Учет симметрий при моделировании управляемых процессов и численном интегрировании Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.71

Е.Н. Булгатова, Г.Н. Яковенко

УЧЕТ СИММЕТРИЙ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ УПРАВЛЯЕМЫХ ПРОЦЕССОВ И ЧИСЛЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ1

Статья посвящена нахождению симметрий управляемых процессов и использованию симметрий при математическом моделировании и построении кубатурных формул.

Ключевые слова: система с управлением, оператор симметрий, кубатурная формула, симметричная область, срезывающая функция.

E.N. Bulgatova, G.N. Yakovenko

SYMMETRY IN MODELING ON CONTROL PROCESSES AND NUMERICAL INTEGRATION

This article is devoted to finding symmetry controlled processes and the use of symmetry in mathematical modeling and construction of cubature formulas.

Keywords: control system, the operator symmetries, cubature formula, symmetric domain, thread shear function.

Введение

В работе показывается, что для системы с управлением в норме в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений множество преобразований симметрии конечномерно. Изучается также влияние симметрий на формирование численных методов интегрирования.

1. Симметрии по состоянию

Рассматривается система с управлением

x = q>(t, x, u), x e Rn, u eU с Rr, (1.1)

Системе соответствует оператор полного дифференцирования по t

Э П д

X (u) = - + £У' (t, x, u)—. (1.2)

dt i=1 dx

В семействе (1.2), параметризованном управлением u , выделяется базис

э n i. , э_ . —

xi

— результат подстановки в (1.2) таких допустимых управлений uq, u1, ...,up , что, во-первых, операто ры X j = X (uj), j = 0, p линейно несвязаны, во-вторых, при любом допустимом управлении u eU дл) оператора (1.2) выполняется равенство

Xj = — + YjV) (t, x)—, j = 0, p (1.3)

dt i=1 dx

Х (и) = а, х,и)Х] , (1.4)

1 =0

где /1 (£,х,и) — некоторые функции. Система операторов (1.3) пополняется [1], в результате чего строится полная система операторов, состоящая из (1.3) и операторов

П д ______

Хк = ^ х)—[, к = Р + 1 т , (1.5)

1=1 дх

вычисленных в процессе пополнения. Вследствие полноты системы операторов Xо, Х1,..., Xр, Хр+1,..., Хт выполняется

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 10-0100228) и АВЦП Развитие научного потенциала высшей школы 2009-2010 гг. (проект 2.1.1/1533, проект 2.1.1/3604).

т ___

[Ха,Хр] = X Ц^,X)Х7, а,в = 0,т , (1.6)

у=0

где [ Ха, Хр] — коммутаторы, Ц^р^,х) — некоторые функции.

Введём однопараметрическую группу преобразований

X = х(г, х,т) (1.7)

с оператором

і / \ д і dx(t, x, т)

y=(t, x)—, n =

. (1.8)

t=0

1=1 дх1 дт

Отметим две особенности группы (1.7): переменные t и и преобразуются тождественно; преобразования группы не зависят от управления и .

Определение 1.1. Диффеоморфизм x = x(t, x) называется преобразованием симметрии по состоянию системы (1.1), если замена переменных в (1.1) приводит к системе

dx . Л .

— = (p(t, х, u) dt

с такими же функциями (р(•, •,) в правой части, что и у исходной системы (1.1). Однопараметрическая группа (1.7) называется группой симметрий по состоянию системы (1.1) — допускается системой

(1.1), — если любое ее преобразование есть симметрия по состоянию. Оператор (1.8), соответствующий группе, называется оператором симметрий по состоянию.

Название — симметрии по состоянию — оправдано тем, что преобразуются только переменные состояния x. Группу симметрий по состоянию можно характеризовать следующим переводом решений в решения:

{x(t), u(t)} ^ {x(t), u(t)}

т.е. группа (1.7) является группой симметрий для каждой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, получающейся подстановкой в (1.1) конкретного управления u (t) . Известно [1] условие

Vu (t), [ X (u(t)), Y ] = 0, (1. 9)

которое связывает группу симметрий (1.7) и систему обыкновенных дифференциальных уравнений

(1.1). В операторе Y отсутствует дифференцирование по t (см. (1.8)), поэтому формула, полученная после раскрытия коммутатора в (1.9), будет содержать только значения вектор-функции u(t) и не содержать значения производных u(t), ii(t),..., это обстоятельство позволяет записать условие (1.9) в эквивалентном виде

Vu eU, [ X (u),Y ] = 0, (1. 10)

- использован оператор (1.2) с постоянными управлениями u.

2. Критерий симметрий по состоянию

Теорема 2.1. Система с управлением (1.1) допускает группу симметрий по состоянию (1.7), т.е. выполнено условие (1.9) (или (1.10)) тогда и только тогда, когда справедливы уравнения

[Хк ,У] = 0, к = 0т, (2.1)

У/1, ] = 0р , (2.2)

где Х^ — операторы (1.3), (1.5), /] — функции в линейной связи (1.4), У —оператор (1.8) группы (1.7).

□ Необходимость. Пусть справедливо условие симметрии (1.9) (или (1.10)). Подстановка в (1.9) (или (1.10)) базисных управлений щ, k = 1, p доказывает справедливость (2.1) при k = 1, p . Доказательство уравнений (2.1) при k > p проводится по индукции. Оператор Xk при k > p вычисляется в процессе процедуры пополнения и является коммутатором Xk = [ X^, Xi ] двух операторов Xi, Xl,

i, l < k , для которых уравнение (2.1) предполагается справедливым. Справедливость уравнения (2.1) для Xk следует из тождества Якоби [1]:

[ Xk, Y ] = [[ Xi, Xt ],Y ] = [[ Xi ,Y ], Xt ] - [[ Xt ,Y ],]X,- = 0.

Для доказательства (2.2) подставим разложение (1.4) в (1.10), раскроем коммутатор

[X(u), Y] = [£ fjXj, Y] = £ fi[Xj, Y] - £ (Yfj)Xj = £ (Yfj)Xj = 0, (2.3)

j=0 j=0 j=0 j=0

учтено выполнение для Xj , j = 0,p , уравнения (2.1). Равенство (2.2) следует из того, что операторы X j , j = 0, p линейно несвязаны.

Достаточность. Равенства (2.1), (2.2) влекут выполнение условий (1.9) или (1.10), в чём можно убедиться с помощью цепочки равенств (2.3). ■

3. Конечномерность множества симметрий по состоянию

Определение 3.1. Первым интегралом системы с управлением (1.1) называется функция w(t, х), которая на любом решении x(t), u(t) системы (1.1) сохраняет постоянное значение: w(t,x(t)) = w(fy,Х0) = const. Нетривиальным первым интегралом называется первый интеграл

w(t, х), для которого выполняется w(t, х)^const.

Функция w(t, х) является первым интегралом тогда и только тогда, когда выполняется [2]: Vu(t) eU, X (u(t))w(t, х) = 0 (оператор X(u) определён формулой (1.2)). У системы (1.1) отсутствуют нетривиальные первые интегралы тогда и только тогда, когда выполняется условие [2]:

{Vu (t) eU, X (u (t))w(t, х) = 0} ^ {w(t, х) = const}. (3.1)

Теорема 3.1. Пусть регулярная система (1.1) не имеет нетривиальных первых интегралов, т.е. выполнено условие (3.1). Тогда множество операторов Y симметрий по состоянию (см. определение 1.1)

есть конечномерное пространство, и его размерность не превосходит размерности П пространства со-

стояний системы (1.1).

□ Предположим противное утверждению теоремы: множество операторов симметрий содержит операторы

П д ______

Yj = Znj (t, х)—, j = 1, п +1, (3.2)

i=1 дх

для которых выполняется

n+1 _____

{£ cjYj = 0, cj = const} ^ {cj =0, j=1,n+1}, (3.3)

j=1

[ X (u),Yj ] = 0, j=1,n+1. (3.4)

Пусть в некоторой области прямоугольная nX (п +1) матрица \\rfj (t, х) II коэффициентов операторов

(3.2) имеет общий ранг 1 < q < n (q = 0 противоречит (3.3)). Предполагаем, что ранговый минор образован коэффициентами операторов Yj,^,Yq, откуда следует справедливость, во-первых, импликации

{££к (ґ, л)Ук = 0,} ^ (ґ, х)=0, £=1,4);

к=1

во-вторых, равенства

3^ (ґ, X), У; = (ґ, х)У, /=4+1,П+1.

к

(3.5)

(3.6)

к=1

Обе части равенства (3.6) прокоммутируем с оператором X(и). В силу равенства (3.4) и свойства коммутатора приходим к уравнению

? .

£ {X (и )# (г, л)}Ук =0,, к=1

вследствие которого с учетом (3.5) получаем соотношение X(и)£к(г,х)=0, т.е. £к(г,х) — первые интегралы системы (1.1). По условию (3.1) теоремы £к (г, х) — постоянные величины, и соотношения (3.6) определяют линейную зависимость между операторами У^,..., Уп+1, что противоречит предположению (3.3). ■

4. Кубатурные формулы для интегрирования функций по симметричным

областям

В разделе продолжены исследования, которые ранее проводились в [3-7]. На основе симметрий упрощены вычисления коэффициентов. Пусть f (Еп), норма функции /(х) в Еп) равна

1_

Р

а

\v\wm (в,)

I,?

в \а<ш в

а!

а!

йх

< ГО,1 < р < ГО .

Аналогично определяется норма функции в '№рг(&)

\а!

И ли (а) =

II

а!

Яа/

йх

< ГО .

а\а\<ж

Пусть а - ограниченная симметричная область с гладкой границей Г = Г(а) на плоскости, начало координат (0,0) с а , все пространство Е2 и область а разделим на к частей щ, с кусочногладкими границами г(оу ) = Гп®у. Эта часть границы г(о) может быть записана уравнением

Пусть IФ у (х) = 1 -

І=1

а : = 8ирр Ф і ( X) , СО: с а : , І = 1, 2, ..., к

разложение единицы,

и | / (х )йх —

где

кратный

Ф у (х)є СГО,

интеграл,

а

х = ( х1, х2 ), х" = хТ1 х2^2, Г=(П,Г2 ) .

Рассмотрим одну из областей ®1,®2,...®к, например щ (рис. 1), в переменных х. После замены переменных У1 = х1, У2 = х2 _ ^2 (х1) область щ перейдет в область щ (рис. 2).

Рис. 1 Область о

Рис. 2 Область щ

Замена преобразует границу Г(й^) в часть оси Оу1, функцию Ф1 (х) в Ф1 (у). Криволинейный параллелограмм

АНД ={(^,х2 )е Е2 | НД1 < х1 < НД + Н ^2 (х1) - (Н + 1)Д2 - х2 < ^2 (х1) - НД2]

соответствует кубу АНД1 = {НД < У1 < НД + Н], где Ав2 = {НД < У2 < НД2 + Н], АНр = АНД х АНД2.

В переменных у построим следующий функционал

1а¥,уа) = /1 - £ й2СГ1 £ С^(У1 -Н(Д + п))Ж(У2 -Н(Д + 72)),уа).(4.1)

\ 71^АНД1 72=0 /

Сначала построим функционал с узлами на криволинейной решетке. Для этого функцию Ж( у2 - Н(Р2 + 72)) в формуле (4.1) аппроксимируем линейной комбинацией функции

£( У2 - А (Д2 + 72 + * )+п(Д)А), где п(Д ) = {^( АД)

б ^(АД)

дробная часть числа-------- и

Н \ Н

т

Ж( у2 - Н (Д2 +72 )) = £ А (Д Ж у2 - Н (Д2 + 72 + 5 ) + ^(Д) Н ) . (4.2)

.5=0

Учитывая, что ^2 (х, у), уа^ = 0,а = 0,1,...,т, имеем

1(^2 (х, у), f (х, у ))|< СНт тах /( т)( х^ у)- /]т)( а + (х - а) и, у) < СНто (1).

Коэффициенты функционала (4.2) определяются из условий

1д( у2 - Н(Д2 + 72 ))- £А5 (Д )Ж( у2 - Н(Д2 + 72 + 5) + п(Д1) Н), у1 = °, а = 0,1,...,т

*=0

или I(Д)*а = (п(в1 ))а, а=0,1,...,т.

*=0

Элементарный функционал для куба А ад принимает вид

, т т

V• Уа)= I у“[1 - I а2сп1 с,21Л(Д)*

Ад П^АНД 72=0 *=0

Х#( У2 - А (Д2 + 72 + * ) + П(Д ) А )^( У1 - А (Д +П ))]йУ По построению функционал ІАд ортогонален многочленам степени т:

(4.3)

(Чд , уК) = 0, 1Ф т.

Узлы кубатурной формулы, соответствующей функционалу (4.3), лежат в вершинах криволинейной решетки.

С помощью функционала (4.3) построим кубатурную формулу на решетке с коэффициентами, зависящими от уравнения гладкой границы только в пограничном слое. Рассмотрим обратную замену переменных х2 = у2 + ^2 ( у1 ) и х1 = у1. Тогда

т т

1АНв( х)=еА'НВ( х)- £ н7’Су1 £ СУ2 £ А (Д )Ж( х1 - Н (71 + Д ))Ж( х2-т(Д ) Н - Н (/2 + Д2 + 5))

71^АНД Т2=0 5=0

(НД) / л

где т(Д) - целая часть числа ----------, £аНд(х) - характеристическая функция области Анд . Далее

характеристическую функцию некоторой области будем обозначать таким же символом, например, £ю(х) - характеристическая функция области О.

Учитывая срезывающую функцию Ф1 (у), элементарные функционалы 1ад суммируем по всем Д,

и при этом по свойству функционала 1ад коэффициенты при суммировании равны единице

гс т

£ £ Н2СГЖ(у1 -Н(71+Д)) £ СГ2х

Д=— П^АНД 72=0

т

х £ А5 (Д )Ж( у2 - Н (72 +Д2 + 5 ) + П(Д ) Н )= (4.4)

5=0

гс т т

2

- £ Н £ Сг2 £ А (Д )Ж( у2 - Н (72 +Д2 + 5 ) + п(Д ) Н)Ж( у1 - НД ).

Д=-гс у2=0 5=0

Аналогично суммируем по Д2 последние две суммы в (4.4)

гс т т

£ н2 £ Су2 £ А (Д )Ж(у2 -Н(72 +Д2 + 5) + п(Д1)Н) =

Д =0 72=0 5=0

гс

= Н2 £ ВД2 (Д1 )Ж( у2 - НД2 +п(Д1) Н ).

Д2 =0

После преобразования коэффициенты определяются следующей формулой

тш( т,Д2) тш( т,Д-5)

£ Л (Д) £ Cr, если 0 < Д2 < m,

у=0

тш( т,Д)

£ А (Д1) £ Су, если т < Д2 < 2т,

Уд (Д ) =

5=0

т

5=0

у=0

1,

если Д2 ^ 2т.

Коэффициенты А5 (Д) и Су находятся из систем

£ Су/а =-, а = 0,1,...,т и £ А5 (Д)5а=па(Д), а = 0,1,...,т.

у=0 а +1 5=0

Вспомогательный функционал погрешности для области щ в переменных у имеет вид

ф1 (у )л (у )=ф1 (у) где л (у )= £ 1анд( у ).

о(у)- £ Ж(у1-нд) £Ж(у2-нд2+п(д1 )н)

д1=-гс

Д2 =0

НДеЩ

т

т

Учитывая £^а'нд (х) = 1 в переменных х, получаем формулы с пограничным слоем для области щ с узлами на решетке

ф1 (х)Р1 (х)=ф1 (х) о(х)- £ н2Уд(д)ж(х-НД)

НДещ

Аналогично получаются функционалы для остальных областей щ

Ч (X)- I h2Ve j (hfi)S( x - he)

h/fe Ю'

где Уд,; (НД)= Уд(НД ,] = 1,2,.,к .

Окончательно получена формула с пограничным слоем с узлами на решетке с коэффициентами пограничного слоя, зависящими от уравнения границы:

к

I р(х)ёх « £ £ф] (нД)Уд,; (нД)р(НД).

П НДеП 7=1

Заключение

Показана полезность учёта симметрий при математическом моделировании управляемых процессов, а также при построении кубатурных формул для интегрирования функций по симметричным областям с гладкими границами.

Литература

1. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400с.

2. Яковенко Г.Н. Теория управления регулярными системами. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. 264 с.

3. Рамазанов М. Д. Лекции по теории приближенного интегрирования. Уфа: Изд-во Башкир. ун-та, 1973. 174 с.

4. Блинов Н.И. Приближенное вычисление двойных интегралов // Алгоритмы и программы: Аннот. сб. М.: ВНТИ центр, 1974. - №2, 3.

5. Блинов Н.И., Войтишек Л.В. О построении кубатурных формул с регулярным пограничным слоем для рациональных многогранников // Тр. семинара акад. С. Л. Соболева. - 1979. - №1. - С. 5-15.

6. Умарханов И. Построение и обоснование решетчатых кубатурных формул для областей с кусочно-гладкими границами: дис. канд. физ.-мат. наук. - Ташкент: ТашГУ, 1986. - 173 с.

7. Рахматуллин Д.Я. Интегрирование функций по выпуклым областям решетчатыми кубатурными формулами на многопроцессорных вычислительных системах: дис. канд. физ.-мат. наук. - Уфа, 2006. - 114 с.

Булгатова Елена Николаевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики Восточно-Сибирского государственного технологического университета, тел. (3012)431415, e-mail:

belena77 @mail.ru

Яковенко Геннадий Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической механики Московского физико-технического института, тел. (495)5765733, e-mail: yakovenko [email protected]

Bulgatova Elena Nikolaevna, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of East Siberian State Technological University.

Yakovenko Gennady Nikolaevich, doctor of physical and mathematical sciences, professor of Moscow Institute of Physics & Technology.