Упрощение модифицированной теории Энскога для смесей газов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXV 1994 №1-2

УДК 533.1/.2

УПРОЩЕНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОЙ ТЕОРИИ ЭНСКОГА ДЛЯ СМЕСЕЙ ГАЗОВ

В. 3. Свойский

Проанализирован новый метод расчета коэффициентов переноса смесей простых газов повышенной плотности, представляющий собой обобщение модифицированной теории Энскога для чистых индивидуальных газов.

Предложено упрощение этой теории, полученное с помощью метода возмущений.

Проведен расчет коэффициента вязкости смеси гелий—азот при нулевой температуре. Результаты расчета сравниваются с экспериментальными данными и результатами ' ранее проведенных автором расчетов. Отклонение расчетных значений от экспериментальных не превосходит 5% ( в обоих случаях).

Известно, что разработка строгой кинетической теории плотных газов и их смесей еще не завершена. В частности, выражения для коэффициентов переноса газов и их смесей имеют приемлемую для расчетов форму лишь для малых плотностей [1—3]. Свойства переноса плотных газов и смесей рассчитываются с помощью упрощенных моделей.

Приближенная кинетическая теория Энскога—Торна для бинарных смесей твердых сфер [1] обобщена на многокомпонентные смеси в работе [4]. Она получила название «Стандартная теория Энскога» (СТЭ) [5]. Теория оказалась полезной для описания свойств реальных газов и смесей [4—7].

На базе СТЭ в статьях [8, 9] развит метод описания композиционной зависимости коэффициентов вязкости и теплопроводности плотных смесей газов. В работах автора [10—12] этот метод упрощен. Получен класс приближенных формул, обобщающий формулы типа Сазерленда—Васильевой на случай плотных смесей газов.

Важным для применения теории Энскога к реальным газам является определение эффективных диаметров твердых сфер и радиальных функций распределения. В статьях [8—11] эти величины подбираются таким образом, <щ)бы достаточно точно описать коэф-

фициенты переноса для чистых газов. В работе [12] необходимо указать лишь способ определения эффективного диаметра твердых сфер, так как вместо псевдорадиальных функций распределения используются известные радиальные функции распределения [4].

В последнем случае фактически используется теория Энскога для твердых сфер в предположении, что функциональная форма коэффициентов переноса этой теории не слишком отличается от реального случая. Для сравнения с экспериментом необходимо учесть температурную зависимость эффективного диаметра твердой сферы.

Упрощенные приближенные формулы для -коэффициентов вязкости и теплопроводности газовых смесей, полученные из теории Энскога в предположении малости недиагональных элементов матрицы по сравнению с диагональными, дают вполне приемлемые на практике оценки коэффициентов [10—12].

В последнее время в работе [13] предложено непосредственное распространение на смеси модифицированной теории Энскога (МТЭ) для чистых газов [7]. Это — адаптивная полуэмпирическая теория в том смысле, что она не получена строго из кинетической теории. Однако, как и МТЭ для чистых газов, она оказалась плодотворной в предсказании коэффициентов переноса простых газовых смесей.

Так, в работе [13] проведена проверка теории расчетом коэффициента сдвиговой вязкости смесей Не — Аг и № — Аг. Авторы получили отклонение от эксперимента, не превышающее 2% вплоть до плотностей 6 моль/л. При этом не использовались какие-либо сведения о коэффициентах переноса, а лишь сведения о втором и третьем вириальном коэффициентах уравнения состояния.

В настоящем исследовании поставлена задача о получении результатов на базе этой теории, если, во-первых, использовать упрощенную формулу, полученную автором [10], и, во-вторых, табличные значения приведенных вторых и третьих вириальных коэффициентов для потенциала (12—6) [2]. С этой целью проведены расчеты коэффициента вязкости смеси гелий—азот при температуре 0° С для трех составов.

Результаты расчетов сравнены с экспериментальными данными [14] и результатами расчета, проведенного автором ранее.

В обоих случаях отклонение результатов расчета от экспериментальных данных не превосходит 5% при плотностях до 16 моль/л и 3% при плотностях до 8 моль/л.

1. Модифицированная теория Энскога для смесей газов. Коэффициенты вязкости и теплопроводности плотных многокомпонентных смесей газов из твердых сфер в теории Энскога представляются в виде суммы двух членов, один из которых есть отношение определителей, второй — двойная сумма по числу компонентов. Первый член дает основной вклад при малых и умеренных плотностях. Роль второго возрастает с плотностью пропорционально ее квадрату [4,8—9].

В работах [10—12] получено упрощение этих сложных выражений за счет преобразования первого члена с помощью теории возмущений. Предполагается, что недиагональные члены определителей малы по сравнению с диагональными. В результате для коэффициента вязкости смеси из V компонентов получена следующая формула [10]:

HS * (yi / x,f (л! / xus)

l„7„ = > .-------------------------------------

lmix v

1 ll + tKxJ / xi)Gy{xfS/xfS)

i=l

l=\

2)

— 25 2 V • 2 HS

“mix = ~^n 2- * XJ ЦУ aij 4 ’

7=1

(3)

где n — плотность смеси, щ — молекулярная масса, х,- — мольная доля /-го компонента; верхний индекс HS относится к величинам для твердых сфер (hard sphere); верхний индекс ° обозначает величины для разреженного (неплотного) газа, GJJ — коэффициенты Сазерленда — Васильевой [10].

Величины а,у, входящие в формулы (2) и (3), определяются через диаметр твердых сфер о:

Здесь = х?? — радиальные функции распределения твердых сфер

/-го и у-го сорта при наличии молекул всех других компонентов в смеси.

Обобщение модифицированной теории Энскога на смеси получено следующим образом [13].

Давление V -компонентной смеси из твердых сфер с диаметрами а/ (/ = 1,...,у) определяется выражением

(4)

(5)

Величина т^. рассматривается [2] как коэффициент вязкости разреженного газа с молекулярной массой 2щт^ /\щ + ту) и диаметром а,у; г|°(. = т!° — коэффициент вязкости /-го компонента.

У

(6)

V

Рг = квТ

+ИВі№ + 'ECUkniftjnk+-

i=l i,j Uj,k .

верхний индекс г относится к реальному газу (real). Bjj ,Cjjk —

смешанные второй и третий вириальные коэффициенты уравнения состояния.

Приравнивая «тепловые давления» реального (8) и твердосферного (6) газа, получим

В' +TdB

Bij+T~dT

Wj + I

i,j,k

ИГГ

Cr (T) + T______

Ч]кУ1> + 1 dT

щп}пк+...=

(9)

i,j,k

t,J

Вследствие произвольности значений парциальных плотностей в (9) должны выполняться равенства

■ dBrtJ

B»f =%.(?) + Т-^,

nHS _nr , т’ dClJk

Ч/к ~4jk+J -

Подставляя (10) в выражение (7), получим

Bi? =BJj(T) + T^L

о HS„HS Bij *ij

+i

/t=ll_

dT

qjk(T) + T

dtf/к dT

nk+.

(10)

(И)

(12)

Расширенная МТЭ основывается на уравнениях (11) и (12), посредством которых равновесные свойства реального газа отображаются на свойства твердосферной жидкости.

Общее выражение для смешанных радиальных функций распре-

деления xff таково:

*Cijk

v C[jk(T) + Т-В{,(Т) + Т—У-

(13)

dT

Если известны наборы вторых и третьих вириальных коэффициентов и их температурных производных, то коэффициент сдвиговой вязкости смеси может быть вычислен подстановкой выражения (13) в уравнения (1)—(3) с учетом (4), (5).

Выпишем еще выражения для смешанных радиальных функций распределения в

хй5=1 + и

гп =1+п

Х?2=1 + п

В ряде случаев экспериментальные значения смешанных вири-альных коэффициентов, необходимые для использования МТЭ, отсутствуют. Вместо этого можно попытаться использовать наиболее широко известные таблицы приведенных вторых и третьих вириальных коэффициентов и их температурных производных для потенциала (12-6) [2].

Будем предполагать, что справедлив принцип соответственных состояний, хотя бы с некоторым приближением. Силовые постоянные межмолекулярного потенциала определим по методике, приведенной в монографии [15]. В основе этой методики лежат следующие правила комбинирования:

(17)

т. е. правила среднего арифметического для ег и среднего геометрического для б0 / Кв.

2. Результаты расчетов и обсуждение. Проведены расчеты коэффициента вязкости смеси гелий—азот при температуре 0° С и составах (1—гелий):

хг = 0,9475; = 0,5972; хг = 0,1588.

Силовые постоянные гелия и азота, а также значения приведенных вторых и третьих вириальных коэффициентов для потенциала (12—6) заимствованы из [2]. Далее, используя правила комбинирования (17), вычислены значения смешанных вторых и третьих вириальных коэффициентов и их температурных производных, входящие в уравнения (14)—(16).

ст12 = 2^СТп +ст22)>

/ \ е0

V. КВ )\2

ч_

\КВ)\ 1

( ч}

У К в )22

тном случае бинарной смеси:

СШ(Г) + Г

асш с1Т

*1 +

Ст(Т) + Т^

X2

Вп(Т) + Т

Ст(Т) + Т

аС\\2

ёТ

авп

ёТ

С122(Г) + Г

^122

ёТ

X2

*12(Т) + Т

авп

СП2(Т) + Т

ёс.

122

ёТ

х1 +

ёТ

С222(Т)+Т

ёС222

ёТ

х2

В22(Т) + Т

ёТ

(14)

(15)

(16)

125

Сравнение расчетных значений коэффициента вязкости смеси гелий—азот с экспериментальными

данными [14], 7ь=273,15 К

1,01325х хл = 0,9475 *5 = 0,5972 х, = 0,1588

х 105 Па „ моль р> —Г смл тЬксп ЛР[МТЭ] Чр „ моль Р. т см ’Ьксп Лр[МТЭ] „ моль Р. т см Лэксп т|р[МТЭ] Чр

10 20 0,00088 188,14 190,2 190,2 0,00088 183,76 185,6 185,02 0,000446 0,000892 170,64 172,37 172,2 174,1 171,3 172,1

40 0,00174 188,07 190,5 190,6 0,00174 185,13 186,9 185,81 0,001785 175,75 178,1 174,1

60 0,00259 187,82 190,9 190,9 0,00258 186,41 188,4 186,75 0,002666 178,99 182,6 176,6

80 0,00341 188,10 191,5 191,3 0,00340 188,01 190,3 187,85 0,003536 183,36 187,7 179,6

120 0,00501 188;92 192,5 192,2 0,00497 191,29 193,8 190,46 0,005220 193,07 199,0 187,4

200 0,00804 189,88 195,4 194,3 0,00788 199,11 202,8 197,22 0,008287 219,40 225,3 208,9

300 0,01146 191,78 198,9 197,4 0,01109 211,43 215,4 207,96 0,011476 250,35 260,96 243,6

400 0,01461 195,09 203,1 200,98 0,01390 223,71 229,1 220,62 0,014012 280,97 295,9 282,8

500 0,01750 198,75 207,4 204,85 0,01635 236,04 243,3 234,51 0,016042 316,80 328,6 323,2

Теперь могут быть выписаны выражения с числовыми коэффициентами для радиальных функций распределения х/у*:

71,77*!+227,29х2.

Хп 11,0346 ’

НБ _ л , 227,29x1 +568,47x2 .

*12 25,215 ’

„ЯУ _ , , 568,47x1 +890,9x2

*22 -1 + ” 54,67 ’

которые и были использованы в расчетах.

В таблице представлено сравнение расчетных значений коэффициента вязкости смеси гелий—азот с экспериментальными данными [14] и с результатами ранее проведенных автором расчетов. Отклонение расчетных значений от экспериментальных не превосходит 5% в обоих случаях.

Результат можно признать удовлетворительным, если учесть приближенный характер самой теории, погрешность определения силовых постоянных и недостаточную реалистичность потенциала межмолеку-лярного взаимодействия. Кроме того, использование в расчетах лишь второго и третьего вириальных коэффициентов ограничивает диапазон допустимых значений плотности.

Проведенные расчеты показывают, что расширенная модифицированная теория Энскога [13] дает достаточно надежный альтернативный способ расчета коэффициентов переноса смесей газов пввышен-ной плотности. Предложенное автором упрощение не приводит к заметному снижению точности результатов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Чепмен С., Каулинг Р. Математическая теория неоднородных газов. — М.: Изд. иностр. лит., 1960.

2. Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей.—М.: Изд. иностр. лит., 1961.

3. Ферцигер Дж. и Капер Т. Математическая теория процессов переноса в газах.—М.: Мир, 1976.

4. Tham М. К., Gubbins К. Е. Kinetic theoiy of multicomponent dense fluid mixtures of rigid spheres // J. Chem. Phys.-*-1971. Vol. 55, N 1.

5. De Haro M. L., Cohen E. G. D., Kincaid J. M. The Enskog theory for multicomponent mixtures. I. linear transport theory // J. Chem. Phys.—1983. Vol. 78, N 5.

6. S e n g e r s J. V. Thermal conductivity and viscosity of simple fluids // Int. J. Heat Mass Transfer.—1965. Vol. 8.

7. Hanley H. J. М., Me Carty R. D., Cohen E. G. D. Analysis of the transport coefficients for simple dense fluids: application of the modified Enskog theory // Physica.—1972. Vol. 60, N 2.

8. Di Pippo R., Dorfman J. R., Kestin J., Khalifa H. E., Mason E. A. Composition dependence of the viscosity of dense gas mixtures // Physica.—1977. Vol. 86 A.

9. Mason E. A., Khalifa H. E., Kestin J., Di Pippo R., Dorfman J. R. Composition dependence of the thermal conductivity of dense gas mixtures//Physica.—1978. Vol. 91A.

10. Свойский В. 3. Коэффициенты вязкости и теплопроводности газовых смесей при больших плотностях // Ученые записки ЦАГИ.—1982. Т. 13, № 4.

И. Свойский В. 3. Коэффициент теплопроводности газовых смесей при больших плотностях // Инженерно-физический журнал.—1985. Т. 48, № 3. '

12. Свойский В. 3. Приближенный метод расчета коэффициентов теплопроводности плотных газовых смесей // Инженерно-физический журнал,—1990. Т. 58, № 2.

13. Kincaid J. М., Perez S., Cohen Е. G. D. Modified Enskog theory for fluid mixtures // Physical Review A.—1988. Vol. 38, N 7.

14. Kao J. T. F., Кobayashi R. Viscosity of helium and nitrogen and their mixtures at low temperatures and elevated pressures // J. Chem. Phys.—1967. Vol. 47, N 8.

15. Рид P., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей. — JI.: Химия,

1971. '

Рукопись поступила 8/XII1992