CC BY
32
4/2010 М1 ВЕСТНИК
РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН В ОРТОТРОПНОЙ
ПЛАСТИНКЕ ОТ ДИНАМИЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ УДАРНИКА
ЧАСТЬ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИСКОМЫХ ФУНКЦИЙ НА ФРОНТАХ
PROPAGATION OF ELASTIC WAVES IN ORTHOTROPIC PLATE AFTER DYNAMIC EXCITATION OF THE IMPACTOR
PART 2. DETERMINATION OF A DESIRED FUNCTION ON THE
FRONTS
A.A. Локтев
A.A. Loktev
ГОУ ВПО МГСУ
В работе определяются точки пластинки, в которых возникают наибольшие напряжения, значения самих напряжений и их зависимость от времени с момента удара с учетом многократного отражения упругих волн от границ мишени. Считается, что местное смятие происходит квазистатическим образом; для нахождения зависимости смятия от контактной силы используются результаты решения статической контактной задачи.
In the paper point's coordinates with maximal stresses, values of stresses and its time-dependence with taken into account repeated reflection from of the plate's bondary are determine. For definition of dependence of the local deformations and the contact force are using of the results of the static Hertz's contact problem, based on quasistatic character of the material's strain.
Неизвестные перемещения, напряжения и другие динамические характеристики с учетом распространяющихся волновых поверхностей определялись в работах [1-4]. В [1] для нахождения неизвестных величин в произвольных точках мишени предлагалось использовать метод регуляризации лучевых разложений, причем получаемое решение справедливо только для достаточно ограниченной окрестности вблизи искомой точки, т.к. с этим связана сходимость конечного разложения. В этой же работе исследовалось влияние отраженных от краев пластинки волн на скорость прогиба и перерезывающую силу на границе контактной области, динамические характеристики представлялись суммой компонент от каждой прямой и отраженной волны, т.е. величины рассчитывались за фронтом волны, который уже переместился.
В данной работе определяются напряжения на фронтах волн в конкретных точках мишени, а также геометрически определяются точки, в которых из-за взаимодействия фронтов различных волн возможно увеличение значений напряжений. Также ставится задача определения возможности возникновения напряжений, сопоставимых с контакт-
ВЕСТНИК МГСУ
4/2010
ными, в других точках мишени за счет взаимодействия большого количества отраженных волн.
Процесс распространения волновых поверхностей условно можно разделить на четыре этапа:
1) После динамического контакта от области взаимодействия отрываются и начинают распространяться по всем направлениям продольные и поперечные волны (рис. 1), количество которых зависит от динамических уравнений мишени; отражаясь от нижней поверхности пластинки, они взаимодействуют между собой. Наиболее интересно определение напряжений в контактной области, на нижней поверхности пластинки, в местах взаимодействия прямых и отраженных волн, особенно в тех точках, где встречается большое количество фронтов отраженных волн.
1Н'|
Рис.1. Схема распространения упругих волн и расположения их фронтов в момент времени
6Ы01
2) После некоторого количества отражений к фронты волн отдаляются от контактной области и из сферических становятся цилиндрическими (рис. 1), это будет происходить на
расстоянии Н\1~к ~ к4к + \ от места удара, т.е. появление в пластинке цилиндрических волн-полосок возможно при соблюдении следующего условия
4к «Тк+Г <-, (1)
к
где Я и к - радиус и толщина пластинки соответственно.
Для этого этапа характерно, что напряжения на фронтах цилиндрических волн тем больше, чем они ближе к контактной области.
3) Упругие волны отражаются от границ пластинки и взаимодействуют с прямыми волнами, при этом возможно появление значительных напряжений недалеко от точек крепления.
4/2010 ВЕСТНИК _4/2010_МГСУ
4) Отраженные от границ пластинки цилиндрические волны доходят до контактной области и взаимодействуют с существующими там сферическими волнами, при этом возможно появление достаточно больших напряжений под областью контакта.
Волновые поверхности зарождаются и начинают распространяться в пластинке после динамического воздействия на нее ударника, движение которого после начала столкновения описывается уравнением
1 '
у(t) = V0t--[P{ti )(t-ti )dti, (2)
m0
где у(t) — a{t) + w(t) - полное перемещение ударника в направлении удара, включающее
местное смятие материала и прогиб мишени, m - масса ударника, t - время, отсчитываемое с момента касания ударника и мишени, t1 - переменная интегрирования.
Зависимость dt) и P(t) определяется при решении контактной задачи. Поскольку скорости ударного воздействия невелики, то можно пренебречь инерцией местного смятия материала в месте контакта и использовать соотношение Герца, полученное для статической контактной задачи.
Также для решения краевой задачи распространения нестационарных деформаций необходимо учесть граничные условия, которые для шарнирно опертой мишени примутви вид
^ + 0. (3)
w (RA t ) = 0, Mr = -Dr +
yor r J
Решение уравнений (2) находится численно с помощью ЭВМ, исходя из предположения, что на каждом достаточно малом интервале (п — 1)г< ? < пт неизвестная величина контактной силы изменяется линейно
Р(пг) = (Рп - Рп-1 )Д. (4)
После подстановки выражений для прогиба мишени в заданной точке, определенных в первой части этой работы, и местного смятия по модели Герца в уравнение (2) получим нелинейное интегродифференциальное уравнение относительно контактной силы, которое можно решить, используя итерационную схему [4].
После определения функциональных зависимостей для перемещений точек мишени, можно перейти к определению на фронтах упругих волн напряжений из динамических условий совместности [1 ]
О) =~РСУ], (5)
где о) - напряжение от )-ой волны, V) - скорость частиц пластинки вдоль направления распространения волны, I = 1,2,3,4,5 ,) = г, в, гв, г г, в г (для ортотропной пластинки).
Рассмотрим описанные в работе четыре этапа распространения упругих волн.
Контактное напряжение в месте взаимодействия сферического тела и пластинки определяется по формуле [5]
„(г )=3 Щ, р!.
Отраженные от нижней поверхности пластинки волны взаимодействуют с прямыми волнами на следующих расстояниях
Г -) = 2ЬС)/Сг + С) .
ВЕСТНИК 4/2010
Первый индекс у величины г обозначает номер отраженной волны, второй индекс - номер прямой волны.
Для иллюстрации полученных результатов: изобразим схему отражения волн от нижней и верхней поверхности пластинки (рис.1); построим зависимости максимальных напряжений в точке под областью контакта от расстояния для различных соотношений 0,^Ег с учетом взаимодействия отраженных волн от нижней и верхней поверхности пластинки (рис.2); построим зависимости максимальных напряжений под контактной областью от радиуса мишени с учетом взаимодействия сферических и цилиндрических волн (рис.3). Параметры динамического контакта принимают следующие значения: т = 0.1 кг, Ег = Ев= 150 ГПа, Огд= Ог= О= 70 ГПа, аг = ав = 0.3, V = 10 м/с, к = 0.1 м, Я1 = 0.02 м,
Рис.2. Зависимость главных напряжений от расстояния, пройденного волнами, при условии их отпажения от нижней повеохности мишени
Рис. 3. Зависимость наибольших напряжений от расстояния с учетом взаимодействия отраженных
цилиндрических и сферических волн
4/2010 ВЕСТНИК
Рассмотрим общий случай отражения волн от внешних границ пластинки, когда при отражении одной волны образуется и продольная, и поперечная волна.
Для лучшего представления процесса распространения волновых поверхностей рассмотрим механизм отражения волн от нижней и верхней поверхности мишени с начала зарождения ударных волн до момента, когда продольная волна пройдет расстояние, равное 6к (рис.1).
На рис. 1 показаны точки, в которых находятся фронты волн в момент времени 6к/О1. Видно, что некоторые фронты будут находиться в одной точке пластинки, т.е. общее напряжение будет определяться суммированием напряжений на отдельных волновых фронтах. Вместе с тем из рис. 1 следует, что в момент времени 6к/О1 фронты некоторых волн пройдут путь, кратный к, т.е. они будут взаимно гасить друг друга.
На рис.2, 3 цифры у кривых обозначают соответствующее значение отношения Огг/Ег. Пунктиром показана кривая зависимости напряжения от расстояния при отсутствии отражения упругих волн. Из рис. 2 видно, что наибольшее напряжение в рассмотренных вариантах появляется в непосредственной близости от зоны контакта. Если учитывать отражение волн от верхней и нижней поверхности пластинки, то можно заметить локальные максимумы и минимумы для расстояний, пройденных упругими волнами и кратных ^к/(ус1 — с4 ) . Появление локальных экстремумов обусловлено разницей в скоростях волн. Когда расстояние между волнами становится кратным к, часть волн компенсируют друг друга, поскольку их фронты направлены навстречу. Если же расстояние между волнами кратно 2к, то происходит увеличение суммарного напряжения на фронтах волн.
На рис. 3 приведены зависимости наибольших напряжений от расстояния, пройденного волнами, с учетом взаимодействия прямых и отраженных от периметра волн для различных соотношений Огг/Ег. На рис. 3 видны локальные максимумы вблизи внешней границы пластинки на расстоянии х = Я (сх — С4 )/(ст + С4 )
и вблизи контактной области, когда цилиндрические волны прошли расстояние 2Я, в месте взаимодействия цилиндрической и сферической волны. Причем, при увеличении соотношения Огг/Ег локальные максимумы становятся более заметными, а зависимость напряжений на фронтах волн от пройденного расстояния убывает менее интенсивно.
Анализируя полученные аналитические выражения и графические зависимости, можно сделать следующие выводы. Максимальные значения напряжений возникают в непосредственной близости от области динамического контакта, локальные экстремумы появляются под контактной областью с момента времени 2к/(с + с^ ) ,
вблизи внешнего края мишени и под контактной областью с момента времени 2Я/с1 . При увеличении значения отношения упругих характеристик в поперечном и
продольном направлении интенсивность убывания зависимости напряжения от времени уменьшается, а экстремумы в местах взаимодействия отраженных волн становятся круче. Из анализа графических зависимостей видно, что возникновение напряжений в точках взаимодействия волн, больших, чем в контактной области, невозможно без другого источника волн. Таким образом, наиболее вероятные места возникновения наибольших напряжений в конструкциях, испытывающих ударное воздействие - контактная область, точки под ней на всю толщину конструкции и места вблизи точек крепления.
ВЕСТНИК 4/2010
Литература
1. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. A ray method of solving problems connected with a shock interaction // Acta Mechanica, 1994, V. 102, № 1-4., P. 103-121.
2. Локтев А.А. Ударное взаимодействие твердого тела и упругой ортотропиой пластинки // Механика композиционных материалов и конструкций. 2005. т. 11, N 4. С. 478-492.
3. Локтев А.А. Динамический контакт ударника и упругой ортотропной пластинки при наличии распространяющихся термоупругих волн // Прикладная математика и механика, 2008, Т. 72, В.4, С. 652-658.
4. Бирюков Д.Г., Кадомцев И.Г. Упругопластический неосесимметричный удар параболического тела по сферической оболочке // ПМТФ, 2005, Т.46., № 1, С. 181-186.
5. Malekzadeh K., Khalili M.R., Mittal R.K. Response of composite sandwich panels with transversely flexible core to low-velocity transverse impact: A new dynamic model // International Journal of Impact Engineering, 2007, V.34, P.522-543.
Literature
1. Rossikhin Yu.A., Shitikova M.V. A ray method of solving problems connected with a shock interaction // Acta Mechanica, 1994, V. 102, № 1-4., P. 103-121.
2. Loktev A. A. Udarnoe vzaimodeistvie tverdogo tela i uprugoi ortotropnoi plastinki // Mehanika kompositsionnih materialov i konstruktsii. 2005. t. 11, N 4. C. 478-492.
3. Loktev A. A. Dinamicheskii kontakt udarnika i uprugoi ortotropnoi plastinki pri nalichii raspro-stranyauschihsya termouprugih voln // Prikladnaya matematika I mehanika, 2008, t. 72, v.4, s. 652-658.
4. Birukov D.G., Kadomtsev I.G. Uprugoplasticheskii neosesimmetrichnii udar parabolicheskogo tela po sfe-richeskoi obolochke // PMTF, 2005, t.46., № 1, s. 181-186.
5. Malekzadeh K., Khalili M.R., Mittal R.K. Response of composite sandwich panels with transversely flexible core to low-velocity transverse impact: A new dynamic model // International Journal of Impact Engineering, 2007, V.34, P.522-543.
Ключевые слова: ортотропная пластинка Уфлянда-Миндлина, динамические напряжения, отраженные волны, точки взаимодействия волн
Key words: orthotropic Uflyand-Mindlin plate, dynamic stresses, reflected waves, points of wave's interaction
Почтовый адрес автора: г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26,
кафедра Теоретической механики Телефон автора: 8-909-994-14-44 e-mail: [email protected]
Рецензент: Егорычев Олег Александрович, д.т.н., профессор ГОУ ВПО Московского государственного строительного университета
