Управление многономенклатурными запасами в условиях неопределенности и нестационарности. Ч. II. Создание страховых запасов Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

а-

УДК 501-77:519.24:658.7.01

УПРАВЛЕНИЕ МНОГОНОМЕНКЛАТУРНЫМН ЗАПАСАМИ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И НЕСТАЦИОНАРНОСТИ1. Ч. II. Создание страховых запасов

А.С. Мандель

Рассмотрена «стохастическая» часть проблемы управления многономенклатурными складскими запасами в условиях неопределенности и нестационарности. Построено решение задачи формирования дополнительных заказов на пополнение запасов (страховых запасов) в целях компенсации случайных отклонений спроса от выделенных трендов.

Ключевые слова: управление запасами, условия неопределенности, нестационарность, эксперт-но-статистический подход, адаптивный алгоритм, калмановская фильтрация.

ВВЕДЕНИЕ

В первой части настоящей работы [1] были представлены результаты по «детерминистской части» общей процедуры управления многономенклатурными запасами в условиях неопределенности и нестационарности. Один из результатов заключается в выявлении того факта, что задача управления дополнительными поставками с целью компенсации случайных возмущений спроса (управления страховыми запасами) для товаров из групп А и В становится задачей управления запасами с периодическим контролем за состоянием запасов и дискретным временем в условиях неопределенности. Предполагается, что априори неизвестны статистические характеристики наблюдаемых случайных процессов (например, спроса), а собираемые в процессе эксплуатации системы данные могут быть неполны и содержать ошибки.

Далее рассматривается один из подходов к постановке и решению этой задачи.

1. ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ СТРАХОВЫМИ ЗАПАСАМИ

Итак, задача управления компенсационными поставками представляет собой задачу с дискрет-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 09-07-00195-а).

ным временем в интервале планирования целочисленной длины N. Исходными данными служат разности между прогнозируемыми трендами

{у. (и), и = 1, 2, ..., N V/ е 1,1} и реальными значениями спроса {у.(и), и = 1, 2, ..., N V/ е 1,1}. Иначе говоря, «спрос» в задаче управления страховыми запасами описывается стохастическим процессом разностей между прогнозами и реальными

значениями спроса {гг(и) = у 1 (и) — у (и), и = 1, 2,

..., N V/ е 1,1}. Термин «спрос» взят в кавычки, поскольку выписанные разности могут оказаться не только положительными, но и отрицательными. Поэтому областью определения соответствующих функций распределения спроса на одном шаге (которые неизвестны) является не только положительная полуось [0, да), но вся вещественная ось (—да, +да). Потребители обретают «волшебную» возможность не только покупать товары, но и возвращать их (по той же цене, что и купили).

Помимо этой особенности можно рассчитывать, как минимум, еще на одну. Как отмечается в работе [2], процесс взятия разностей увеличивает вероятность формирования стационарного случайного процесса (тем больше, чем большая по порядку разность берется). Процедура взятия разностей является одной из процедур «остационари-вания» временного ряда. В надежде на то, что уже

первая разность приблизит формируемый в результате ряд {гг(п), п = 1, 2, ..., N1 к стационарному, продолжим рассмотрение задачи.

1.1. Однономенклатурный случай

Рассмотрим тот вид товара, спрос на который стохастически не связан со спросом на другие виды товаров. Процесс изменения спроса описывается моделью взаимно независимых, одинаково распределенных случайных величин {г(?), ? = 1, 2, ..., N1 с неизвестной функцией распределения Дг). Тогда, если в качестве критерия планирования принят минимум суммарных средних затрат на периоде планирования, для оптимальной стратегии пополнения запасов можно записать следующие уравнения динамического программирования:

C* (x) = min <! A1(u) + cu +

u > 0 1

+ h J (x + u - z)dF(z) +

-да да

+ d J (z - x - u)dF(z)

(1)

u>0

Ct* (x) = min <{A1(u) + cu +

+ h J (x + u - z)dF(z) +

—да да

+ d J (z - x - u)dF(z) +

x + u

+ a C*_ J (x + u - z)dF(z)

(2)

n = 2, 3,

N.

Здесь 1(и) — функция единичного скачка (функция Хэвисайда), а, 0 < а < 1 — коэффициент дисконтирования, а С* (х) — минимально возможное значение затрат на ? последних шагах (до конца периода планирования: так называемое «обратное» время), если за ? шагов до конца периода планирования уровень запасов в системе х.

Известно [3], что в системе, оптимизация которой задается уравнениями (1) и (2), оптимальны двухуровневые (Я, г)-стратегии управления запасами. Это означает, что для каждого момента времени ? (при отсчете времени от конца периода планирования) существует пара чисел Я, Я > 0 и г^,

г < Я, таких, что правило подачи заказов и(х) за ?

шагов до конца периода планирования может быть задано следующей формулой:

u(x) =

Rt - x, если x < rt, 0, если x > rt.

Известно также, что в стационарном режиме (когда N и t стремятся к бесконечности) в силу существования пределов R = lim Rt и r = lim rt су-

t ^ да t ^ да

ществуют два числа R и r, которые полностью задают оптимальную стратегию управления запасами.

Поскольку распределение F(z) неизвестно, необходимо воспользоваться адаптивными алгоритмами. Как показано в работе [4], адаптивные алгоритмы для вычисления значений параметров R и r имеют вид

+

Rn + 1 = R n in 1

c + h z +

n

R - r

LJ1n 'n

(Rn - Гп )

(A + R n (c + h + 2d) +

/V - c -2 r ~

+ rn (c - d) z - 2 Zn + (h + d)n2( R n, rn; Zn)

R2 - r2

- dRn rn

2

(3)

rn + 1 = rn + fn

+ (c - h) zn ) +

R - r

nn

(A + R n (c + h) - crn +

1

(Rn - Гп ) c -2

(A + R n (c + h + 2d) +

+ Гп (c - h)) zn - 2 zn + (h + d)^(Rn, Гп; zn)

R2 - r2

- dRn rn

2

(4)

где n — так называемое «прямое» время: n + t = N,

z = nzJ z + 1 z

n n n - 1 и

1

n

-2 = n-1 -2 + 1 z2 zn n zn -1 nzn;

Отметим, что поскольку отсчет времени ведется от конца периода планирования, то стационарный режим связан с началом периода планирования. Иначе говоря, при N ^ да стационарные управления используются сразу — с первых шагов периода планирования.

Я х

п2(К, г; г) = 11 1(у - гМуйх = |max{x - г, 0}^х

г 0

22 К - г

- г( К - г), если г < г,

К2 - £, 2 -2

г(К- если г< г< К,

0, если К < г.

Коэффициенты у^ и у^ в алгоритмах (3) и (4) удовлетворяют известным условиям на коэффициенты алгоритмов стохастической аппроксимации:

да да да

X ^ = ^ X()2 < ^ X = ^

п = 1 п = 1 п = 1

да

X (уП' )2 <

п = 1

и благодаря разумному выбору этих коэффициентов (их «масштабированию») можно существенно ускорить работу алгоритмов (3) и (4). Результаты экспериментов [5] показали, что уже на 8—12 шагах

работы этих алгоритмов значения оценок К п и Тп отличаются от истинных значений параметров К и г не более чем на 5 %.

Отсюда следует, что даже для нестационарного случая, когда вместо одного общего распределения Дг) имеет место семейство распределений {Р/г)}

и при плавном со временем t изменении статистических характеристик распределения Р^(г) алгоритмы (3) и (4) оказываются вполне работоспособными.

1.2. Многономенклатурный случай

При наличии межноменклатурных корреляций и временных автокорреляций между значениями спроса в разные моменты времени на один и тот же продукт решение проблемы оптимального управления запасами в целях создания адекватных многономенклатурных страховых запасов по критерию минимума суммарных средних затрат становится затруднительным. Выходом из положения может стать замена критерия. При этом альтернатива перехода на так называемые «близорукие» стратегии управления запасами, когда вместо суммарных затрат используются одношаговые затраты, рассматриваться не будет.

В самом деле, при создании страховых запасов решается вопрос обеспечения малой вероятности того, что система снабжения «провалится» в дефи-

цит или окажется «затоваренной». При этом на этапе решения детерминированной задачи управления запасами по трендам (п. 2.3 статьи [1]) суммарные затраты уже были минимизированы. Случайные отклонения от трендов, которые здесь и исследуются, «шевелят» состояние системы управления запасами (в том числе, и по финансовым затратам), как правило, в пределах 5—10 % минимизированной в п. 2.3 статьи [1] суммы затрат. Отсюда вытекает, что на этапе создания страховых запасов вместо затратных критериев могут использоваться критерии, связанные с обеспечением заданного уровня обслуживания потребителей на каждом шаге периода планирования. Воспользуемся результатами, полученными в работе [6].

1-т / (1) (2) (/К Т

Пусть = (г) , г) , ..., г) ) — вектор спроса

(случайных отклонений от тренда) на шаге t прямого времени, где г( г) — спрос на шаге t на продукт

/, / е 1,1. Тогда дополнительный (страховой) запас

/ (1) (2) (/) ,Т (г)

= (л) , л) , ..., л) ) , где л) — страховой запас

продукта /, / е 1,1, на шаге t, должен быть выбран так, чтобы максимизировать вероятность

Р(г. < б,) = тах Р(г. < х.),

(5)

/ (1) (2) (/К Т

где xt = (х) , х) , ..., х) ) — вектор запаса на шаге t, который должен удовлетворять следующему бюджетному ограничению Ф:

сТх < Ф,

(6)

где с = (с1, с2, ..., с/) — вектор закупочных цен на хранящиеся на складе продукты. Трудности решения задачи (5), (6) обсуждаются в работе [6].

Другой вариант критерия — минимаксный, а именно: требуется найти

б, = аг§тах{ттР(г((г) < х(г)}, (7)

х г

при выполнении ограничения (6). Важное свойство решения задачи (6), (7) состоит в выполнении соотношения

Р(г(г) < 4г)) = Р(г(г) < ) V/, ] е 17.

Другое свойство решения задачи (6), (7) заключается в том, что оно зависит только от средних значений и дисперсий одномерных распределений спроса. Используя поступающие в процессе эксплуатации склада данные о его функционировании, эти величины нетрудно оценить (хотя бы грубо).

Я

г

2

х

Теперь будем считать, что вектор страховых за/ (1) (2) (1)\ Т тт

пасов 8* = (, , ..., ) определен. Пусть также векторный спрос представляет собой авторегрессионный процесс первого порядка с произвольными межноменклатурными корреляциями. Введем матрицу ковариации К и рассмотрим задачу управления страховыми запасами, т. е. поддержания дополнительных компенсирующих запасов на уровне, максимально близком к при неизвестном распределении спроса (как отмечено ранее, грубые оценки построены только для средних значений и дисперсий) — задачу стабилизации страховых запасов, см. также работу [7]. Итак, требуется найти

аг§штЕ{(^ - - st)},

Рис. 1. Результаты работы фильтра Калмана: исходные данные (точки), данные на выходе фильтра (сплошная линия) и разность между ними; Q = 50, Я = 10

где и, — управление (размер заказа на пополнение

запасов), а Е — оператор вычисления математического ожидания.

Для описания авторегрессионного процесса спроса введем матрицу

Н = Е{(ж, - Еж,)(ж, + 1 - Еж, + 1)Т}.

Полагая А = НК-1, В = [К - НК-1Нт]-1/2 и Еж, = т*, можно записать модель формирования

спроса в виде ж* + 1 = Аж* + т* - Ат* + ВХ*, а уравнение наблюдений представимо как с;* = zt + л*, где Х и цt — стационарные белые шумы.

Принимая во внимание гипотезу разделимости, можно записать оптимальный размер заказа

(по страховым запасам) в виде и, = (8, - х* _ 1 + ж t)+, где ж* — калмановская оптимальная оценка вектора спроса: ж 0 = т0, ж* +1 = Аж* + т* +1 - Ат* + + - ж,), Г, = АВ/Р + В,)-1, Б, + 1 = АВ*АТ -- АВ*(О + В*)-1В*АТ + J, J = ЕХХТ и О = Е''Т.

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ КАЛМАНОВСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ СПРОСА

Пусть, как и в п. 1.2, процесс формирования спроса описывается уравнением авторегрессии первого порядка

^ + 1 = а* ^ + + ^ а наблюдаемыми являются величины ^ = ^ + Пг

На случайные процессы ^ и п* наложены следующие ограничения: < р*, Е(£*) = Е(п*) = 0, Е(£Ду) = 05*,, Е(п, п5) = Я8&, где — символ Кро-некера.

Алгоритм прогнозирования имеет следующий вид:

^ +1 = аА + Р* + - Ъ^ *о = 0;

Л 2

г* = -О—; * о2 + я

(8)

2 Л 2

О2+1 = Л2 + Я - аЛ-; Л2 = 0.

Л 2 + я

Выбор коэффициента усиления г*, задаваемый уравнением (8), предложен в работе [6].

2.1. Результаты моделирования

На рис. 1 и 2 представлены примеры результатов моделирования работы фильтра Калмана для конкретных значений дисперсий шумов состояния \ и п* и наблюдения \ и п* (0 и Я соответственно).

В целом моделирование показало, что для случая, когда 0/Я > 1, фильтр Калмана хорошо отслеживает траекторию и сохраняет достаточно высокие частоты. В случае же, когда 0/Я < 1, фильтр оставляет лишь низкие частоты, следя за

ту [8].

Моделирование выполнено А.С. Коноваловым. См. рабо-

Рис. 2. Результаты работы фильтра Калмана: исходные данные (точки), данные на выходе фильтра (сплошная линия) и разность между ними; Q = 10, R = 200

общей динамикой (трендом) процесса формирования спроса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрен общий подход к решению задач управления многономенклатурными запасами в условиях неопределенности и нестационарности. Предложена многоэтапная процедура решения задачи, суть которой заключается в том, что на первых этапах выделяются тренды, включающие в себя и сезонные компоненты спроса, а затем на основе выделенных трендов решается детерминированная многономенклатурная задача управления запасами. На последующих этапах исследуется проблема формирования дополнительных заказов на пополнение запасов с целью компенсации случайных отклонений спроса от выделенных трендов.

Выбраны модели и построены алгоритмы (адаптивные и фильтра Калмана) формирования корректирующих поправок для управления запа-

сами (страховыми запасами) при учете случайных флуктуаций спроса, базирующиеся на известных и вновь разработанных методах управления запасами с использованием вероятностных моделей.

Приведены результаты моделирования алгоритмов калмановской фильтрации как средства прогнозирования и управления состоянием складских запасов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мандель А.С. Управление многономенклатурными запасами в условиях неопределенности и нестационарности. Ч. I. Нормативная модель // Проблемы управления. — 2011. — № 6. — С. 47—51.

2. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. — М.: Мир, 1974. — 288 с.

3. Хедли Д., Уайтин Т. Анализ систем управления запасами. — М.: Наука, 1969. — 512 с.

4. Мандель А. С., Семенов Д.А. Адаптивные алгоритмы оценки параметров оптимальных стратегий управления запасами при ограниченном дефиците // Автоматика и телемеханика. — 2008. — № 6. — С. 117—128.

5. Belyakov A.G., Mandel A.S., Semenov D.A. Expert-Statistical Processing of Data and the Method of Analogs in Solution of Applied Problems in Control Theory // Preprints of the 17th World Congress. July 6—11, 2008, Seoul, Korea. — P. 3180—3185.

6. Лотоцкий В.А., Мандель А.С. Модели и методы управления запасами. — М.: Наука, 1991. — 190 с.

7. Первозванский А.А. Математические методы в управлении производством. — М.: Наука, 1975. — 616 с.

8. Коновалов А.С., Мандель А.С. Применение фильтра Калмана для прогнозирования спроса при решении задач управления запасами // Теория активных систем. Труды между-нар. науч.-практ. конф., 17—19 ноября 2009 г., Москва / ИПУ РАН — М.; 2009. — Т. 1. — С. 259—263.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

А.А. Дорофеюком.

Мандель Александр Соломонович — д-р техн. наук,

зав. лабораторией, Институт проблем управления

им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва,

Ш (495) 334-88-41, И [email protected].

Побая книга

Клочков В.В. Управленческие аспекты развития экономической науки. — М.: ИПУ РАН, 2011. — 278 с.

Экономическая наука рассмотрена как элемент системы управления экономикой — и как объект, и как субъект управления. Обсуждены проблемы управления развитием экономической науки, феномен ее политизации, проблемы повышения эффективности управления социально-экономическими системами на основе результатов экономических исследований. Теоретические модели проиллюстрированы примерами.

Для широкого круга экономистов (научных и практических работников, преподавателей, студентов, аспирантов и докторантов) и представителей иных областей науки.

Электронную версию см. по адресу: http://www.mtаs.ш/seаrch/seаrch_results.php?puЫюаtюnJd=18689

46

CONTROL SCIENCES № 1 • 2012