Улучшение предпрогнозных характеристик экономических временных рядов путем их декомпозиции c элементами агрегирования Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 510.6:681.3

УЛУЧШЕНИЕ ПРЕДПРОГНОЗНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭКОНОМИЧЕСКИХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ПУТЕМ ИХ ДЕКОМПОЗИЦИИ

С ЭЛЕМЕНТАМИ АГРЕГИРОВАНИЯ

© 2007 г. 0.M. ffwaweeea

In the paper is described method of decomposition with elements of aggregation for purposes of improving of their preprognose characteristics. The values of preprognose characteristics are fulfilled with the help of methods of nonlinear science, in particular of implementation of fractal analysis.

Объектом исследования являются оптовые (продуктовые) магазины торгово-закупочной сети, ориентированные на обслуживание потребителей как в розницу, так и оптом. Предмет исследования - временные ряды показателей подневных объемов реализации продуктовых товаров, а также методы и модели пред-прогнозного анализа этих рядов на основе декомпозиции с элементами агрегирования.

В качестве конкретного иллюстративного примера, относящегося к объекту исследования, рассматривается временной ряд (ВР) подневных объемов реализации продуктового оптового магазина. Принципиально существенным является тот факт, что поднев-160000

140000 120000 100000 80000 60000 40000 20000 0

ные объемы циклически следуют друг за другом по семи дням недели.

Для визуализации динамики ВР, обозначаемого

соответственно через 2 = ^2^, / = 1,2,...,п , на рис. 1

представлена гистограмма, где индексом / пронумерованы его уровни (объемы подневной реализации);

2/ - объем реализации товаров оптового магазина,

выраженный в рублях в день /-го наблюдения; п -количество наблюдений за период с 25.07.2005 по 05.02.2006 г., п = 196.

Рис. 1. Гистограмма ВР 2 объемов продаж оптового магазина, руб.

В процессе статистического анализа рассматриваемого ВР одним из важнейших (в контексте прогнозирования) является вопрос о том, подчиняются ли уровни рассматриваемых ВР нормальному закону. Визуализируя ВР, представленный на рис. 1, можно высказать предположение о его неподчинении нормальному закону.

В качестве подтверждения этого тезиса приводим на рис. 2 гистограмму эмпирической функции распределения ВР 2 .

0,45 0,40

0,25 0,20

0,10 0,05

X

Рис. 2. Эмпирическое распределение для ВР Z 3

0

z

1070

В пользу визуализационного подтверждения отсутствия подчинения нормальному закону говорят также численные значения коэффициентов асимметрииЛ(2) и эксцесса Е(2) для рассматриваемого ВР (табл. 1), которые в случае нормального распределения принимают соответственно значения 0 и 3.

Таблица 1

Статистические показатели для ВР X

ВР Коэффициент асимметрии A(Z) Коэффициент эксцесса E (Z )

Z 1,73 8,53

На основании табл. 3 на рис. 3 представляем в графическом виде нечеткое множество глубины памяти исходного ВР 2. В этом ВР доминирует значение ц(3)=0,9, т.е. преобладает критически минимальная глубина памяти, что указывает на «отсутствие» этой памяти, и следовательно, трендоустойчивости [1] ВР 2. Отсутствие трендоустойчивости дает весьма веские основания для утверждения плохой прогнозируе-мости рассматриваемого ВР.

Таблица3

Нечеткое множество глубины памяти исходного ВР Ъ

Как отмечено в [1], в контексте предпрогнозного анализа особое значение придается тому, содержит ли рассматриваемый ВР «тяжелый хвост» [2] или не содержит. Характер изменения веса «тяжелого хвоста» можно оценить численным значением коэффициента эксцесса. Для всякого нормального распределения он принимает одно и то же значение Е = 3 . Чем больше для данного ВР отклоняется Е(2) от числа 3, тем в большей степени зависит поведение этого ВР от его «хвоста». Кроме того, с целью выявления «тяжелых хвостов» каждого ВР вычисляются и сравниваются вклад в Е(2) точек «головы» [2] (т.е. точек в окрестности ±3а относительно математического ожидания М), и вклад в значение точек «тяжелого хвоста» (т.е. точек за пределами окрестности «головы» М ± 3а, где а - стандартное отклонение уровней рассматриваемого ВР).

Рассматриваемый ВР обладает «тяжелым хвостом» (табл. 2). В качестве основного вывода из результатов, полученных в процессе статистического анализа рассматриваемого ВР, можно утверждать, что он слабо прогнозируется с помощью классических методов [3].

Таблица 2

Показатели коэффициентов эксцесса

Глубинаl Количество N(l) Доля d(l) M(l)

3 53 0,28 0,9

4 39 0,21 0,68

5 32 0,17 0,55

6 21 0,11 0,35

7 17 0,09 0,29

8 10 0,05 0,16

9 8 0,04 0,13

10 6 0,03 0,1

12 2 0,01 0,03

13 1 0,005 0,016

14 1 0,005 0,016

0,9

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

0,68

0,55

0,35

0,29

0,16

0,13

0,1

Пл

0,03

0,016 0,016

ВР E (Z) Вес точек «головы» E 3a(M ) Вес точек «тяжелого хвоста» E > 3ст

Z 8,53 1,19 7,33

7

9 10 11 12 13 14

Декомпозиция - расчленение системы (целого) на части при ее исследовании. Агрегирование [aggregation, aggregation problem] - объединение, укрупнение показателей по какому-либо признаку. Существует различные способы агрегирования: сложение показателей, представление группы агрегируемых показателей через их среднюю, использование различных взвешивающих коэффициентов, баллов и т.д. [4]. Авторы предлагают агрегирование как сочетание декомпозиции рассматриваемого ВР с агрегированием элементов декомпозиции.

С помощью алгоритма последовательного R / S -анализа осуществляем фрактальный анализ временного ряда Z и формирование нечеткого множества [5] значений l глубины памяти о начале ряда для каждого ВР из этого семейства.

Рис. 3. Графическое представление нечеткого множества глубины памяти для исходного ВР

Пусть М - множество элементов декомпозиции периодического ВР X = ^2^, ] = 1, п с длиной периода в 7 дней (дни недели, циклически следующие друг за другом); р - ранг (длина) р -элемента

Ьрр = (к,к +1,...,к + р- 1)Шой7 ; к = 1Л; Р= 1,7; к - номер элемента в упорядоченном множестве Мр (для каждого р = 1,6 имеем к = 1,7; для р = 7

имеем к = 1 ); Мр = р } - подмножество множества всех р-элементов: М1 = {1,2,. ,7}; Мр ={(1,2,...,р),(2,3,.,р +1),., (7,1,2,.,р-1)};

р = 2,6 ; M7 = {(1,2,...,7)};

т Р

тк

= k, k = 1,7

коли-

чество элементов

M р\ = 7, Р = 1,6, M 7 \ = 1.

0

В допустимом решении x = {рк, х+ k } (k = 1,7

для р = 1,6 и k = 1 для Р = 7 , х рк, х+ k 6 {0,1} ) для всех пар Xрlk 1, х р2к таких, что при

x Р ik 1

x Р 2k:

= 1 пересечение элементов Lkk1, Lk2,

1 < к < k2 < 7, Р1Р2 = 1,7 должно быть пусто (¿к11 ¿к 2 = 0), а объединение множества номеров

к!

ставляться равенством

элементов ¿7 = (7,1), ¿5 = (5,6) и одного 3-элемента ¿2 =(2,3,4).

Для элемента ¿7 = (7,1) с переменной х+7 нечёткое множество глубины памяти агрегированного ВР 2 (х+7) представлено в табл. 4.

Таблица 4

Нечеткое множество глубины памяти ВР Ъ (7+1)

k I, составляющих элементы Lk

должно пред-

U¡Lk}={1,2,k,7}. X = {x} -

l

X р £ЬХ

множество всех допустимых решений.

Допустимое решение х = {хр k, х+ k } определяет собой множество агрегированных ВР 2 (х р k), 2 (х+ k) для единичных переменных (х р k = 1,

х+ k = 1). ВР 2(хр k)=(,

У = 1, пр к состоит из следующих

друг за другом отрезков исходного ВР 2; в каждом таком отрезке

уровни соответствуют номерам, составляющим р -элемент ¿к , для которого х р к = 1. Например, для случая х32 = 1 в исходном

ВР 2 такими отрезками ВР 2 (хз2) являются 3-элементы:

(2, 23,24 ), (29, 210,211),

(216, 217,218 ) и т.д. В случае х32 = 0

и х+2 = 1 ВР 2 (х+2) состоит из уров-

,32+ „ ! „ ___„32+

Глубинаl Количество N(l) Доля d(l) Ml)

3 2 0,09 0,25

4 7 0,32 0,9

5 4 0,18 0,51

6 3 0,14 0,39

7 3 0,14 0,39

8 2 0,09 0,25

9 1 0,05 0,14

На рис. 4 приведено графическое представление нечеткого множества глубины памяти ВР Ъ (7+1).

0,9

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

0,25

0,51

0,39

0,39

0,25

0,14

Рис. 4. Графическое представление нечеткого множества глубины памяти

для ВР (7+1)

ней , 5 = 1,2, к, где 25 равен сумме элементов 2у из 5 -го отрезка исходного ВР 2.

Результаты применения метода последовательного Я / £ -анализа и фазового анализа к полученным таким образом агрегированным ВР оказались неоднозначными. Для одной группы агрегированных ВР (например, 2(х12 ), 2(х14 ), 2(х16 ), 2 (х25 ), 2(х41),

2 (х+6), 2 (х+1)) предпрогнозные характеристики остались столь же неудовлетворительными, как и соответствующие характеристики исходного ВР. Для другой группы (например, 2 (х^), 2 (х22), 2 (х23),

2 (х27 К 2 (х32 ), 2 (х+1), 2 (х+2 ), 2 (х+3 ), 2 (х+4 ), 2 (х+7 ), 2 (х+5 ), 2 (х+1), 2 (х+3 ), 2 (х+1)) выяснилось, что агрегированные ВР в сравнении с исходным ВР улучшили свои предпрогнозные свойства.

Во множестве всех допустимых решений X = {х} оптимальным по критерию глубины памяти является х 0 = (х +7 , х 32 , х +5 ), состоящее из двух 2-

Для элемента ¿2 = (2,3,4) с переменной х32 нечёткое множество глубины памяти агрегированного ВР 2 (х32) представлено в табл. 5.

Таблица 5

Нечеткое множество глубины памяти ВР Ъ (2,3,4)

Глубинаl Количество N(l) Доля d(l) M(l)

3 7 0,09 0,33

4 10 0,13 0,47

5 19 0,24 0,90

6 9 0,11 0,43

7 8 0,10 0,38

8 8 0,10 0,38

9 5 0,06 0,24

10 4 0,05 0,05

11 3 0,04 0,04

12 6 0,08 0,08

На рис. 5 приведены графические представления нечетких множеств глубины памяти ВР Ъ (2,3,4) и Ъ(5+6).

4

1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00

1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00

М1)

0,90

0,47

0,33

0,43

0,38

0,38

0,24

0,14

10

11

12

MI)

0,90

0,51

0,25

0,14

0,14

l l

Рис. 5. Графическое представление нечеткого множества глубины памяти а - ВР (2,3,4); б - ВР (5+6)

5

предпрогнозных характеристик трен-доустойчивость ВР, декомпозированного с элементами агрегирования,

Таблица 6

Нечеткое множество глубины памяти ВР Ъ (5+6)

Количе-

Глубинаl ство Доля M(l)

N(l) d(l)

3 1 0,05 0,25

4 4 0,18 0,51

5 7 0,32 0,90

6 5 0,23 0,65

7 3 0,14 0,39

8 1 0,05 0,14

9 1 0,05 0,14

Для элемента = (2,5) с переменной х+5 нечеткое множество глубины памяти агрегированного ВР X (х+5) представлено в табл. 6.

Сравним рис. 3 и 4, 5, отражающие глубину памяти ВР 2 и оптимального по критерию глубины памяти

решения Ь27 =(7,1), 1?2 =(2,3,4), Ь25 = (5,б). Результат визуализации дает основание считать, что в контексте

улучшилась самым существенным образом по сравнению с трендоустой-чивостью исходного ВР X.

Представленные результаты исследования дают основание для вывода о перспективности применения предложенного метода декомпозиции с элементами агрегирования к ВР с целью улучшения их предпрогнозных характеристик.

Литература

1. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М., 2000.

2. Перепелица В.А., Попова Е.В. Математическое моделирование экономических и социально-экологических рисков. Ростов н/Д, 2001.

3. Сигел Э. Практическая бизнес-статистика. М., 2002.

4. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. М., 1987.

5. Ярушкина Н.Г. Основы теории нечетких и гибридных систем: Учеб. пособие. М., 2004.

Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия

24 октября 2006 г

9