А.Б. Валяев, С.Г. Кривошлыков
ФОРМИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ В ПРОДОЛЬНО-НЕОДНОРОДНЫХ АСИММЕТРИЧНЫХ ГРАДИЕНТНЫХ ВОЛНОВОДАХ
Определение и формирование волнового фронта пучков представляет интерес в связи с исследованием распространения излучения различной природы в волноводах как искусственного, так и естественного происхождения.
Если показатель преломления среды п в масштабе длины волны Л меняется незначительно ((Л/п)Уп)«1, то распространение излучения для гармонических полей описывается скалярным уравнением Гельмгольца [і — 3]:
ДФ + капа¥ = 0, (1)
к = 2п/\.
Уравнение (1) допускает точное решение в квадратурах лишь для ограниченного числа функций п(г) - эталонных профилей показателя преломления, обзор которых дан в [1].
Градиентные волноводы с симметричным профилем обычно аппроксимируются параболическим распределением показателя преломления. При этом уравнение (1) в параксиальном приближении эквивалентно уравнению Шрединге-ра для гармонического осциллятора с переменной частотой. Это позволяет для его исследования использовать хорошо развитые методы квантовой механики. Например, в [4] были найдены коэффициенты связи между модами начального и конечного продольно-однородных участков при наличии в волноводе регулярных продольных неоднородностей. Полученные выражения по-
зволяют определить волновой фронт пучка на выходе волновода, если он известен на входе. При этом формирование требуемого волнового фронта можно проводить путем введения необходимых продольных неоднородностей среды.
С другой стороны, по известным параметрам пучка в таких волноводах можно решить обратную задачу - определять параметры неоднородностей среды. Так, в [5] для нахождения изменения градиентного параметра волновода и величины поперечного смещения оси предлагается использовать экспериментально полученные относительные интенсивности мод, а в [б] по измерениям конечной ширины пучка при различных начальных находить закон изменения продольных неоднородностей волновода.
Аналогичные задачи для асимметричных градиентных волноводов до сих пор не рассматривались, хотя и представляет интерес, так как ряд градиентных волноводов характеризуется ярко выраженной асимметрией. Такими волноводами являются большинство подводных звуковых каналов (ПЗК) глубокого и мелкого океана (например, ПЗК Средиземного моря [7]),а также ионосферные радиоканалы [2]. Асимметрия в поперечном распределении показателя преломления наблюдается также в диффузных интегрально-опти-ческих световодах и активных волноводах, возникающих в поперечной плоскости гетероструктурных лазеров [з].
В данной работе для исследования формирования волновых фронтов в асимметричных волноводах предлагается использовать новый эталонный профиль, учитывающий продольные неоднородности градиентной среды. На основе предложенного модельного профиля исследуются задачи:
- влияние параметров продольных неоднородностей на волновой фронт излучения;
- восстановление параметров неоднородностей по известным параметрам
излучения.
Для простоты рассматривается двумерный волновод и вводится эталонный профиль показателя преломления:
па(х; г) = п2(х0; г) - о2(х2-х2) - 2д {— - К) х>0, д>0 (2)
о
где:
хо - координата оси волновода;
п(хо; г) - показатель преломления на оси;
со - градиент показателя преломления;
д - параметр асимметрии.
Уравнение (1) в параксиальном приближении для профиля (2) эквивалентно уравнению Шредингера для сингулярного осциллятора, что позволяет для его исследования использовать методы квантовой механики [8].
Произвольное поле |Ф> в волноводе (2) можно разложить по модам, причем квадраты модулей коэффициентов разложения |<п|У>|2 задают распределение поля между модами. Если среда однородна в продольном направ-
лении, то в параксиальном приближении все моды распространяются с одинаковыми групповыми скоростями (спектр постоянных распространения мод эквидистантен [9]) и начальный фазовый фронт возбуждающего пучка периодически восстанавливает свою форму. Причем в промежутках между значениями г, при которых восстанавливается фронт пучка, зная параметры среды, легко рассчитать фазовый волновой фронт пучка.
Наличие продольно-неоднородного участка в среде (2) приводит к перераспределению энергии между модами, т.е. к изменению амплитуды поля волны.
Авторами найдены коэффициенты связи мод и реккурентные соотношения для их расчета при стыковке двух асимметричных градиентных волноводов. Полученные соотношения позволяют определить волновой фронт пучка во втором волноводе, если он известен в первом.
Приведем выражение для интегралов перекрытия мод:
---- I
2\/ со со . , , \ , 1 со., I , \ а +ш+1, а +п+1 2
Тп = (______1_1)*<а1+аа>+1(_1)*(а1-а2> (г[-Ц------—Ц-------]) х
га со1+со2 ш2 *■ п+1, т+1
На1+а2)+1 2(о1 2со2
* ГЕ а 1+1, аТг] • Га(*(а1+аа)+1, -п, -ш; а^!, а^!;^^-, ^-) , (3)
где:
|т>, Iп> соответственно моды первого и второго волноводов;
А, а ,...а р 1
ГЬг—уГ------------(Н = П Г(ак)/ П Г(ЬГ);
Ь1, Ь2,...,Ь1 к=1 к Г=1 Г
Г(1) - гамма-функция;
Г2 - функция Аппеля двух переменных.
Коэффициенты связи определяются квадратами модулей интегралов перекрытия между модами, координата оси волновода связана с параметром а: аа 1
х2 = • 1=1 2,
Хо. 1 ’ '
1 1
а смещение оси волновода также полностью определяется через заданные параметры:
• 151
О 12
Далее исследуется влияние регулярного продольного изменения градиента среды на волновой фронт пучка при а=сопз^ В этом случае также найдены коэффициенты связи между модами и реккурентные соотношения для их расчета. Коэффициенты связи симметричны и полностью определя-
ются численными параметрами: И - коэффициентом надбарьерного отражения [4] и а - параметром асимметрии среды (2).
Для экспериментального определения данных численных параметров можно использовать относительные интенсивности мод д(п>, п)=«^/Ю°
* - pfrftSf - ч11'01] <6>
a . q»(1.0) - q(2,0) . (7)
q (2,0) - q2(1,0)/2
2
В случае стыковки двух волноводов при a=const и различными о)п,
, аз„ - со .
^ ? 1 2 Асо
градиентными параметрами можно оценить параметр И. И = —----------------- = -г— .
СО^ + С02 /.(О
Тогда из (6) получаем оценку изменения градиентного параметра.
В заключение метод восстановления закона продольных неоднородностей волновода с параболическим профилем показателя преломления, который предложен в [б] , обобщается на асимметричные волноводы (2).
Данная задача сводится к решению интегрального уравнения Гельфан-да - Левитана - Марченко:
К (х, у) + Г (х+у) + 7к(х, у)ги+у)с^=0, х<у,
X
где: Е(х)*п 1 Re.fr (ш)е ^ШХ(Зш - спектральная функция; о
г(ш)=Н^.е1(6а"61) - коэффициент отражения.
Для определения спектральной функции необходимо найти коэффициент отражения при различных ширинах падающего на неоднородный участок пучка. Коэффициент отражения можно вычислить, используя выражение [9];
<х2> = ——-----------{(1+Ю а+4Нсоэ26 -4н^соэ6 [соэ(2ш+Е+26 -б )+Исоз (2ш+Б-б )]}
ксо+ (1-Ю 2 12
Данное выражение связывает конечную ширину пучка с коэффициентом отражения. Определяя таким образом спектральную функцию и решая интегральное уравнение, находим К(х, у) и восстанавливаем неизвестный
со2 (£) = - (х, х).
Литература
1. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. - М.: Наука, 1973.
2. Гуревич А.В.,Цедилина Е.Е. Сверхдальнее распространение коротких радиоволн. - М.: Наука, 1979.
3. Адамс Л.М. Введение в теорию оптических волноводов. _ М.: Мир, 1984.
4. Кривошлыков С.Г., С и с а к я н И.Н. - Квант, электр., 1980, т. 10, с. 553.
5. Krivoshlykov S.G., Sissakian I.N. -Opt. and Quant. Electr., 1983, vol. 11, p. 393.
6.Кривошлыков С.Г., Петров Н.И., С и -с а к я н И.Н. - Письма в ЖТФ. 1985, т. 11, с. 891.
7. Лерой К. -В кн.: Подводная акустика. - М.: Мир, 1970, 274.
8. М а л к и н И.А., Манько В.И. Динамические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. - М.: Наука, 1979.
9. Валяев А.Б., Кривошлыков С.Г., С и -сакян И.Н. - Препринт ИОФАН, 1986, т. 68.