Управление спектром собственных значении билинейных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема. Пусть отображение С непрерывно, и при любом £ Е Е, а Е Е отображение

С(£,а, ■) на множестве В (х0, — р(С(£,а0,х0),У)) ) а—накрывает множество V (здесь В (х, г)

\ а )

- замкнутый шар в метрическом пространстве X с центром в точке х, радиуса г). Тогда определенное равенством (1) многозначное отображение М : Е х Е ^ 2х удовлетворяет условиям (С1) - (СЗ).

ЛИТЕРАТУРА

1. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки. Докл. РАН, 2007. Т. 416, №2. С. 151-155.

Abstract: For a given function G and a set V the inclusion G(£, a,x) e V with parameters £, a and an unknown variable x is considered. A compact, upper semi-continuous, continuous for any £ with respect to a at a given point ao dependence of a solutions set от parameters is constructed for the case when G is a—covering

x

a—

Жуковский Сергей Евгеньевич аспирант

Российский университет дружбы народов

Россия, Москва

e-mail: [email protected]

Sergey Zhukovskiy

post-graduate student

Russian University of Nations Friendship

Russia, Moscow

e-mail: [email protected]

УДК 517.977.1

УПРАВЛЕНИЕ СПЕКТРОМ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ БИЛИНЕЙНЫХ

СИСТЕМ

© В. А. Зайцев

Ключевые слова: управляемая система; согласованность; управление спектром; билинейная система.

Аннотация: Получены новые необходимые и достаточные условия глобальной управляемости спектра собственных значений стационарных билинейных управляемых систем, в частности, систем с неполной обратной связью.

Рассмотрим линейную систему управления

х = А(ї)х + В (і)и, у = С*(і)х, (Ь,х,п,у) є ^1+га+т+й, (1)

в которой управление строится в виде и = и (і) у. Замкнутая система принимает вид

х = (А(і) + В(і)и(і)С*(і))х, х є М™. (2)

Наряду с системой с неполной обратной связью (2) рассмотрим билинейную систему

х = (А({) + и1^)А1^) + ... + иг(Ь)ЛГ(Ь))х, х Е Мп. (3)

Эта система имеет более общий вид по сравнению с системой (2). Все коэффициенты систем предполагаем ограниченными, кусочно непрерывными функциями. Рассмотрим задачу о стабилизации системы (3). В стационарном случае она заключается в построении (стационарного) управления, которое перемещает спектр собственных значений матрицы системы в левую полуплоскость. В нестационарном случае речь идет о задаче управления характеристическими показателями Ляпунова. В работе [1] было введено понятие согласованности для системы (1). Система (1) называется согласованной на [£о,£о + $], если существует I > 0 такое, что для в сякой С Е Мп найдется кусочно непрерывное управление и : [£о,£о + $] ^ Мт£ такое, что решение матричной задачи Коши ^ = А(Ь)% + В({)и({)С*^)Х^^о), %^о) = 0 удовлетворяет условию %(£о + $) = С, при этом \и(£)| ^ 1\С\, t Е [£о, £о + $]; здесь X^, в) — матрица Коши системы х = А(1)х. Свойство согласованности системы (1) является обобщением понятия полной управляемости для системы с наблюдателем. Если С^) = I, то есть обратная связь полная: и = и^)х, то согласованность системы (1) эквивалентна полной управляемости системы (1). На основе свойства согласованности в работах Е.Л. Тонкова, С.Н. Поповой, Е.К. Макарова был получен ряд результатов о локальной управляемости показателей Ляпунова системы (2), локальной достижимости и локальной ляпуновской приводимости системы (2) (см. обзор результатов в работе [2]). Далее, в работе [3] определение согласованности было обобщено для билинейной системы (3). Определение для системы (3) такое же, только вместо матрицы В({)и^)С*^) и управления и^) Е Мт^ записана матрица Хл=1 П(^А^) и строится управление и(^ Е Мг соответственно.

Предположим теперь, что системы (2) и (3) стационарны

х = (А + ВиС*)х, х Е Мп, (4)

х = (А + и1А1 + ... + игАг)х, х Е Мп. (5)

Рассмотрим задачу об управлении спектром в системах (4) и (5). Будем говорить, что спектр собственных значений системы (4) (или (5)) глобально управляем, если для любого многочлена р(Х) = Хп + ^1^™-1 + ... + 7™, гДе 1г Е М, существует вещественное постоянное управление

и Е Мт,к (соответственно и Е Мг) такое, что характеристический многочлен х(А + В11С*; Х) (со-

ответственно, х(А + Х] 1=1 ПъАг; Х) совпадает с р(Х). Очевидно, если спектр глобально управляем, то система стабилизируема с помощью стационарного управления.

Для системы с полной обратной связью, то есть системы (4) с матрицей С = I, известен классический результат об управляемости спектра: спектр глобально управляем тогда и только тогда, (А, В)

гапк [В, АВ,..., Ап-1В] = п. Отметим здесь также, что когда матрица А циклическая, то есть в ее жордановой нормальной форме различным клеткам Жордана соответствуют различные

А

га, см. ниже), то тогда условие гапк[В, АВ,..., Ап-1В] = п равносильно тому, что матрицы В, АВ,..., Ап-1В линейно независимы (ср. с теоремой 1).

Е.Л. Тонковым был поставлен вопрос о взаимосвязи свойства согласованности и управляемости спектра, а также вопрос о критериях управляемости спектра для системы с неполной обратной связью (4) и для билинейной системы (5). Здесь установлены новые необходимые и достаточные условия глобального управления спектром, в случае когда коэффициенты систем (4) и (5) имеют специальный вид. Эти условия равносильны условиям, указанным в работе [4], но имеют более простую формулировку. Также установлена взаимосвязь между свойством согласованности и глобальной управляемости спектра.

А

форму Хессенберга, то есть элементы надднагоналн не равны нулю, а элементы, расположенные выше наддиагоналп, равны нулю; первые р — — строк матрицы В и последние п—р строк матрицы С равны нулю; первые р — — строк и последние п — р столбцов матриц А[, I = —,... ,г равны нулю; р Е { — ,..., п}. В этих предположениях справедливы теоремы.

Теорема 1.

—. Систем а (4) согласованна.

2. (4)

3. Матрицы С*В, С*АВ,..., С*Ап-1В линейно независимы.

Имеют место импликации — =^ 2 3.

Теорема 2.

—. (5)

2. Спектр системы (5) гло^льно управляем.

3. Ранг (п х г)-матрицы {8р(А^-Аг-1')}п_1^_1 Р°'вен п.

Имеют место импликации — =^ 2 3.

Из этих теорем вытекают очевидные следствия о стабилизации систем (4) и (5).

1. Попова С.Н., Тонкое Е.Л. Управление показателями Ляпунова согласованных систем. I // Дифференциальные уравнения. 1994. Т. 30. № 10. С. 1687-1696.

2. Tonkov E.L. Uniform attainability and Lyapunov reducibility of bilinear control system // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. Suppl. 1. 2000. P. S228-S253.

3. Зайцев В.А., Тонкое Е.Л. Достижимость, согласованность и метод поворотов В.М. Миллионщикова // Известия вузов. Математика. 1999. № 2. С. 35-44.

4. Зайцев В.А. Об управлении спектром и стабилизации билинейных систем // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2008. Вып. 2. С. 49-51.

Abstract: new necessary and sufficient conditions of global controllability of eigenvalue spectrum have been obtained for stationary bilinear control systems, in particular, for systems with an incomplete feedback.

Keywords: control system; consistency; control over spectrum; bilinear system.

ЛИТЕРАТУРА

Зайцев Василий Александрович к. ф.-м. н., доцент

Удмуртский государственный университет Россия, Ижевск e-mail: [email protected]

Vasiliy Zaitsev

candidate of phys.-math. sciences, senior lecturer Udmurtian Stste University Russia, Izhevsk e-mail: [email protected]