на рис. 2.

Связь между мгновенными значениями коллекторного тока и входного напряжения в подобном каскаде, согласно [18], выражается трансцендентным уравнением

а • ¿V + 1п(г„ + 1) = ивхМ - /0ЛГ ■ А,

(33)

(28)

хехр{./ [^Чк ~'*)-ш* •']}•

*=1

Учитывая известные факториальные соотношения [17] (^+К|)Н«*|КК|+1)? . (29)

(30)

где a = gэ=■(RГэl<в + R5■$ + rб); Ягжв ~ общее эквивалентное сопротивление источника сигнала, образованное параллельным соединением внутреннего сопротивления собственно генератора сигнала и резисторов базового делителя /?1 и /?2; gэ= - проводимость эмиттерного перехода

транзистора в рабочей точке по постоянному току; Р -

коэффициент передачи тока базы; г'^0) = ДК0//*= -нормированное приращение коллекторного тока транзистора, который соответствует входному сигналу 17вх; 1вх= - ток коллектора в рабочей точке по постоянному току; итрЫ(д = ит1,(д/и0 - нормированный входной сигнал; 10дг - нормированное значение постоянной составляющей коллекторного тока; 170 = ткТ / д - температурный потенциал; А = {Яст + [Я1 • /?2 / Ш + Я2) -

сел

Используя (31), после соответствующих преобразований получаем окончательное выражение, определяющее искомую амплитуду комбинационного колебания с частотой ш Е

У(0 = У,+А-(ап.Оп)1/5.(-1)пх

Рисунок 2 - Схема обобщенного нелинейного усилительного каскада

Уравнение (33) является математической моделью, которая позволяет при определенных упрощающих предположениях [17] анализировать установившиеся режимы схемы рис.2 при уровнях нормированной амплитуды входного гармонического сигнала, лежащих в интервале [-2, 2...3].

Как известно [3], решением трансцендентного уравнения (33) является специальная функция, введенная Э.Б. Грибовым и названная им С - функцией. Согласно [3], в - функцию можно рассматривать как эквивалентную проходную характеристику в обобщенной системе координат У - X, в которой значение Х0 соответствует рабочей точке по постоянному току. По мнению

N

Э.Б. Грибова [3] С - функция не может иметь единой аналитической формы, которая бы с достаточной степенью точности отражала поведение рассматриваемого каскада в широком диапазоне изменения входного воздействия, и поэтому она может быть либо табулирована, ли-бо представлена в графическом виде.

В связи с этим вопрос моделирования в - функции решался на основе различных методов аппроксимации [3, 17, 18]:

1) представлением рядом Тейлора при уровнях нормированной амплитуды Хдг<2...3 с удовлетворительной точностью аппроксимации;

2) сложной логарифмической функцией у2 = 1п х --1п[1п(х)]; в интервале изменений Хм £ [3, 16] при ошибке аппроксимации не более 6,5 %;

3) выражением у 3 = ехр х - 0,5 ■ ехр( 2-х); в интервале изменений хм б[-°°, -0,25] при ошибке аппроксимации не более 5 %;

4) экспоненциальным выражением >'5 = -0,5 + + ехр 0,098 - д:) .

Такой подход позволяет получить удовлетворительную аппроксимацию С - функции в диапазоне изменения нормированного аргумента < хы <16. при условии, что для ее моделирования одновременно используются миним м т и азличных нкции.

На рис. 3 приведены графики зависимостей и аппроксимирующих в - функцию рассматриваемого каскада, для данного диапазона значений аргумента. Аппроксимация С - функции осуществлялась четырьмя различными методами: сложной логарифмической функцией -у2(х); алгебраической суммой экспонент -уЗ(х); экспоненциальным биномом - у5(х); функцией (1) с параметрами: У0=0,1; А=2,1; £=18; лг0=1,9; р=2,3; 5=3.

Анализ графиков, приведенных на рис.3, показывает, что функция (1) по точности аппроксимации и диапазонным характеристикам перекрывает возможности остальных функциональных соотношений, что позволяет широко использовать ее для анализа режимов работы различных схем усилителей, умножителей частоты, преобразователей частоты, перемножителей сигналов, детекторов, ав.огенера.оров .. т.д.

Возможности предложенной функции (1) для моделирования характеристик активных элементов показаны на примере аппроксимации выходных вольт - амперных характеристик (ВАХ) транзистора КТ317А (рис.4).

На рис.4 сплошные линии соответствуют экспериментальным нормированным ВАХ транзистора, пунктирные кривые - графикам функции аппроксимации, предложенной в [12], для трех значений параметров аппроксимации 1 = ивх /июо и х1 = ивых /С/во , где ( ивх0 -опорное напряжение нормирования), а точечные кривые - графикам функции (1) при У0=0-, 5=0,5; р=3; 5=4.

Из приведенных графиков видно, что предложенная функция в рассматриваемом диапазоне изменения аргумента имеет более высокую степень приближения по сравнению с функцией аппроксимации [12] и, как

показали дополнительные расчеты, сохраняет высокую точность аппроксимации выходных ВАХ данного транзистора при изменении величины напряжения ивых вплоть до значений, соответствующих напряжению лавинного пробоя II х ■

Рисунок 3 - Графики аппроксимации С-функции

Рисунок 4

ВЫВОДЫ

Предложена аналитическая многопараметрическая трансцендентная функция для моделирования двух- и многополюсных безынерционных нелинейных схемных элементов. Получена формула для отклика нелинейности, представленной подобной функцией, на многочастотное воздействие произвольной нормы.

Полученные результаты позволяют:

а) унифицировать форму математических моделей устройств, реализующих однотипные функции и работающих в широком динамическом диапазоне;

б) осуществлять количественное и качественное сравнение характеристик проектируемых устройств, принадлежащих к одноименному классу и предназначенных для реализации заданной функции, с целью выявления оптимального схемотехнического решения на основе выбранных критериев;

в) моделировать режимы работы как отдельных компонентов (электронных ламп, транзисторов, диодов и пр.), так и широкого класса электронных устройств: усилителей, умножителей частоты, амплитудных ограничителей, управляемых аттенюаторов, детекторов, компрессоров, экспандеров, перемножителей и конвертеров различного рода сигналов с достаточной степенью точности.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. W.B. Davenport and W.L. Root, Random Signals and Noise. New York: McGraw - Hill, 1958. - 280 p.

2. Бруевич A.H., Евтянов С.И. Аппроксимация нелинейных характеристик и спектры при гармоническом воздействии. - М.: "Советское радио", 1965 г. - 248 с.

3. Э.Б. Грибов. Нелинейные явления в приемопередающем тракте аппаратуры связи на транзисторах. - М.: Связь, 1971 г. - 368 с.

4. Н.П. Хазанкина, Аппроксимация статических ВАХ нелинейных компонент электрических цепей. Теоретическая электротехника, Республиканский межвузовский научно -технический сб., 1966, вып. 2, - С. 133 -166.

5. С.К. Савин, Об аппроксимации характеристик нелинейных элементов с помощью степенных полиномов. Радиотехника, 1969, Т. 24, № 3, - С. 46 - 53.

6. И.С. Волков, И.Д. Соловьев, Аппроксимация характеристик нелинейных элементов рядом Эджворта. Радиотехника, 1971, Т. 26, № 12, - С. 56 - 64.

7. J.G. Laning and R. Н. Battin, Random processes in Automatic Control. McGraw-Hill: 1956. - 171 p.

8. J.H. Van Vleck and D. Middleton, "The spectrum of clipped noise", Proc. IEEE, Jan. 1966, pp. 2 -19.

9. R.F. Baum, "The correlation function of smoothly limited Gaussian noise", IRE Trans. Inform. Theory, vol. 1T-3, September, 1957, pp. 193 - 197.

10. J. Galejs. "Signal-to-noise ratios in smooth limiters", IRE Trans Inform. Theory, vol. IT-5, June 1959, pp. 79-85.

11. A.M. Бобков, H.H. Яковлев, Аппроксимация характеристики нелинейного безынерционного элемента. "Радиотехника", 1986 г., № 5, - С. 25 - 26.

12. И.В. Малышев, Аппроксимация статических выходных характеристик активных трехэлектродных приборов, работающих в нелинейном режиме. "Радиотехника", 1987 г., № 8, - С. 84 - 85.

13. L.K. Regenbogen, Nonlinearity Model With Variable Knee Sharpness. IEEE Transaction Aerospace Electronic Systems, vol. AES-16, 1980, May, pp. 410 - 414.

14. А.Ф. Верлань, И.О. Горошко, Т.П. Гушель, Аппроксимация экспериментальных зависимостей полиномами с дробным показателем степени. "Электронное моделирование", 2002 г., Т. 24, № 3, - С. 101-106.

15. Г. Корн и Т. Корн, Справочник по математике. - М.: 1978. - 832 с.

16. Е.А. Богатырев, Нелинейные математические модели транзисторных каскадов. - Тр. / Московский энергетический институт, 1972, вып. 110, - С. 117 - 123.

17. Амплитудно-фазовая конверсия / Крылов Г.М., Прус-лин В.З., Богатырев Е.А. и др.; Под ред. Г.М. Крылова. -М.: Связь, 1979. - 256 е.,

Надшшла 9.02.04 Шсля доробки 17.03.04

Запропоновано аналШичну трансцендентну функщю для моделювання двох - та багатополюсних безтерцшних нелi-шйних елемент1в. Отримано формулу для вгдклику нелшш-Hocmi, амплтудна характеристика яког представлена запропонованою функщею, на багаточастотний вплив великог нормы. Отримагп результаты дозволяють моделюва-ты як окремг компоненты, так i широкый клас електронних пристрогв в режимах малого та великого сигнал1в з довшъ-ним спектром.

The analytic transcendental function for modeling of the bipolar and multiterminal nonlinear inertialless elements is proposed. The formula for the output of the nonlinearity, its amplitude characteristic is presented proposed function, on the multifrequency inputs with a large norm is reseived. The results, which was reseived, are permitting to modeling so of the individual active components, as and of wiled class of the arrangements in the regimes of the small and large signals with arbitrary spectrum.

УДК 621.396.96

Д.М. Пиза, А.П. Залевский, Б.Н. Бондарев

ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПОЛЯРИЗАЦИОННОЙ СЕЛЕКЦИИ СИГНАЛОВ

В РАДИОЛОКАЦИИ И СВЯЗИ

Отримано аналШичний вираз для ощнювання ефектив-нocmi фгяьтраци cuгнaлiв у лттному поляризацЫному базип. Проведено розрахунок залежност1 вгдношенпя сиг-нал/завада вгЭ поляризацшних розходжень в структур1 cuгнaлiв та завад. Отримат резулътати дозволяють оцг-нювати ефективтеть поляризацшног фшьтрацп при довыьних параметрах корисних та завадових cuгнaлiв.

ВВЕДЕНИЕ

Использование адаптивной поляризационной фильтрации полезных сигналов является достаточно эффективным средством повышения помехозащищенности сов-

ременных радиотехнических средств (РТС). Известно [1], что теоретический предел эффективности поляризационной фильтрации определяется степенью поляризации электромагнитной волны помехи. Реальные адаптивные процедуры поляризационной фильтрации используют корреляционные связи помеховых сигналов в ортогонально поляризованных каналах приема [2]. При этом эффективность поляризационной селекции зависит от многих факторов. Поэтому оценка эффективности поляризационных селекторов в реальных условиях функционирования радиотехнических систем локации и связи является весьма актуальной.