Уравнивание геодезических сетей по результатам относительных GPS-измерений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 528.22:551.24 В.И. Дударев СГГА, Новосибирск

УРАВНИВАНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ СЕТЕЙ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ GPS-ИЗМЕРЕНИЙ

Рассматривается метод уравнивания геодезических сетей, использующий результаты относительных GPS-измерений. Подробно описывается процесс формирования системы уравнений поправок: матрицы коэффициентов и вектора правой части. Этот метод позволяет получать координаты неизвестных пунктов в системе координат начальных пунктов.

V.I. Dudarev

Siberian State Academy of Geodesy (SSGA)

10 Plakhotnogo Ul., Novosibirsk, 630108, Russian Federation

EQUALIZING OF GEODETIC NETWORKS BY RESULTS OF RELATIVE GPS-MEASUREMENTS

The method of equalizing of the geodetic networks, using results of relative GPS-measurements is considered. Process of formation of correction equations system is in detail described: matrixes of factors and vector of the right-hand part. This method allows to receive coordinates of unknown points in system of coordinates of initial points.

Определение координат наземных пунктов (НП) с использованием GPS-технологий может выполняться либо абсолютным, либо относительным методами. Первый метод по причине своей низкой точности применяется для решения задач навигационного класса. Второй метод обеспечивает высокие точности, поэтому применяется в задачах высокоточного определения пространственных координат как отдельных НП, так и пунктов геодезических сетей различного назначения.

При использовании абсолютного метода спутниковый приемник устанавливается на определяемом НП и выполняет синхронные GPS-измерения нескольких космических аппаратов (КА) (не менее четырех). В результате математической обработки этих измерений вычисляется радиус-вектор определяемого пункта R=[XYZ] в той общеземной системе координат ^XYZ), в которой задаются пространственные положения навигационных КА используемой на момент работы спутниковой радионавигационной системы (СРНС). В настоящее время для пространственно-временного обеспечения проводимых навигационных и топографо-геодезических работ наиболее активно используется СРНС NAVSTAR. Пространственное положение

спутников этой СРНС задается в общеземной системе координат WGS-84. Поэтому под общеземной системой далее будем понимать систему координат WGS-84.

Чтобы получить пространственные координаты НП (радиус-вектор Кг^^гГ ) в некоторой референцной системе (OXYZ)Г (обычно СК-42), необходимо выполнить известное матричное преобразование геоцентрического радиус-вектора И НП из общеземной системы координат в референцную Яг =(1-к) Ят(щ) Я-ёЯ (1)

В этом преобразовании матрица К(щ) малых поворотов координатных

осей референцной системы координат является итогом последовательного перемножения трех матриц вращения и имеет вид [1,2]

" 1 -щ2 Щу

Щщ) = к3 К) ■ к2 ) ■ К1 (1%) = Щ/ 1 “Щх . (2)

Щх 1

В формулах (1) и (2) обозначено: Т - здесь и далее знак транспонирования; к - поправка к масштабу референцной системы координат; щ= [щх щу щх ]' -трехмерный вектор-столбец малых углов поворота координатных осей референцной системы координат относительно осей общеземной системы; dR = [dX dY dZ] - трехмерный вектор-столбец смещения начала референцной системы координат относительно начала общеземной системы.

При использовании относительного метода один спутниковый приемник устанавливается на пункте с известными координатами (исходный или опорный пункт), второй - на определяемом пункте. При этом, как правило, пространственное положение исходного пункта задается (известно) в референцной системе координат. Во время рабочего сеанса приемники синхронно отслеживают несколько КА СРНС. В процессе математической обработки измеренных дальностей по линиям КА - НП определяется вектор-столбец АК;;+1 =[АХ АУ А2]^+1 (1 = 1, 2, п - число измерений)

относительного положения (базовый вектор) определяемого НП к исходному НП в системе координат (ОXYZ). Если бы было известно пространственное положение Ri исходного НП в общеземной системе координат, то пространственное положение определяемого НП в этой же системе можно было бы найти как

к;+1 = + Дкм+1 • (3)

Если будет известно пространственное положение Ип исходного НП и вектор /\Кп ;+1 =[АХ АУ А2]р; ;+1 относительного положения наземных

пунктов в референцной системе координат, то пространственное положение Ип+1 определяемого НП в этой же системе можно найти как

1*п+1 = Кп “1“ Д-^ту+1 • (4)

Применив матричное преобразование (1) при к=0, вектор АКгй+1 здесь может быть найден следующим образом [4]

АК

Гі,і+1

: К(щ)• К1+1- сік - К(щ) И, +сШ = К(щ)• (К1+1- К,). (5)

Откуда

ЛКщ+1 = КТ(ю) • АИ ід+1 . (6)

Выполнив перемножение матрицы И (ю) на вектор АИі,і+1 в (6) и выделив при этом вектор ю, можно записать следующее матричное выражение [3, 4]

АИЫ+1 = АИГ Ы+1 + О • ю. (7)

В нем матрица Б составлена из координат вектора ЛИ и имеет вид

о да -ду1

Б= -да О ДХ . (8)

Д¥ -ДХ 0 _

С учетом (4) равенство (7) можно записать как

АИі,і+1 = Б • ю + ИГі+1 - ИГі . (9)

При формировании матрицы Б следует учитывать направление вектора АИ, оно должно совпадать с направлением вектора АИГ из (4).

Выражение (9) является математической моделью измерений и может быть представлено в общем виде

АИіі+1 = АИ(ю, Игі , Игі+О . (10)

Разложим его правую часть в ряд Тейлора в малой окрестности априорных значений векторов ю, Ип и Ип+ь ограничившись при этом первыми членами разложения. В итоге имеем

ДКу+і = АК(щ>Кгі>Кі’і+і) ■

алы

ащ

•дщ

алы

ок

Кг—Кг

Щ=Щ

КГ=КГ

алы

¿ж

■ГІ+1

•дК^ЛИ)

щ=щ

Кг=Кг

где ю', Кп и И'гі+1 - априорные значения векторов ю, Ип и Ип+ь Величины 5ю, 5Иі и 5Иі+1 являются поправками к априорным значениям векторов ю', Кп и И'гі+1 и определяются как

5ю = ю - ю', 5Иі = Кп - И'п , 8Иі+1 = Кп+1 - К'п+ъ (12)

Для нахождения частных производных в выражении (11) воспользуемся равенством (9). Можно записать

дщ ’ <9КП ’ ¿Жп+і где Е - единичная матрица размерности 3x3.

Подставив зависимости (13) в (11), получим

АКи+1 = АК(щ,Кп,Кп+1) + Б'-дщ-Е-дК; + Е-дКі+1. (14)

Здесь матрица Б' вычисляется c использованием (приближенных) значений векторов ДКГ и со' по формулам:

о да' -дУ

Б = -Ж 0 ДХ' , (15)

априорных

ак;

І.І+1

-да о дх

дГ -дх' о

-ДК(щ,Кп,К'п+1

) = К(щ)-АК'

(16)

" 1 -щ Z Щу

Щщ) = щ Z 1 -Щх . (17)

-Щу Щх 1

Теперь можно записать уравнение поправок для одного измерения

D • дщ— Е • дК; + Е • дК1+1 = ДЙу+1 - AR; 1+1 + V, (18)

в котором ARj i+1 - трехмерный вектор-столбец результатов относительных

GPS-измерений в общеземной системе координат (измеренный базовый вектор, проекции которого выбираются из протокола работы утилиты “Baselines” либо программного комплекса “GPSurvey”, либо “Trimble Geomatics Office” и т.п.); AR i+1 - трехмерный вектор-столбец (вычисленный базовый вектор),

определяемый по формуле (16) с использованием приближенных значений векторов со' и ARn i+1; V - трехмерный вектор-столбец поправок к измеренному

вектору AR. В уравнении поправок (18) матрицы D' и Е будут матрицами коэффициентов, векторы 5ю, дД; и дД;+1 - неизвестными поправками к

приближенным (вычисленным) значениям векторов со', Rri и Rri+1, а разность

AR; i+1 — AR. - вектором правой части.

Для n относительных GPS-измерений уравнение (18) образует систему линейных уравнений поправок

Dj-дщ—Е-д^ + Е• дД2 = ARU -ARU +V15

D2 • дщ— E • дД2 + E • дД3 = AR2 з — AR2 3 + V2, (19)

Бп • дщ- Е • + Е • дКр = АЙП - ARn + Уп,

где p - число определяемых пунктов.

Систему уравнений поправок (19) можно представить в виде системы линейных алгебраических уравнений А-Х = Е + V. (20)

В ней матрица коэффициентов А является блочной матрицей и в общем случае может быть записана как

б; -Е Е 0 0

А =

D' 0 0

D' 0 0

0 0

-Е Е

(21)

где 0 - нулевая 3x3 матрица; Е - единичная 3x3 матрица.

Вектор-столбец неизвестных X в (20) составлен из поправок к приближенным значениям малых углов поворота ю', координатам

определяемых НП НГІ, RГІ+1 и имеет вид

дщт ^ дД*2 ... ^1. (22)

Xх =

Поправки к приближенным значениям малых углов поворота здесь выступают только в роли согласующих параметров. Вектор правой части Е является вектором-столбцом размерности 3 х п и определяется как разность измеренных базовых векторов ДК; м и их вычисленных значений ЛК'1Л+|

" лй1)2—лк;,2

р=

АЙад-АКад

ДИ - ДК'

(23)

Если за приближенные значения малых углов поворота принять нулевые значения (о'=0, то в (12) будет 5(о=(о. Тогда вектор неизвестных (22) примет вид

Xх =

щ

(24)

дЬ*! дК2 ... дКр.! дДР

Решение задачи, рассмотренное выше, можно выполнить иначе. Сначала определить малые углы поворота ю, а затем уже после решения системы уравнений поправок (19) - пространственные положения определяемых НП. При таком подходе данная система уравнений упрощается, так как из нее исключается вектор неизвестных 5оо. Чтобы найти вектор-столбец (о, нужно для т измеренных базовых векторов АБ^ 0 = 1, 2, ..., т) между исходными

пунктами сформировать на основании равенства (7) систему линейных уравнений [4]

Б1 щ ДБ^- ДИГ

“Т1

Вгщ=АЙгДКч,

(25)

Щ=ДКт- АКГт

В ней базовые векторы ДКГ| вычисляются в референцией системе

(OXYZ)Г по известным пространственным положениям этих же исходных

пунктов. После решения системы уравнений (25) находятся углы малых поворотов ш.

Для определения вектора ю в (25) можно применить один из двух приемов. Первый - измерить базовые векторы между опорными НП. Например, векторы ^2,1 > А^2,3 И АК31 (см. рис.1). Но такой подход приводит к увеличению

затрат на выполнение полевых работ. Второй - вместо непосредственно измеренных базовых векторов между опорными НП взять замыкающие векторы, полученные из суммы измеренных базовых векторов по векторным ходам, проложенными между опорными и определяемыми НП. Например, базовые векторы АК21, ДК23 и АК31 (рис.1) могут быть найдены как

А^2.1 — А^2,4 + А^4.6 + А^6.1 >

ДК2)3 = ДК2-4 + ДИ4_5 + ДК3-5, (26)

= А^3.5 + А^5.6 + А^6.1 •

Следует иметь в виду, что в равенствах (26) алгебраическое сложение векторов нужно выполнять с учетом их направленности. На основе измеренных либо вычисленных (как замыкающие векторы) значений базовых векторов формируется система линейных уравнений (25). После ее решения находится вектор ю.

Представленный метод уравнивания дает высокие точности определения координат определяемых пунктов в геодезических сетях, создаваемых с использованием GPS-технологий. Он может применяться при развитии локальных и региональных геодезических сетей сгущения. Для достижения хороших результатов желательно, чтобы геодезические построения содержали в себе не менее 4 исходных НП [4]. Соблюдение этого условия приводит к тому, что система линейных уравнений (19) будет хорошо обусловлена и мало чувствительна к ошибкам исходных данных: к ошибкам координат исходных пунктов и результатов измерений [5].

Ниже в качестве примера на простой схеме геодезической сети (рис.1) рассмотрим последовательность формирования системы линейных уравнений поправок вида (19). Будем полагать, что в этой сети измерены базовые векторы

□ - исходный НП; о - определяемый НП Рис. 1. Схема геодезической сети

Для этой сети система линейных уравнений поправок будет иметь вид:

Бгдщ+0 дК4 + 0 дК5 —Е-дК6 =АК6Д -АК6Д +У15

Т)2 • дщ+Е-дК4 + 0 дК5 +0-дК6 =АК2>4 -АК2>4 +У2,

Бз дщ+0 дК4 +Е-дК5 + 0• дК6 = - Д&,>5 +У3, (27)

Б4 дщ-Е дК4 +Е-дК5 +0-дК6 = АК4>5 -АК4>5 + У4,

Б5 • дщ+0-дК4 —Е-дК5 + Е-дК6 = ДЙ5>6 -ДК^ + У5,

Б6 дщ-Е дК4 + 0 дК5 +Е-дК6 = ДЙ4>6 -ДК4>6 +У6.

Приближенные значения измеренных значений базовых векторов для данной сети можно получить следующим образом. Сначала вычисляются приближенные значения пространственных координат определяемых НП (геоцентрические радиус-векторы И'Г4, Я'Г5 и Я'Г6 в референцной системе) по

известным координатам опорных НП и измеренным значениям ДК2 4, АК3 5 и АК61 базовых векторов (с учетом их направленности) по формулам

Я

Г4

+ А^2,4 5 ^15 — К, 3 + А^3,5 5 «Гб ~ ^11 + А^6,1 • (28)

Затем при (о'=0 вычисляются значения базовых векторов АК| м как

(29)

ДКб,,

И

ак4,5 — к К1 1 АК4,6 =

Далее формируются матрицы

" 0 да6Д Ж,Г

о| = Жд 0 ДХед >

_Д^6Д -ДХ6Д 0

~ 0 да;,6 -да;/

о; = -да* 0 №^5,6 >

_ДКб -дх;,6 0

~ 0 да4,6 Ж/

о6 = "Д^4,6 0 №^4,6

"ДХ4,6 0

Гб

дбі2,4=дк2>4,

— к, ,, лк

Г4

Б

5,6

Б 6 как

К —К

*Т6

Г5

(30)

После решения системы линейных уравнений (27) по формулам (12) находятся уточненные численные значения радиус-векторов определяемых НП, то есть

К-Г4 = К'г4 + 5К , Кг5 = К'г5 + 8К.5 , Кгб = К'гб + 8Кб . (31)

С целью уменьшения численных значений поправок V к измеренным значениям базовых векторов можно по формуле (6) измеренные базовые векторы ДКй+1 преобразовать из общеземной системы координат в

референцную и получить базовые векторы ДДгй+1

лк-пі+і = кт(щ) • ЛК-і.

І+1 •

(32)

Затем эти векторы использовать в формулах (18), (19), (21), (23) и (27 - 29) в качестве измеренных, то есть вместо векторов АКй+1 . В этом случае

необходимо предварительно определить вектор-столбец ю малых углов поворота координатных осей как это было сказано выше. Здесь следует иметь в виду, что определение вектора ю по трем исходным пунктам дает плохие результаты. Лучше решать эту задачу по четырем исходным НП [5].

В заключение следует отметить, что рассмотренный метод был реализован на основе параметрического способа уравнивания с учетом ошибок исходных данных [6] и хорошо зарекомендовал себя при проведении производственных и научно-исследовательских работ.

5

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лунквист, К. Стандартная Земля [Текст] / К. Лунквист, Г. Вейс. - М.: Мир, 1969. - 277 с.

2. Czobor, A. Preliminary results of Finnish - Hungarian Doppler observation compaign [Текст] / A. Czobor, J. Adam, S. Mihaly, T. Vass // Publ. Astron. Inst. Czchehosl. Acad. Scin. - 1984. - N 58. - P. 529 - 548.

3. Дементьев, Ю.В. К вопросу развития опорных геодезических сетей спутниковыми методами [Текст]/ Ю.В. Дементьев //46 научн.- техн. конф. преподавателей СГГА.- Тез. докл., ч.1. - Новосибирск, 15 - 18 апреля 1996 г. -114 c.

4. Дударев, В.И. Планирование задач оценивания элементов ориентирования геодезических систем координат [Текст] / В.И. Дударев //Четвертый Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000), посвященный памяти М.А. Лаврентьева (1900 - 1980): Сб. статей/СГГА. - Новосибирск, 2001.- С. 3 -11.

5. Дударев, В.И. Влияние ошибок расчета матрицы коэффициетов и вектора правой части на решение СЛАУ в некоторых задачах космической геодезии [Текст] / В.И. Дударев //Вестник Сибирской государственной геодезической академии/СГГА.- Вып.7. - Новосибирск, 2002. - с.21 - 25.

6. Маркузе, Ю.И. Алгоритмы для уравнивания геодезических сетей на ЭВМ [Текст] / Ю.И Маркузе. - М.: Недра, 1989. - 248 с.

© В.И. Дударев, 2011