CC BY
36
ВЕСТНИК roft,-
3/2013
УДК 624.042
А.А. Локтев, Р.Н. Степанов
фгбоу впо «мгсу»
УЧЕТ ОТРАЖЕННЫХ ВОЛН ПРИ РАСЧЕТЕ ПЛОСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ
Исследовано распространение волновых поверхностей в ортотропной пластинке, обладающей криволинейной анизотропией. Динамическое поведение мишени описано волновыми уравнениями, учитывающими поперечный сдвиг и инерцию вращения поперечных сечений и позволяющими моделировать процесс распространения упругих волн. В качестве метода решения этих уравнений использован асимптотический метод разложения неизвестных величин в ряды по времени и пространственной координате. В задаче определены напряжения в отдельных точках мишени и местах взаимодействия прямой и отраженной от нижней грани пластинки волн.
Ключевые слова: упругие волны, прямые и отраженные волны, волновые уравнения, граничные условия, динамические характеристики, разложения в ряды, главные напряжения.
Вопросам распространения волн в простейших строительных элементах были посвящены многие работы отечественных и зарубежных ученых [1—4], влияние отраженных волн на динамические характеристики материалов пластин и стержней рассматривались в [5—10], несмотря на существенные достижения в этой области расчета инженерных конструкций и их элементов [11—15], проблемы учета анизотропных свойств реальных материалов [16, 17] остаются не достаточно хорошо изученными. В данной работе анализируется влияние анизотропных свойств материала мишени на распространение волновых поверхностей от источника на поверхности пластинки, с учетом распространения и отражения в последней пяти волн растяжения-сжатия, сдвига и кручения.
Для описания процессов распространения волновых фронтов в мишени необходимо четко представлять характер каждой волны, ее скорость и т.д. Динамическое поведение мишени описывается волновыми уравнениями, учитывающими поперечный сдвиг и инерцию вращения поперечных сечений и позволяющими моделировать процесс распространения упругих волн после их появления на границе раздела сред. В качестве метода решения этих уравнений используется асимптотический метод разложения неизвестных величин в ряды по полиномам Лежандра и малому параметру [7] или лучевой метод [4, 8, 9].
На рис. 1 схематически показан процесс распространения волн в области под поверхностью воздействия внешнего источника (рис. 1, а) и вне этой области (рис. 1, б), здесь приняты следующие обозначения: СА — область под поверхностью воздействия внешнего источника; FLWR, FLW0 — фронты квазипродольных волн растяжения-сжатия с основными угловыми перемещения-
ми, FTRWRZ, FTRW0Z — фронты квазипоперечных волн сдвига в плоскостях Г2 и 0г соответственно, FTRWR0 — фронт квазипродольной волны сдвига в плоскости г0. Сплошные круговые линии обозначают фронт продольной волны, а пунктирные — фронт поперечной волны; стрелками указано направление распространения волн.
В работе изучается и упругая ортотропная пластинка [4], материал которой обладает цилиндрической анизотропией [8, 9, 16].
FR
Рис. 1. Схема распространения волн в пластинке: а — распространение волн в области под поверхностью, на которую воздействует внешний источник волн; б — распространение волн по длине мишени
Динамическое поведение круглой упругой ортотропной пластинки Уфлянда — Миндлина, обладающей цилиндрической анизотропией (этот вид анизотропии может хорошо описывать армирование реальных строительных конструкций), в полярной системе координат описывается уравнениями [4]:
д
1 5
>е"
1 d2wЛ
кг ж у
г дг +{DQar+Dk)
-Д.
дг
<Эф
Ч
+ А
1
5 w 5 ф
v5025r дв2у
+ Д0-Ф +
г
f52 sVl
KdrdQ {rdQj drdQ )
г 50 г
1 д w 5\|/
г ае2 59
+ KhGr
\
KGr
8w
--Ф
удг j
\
= -Р
/г3 52ф 12 dt2 '
^ д2 w дф дг2 дг
KGrz 1 Г*-ф
r I дг
-kgqz-
f д2 w
где2
ду
"дё
Л
= Р
д 2 w
дг2
(1)
(2)
ВЕСТНИК
МГСУ-
С,
V
д и 1 ди дг2 г дг
1 д2и и ( )
+ —-+ (С0а г+Ск
г2 г дгд0
"к г2 д02
д 2и
-(Се + ^) 7 I = рИ дд#'
С
1 д2 у г2 д02
+ Ск
( д 2у 1 ду
дг
2+"Т—2-г дг г
1 д2ы
г дгд0
, . 1 ди д 2у
(3)
(4)
п 1 д3 и 1 I 1 д2 у п
Вг 0--2-----^ + Бк
г дг2д0 г I 0 г д02
дг2
1 ди
---у 1 + —
г д0 I дг
1 ди г д0
_У _
1 ди г д0
_У
+ (( ов+ Бк)
' д3 и
2
д ф
дг 2д0 дг д0
_п 1 дф+^ 1
0 г д0+ кг
д и дф
д0дг д0
+
+КИО,2 ' 1 ди у г д0 у)-
ь? И3
Аг = - Бг , А ¡1 ' = 12
Ск = Щ , В,е = В, °е
Ег = Ее°е, к 5 = 6
'12 "д2"'
^е, Ак = 12 ^, Е
-2А, , Д. =- '
Сг = ИБ ,, Се= ЛВе
С = ИБк
1 сте
, ^ = -
1 сте
>5к = е,
А,, А0 и С С0 — соответственно жесткости изгиба и растяжения-сжатия для направлений г, 0; Ак — жесткость кручения; Ск — жесткость сдвига; Е, Е0 и аг, о0 — модуль упругости и коэффициент Пуассона для направлений г, 0; Gz, О02 — модуль сдвига в плоскостях и 02 соответственно; ^(г,0) — нормальное перемещение срединной плоскости; и(г,0) и у(г,0) — тангенциальные перемещения срединной поверхности соответственно по координатам г, 0; ф(г,0) и у(г,0) — произвольные искомые функции координат г,0.
Для определения динамических характеристик в конкретных точках мишени (напряжений, деформаций и т.д.) необходимо найти перемещения, входящие в систему уравнений (1)—(5). Для этого можно использовать два подхода, первый из них основан на представлении неизвестных величин в виде разложения в ряд по времени и пространственной координате, откладываемой вдоль направления распространения волн [3, 4]
да 1
2 (з, ^) = Х - [ 2,(к) ]
к=о К!
М=s /G
t--
О
Н\ t--
О
,(к)
= 2 ,+к)-2 ,(к):
(6)
знаки «+» и «-»
где 2 — искомая функция; = ЭkZ/Эtk, относятся к значениям производной подсчитанным перед волновой поверхностью X и за ней соответственно; О — нормальная скорость волны
H(t - s/G) — единичная функция Хевисайда; s — длина дуги, отсчитываемая вдоль луча; t — время.
Для определения коэффициентов лучевого ряда (6) для искомой функции необходимо продифференцировать определяющие волновые уравнения (1)— (5) для пластинки k раз по времени, взять их разность на различных сторонах волновой поверхности £ и применить условие совместности для перехода от скачка производной от функции Z по координате к скачку производной от искомой функции по времени более высокого порядка.
В результате из уравнений движения (1)—(5) получаем систему рекуррентных дифференциальных уравнений, решая которую можно найти скачки искомых величин с точностью до произвольных констант [4, 8].
Второй подход основан на записи системы (1)—(5) в пространстве Лапласа и представлении неизвестных перемещений и распределения внешней нагрузки в виде разложения в ряд с использованием сферических функций и полиномов Лежандра [7]:
œ œ ( ш 1
Х = ZZX2n+mP2n+1 I c°s— lC0S(me); (7)
n=0 m=0 V 2R J
q = ^ ¿¿(4n + 3) P) n+1( cos^O P n+1 ( 1 cos (me), (8)
nRc n=0 m=0 V 2R J V 2R J
где R — радиус пластинки; r1 — координата точки, в которой происходит динамический контакт; х — принимает значения ф, у, w, u, v; черта над переменной показывает, что данная величина используется в пространстве Лапласа.
Для определения коэффициентов рядов (7) воспользуемся их представлением в виде рядов Лорана вблизи исследуемой точки мишени [7]
0 0 1 1 2 2 3 3
Х 2n+m = Х2n+m S + X2n+m S + X2n+m S + X2n+m S , (9)
где s = p~2.
Подставляя ряды (7), (8) с учетом соотношений (9) в преобразованную систему уравнений (1)—(5) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получим системы линейных алгебраических уравнений, из которых найдем коэффициенты в разложениях (9).
Для определения постоянных интегрирования в коэффициентах лучевых рядов (6) и для определения коэффициентов соотношений (9) используются процедуры похожие по физическому смыслу. Фактически постоянные величины определяются при сшивании временного и пространственного решения для неизвестных величин, например, в конкретной точке мишени, или на ее границе.
Используемая модель пластинки предполагает появление, в случае внешнего воздействия, и распространение пяти волн со следующими скоростями
С =
С2 = , Сз =. ^, С4 =
v(1 -crCTe)p' V(1 -crce)p' V P ' V P ' l(10)
С5 =.
KGez
ВЕСТНИК
МГСУ-
В неограниченной среде все указанные волны распространяются независимо друг от друга, наличие границ, неоднородностей, сколов, трещин существенно усложняет картину волновых процессов. Поскольку в работе рассматривается пластинка, то необходимо учитывать отраженные от ее краев, верхней и нижней поверхностей волны. Остальные причины появления отраженных волновых поверхностей в работе не рассматриваются.
В случае отсутствия явления полного внутреннего отражения при падении каждой волны на граничную поверхность из одной волны получается пять, т.е. при отражении волны могут трансформироваться в друг друга [5]. Если рассматривать отражение упругих волн от свободной поверхности, на которой выполняются нулевые граничные условия по напряжениям, то схематически можно представить падение на границу раздела сред пятой (поперечной) волны (рис. 3).
—PL
/ 5 V
«P5V
Рис. 3. Взаимодействие одной из волн со свободной поверхностью
При падении на границу пластинки любой волны отраженное возмущение в общем случае будет представлять собой сумму всех волн, углы отражения волн полностью определяются параметрами материала, т.е. их скоростями, и при падении любой волны на поверхность раздела сред появляющиеся волны имеют постоянные углы отражения е.
sin ф , =— sin фг., (11)
ег
где индекс i указывает номер падающей волны, а j — номер отраженной.
Таким образом, при падении любой волны наблюдается одинаковая картина отраженного волнового процесса. Характер отражения волны определяется коэффициентом отражения R, который зависит от граничных условий. В случае абсолютно жесткой границы или свободного края этот коэффициент равен единице, а при наличии раздела двух сред с механическими характеристиками одного порядка, определяется по формуле Френеля [5, 6], только в этом случае также появляются преломленные волны в смежной среде, поведение которых характеризуется коэффициентом пропускания т. n - m 2n
R=
т = -
(12)
п + т п + т
где п = Сц/ С2 — отношение скоростей соответствующих волн в первой и второй смежных средах; т — соотношения плотностей смежных материалов.
Для определения динамических характеристик в конкретных точках пластинки необходимо использовать принцип суперпозиций и геометрически сложить компоненты этих величин, полученных от разных волн.
Поскольку построение полной волновой картины связано со значительными вычислительными сложностями, в данной работе согласно описанной методике рассматривается однократное отражение волн от свободной поверхности и определяются напряжения в точках встречи прямых и отраженных волн в анизотропной пластинке со следующими характеристиками: Е = 150 ГПа, Е. = 100 ГПа, П = 40 ГПа, G = 70 ГПа, Ga = 50 ГПа, о = 0,3, ои = 0,25, R = 1,5 м.
Для иллюстрации полученных результатов построим зависимости максимальных главных напряжений от толщины пластинки в области возникновения волн, на нижней поверхности пластинки для первой волны и в точках взаимодействия 1-2, 1-3, 1-4, 3-4 волн. Кривая, полученная для области возникновения волн обозначается са, для нижней поверхности пластинки — bs, двузначные числа у кривых определяют номера отраженной и прямой волны (рис. 4). Из этого рисунка видно, что при увеличении толщины пластинки максимальные напряжения в зоне возникновения волн увеличиваются, а напряжения в точках взаимодействия упругих волн уменьшаются, причем максимумы напряжений с участием поперечных волн уменьшаются интенсивнее. Вместе с тем встреча прямых и отраженных волн может как увеличивать, так и уменьшать конечные значения главных напряжений.
Рис. 4. Зависимость максимальных главных напряжений от толщины пластинки в различных ее точках
ВЕСТНИК
Предложенная методика позволяет вычислить координаты точек в орто-тропноармированных пластинах средней толщины, в которых возникают наибольшие напряжения, и соответствующим образом подобрать диаметр и расположение армирующих элементов. Использованный алгоритм расчета может применяться проектными и научно-исследовательскими организациями при расчете на динамическое воздействие плоских железобетонных конструкций и армированных пластин на основе фенольных и фурановых смол.
Библиографический список
1. Thomas T.Y. Plastic Flow and Fracture in Solids. N.Y.; L. : Acad. Press, 1961.
2. Malekzadeh K., Khalili M.R., Mittal R.K. Response of composite sandwich panels with transversely flexible core to low-velocity transverse impact: A new dynamic model // International Journal of Impact Engineering, 2007, V. 34, pp. 522—543.
3. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. A ray method of solving problems connected with a shock interaction // Acta Mechanica, 1994, V. 102, № 1-4, pp. 103—121.
4. Локтев АА. Ударное взаимодействие твердого тела и упругой ортотропной пластинки // Механика композиционных материалов и конструкций. 2005. Т. 11. № 4. С. 478—492.
5. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. 208 с.
6. Елисеев В.В. Механика упругих тел. СПб. : Изд-во СПбГТУ 1999. 341 с.
7. Бирюков Д.Г., Кадомцев И.Г. Упругопластический неосесимметричный удар параболического тела по сферической оболочке // Прикладная механика и техническая физика. 2005. Т. 46. № 1. С. 181—186.
8. Локтев А.А. Динамический контакт ударника и упругой ортотропной пластинки при наличии распространяющихся термоупругих волн // Прикладная математика и механика. 2008. Т. 72. № 4. С. 652—658.
9. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. The ray method for solving boundary problems of wave dynamics for bodies having curvilinear anisotropy // Acta Mechanica. 1995. Vol. 109, № 1-4. Pp. 49—64.
10. Olsson R., DonadonM.V., Falzon B.G. Delamination threshold load for dynamic impact on plates // International Journal of Solids and Structures, 2006, V. 43, Pp. 3124—3141.
11. Achenbach J.D., Reddy D.P. Note on wave propagation in linear viscoelastic media // Z. Angew. Math. Phys. 1967. V 18. - Pp. 141—144.
12. Al-Mousawi M.M. On experimental studies of longitudinal and flexural wave propagations: an annotated bibliography // Applied Mechanics Reviews. 1986. Vol. 39, № 6, pp. 853—864.
13. Karagiozova D. Dynamic buckling of elastic-plastic square tubes under axial impact - I: stress wave propagation phenomenon // International Journal of Impact Engineering. 2004. Vol. 30. Pp. 143—166.
14. Kukudzjanov V.N. Investigation of shock wave structure in elasto-visco-plastic bar using the asymptotic method // Archive of Mechanics. 1981. Vol. 33, N 5. Pp. 739—751.
15. Sun C.T. Transient wave propagation in viscoelastic rods //Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1970. V. 37. Pp. 1141—1144.
16. Olsson R. Mass criterion for wave controlled impact response of composite plates // Composites Part A. 2000. Vol. 31. Pp. 879—887.
17. Tan T.M., Sun C.T. Wave propagation in graphite/epoxy laminates due to impact // NASA CR. 1982. 168057.
Поступила в редакцию в декабре 2012 г.
Об авторах: Локтев Алексей Алексеевич — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретическая механика и аэродинамика, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (499) 183-24-01, aaloktev@ yandex.ru;
Степанов Роман Николаевич — кандидат технических наук, доцент кафедры теоретическая механика и аэродинамика, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (499) 183-24-01, [email protected].
Для цитирования: ЛоктевА.А., СтепановР.Н. Учет отраженных волн при расчете плоских элементов // Вестник МГСУ 2013. № 3. С. 72—80.
A.A. Loktev, R.N. Stepanov
CONSIDERATION OF REFLECTED WAVES AS PART OF ANALYSIS OF PLANE ELEMENTS
The authors study the distribution pattern of wave surfaces inside the orthotopic plate having curvilinear anisotropy. Dynamic behavior of the target is described by wave equations taking account of the transverse shear and rotational inertia of transverse cross-sections and of the ability to simulate the process of propagation of elastic waves. These equations are solved using the asymptotic method employed for decomposition of unknown values into time and spatial value series.
The problem is resolved to identify the stress values in the points of interaction between direct waves and those reflected by the bottom face of the plate. Description of patterns of propagation of wave fronts inside the target requires a clear understanding of the nature of each wave, its velocity, etc.
The research completed by the co-authors has proven that any increase in the thickness of a plate increases maximal stresses in the area of wave formation, while stresses in points of interaction between elastic waves go down, and peak stresses involving transverse waves go down more intensively. Nonetheless, any encounter between direct and reflected waves may either increase, or reduce the final values of principal stresses.
The methodology developed by the authors may be employed to identify the coordinates of the points of maximal stresses occurring in medium thickness reinforced orthotropic plates. Awareness of these coordinates makes it possible to identify the appropriate diameter and patterns of arrangement of reinforcing elements.
Key words: elastic waves, direct and reflected waves, wave equation, boundary conditions, dynamic characteristics, expansions in series, principal stresses.
References
1. Thomas T.Y. Plastic Flow and Fracture in Solids. New York, L., Acad. Press, 1961.
2. Malekzadeh K., Khalili M.R., Mittal R.K. Response of Composite Sandwich Panels with Transversely Flexible Core to Low Velocity Transverse Impact: A New Dynamic Model. International Journal of Impact Engineering. 2007, vol. 34, pp. 522—543.
3. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. A Ray Method of Solving Problems Connected with a Shock Interaction. Acta Mechanica, 1994, vol. 102, no. 1-4, pp. 103—121.
4. Loktev A.A. Udarnoe vzaimodeystvie tverdogo tela i uprugoy ortotropnoy plastinki [Impact Interaction between a Solid Body and an Elastic Orthotropic Plate]. Mekhanika kom-pozitsionnykh materialov i konstruktsiy [Mechanics of Composite Materials and Structures]. 2005, vol. 11, no. 4, pp. 478—492.
5. Erofeev V.I., Kazhaev V.V., Semerikova N.P. Volny v sterzhnyakh. Dispersiya. Dissipatsiya. Nelineynost' [Waves inside Rods. Dispersion. Dissipation. Non-linearity.]. Moscow, FIZMATLIT Publ., 2002, 208 p.
ВЕСТНИК
6. Eliseev V.V. Mekhanika uprugikh tel [Mechanics of Elastic Bodies]. St.Petersburg, SPbGTU Publ., 1999, 341 p.
7. Biryukov D.G., Kadomtsev I.G. Uprugoplasticheskiy neosesimmetrichnyy udar par-abolicheskogo tela po sfericheskoy obolochke [Elastoplastic Assymmetric Concussion of a Parabolic Body against a Spherical Shell]. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika [Applied Mechanics and Applied Physics]. 2005, vol. 46, no. 1, pp. 181—186.
8. Loktev A.A. Dinamicheskiy kontakt udarnika i uprugoy ortotropnoy plastinki pri nalichii rasprostranyayushchikhsya termouprugikh voln [Dynamic Contact between a Striker and an Elastic Orthotropic Plate Subject to Existence of Evolving Thermoelastic Waves]. Prikladnaya matematika i mekhanika [Applied Mathematics and Mechanics]. 2008, vol. 72, no. 4, pp. 652—658.
9. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. The Ray Method for Solving Boundary Problems of Wave Dynamics for Bodies Having Curvilinear Anisotropy. Acta Mechanica, 1995, vol. 109, no. 1-4, pp. 49—64.
10. Olsson R., Donadon M.V., Falzon B.G. Delamination Threshold Load for Dynamic Impact on Plates. International Journal of Solids and Structures. 2006, vol. 43, pp. 3124— 3141.
11. Achenbach J.D., Reddy D.P. Note on Wave Propagation in Linear Viscoelastic Media. Z. Angew. Math. Phys. 1967, vol. 18, pp. 141—144.
12. Al-Mousawi M.M. On Experimental Studies of Longitudinal and Flexural Wave Propagations. An Annotated Bibliography. Applied Mechanics Reviews, 1986, vol. 39, no. 6, pp. 853—864.
13. Karagiozova D. Dynamic Buckling of Elastic-plastic Square Tubes under Axial Impact. I. Stress Wave Propagation Phenomenon. International Journal of Impact Engineering. 2004, vol. 30, pp. 143—166.
14. Kukudzjanov V.N. Investigation of Shock Wave Structure in Elasto-visco-plastic Bar Using the Asymptotic Method. Archive of Mechanics, 1981, vol. 33, no. 5, pp. 739—751.
15. Sun C.T. Transient Wave Propagation in Viscoelastic Rods. ASME. Ser. E, J. Appl. Mech. 1970, vol. 37, pp. 1141—1144.
16. Olsson R. Mass Criterion for Wave Controlled Impact Response of Composite Plates. Composites. Part A. 2000, vol. 31, pp. 879—887.
17. Tan T.M., Sun C.T. Wave Propagation in Graphite/Epoxy Laminates due to Impact. NASA CR, 1982, 168057.
About the authors: Loktev Aleksey Alekseevich — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7 (499) 183-24-01;
Stepanov Roman Nikolaevich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected];+7 (499) 183-24-01.
For citation: Loktev A.A., Stepanov R.N. Uchet otrazhennykh voln pri raschete ploskikh elementov [Consideration of Reflected Waves as Part of Analysis of Plane Elements]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 3, pp. 72—80.
