CC BY
119
ОПТИМИЗАЦИЯ ВЫБОРА ОПОРНЫХ ПУНКТОВ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ЛОКАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ СВЯЗИ ОБЩЕЗЕМНЫХ И РЕФЕРЕНЦНЫХ СИСТЕМ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КООРДИНАТ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ
Константин Федорович Афонин
Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, г. Новосибирск, кандидат технических наук, профессор кафедры высшей геодезии, тел. 343-29-11
В статье предлагается один из возможных путей оптимального решения задачи по определению локальных параметров связи общеземных и референцных систем координат.
Ключевые слова: параметры связи систем координат, оптимальное определение параметров связи.
CONTROL POINTS OPTIMIZATION FOR DETERMINING LOCAL PARAMETERS TO TIE GLOBAL AND REFERENCE RECTANGULAR SPATIAL COORDINATE SYSTEMS. OPTIMIZATION PROBLEM DEFINITION
Konstantin F. Afonin
Ph.D., Prof., department of Advanced Geodesy, Siberian, State Academy of Geodesy, 63018 Novosibirsk, tel. 8-383-343-29-11
One of the ways to solve the optimal problem of determining local parameters for tying global coordinate systems and reference coordinate systems is considered.
Key words: coordinate systems tying parameters, optimal tying parameters determination.
Основными технологиями определения координат пунктов геодезических сетей различного назначения и класса точности стали спутниковые технологии, на выходе которых тем или иным способом получаются прямоугольные пространственные координаты в одной из общеземных систем ПЗ-90.02 или WGS-84. Однако для дальнейшего использования этих координат на территории России их необходимо преобразовать в референцную систему СК-42 или СК-95. Такой переход можно выполнить с помощью известных формул [1]
х, (1)
р р
W^x- WX 7 — L - У , (2)
р р
-W^x+ WX --^Y- z . (3)
р р
В соотношениях (1) - (3) использована следующая система обозначений:
X, У, 1 - прямоугольные пространственные координаты в общеземной системе;
X, У, 1 - прямоугольные пространственные координаты в референцной системе;
х, у, z - прямоугольные пространственные координаты центра референцной системы относительно центра общеземной системы;
ах ,а>У ,т2 - углы разворота вокруг соответствующих координатных осей;
Ат - относительное изменение масштаба в двух системах координат
Ат = ££ , (4)
_ £
где £ и £ расстояния между одноименными точками пространства в общеземной и референцной системах координат соответственно.
Приведенные в ГОСТе [1] числовые значения семи параметров преобразования х, у, z, сох ,®У ,а2, Ат позволяют производить перевычисление координат по формулам (1) - (3) на территории России с погрешностью в несколько метров (для СК-42) или дециметров (для СК-95). Такая точность во многих случаях не может удовлетворить потребности геодезического производства. Как повысить точность преобразования координат? Известны два основных способа. Первый заключается в предварительном определении локальных параметров преобразования для небольших по площади объектов и последующем использовании этих параметров на данном объекте в формулах (1) - (3). Второй способ предполагает преобразование не самих координат, а приращений координат с использованием опубликованных в ГОСТе [1] или предварительно найденных числовых значений параметров. Задача оптимизации может быть сформулирована, по нашему мнению, и в первом, и во втором способах.
Для определения локальных параметров на объекте необходимо иметь так называемые опорные пункты, координаты которых должны быть известны в двух системах координат: референцной и общеземной. Как правило, опорными являются пункты государственной геодезической сети, на которых дополнительно выполняются спутниковые определения. Это позволяет выразить уравнения (1) - (3) относительно семи уточняемых параметров. Так как уточняемых параметров семь, а каждый опорный пункт позволяет составить только три уравнения, то количество опорных пунктов не может быть меньше трех. В этом случае будет возможна математическая обработка по методу наименьших квадратов. Увеличение числа опорных пунктов на объекте будет давать возможность повысить точность определения параметров преобразования координат. С другой стороны это будет приводить к возрастанию материальных и временных затрат на полевые работы.
Необходимость обеспечения компромисса приводит к решению задачи оптимизации. Предположим, что на объекте имеется п пунктов государственной геодезической сети (п > 3), которые можно использовать в качестве опорных. Пространственные прямоугольные координаты каждого опорного пункта, полученные спутниковыми технологиями в общеземной системе координат, будем в дальнейшем считать измеренными величинами. Средние квадратические погрешности определения координат по трем осям на одном
опорном пункте будем также считать одинаковыми (тх = тУ = т7 = т). Кроме этого будем предполагать, что на каждом опорном пункте пространственные координаты можно определять с разными погрешностями. Эти погрешности ( т1, т2,..., тп) необходимо будет найти.
В ходе планирования работ требуется определить такое количество и конкретное местоположение опорных пунктов на объекте, которое будет обеспечивать получение семи параметров преобразования координат с заданными погрешностями при минимальных затратах (времени или денежных средств) на полевые работы. Затраты на полевые работы можно по аналогии с выбором метода построения плановой геодезической сети [3] представить в виде функционала
1 1 1 1
Ш = — + — +... + — +... + — , (5)
т1 т2 т, тп
где п - максимально возможное количество опорных пунктов на объекте (п>3).
В качестве дополнительных условий работоспособности должны фигурировать условия получения семи определяемых параметров преобразования систем координат с погрешностями, не превышающими наперед заданных значений (М1)зад. Здесь | - номер определяемого параметра
(|=1,2,...,7). Вычисленные по МНК значения погрешностей каждого параметра можно представить в функции неизвестных следующим образом [3]
(м} )2 = /Т (М + + ... + Мг + ... + %)-1 / . (6)
V 1 >выЧ ^ V 2 т2 т2 т2 1
12 1 п
Здесь
/ 1 - вектор-столбец коэффициентов весовой функции, в котором элемент с
номером | равен единице, а остальные нулю;
М, - матрица коэффициентов нормальных уравнений (размерностью 7Х7), составленная для { опорного пункта. В свою очередь матрицы коэффициентов нормальных уравнений в параметрическом способе уравнивания можно получить как произведения
М, = АТ Л, . (7)
Элементами матриц А, (размерностью 3Х7) будут коэффициенты
параметрических уравнений поправок, составленных для измеренных пространственных координат на { опорном пункте. Такие параметрические уравнения поправок по координатным осям можно записать следующим образом
У 7
ух = -Хб(Ат) - — 8(07 + — 8(ОУ - 8х + Их , (8)
Р Р
7 х
уу = -У8(Ат)---8(0х +—8(07 -8у + И , (9)
Р Р
vz =-78(Ат) -х8оУ + -8ох-8 + И7 . (10)
Р Р
В этих уравнениях через З(Ат), дах, 8аУ, 8со2, Зх, &у, & обозначены поправки в приближенные значения Ат0, со°х, О, (02, х0, у0, г0 семи параметров
преобразования координат. За приближенные значения параметров можно принять те значения, которые опубликованы в ГОСТе [1]. Окончательные значения параметров будут равны сумме их приближенных значений и поправок. Свободные члены уравнений поправок равны разностям вычисленных по формулам (1) - (3) и заданных значений референцных пространственных прямоугольных координат опорных пунктов Ьх = X0 - X , И = У0 - У , I2 = 20 - 7 . (11)
При этом вычисление координат по формулам (1) - (3) необходимо выполнять с использованием приближенных значений семи параметров.
Решаемую задачу оптимизации (в дальнейшем будем называть ее первой задачей) можно формализовать в виде задачи математического программирования с нелинейными целевой функцией и ограничениями. Требуется предвычислить такие средние квадратические погрешности определения пространственных прямоугольных координат опорных пунктов тх, т2,...,ті,...,тп, которые минимизируют затраты на полевые измерения Ж ^ ш1п (12)
при соблюдении семи условий вида (М2)£ (М;) (13)
и ограничений на переменные
т £ті £т . (14)
Здесь ш' - наименьшее значение средней квадратической погрешности определения прямоугольных пространственных координат, доступное в настоящее время для спутниковых технологий; ш'' - наибольшее значение средней квадратической погрешности определения прямоугольных пространственных координат. Достижение границы т” будет означать, что измерения на данном опорном пункте можно практически не выполнять.
Для решения поставленной задачи можно применить способ штрафных функций и технологию выбора оптимального метода построения плановой геодезической сети, использованные в работах [2,3]. Если в ходе решения задачи оптимизации (12) - (14) окажется, что погрешности определения координат на каких-то пунктах приблизятся к верхней границе, то эти пункты можно будет вывести из состава опорных пунктов и этим уменьшить затраты на полевые работы.
Подобную задачу оптимизации (будем называть ее второй задачей) можно решать и во втором способе при преобразовании приращений координат пунктов из общеземной системы в референцную. Формулы связей приращений прямоугольных пространственных координат двух пунктов можно записать, учитывая (1) - (3), следующим образом
АХ = АХ-АтАХ-°АУ + ° А2 , (15)
Р Р
АУ = АУ-АтАУ-°а7 + °АХ , (16)
РР
А7 = А7-АтЫ-°-Ах + ° АУ . (17)
Р Р
В формулах (15) - (17) фигурируют только четыре параметра
преобразования Ат, ох , оУ , о7, значения которых необходимо уточнить для
какого-то локального объекта. Так как параметров осталось только четыре, то на объекте необходимо иметь не менее двух опорных линий. Если опорных линий больше двух, то возможна постановка и решение второй задачи оптимизации по определению минимального количества и местоположения опорных линий на объекте. По аналогии с первой задачей здесь необходимо предвычислить такие средние квадратические погрешности определения разностей координат по опорным линиям ш; (1=1,2,.,р), которые при минимальных затратах на полевые измерения
Ш1 = \ + % +... + \ +... + \ ^ ш1п (18)
т1 т2 т р
и ограничениях на переменные т < < т (19)
обеспечивают получение четырех параметров преобразования координат с заданными погрешностями (|=1,2,3,4)
/Т (М+^+...+4+...+%)-1 Л < №’) зад. (20)
т1 т2 т1 тр
Здесь к можно трактовать как коэффициент выгодности выполнения спутниковых наблюдений по опорной линии с номером 1. Если опорные линии не связаны между собой, то коэффициенты равны единице. Если какой-то опорный пункт участвует в формировании двух, трех и более опорных сторон, то коэффициент необходимо уменьшить в два, три и так далее раз соответственно. Остальные переменные в формулах (18) - (20) имеют принципиально такой же смысл, что и в первой задаче оптимизации.
Если в результате решения второй задачи оптимизации окажется, что для каких-то опорных линий предвычисленные погрешности выполнения спутниковых измерений приблизятся к верхней границе ш”, то их можно будет не использовать для определения параметров преобразования разностей координат. Это, в свою очередь позволит уменьшить общие затраты на полевые работы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. ГОСТ Р 51794-2008. Глобальные навигационные спутниковые системы. Системы координат. Методы преобразований координат определяемых точек [Текст] / Национальный стандарт Российской Федерации - М.: Стандартинформ, 2009. - 36 с.
2. Афонин К.Ф., Решение задач предвычисления точности и оптимизации на ЭВМ ЕС. Методические указания. [Текст] / К.Ф. Афонин, С.Н. Ушаков. Новосибирск: НИИГАиК, 1988. - 34 с.
3. Афонин К. Ф., О выборе оптимального метода построения плановой геодезической сети на этапе проектирования [Текст] /К.Ф. Афонин // Известия вузов «Геодезия и аэрофотосъемка», 1989, №5, С. 50-54.
© К. Ф. Афонин, 2012
