Убывание решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью в неограниченных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 5. № 1 (2013). С. 63-82.

УДК 517.946

УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЯ АНИЗОТРОПНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ЛЕОНТЬЕВ

Аннотация. Работа посвящена некоторому классу анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью, представителем которого является модельное уравнение вида

(|и|к 2 у)г = |Ра 2иХа )Ха, Рп > ... > Р1 > к, к е (1,2).

а=1

Для решений первой смешанной задачи в цилиндрических областях В = (0, то) х П,

П С Мп, п > 2, с однородным краевым условием Дирихле и финитной начальной функцией установлены точные оценки скорости убывания при £ ^ то. Ранее такие результаты были получены авторами для к > 2. Случай к е (1, 2) отличается способом построения галеркинских приближений, который для модельного изотропного уравнения был предложен Э.Р. Андрияновой, Ф.Х. Мукминовым.

Ключевые слова: анизотропное уравнение, параболическое уравнение с двойной нелинейностью, существование решения, скорость убывания решения.

1. Введение

Пусть О — неограниченная область пространства Мп = {х = (х1,х2, ...,хп)}, п > 2. В цилиндрической области Д = {Ь > 0} х О для анизотропного квазилинейного параболического уравнения второго порядка рассматривается первая смешанная задача

(|u|k 2u)t = Ка)xa, k G (1, 2), (i, х) е D;

а=1

u(t, х) =0, S = {t > 0} х дП;

S

и(0, х) = <^(х), <^(х) е Ьк(О), ^ха(х) е ЬРа(О), а =1,п. (3)

Предполагается, что неотрицательные функции аа(в), в > 0, а =1,п, подчиняются условиям: аа(0) = 0, аа(в) е С 1(0, то),

ав(Ра- 2)/2 ^ аа(в) ^ ав(Ра- 2)/2, (4)

р1 аа(в) ^ аа(в) + а'а(в)8 ^ Ьаа(в), (5)

с положительными константами а > а, 26 > р1 > к (р1 ^ р2 ^ ... ^ рп). Например, аа(в) = в(Ра-2)/2, а = 1, п, 6 = рп/2.

Работа посвящена изучению скорости стабилизации при Ь ^ то решения задачи (1)-(3) с финитной начальной функцией <^(х).

L.M. Kozhevnikova, A.A. Leontiev, Decay of solution of anisotropic doubly nonlinear parabolic equation in unbounded domains.

© Кожевникова Л.М., Леонтьев А.А. 2013.

Работа поддержана РФФИ (грант 09-01-00440-а).

Поступила 23 декабря 2011 г.

Исследованию поведения решений смешанных задач для линейных и квазилинейных параболических уравнений второго и высокого порядков при t ^ то посвящены работы А.К. Гущина, В.И. Ушакова, Ф.Х. Мукминова, А.Ф. Тедеева, Л.М. Кожевниковой, Р.Х. Каримова и др. Обзоры соответствующих результатов можно найти в [1], [2], [3].

В изотропном случае, т.е. когда все ра равны между собой и равны p, p > 2, при к = 2 задача (1)-(3) исследовалась в работе [3]. Оценки скорости убывания решения задачи Коши для параболического вырождающегося уравнения с анизотропным p-лапласианом и двойной нелинейностью при к G (1, 2) установлены в работе С.П. Дегтярева, А.Ф. Тедеева

[4].

Вопросы существования и единственности решения изотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью рассматривались в работах P.A. Raviart, Ж.Л. Лионса, A. Bamberger, O. Grange, F. Mignot, H.W. Alt, S. Luckhaus, F. Bernis и других. Однако для получения оценки снизу убывания решения при t ^ то нужна его дополнительная гладкость.

Ф.Х. Мукминов, Э.Р. Андриянова [5] предложили обычный способ построения сильного решения для модельного изотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью сразу в неограниченной области на основе галеркинских приближений, которые в случае к G (1, 2) и к > 2 строятся различными способами. В работе [6] этот метод адаптирован на некоторый класс анизотропных параболических уравнений вида (1) при к > 2, и на основе галеркинских приближений получена оценка допустимой скорости убывания решения в неограниченной области. Настоящая работа является продолжением работы [6] для случая к G (1, 2).

Будем рассматривать области, расположенные вдоль выделенной оси Oxs, s G 1,n (область Q лежит в полупространстве R+ [s] = {х G Rn | xs > 0}, сечение Yr = {x G Q | xs = r} не пусто и ограничено при любом r > 0). Ниже будет использовано обозначение: Qba = {х G Q | a < xs < b}, при этом значения a = 0, b = то опускаются.

Предполагается, что начальная функция ограничена и имеет ограниченный носитель так, что

supp С QRo , R0 > 0. (6)

Теорема 1. Пусть область 'расположена вдоль оси 0х3, в е 1,п и выполнено условие (6). Тогда найдутся положительные числа к(р3,к), М(р3,к) и ограниченное решение и(Ь, х) задачи (1)-(3) такие, что при всех Ь > 0, г > 2Я0 справедлива оценка

1/(Рв-1)Ч

lu(t)lk(nr) ^ М exp -

к

t

IMUfc (П). (7)

На основе неравенства (7) устанавливается оценка снизу убывания решения задачи (1)-(3) при Ь ^ то.

Допустимая скорость стабилизации решения изотропного квазилинейного параболического уравнения высокого порядка при к = 2 изучалась А.Ф. Тедеевым [7] для первой смешанной задачи и N. АНкакоэ, И,. Иоэ^ашап [8] для задачи Коши.

Теорема 2. Пусть область 'расположена вдоль оси 0х3, в Є 1,п и выполнено условие (6). Тогда существует положительное число С,к,р1, а, Ь) и ограниченное решение

п(Ь, х) задачи (1)-(3) такие, что при всех Ї > 0 справедливо неравенство

|К<)1к(П> > Мк(П> №)і + 1)-1/(Р1-‘>. (8)

Определим функцию

^І(г) = іп^ЛдХ1 ||Ьр1 (П> д(х) Є ЦдЦь^п) = ^ , Г> °. (9)

Будем исследовать убывание в областях, для которых выполнено условие

Ііт ^І(г) = 0. (10)

Показано, что если это условие не выполнено, то достигается максимальная скорость убывания решения, т.е. справедлива оценка

1Ж1к(П) ^ МГ1/(р1 -к), г> 0, (11)

(см. [6, следствие 2]).

Положим

V(г) = т£{\\дХ1 ||Ьр1 (7г) д(х) € Ы\ьР1 Ы) = ^ , т> 0. (12)

Будем считать, что область П удовлетворяет условию

СЮ

J иР1/Ре (т)(!т = то. (13)

1

Пусть т(г) — произвольная положительная функция, удовлетворяющая неравенству

(г№ \

К/ vPl/Ps (р)^Р I > 1, £> 0. (14)

Существование такой функции следует из (10). Кроме того, из (14), (10) следует, что

Иш т(г) = то.

£—»сю

Теорема 3. Пусть область расположена вдоль оси 0х3, в € 2,п и выполнены условия (6), (10), (13). Тогда найдется положительное число М(р^рь 1Мкк(П)) и ограниченное решение и(г, х) задачи (1)-(3) такие, что справедлива оценка

ИиС01к(п) ^ М (^р1 (тС0))-1/(Р1-к), г > 0. (15)

Если выполнены условия:

^1(т) > Ст-а, т > 1, а,С > 0,

Т

Иш [ vpl/ps (р)(1р = то,

Т^Ю 1п т ]

1

то можно положить

т(г) = г£/(аР1), г> 0, е € (0,1), (16)

и оценка (15) принимает вид

||«(г)1к(П) ^ мг(1-£)/(Р1-к), г> 0. (17)

Выбор функции т(г) формулой (16) является удовлетворительным, поскольку оценка (17) имеет показатель степени близкий к показателю 1/(р1 — к) оценки снизу (8). Другие примеры для областей вращения приведены в работе [6].

2. Вспомогательные утверждения

Пусть || • ||Р,д — норма в Ьр^), р > 1, (•, -)д — скалярное произведение в Ь2(^), причем

значения р =2, Q = П опускаются. Через Въа = (а, Ь) х П обозначим цилиндр, значения

а = 0 и Ь = то могут отсутствовать.

О

Банахово пространство Щ кр(П) определим как пополнение пространства СЮ(П) по норме

П

\М\^к11(П) = ^ Иих„ \\ра + ||и \ к.

а=1

Банаховы пространства IV к’ р(^т), IV к’р(^т) определим как пополнения пространства с^(пТ+1), соответственно, по нормам

п

Мкк ’1 (Дт) — \\и\\к’Дт + / у \\их01 \\ра’Дт ,

а=1

\\и\\ш\' 1 (ДТ ) — \\и\\к ’ ДТ + \\щ\\к ’ пт + ^ \\иха \\ра ’ Дт .

а=1

Определение 1. Обобщенным решением задачи (1)-(3) назовем функцию и(^х) та° 0 1

кую, что при всех Т > 0 и(£, х) € Vкр(^т) и удовлетворяет интегральному тождеству

( 1-\и\к 2иьг + ^ аа(и2ха)иха^ ) dxdt — [\^(х)\к 2р(х)у(0, x)dx, (18)

пг V а=1 / о

Дт

° 1 1 Т

для любой функции у(1, х) к р(^ ), ъ(Т, х) — 0.

Из условий (5) следуют неравенства

(р1 — 1)аа(в) ^ аа(в) + 2о1а(в)8 ^ саа(в), с — 2Ь — 1, в > 0, а — 1,п, (19)

которые можно переписать в виде

0 ^ (аа(г2)г)' ^ саа(г2), г € К, а — 1,п. (20)

£

Положим Аа(в) — / аа(т)dт, тогда, пользуясь условиями (5), выводим неравенства

0

р-Аа(в) ^ аа(в)в ^ ЪАа(в), в > 0, а —1,п. (21)

Лемма 1. Любое ограниченное множество рефлексивного банахова пространства слабо компактно (см. [9, гл. V, §19.7, теорема 1]).

° ° 0 1

Замечание 1. Пространства Vк р(П), V к р(^т) являются рефлексивными сепарабельными банаховыми пространствами (см. [6, замечание 1]).

Замечание 2. В дальнейшем, чтобы избежать громоздкости в 'рассуждениях, вместо утверждения типа "из последовательности им можно выделить подпоследовательность им, сходящуюся в Ь2(П) при I ^ то ", будем говорить просто "последовательность им выборочно сходится в Ь2(П) при М ^ то ". Соответственно, будем использовать термин "выборочно слабо сходится" и т.п.

Лемма 2. Пусть дм(^ х), М — 1, то, д(^ х) — такие функции из Ьр(5), 1 < р < то, что

\\дм М ^ С, дм ^ д при М ^ то почтил всюду в 5, тогда дм ^ д при М ^ то слабо в Ьр((5) (см. [10, гл. I, §1.4, лемма 1.3]).

Замечание 3. Лемма 2 сформулирована в [10] для ограниченной области 5, однако она справедлива и для произвольной неограниченной области. Будем применять лемму 2 для 5 — П и для 5 — (0,Т) х П.

Лемма 3. Пусть система функций фг(х) € С£°(П), I — 1, то, линейно независима, и

°

её линейная оболочка является всюду плотным множеством в пространстве Vк р(П).

ь

Через Рь обозначим совокупность функций ^ di(t)фi(x), где di(t) € СО[0,Т]. Тогда мно-

г=1

СО

жество Р — Рь плотно в пространстве IVк’р(^т).

ь=1

Доказательство. Покажем плотность множества Р в пространстве СО (^т+1). Пусть

у^, х) € СО(ВТ_+1), очевидно у^, х) € С([—1,Т + 1] ^ IVк Р(П)). Выберем произвольное £ и зафиксируем 8, такое что для любых t,t* € [— 1, Т + 1], таких что ^ — ^ \ < 28 будет справедливо

Иу« — у(«’)1Ц,р(П) <£- <22)

Выберем конечную последовательность точек tj, ] — 1,^, такую что

N

(—1, Т + 1) — и (^' — 8, tj + 8) и разбиение единицы j=l

N

Е wj(t) — 1 wj(t) € C0OO((tj — 8, tj + 8)) 0 ^ wj(t) ^ 1 j=1

Из определения системы функций (x) следует, что для каждого j, j = 1,N, найдется

номер Lj(е) и числа fjk такие, что

Lj

\\v(tj, x) - E fjkA(x)IW (п) <е, j = 1,N (23)

k=1 ’

N Lj L ( N \

Покажем, что функции ^ Wj(t)fjkфк(x) = Yl J2w.(t)fjk) фк(x), L = max Lj,

j=1 k=1 k=1 у=1 J j=1, N

о

fjk = 0, k > Lj, приближают функцию v(t, x) в норме пространства Wk p(^) равномерно

по t E [— 1,T + 1]. Действительно, применив (22), (23), выводим:

N Lj

max ||v(t, x) — > > Wj(t) fjkфк(x)|| ◦ =

te[-1,T+1] " V ' JJJWICK t\\Wk p(Q)

j=1 k=1

N N Lj

= te[m1aTC+1] \ E W (t)v(t, x) — EE Wj (t) f jkФWII^ 1 (q) ^

, j=1 j=1 k=1 ,p

NL

«E l_J;,iax+t,l |wj<t)v(t-x)—w>(t) E j ф <x>»w- „ p(Q)«

j=1 k=1 ’

^ > max IIv(t, x) — / fjkф]^(x)|| ◦ <

A+t. A+t .1 " ! ^ JjkTk\ )\\w 1 (q) ^

NL

. 1 M+j,'&+tj] 11 4 ’ ' k“1 ff T V '"Wk,p(Q) j=1 k=1

N

^ > max || v(t, x) — v(tj, x)|| ◦ +

l-^+tj,s+tj] 11 V ’ ; j ;"wfc,P(Q)

N Ь

+ Е \\у(tj, х) — Е Ькфк(х)|| ° ! (п) ^ N£ + М£ — 2Ы£ — £1.

■ 1 11 т к’ Р( )

.7=1 к=1

ь

Введем обозначение /к (^ — ^ wj (t)fjk. Возьмем € СО (^т+1), положим

к=1

у^, х) — wt(t, х) € СО(^т+1). Согласно доказанному, для любого £1 > 0 найдется Ь(£1) такое, что

Ь(£1)

.бЖХн] ^ — Е fk<()фк<Х)»,|,к 1 (П) < £1. <24)

’ к=1 ,Р

г

Рассмотрим функцию w(t, х) — J ^^т(т, x)dт и покажем, что функции вида

Т1

Ь Ь °

^2(1 fk(т)dт)фк(х) приближает функцию w(t, х) в пространстве Vк р(П) равномерно по к=1 -1 ’

t € [—1,Т + 1]. Действительно, при Ь ^ то

ь I

max IIw(t, x) — / / fk(т)фk(x)dd| о

te[-1,T+1] " V’ ' fW Jky ryky J "wfc,p(Q)

k=1 1

max j| / wT(т, x)dT — fk (т ^k (x)dT \

k=1

t€[-1,T+1] J W fc,p(Q)

-1 k=1-1

tL

= .£№4 " Wt<T'x) ^ fk(T)фkW dT"Wk p(Q) <

_1 \ k=1 / ’

L

^ (T + 2) maX "wt (т, x) — E fk (T^k (x)IU 1 (q) ^ 0.

t€[-1,T+1] f—' W fc’p(Q)

k=1

T

Обозначим dk(т) = f fk(p)dp, тогда, из неравенства (24) и последних соотношений при

-1

L ^ то следует

L

^max+n "wt (т- x>—E dk ^0

k=1 ’

L

max "w(т, x) — > dk(т)фk(x)" ◦ 1 ^ N ^ 0,

[—1,t+1] " v ^ kV >rkK "wfc’p(Q)

k=1

L

откуда вытекает "w(т, x) — ^ dk(т^k(x)"wM (dt+i) ^ 0. □

k=1 Wk’ p( -1 )

Теорема 4. Пусть <^(х) €Р°/кр(П), р1 > к, к € (1, 2), тогда существует обобщенное

решение и(^х) задачи (1)-(3), для любого Т > 0, удовлетворяющее условиям

°

и € Ьо((0, то),\Мкр(П)); (25)

\и\(кт2)/2и* € Ь2(ВТ), и € С([0, то), Ьк(П)); (26)

иг € Ьк(Бт). (27)

При этом справедливы неравенства

t

П п

+ ka

а=1 {

(k — i)|u(t)"k +k^^ I \\иХа(т)"pad'r ^(k — i)"^"k, t >o; (28)

0

d n

(k — 1) ~dt "u(t)"k + ka^2 "UXa (t)"pa ^ 0, t> 0. (29)

a=1

Доказательство. Выберем линейно независимую систему функций фг (х) E C^(Q), i = 1, то, такую, что ее линейная оболочка является всюду плотным множеством в про-

о

странстве Wk p(^). Будем считать, что эта система является ортонормированной в L2(H). Положим IM = U= supp фг(х), тг = max |фг(х)|.

x£lM

M

Приближенные решения uM(t, х) будем искать в виде uM(t, х) = CM(t)t^i(x),

г=1

M = 1, то. При этом функции cM(t), t E [0, то), определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений

(«Шм )k/2 1uM)t ,ф) +Е (aa ((uxfa )2)uM , (ф ) x a ) = 0, (30)

a=1

им — (им )2 + к£м, 3 — 1,М,

(числа £м > 0 выберем позже) и начальных условий

см (0) — см, г — ХМ, (31)

подобранных так, что

M

uM(0, x) = Е cMФі(x) ^ <^(x) в Wk,р(П) при M ^ ж. (32)

i=1

Отсюда сразу следует, что

“u (0)“wk1p(n) ^ Я^М^^П)^ M = 1, ж. (33)

d

Убедимся, что уравнения (30) разрешимы относительно производных — ci (t). Очевид-

dt i

но, что уравнения (30) имеют вид

cM(t))~r;ci w = f(cl

M d ________________________________________________________

ЕAji(cM(t),...,cM(t))-тлм(t) = Fj(cM(t),...,cM(t)), j =1,M, (34)

dt

i=1

Aji(cU . . . , cM) = 1 1 єм 2 + (k - ^ ( Е ci ф*) I (ujM )k/2 2фі,ф

2

J=1

= (ФІ,Фз)м, І,І = 1,М, (сь... ,см) =

п м / / / м \2\ \

ЕЕ СІ (а“ НЕ Сі (Ф )ха) ) (фі)ха , (Ф )х« ) , І = 1,М

Нетрудно проверить, что (д,к)м, д,Ь Е С'О(П), является скалярным произведением. Следовательно, матрица коэффициентов Ад(см(ї), ...,с)м(ї)) при каждом ї является матрицей Грама системы линейно независимых векторов фІ, І = 1,М, и имеет обратную. Поэтому, систему (34) можно переписать в виде

л м _____________________________________________________________

~^см(ї) = ЕА-1(см(ї),...,см(ї))рз(см(ї),...,см(t)), і = 1,м. (35)

3 = 1

Установим теперь оценки для галеркинских приближений. Умножим І-е уравнение (30) на с]м (ї), и затем все уравнения сложим по І от 1 до М, в результате получим равенства

п

(((им )к/2~1им )і ,им) + Е(а«((имі )2)има ,и^а ) =0, М = 1^ а=І

которые можно переписать в виде

ІП - 1 Vм)к/2<іх - ем2 /(шм)к/2-1 ) + Е (аа((им„)2)им,им„) =0, М = 1^.

^ ^ ^ J 2 7 4 ' I ^ 4 “чч х“' ' х“' ха

/М /М ' а=1

После интегрирования от 0 до і будем иметь

Кроме того, неравенства (4), (41) позволяют установить оценки

п

Еііа«((и“)2)и“ік/(р«-і),^ < «ЕIим!и?а-ъ1‘ ^ Е^ М=їт^. (42)

а=1 а=1

(36)

Л(^м)1/2(«)Ик’/« — £-мк ((ш“((.х))к/2 1dx + Е (аа((и")>м,им)д, —

IМ а=1

— к--1 Нкм )1/2(0)\к’/м — £м 2/км (0, x))k/2т1dx, М — т;то. (37)

1М

Выберем числа £м ^ 1/М так, чтобы были справедливы неравенства

шее Iм ^ (£м)тк/4, М — 1,то. (38)

Применяя (38), (33), выводим неравенства

( к \у2

\\(шм )1/2(0)||к’/М ^ \\им (0)\ + ^ 2£ у \\к’1М ^ Ним (0) II к + (39)

+ (к£м \1/2 (шее Iм )1/к < Е1 + (к \ 1/2 (£м )1/4 « Е1 + (к \1/2,

к Г (к \к/2 (к \к/2 (к \к/2

к£м (им (^ х))к/2т^х ^ (к£м) ше8 Iм ^ 1^] (£м )к/4 ^ 1к ) . (40)

1М

Учитывая (4), соединяя (39), (40), (37), для t > 0 получаем

(и,м)1/2(і)Цк + £ ||и£ ИР> < Е2, М = 1, м. (41)

а=1

Здесь и ниже постоянные ЕІ зависят только от а, а, Ь, р, Ц^Ц^ х(п).

Покажем, что все возможные решения задачи (31), (35) равномерно ограничены при і > 0. Действительно, пользуясь (41), для і > 0 выводим

м

(і) 2 м 2

3=і

Е з мі2=иим

/ |им(і)|к|им(і)|2-кёх « Цим(і)Цк тах

З хЄ/М

п

м 2-к

(і)фз(х)

3=і

м

(2-к)/2 м (2-к)/2

^ МЕ 3 (і)|2 ПС™2

3=і 3=і

Откуда имеем

м к/2 м (2-к)/2

|с,м(і)Ік < |с"(і)і^ < Е2 т^ , І =Т7М.

Ввиду непрерывности правой части уравнений (35), существуют абсолютно непрерывные функции см(і), і Е [0, то), І = 1,М, которые почти всюду удовлетворяют системе (35) и начальному условию (31) (см. [11, с. 120]).

й

Умножим теперь І-е уравнение (30) на — с^ (і), и затем все уравнения сложим по І от 1 до М, в результате получим равенства

(((им )к/2 ,им) +Е )2)и“ ,U“J =0, М = 1, ^

а=1

которые можно переписать в виде

к

(к - 1)Ц(^м)к/4-\миимЦ2 + ємкЦ(им)к/4-\мЦ2+ (43)

1 й п р + 2йй Е] Аа((им* (і))2)йх =0, М = Ї7^.

а=1 п

После интегрирования от 0 до і, пользуясь (21), будем иметь

(к - 1)Ц(^м )к/4-Чм им Щг + 6м к Ц(Шм )к/4-\м Щг +

1 п

+-ЕЫ(< (і))2)< (і),<(і)) ^

2Ь а=1

1 п ___________________________________________

^ (а«((им(0))2)им(0),им(0)), М =1, ^.

р1 а=1

Далее, виду справедливости неравенств (к — 1)(им)2 + 6м| > (к — 1)^м, применяя (4), пользуясь (33), выводим

п

И(^м)(к-2)/4и,миЬ, + Е и«м(«Ж: < Ег„ М = ттм. (44)

М,

\и

а=1

Пусть Т — произвольное положительное число. Из неравенств (41), (44) следует ограниченность последовательности |(^м)1/2}О=1 в пространствах С([0, то),Ьк(П)), Ьк(От),

° ° 0’ 1

последовательности {им}О=1 в пространствах С([0, то), V 1р(П)), Vк’р(^т) и последовательности |(^м)(кт2)/4им}О=1 в Ь2(ПТ). Кроме того, из неравенств (42), следует ограниченность последовательностей аа((им)2)им в пространствах ЬРа/(Ра-1)(От), а — 1,п. Установленные факты обеспечивают выборочную слабую сходимость указанных последовательностей при М ^ то в соответствующих пространствах:

м , т°г 0,1 , птч

и ^и в Vк’рф ),

м\2\„,м . ь „ г ( тлт

а»((иХ: ))иХ: ^ Ьа в ЬР:/(Р:-І) (Б ) , а = 1 , П.

,м\(к-2)/4„ ,м

Кроме того, рассмотрим последовательность Vм = (шм)(к 2)/4им, М =1, то и последова-

с-2

2

тельность ее производных Vм = (шм)(к 6)/4«м(к-2и2 + шм), М =1, то. Очевидно, из (44)

следуют неравенства

к

IVм|Ь‘ ^ 2ІІ(^м)(к-2)/4им1Ь‘ ^ Еб, М = 1, то, (45)

из которых следует выборочная слабая сходимость

уЬм ^ д в Ь2(Рт).

Ниже докажем, что им выборочно почти всюду в О сходится к и, это позволит установить, что д — (\и\(к-2)/2и)г.

° __________________

Последовательность им € С([0, то), Vкр(П)), М — 1, то, ограничена в этом пространстве. Для каждой ограниченной области 5 С П с гладкой границей имеем компактность вложения Ь1(5) С W11(Q). Поэтому, диагональным процессом можно установить выборочную сильную сходимость им (tj, х) ^ h(tj, х) в Ь1(5) на счетном плотном множестве {tj}О=1 С [0,Т]. Будем полагать, что 0,Т € {tj}°=1. Можно также считать, что им(tj, х) ^ h(tj, х) выборочно почти всюду в 5 при каждом tj, ] — 1, то. Совершенно аналогично, при к < р1 можно также считать, что последовательность им(tj, х) ^ h(tj, х) сильно в Ьк(5) при каждом tj, ] — 1, то.

Следуя Ж.-Л. Лионсу [10, гл. I, §12.2] докажем выборочную сильную сходимость последовательности ум — (шм)(к-2)/4им в пространстве С([0,Т],Ь1(5)). Сначала, применяя (45), установим равностепенную непрерывность по t последовательности ум в Ь2(П):

vM (t2) — vM (t1)" = 1/2

t2

j vM (t)dt

t1

t2

< J "vtM(t)"dt ^ t1

^ |t2 — t1|1/2 yj "vf(t)"2dtj ^ E6 |t2 — t1|1/2, t1,t2 E [0,T], M =1, то. (46)

Из неравенств (41) заключаем равномерную по t E [0, T] ограниченность последовательности vM (t, х) в L2(Q):

"vM(t)" = "(uM)(k—2)/4uM(t)" ^ "(uM)k/4" = "(uM)1/2"k/2 ^ Ej, M = 1Тто.

Ввиду ограниченности последовательности vM(t, х), M = 1, то, в пространстве

C([0,T], L2(Q)) она выборочно слабо сходится в L2(Q) при тех же tj, что и выше. Из установленной выше выборочной сходимости UM(tj, х) ^ h(tj , х) почти всюду в Q при каждом tj следует выборочная сходимость vM(tj, х) ^ v(tj, х) = |h(tj, х) |(k—2)/2h(tj, х) почти всюду в Q. Далее, на основе теоремы Егорова для любого 8 > 0 устанавливается равномерная сходимость vM(tj, х) ^ v(tj, х) на Q$, mes(Q\Q^) < 8. Отсюда, ввиду справедливости неравенств

"vM(tj) — v(tj)" 1,Q < mes Q max |vM(tj, х) — v(tj, х)| + "vM(tj) — v(tj)ll1,Q\Q5 ^

x£Qs

^ mes Q mQx |vM (tj, х) — v(tj, х)| + 81/2 "vM (tj ) — v(tj )"2,Q\QS , x£Qs

следует сильная сходимость vM(tj, х) ^ v(tj, х) в L1(Q) при каждом tj.

Для ограниченной области Q из (46) нетрудно установить равномерную фундаментальность последовательности vM (t, х) по норме L1(Q):

"vN(t) — vM(t)"1,Q = "vN(t) — vN(tj1) + vN(tj1) — vM(tj1) + vM(ttj1) — vM(t)||1,Q ^

^ 2(meS Q)1/2E6|t — tjl |1/2 + "vN (tji) — vM (tjl) " 1,Q.

Выбрав конечный набор чисел tjt с малым шагом и затем увеличивая N, M, добиваемся равномерной по t малости правой части.

Итак, установлена выборочная сильная сходимость vM ^ v в C([0,T],L1(Q)). Сходимость будет также и в L1((0, T) х Q), поэтому vM ^ v выборочно сходится почти всюду в (0,T) х Q. Благодаря произвольности Q последовательность vM выборочно сходится к v

почти всюду в От. Кроме того, ввиду произвольности Т, выбирая Т — 1, 2,..., диагональным процессом можно выделить подпоследовательность ум ^ у почти всюду в О при М ^ то. Тогда и последовательность им(^ х) выборочно сходится к h(t, х) почти всюду в О. Согласно лемме 2, им(^ х) ^ h(t, х) в Ьк(От) при любом Т > 0, в силу единственности предела h(t, х) — и(^ х) почти всюду в О. Таким образом, ум выборочно сходится к у — \и\(к-2)/2и почти всюду в О.

Согласно лемме 2, ум ^ у слабо в Ь2(От). Далее, (ум,^и)ит — —(ум,^^г)ит для любой функции w € СО(От), переходя к пределу при М ^ то, получим

(д,1п)вт — —(у^г)пт.

Отсюда следует, что д — уг — (\и\(к-2)/2и)г. Отметим, что принадлежность у,уг € Ь2(От) влечет у € С([0, то), Ь2(П)).

Покажем, что последовательность им, М — 1, то, ограничена в Ьк(От). В самом деле, из (41), (44) следует

1/к

м'\к,пт — I / (^)к(кт2)/4\им\к(^м)(2тk)k/4dxdt | ^

Из ограниченности ||им\к>вт следует, что им ^ Ь в Ьк (От). Тогда (им ,^и)^т — —(им ,1^г )дт,

< Ц(Шм}(кт2)/4и?'И^т\К„мП^2 < £8

ед

для любой функции w € С0°(От), переходя к пределу при М ^ то, получим

(Ь,1п)вт — — (и,1щ)вт ,

значит Ь — иг. Тогда, можно считать, что им ^ иг слабо в Ьк(От). Отметим, что из принадлежности и,иг € Ьк(От) следует и € С([0, то),Ьк(П)).

С одной стороны, из оценки (33) и сходимости им(0, х) ^ и(0, х) почти всюду при М ^ то, согласно лемме 2, следует слабая сходимость им(0, х) ^ и(0, х) в Ьк(П) при М ^ то. С другой стороны, согласно выбору (32), иК(0, х) сильно сходится к <^(х) в Ьк(П). Ввиду единственности слабого предела, и(0, х) — <^(х) для почти всех х € П.

Докажем, что функция и(^х) удовлетворяет интегральному тождеству (18). Из (30) следуют тождества

(((Шм)(к 2)/2и^г ,^ вт + ^ )2)им №*) пт — 0 М — 1, то, (47)

а=1

справедливые для любой функции w(т, х) € Р — иОО=1 Рь. Первое слагаемое проинтегрируем по частям, получим

г=т

((им )(кт 2)/2им — ((им )(кт 2)/2им ,Щ)оТ + (48)

г=0

+ Е {аа((и^а )2)им1 ^ха) вт — 0, М — 1 то.

/ ^ У^аУУ^ХдУ ) ^ха а=1

Заметим, что (шм)(кт2)/2\им\ ^ (шм)(кт 1)/2 € С([0, то),Ьк/(П)), так как

\\(шм)(к т 1)/2\к/ — ||(^м)1/2|1к т 1 ограниченная последовательность в С[0, то). Следовательно, по лемме 2, последовательность (шм)(кт2)/2им выборочно слабо сходится к \и\кт2и в Ьк/(От) и (им(Т))(кт2)/2им(Т) ^ \и(Т)\кт2и(Т), (им(0))(кт2)/2им(0) ^ \и(0)\к т2и(0) в

Ьк/(П). Также можно утверждать, что (шм(Т))1/2 ^ \и(Т)\, (шм(0))1/2 ^ \и(0)\ в Ьк(П). То, что предельные функции будут именно такими, обосновывается установленной выше сходимостью подпоследовательности им почти всюду в От, а также почти всюду в П при t — 0,Т.

В (48) можно перейти к пределу при М ^ то, в результате придем к тождеству

(|и|к - 2и,и)

І=Т

І=0

(|и| и,и^ рТ "У (Ьа,и>х: )рт = О,

а=1

которое справедливо для любой функции w € Р. Ввиду плотности Р в пространстве

° 11 ° 11 VкР(От) (лемма 3) тождество (49) справедливо для произвольной w €WкР(От). При

этом пользуемся тем, что \и\кт2и € Ьк/(От), Ьа € ЬРа/(Рат1)(От), а — 1,п. В частности, для w — и, применяя равенство

г

(|и|к 2и,ит)йт = -Ци(і)Цк

Ь=Т

І=0

(50)

выводим

^2(Ьа,их: )ит + Ци(і)Ц

а=1

І=Т

— (|и| u, «і)вт

к1

іи(і)цк

І=0 і=Т п

(51)

+ ^^(Ь« ,их: )оТ = 0.

£=0 а=1

°1 1

Докажем, что для любой функции у €WjkР(От) справедливо равенство

П П

"У ^(Ьа, уХа )от — ^ Л,(аа((иха ) )иха ,уха )От. а=1 а=1

Вычтем из (37) при t — Т равенства (48), для w € Р получим соотношения

г=т

(52)

м )(к - 2)/2им

+ ((^м)

м)(к 2)/2им

І £)Т +

І=0

+ Е Ы(им )2)«м , («м - Ш)х: )пт +

к - 1 к

а=1

І=Т

м)1/2 (і) и к

(^м)

І=0

- 6м-](<,м(і х))к/2- 1 йх

IМ

І=Т

= 0, М = 1, то,

І=0

из которых, используя условие монотонного неубывания функций аа(г2)г, г € К, а — 1, п, (см. (20)), применяя неравенство (40), выводим неравенства

((^м )(к-2)/2им ,ш

І=Т

+ ((и,м)(к-2)/2им , Юі)вт +

+ X] {аМП'*а )2)“х: , («м - и)х„) 0т +

І=0 2

а=1

І=Т

- (6м)

м )к/4

І=0

2)

к/2

^ 0, М = 1, то.

Далее, перейдем к пределу по М ^ то для фиксированного w € Р, при этом используем установленную выше сходимость.

Таким образом, для произвольной w € Р справедливо неравенство

г=т п

- (|и|к 2и, и)

І=0

+ (|и|к 2и,иг)вт + ^ (а«(и2: )их: , (и - и)ха) Пт + к1

а=1

І=Т

к

Іи(і)и

(53)

І=0

Согласно лемме 3 множество Р плотно в пространстве IV \’р(От). Тогда для про° 1 1

извольной функции w €W кр(От) найдется такая последовательность т1 € Р, что 1^ — w||w 1.1 (^т) ^ 0 при I ^ то. Запишем (53) для w — чи1, затем перейдем к пределу при I ^ то. Обоснование предельных переходов при I ^ то

(МЫа )2)^ха , (и — Вт ^ (aа(w2a ^Ха , (и — w)xJ Вт , а —1,n,

приведено в [6]. Таким образом, тождество (53) установлено для произвольной w €W к ’’ р(

1Д, (ПТ)

Из (53) вычтем (51) и прибавим (49), в результате выводим неравенство

п

Е(°а ^ )^^Ха — Ьа, (и — ^Ха )вт < 0, (54)

а=1

справедливое для любого w €Wк’р(От). В (54) положим w — и + £у, £ > 0, где у €W

Р( ’

1 РРТ), получим

2_^(аа((их: + 6Vx: ) )(«х: + 6VX: ) - Ьа .Vх: ) Дт > 0. а=1

Из последнего неравенства при £ ^ 0 следует соотношение

п

^ ](аа(иха )иха — Ьа,уха )от — 0, а=1

из которого, ввиду произвольности у, будем иметь равенство (52). Из (49) и (52) для °1 1

у €Wk Р(От), заключаем справедливость тождества

п г=т

- (|и|к 2и,ч)вт + Е {аа(и1: )их: ^х:) Дт + (|и|к 2u,v)

а=1

= 0. (55)

І=0

Таким образом, (18) установлено. Из (51), (52) следует

к 1 п к 1

п

к і1«(і)11£ + Е/ (аа(и1: )их: ,их: )йт =^^~^ 1М1к , і > 0, (5б)

а=1 0

дифференцируя которое по t, выводим

к — 1 г

——— ИиЮИк ^Е(аа(их« )иха ,иха )— 0, > 0. (57)

а=1

Далее, применяя (4), из (56), (57) выводим (28), (29). □

Предложение 1. Обобщенное решение и^, х) задачи (1)-(3) с ограниченной начальной

°1

функцией <^(х) € ЬО(П)П Vк р(П) является ограниченным, т.е.

уга1вир \ и^, х) \^ В < то. (58)

в

Доказательство. Покажем, что если \<^(х)\ ^ В для почти всех х € П, то выполняется неравенство (58).

І

Запишем тождество (55) при у — и(в), где и(в) —тах(и — В, 0):

п

— \и\кт2ии(В) + аа(и2ха)ихаих^) dxdt+

а=1

Вт

+ / И*, х)|кт2и(*. ^

П

Применяя (50), учитывая, что и(в)(0) — 0, получим

к- 1

І=Т

= 0.

І=0

и(В)(Т)Цк + ^ / аа(и1: ) «х : ихВ:)йхйі =°.

к м 4 7 " к ' у ■* I ^ 4 х:; ^: х:

а=Їдт

Поскольку

пп

Е / аа(и1а )иха ^dxdt — ^ / аа(иха К^?)2^^ — 0,

а=1Э>т а=1вт

то, ввиду произвольности Т > 0, ||и(в)^)||к е 0 для всех t — 0, следовательно и(Б)(^х) — 0 для всех t — 0 при почти всех х € П. Отсюда следует, что и(^ х) е В.

Выполнив аналогичные действия для функции и — —и, установим, что и^, х) — —В. □

3. Допустимая скорость убывания решения

Поскольку единственность решения задачи (1)-(3) не установлена, фактически будет получена оценка снизу только для построенного решения.

Доказательство теоремы 2. Сначала предположим, что область П является ограниченной, и докажем оценку (8) для галеркинских приближений.

Введем обозначения

См (і) = Е / аа((им )2)(«м )2 Нм (і) = Е / Аа((им: )2)йx,

а=1п а=1 п

Ем(і) = І (^м(і))к/2 - 6мк(шм(і))(к-2)/^ йх + (£) 1/2 (6м)к/4

1М

пользуясь (21), получим неравенства

ЦНм(і) ^ 0м(і) ^ ЬНм(і), і > 0. (59)

Перепишем равенства (36), (43) в виде

йЕ м (і)

+ 0м (і) = 0, і> 0, (60)

dt

I (к — 1)(им)2 + к£м\ (шм)(кт4)/2(и}')2 + 1 —0, , > 0. (61)

IМ

Применяя интегральное неравенство Коши-Буняковского, устанавливаем соотношения ЛЕм^2 — | I Лк — 1)(шм)(кт2)/2 + £мк(2 — к)(шм)(кт4)/^ имЛх) «

І

( / \ 1/2 / \ 1/2

е

V

(к — 1) I (им)(кт4)/2(им)2(им)2 I I (им)к/2 I +

Мм ) \м )

2

( \1/2 / \1/2\

+£мк и (им)(кт4)/2(им)2 I П (2 — к)(им)(кт2)/2 I

V м ) Ум )

Используя неравенство Коши-Буняковского для сумм, согласно (61), (40), выводим

ГЕм (Ь)\2 Г(,и л ,^м, о м к'

/

Ь ') е] ((к — 1)(им)2 + £м£)(им)(кт4)/2(им)2Гхх

1М

х I ^(к — 1)(им)к/2 + (2 — к)£мк(им)(кт2)/^ Гх е

Iм Ч (62)

((к — 1)(им)к/2 — £м(им)(кт2)/2^ Гх + к (2^ 1/2 (£м)к/4 кГНм (t)

-Е (t).

2 dt

Из (62), (60), (59) следуют неравенства

кЕм (Ь) ГНм(Ь) е ГЕм(t) 0м (t) е р1 ГЕм (t) Нм (^

2 ( ) ГЬ е ГЬ ( ) е 2 ГЬ ( ),

которые перепишем в виде

ГНм (t) /Нм т е р1 ГЕм (t) /Ем т

^^/Н И е т^/Е ().

Решая дифференциальное неравенство, применяя (59), получаем оценки

1 0м(Ь) е Нм(t) е Нм(0)(Ем(Ь))Р1/к/(Ем(0))Р1/к, t > 0. (63)

Ь

Далее, соединяя (60), (63), (59), выводим соотношения

ГЕ м (Ь) — —ЬНм (0)(Ем (Ь))Р1/к / (Ем (0))Р1/к —

ГЬ

— —Ь0м (0)(Е м (Ь))Р1/к / (Е м (0))Р1/к, р1

которые перепишем в виде

ГЕ м (Ь) / (Ем (Ь))Р1/к — — — 0м (0) / (Ем (0))Р1/к.

ГЬ р1

Решая дифференциальное неравенство, получаем оценку

Ем(Ь) — Ем(0) Ь2(р1 — к^0м(0)/Ем(0) + Л , Ь > 0. (64)

кр 1

Для фиксированного Ь > 0 при к < р1 в случае ограниченной области П последовательность им(Ь, х) выборочно сильно сходится при М ^ то к и(Ь, х) в пространстве Ьк(П). Очевидно,

Ем(ь) е к—-||(им)1/2мик: + (2)1/2(£м)к/4, М — гто,

и, согласно (38), выполнено неравенство

к1

Ііш Ем(і) Ци(і)Цк = Е(і).

м к

Кроме того, ввиду (40), справедливы неравенства

2)

Ііш Ем(0) > Ііш | к—1 Цим(0)Цк + (6м)к/4

м ~м ^те \ к к \к 2 '

к1

и

м ||Р: х : Ц р :

Р .

х : 11 р: .

а=1 а=1

После предельного перехода в (64) при М ^ то получим

І««ІІк > ІМІк(1 + с(||Ик. (П))і)-£/(р'-£).

(65)

Установим теперь оценку (65) для решения задачи (1)-(3) в неограниченной области П.

_____ СО

Пусть П(1) С П — ограниченные подобласти такие, что П(1) С П(1+1), I — 1, то, У П(1) — П.

1=1

Через и(1) обозначим решения в П(1) с финитной начальной функцией (вирр у С П(1)), можно считать эти решения продолженными нулем вне П(1). Сходимость последовательности и(1')(Ь, х) к и(Ь, х) решению задачи (1)-(3) при I ^ то устанавливается практически также как в теореме 4.

Свойство (25) обеспечивает оценку

і > 0, I = 1, оо.

Тогда при фиксированном Ь > 0 можно считать, что и(1) (Ь, х) ^ и(Ь, х) в IV к(Пг) при I ^ то. Пользуясь компактностью вложения Wk1(Пr) С Ьк(Пг), устанавливаем сильную сходимость и(1')(Ь, х) ^ и(Ь, х) в Ьк(Пг) при I ^ то для любого г > 0. Благодаря оценке (7) для любого £ существует г такое, что выполнено неравенство

«(,)ми

к’Пг

Для и(1) справедлива оценка (65), тогда

««ми

к’Пг >

к(1 + с(імк. (П))г£/(Р1-£) - 6.

Пользуясь сильной сходимостью в Ьк (Пг), переходим к пределу при I ^ то, затем по г ^ то (£ ^ 0). Таким образом, оценка (8) установлена в неограниченной области П для произвольного Ь — 0. □

4. Оценки сверху

В этом параграфе будет доказана теоремы 1, 3 из введения.

Доказательство теоремы 1. Пусть £(х3) липшицева неотрицательная срезающая функция. Положим в (55) у — и£, пользуясь (50), получим соотношение

т=г п „

к - 1 к

т=0

йх + Е / аа(и2х:)«х:(«Ох:йхйт = 0.

а=1,

П а=1П1

Далее, применяя (4), получаем (с учетом того, что — 0)

к- 1 "

к

І и (і, х)|ке(ж5)йх + а^ еі«х: |Р: йхйт ^

(66)

п

а=1

к

^ а |«||«хв |Рв 1Є'(хз)йхйт = Iі.

0і

Пусть в(х), х > 0, — абсолютно непрерывная функция, равная единице при х — 1, нулю при х < 0, линейная при х € [0,1]. В (66) положим £(х3) — в((х3 — г)/р), очевидно

£'(х3) — -, х € (г, г + р), £'(х3) — 0, х € (г, г + р).

Р

Оценим интеграл

|«||«хв |Рв 1йхйт.

0 Пг+Р

Используя неравенство Юнга, применяя (58), для любого £ > 0 выводим

(

I *

6Р

Рз - 1

6

Рв

\

а — к

V

І«ха ІРайхйт + — ВРв

Рз 3 3 Рз 3 3

0 пг+Р 0 пг+Р

|«|к йхйт

/

Соединяя (66), (68), получаем неравенство к- 1

к

< с

6Р

/ |и(і' х)|кйх + " Е/ / |их:Р: йхІт

а=1 0 п

Сг + р 0 пг + р

\

|uXs |Рsйхйт + 6Р

«к йхйт

0п

г+р

0 пГ+Р

/

Введем обозначение

^(і) = |«(і, х)|кйх + Е / / |«х: |Р:йхйт

а=1

0 пг

тогда (69) можно переписать в виде

(67)

(68)

(69)

< С | рг(() + 6Р- I Ег(т)йт | .

(70)

Далее индукцией по I установим неравенство

е С (^1 г1/р-\II (1 + г/рз)

-1/Рв

Ї, I = 0, то.

(71)

В качестве нулевого шага индукции из неравенства (28) для любых Ь > 0 имеем неравенство Рн0(Ь) е С||у||к. Предположим, что (71) справедливо для некоторого целого I — 0.

1/Ра

Подставляя в (70) 6

(1+і/ре)

і

г = К0 + 1р, с учетом (71), получаем

-1/Ра

:х

х

іІ/Ра + 1 + 1/Р3

т 1/р■ йЛ = С1 2С2

г=0

1+1

-1/Рв

і(1+1)/Ра Ш (1 + і/Рз)

А=0

і

і

і

і

і

і

і

в

і

і

і

Р

Неравенство (71) доказано.

Положим р = (г — Д0)/1. Используя неравенство Стирлинга, из (71) нетрудно получить

РМ « Сз ехр (—Р- \ М*. (72)

Полагая I равным целой части выражения

(г — До )Р* еСЛ

из неравенства (72) полу-

чим

Рг (Ь) ^ С5 ехр I — С6

(г — ДоУ*

1/(Рз-1)Ч

(73)

В случае, когда I = 0 неравенство (73) следует из соотношения (28). В итоге, при г > 2Д0 из (73) следует оценка (7). □

Доказательство теоремы 3 проводится на основе следующего утверждения.

Утверждение 1. Пусть область 'расположена вдоль оси 0х3, в Е 2,п и выполнены условия (13), (6). Тогда найдутся положительные числа к(р3,к), М(р3,к) такие, что для построенного ограниченного решения и(Ь, х) задачи (1)-(3) при всех Ь > 0, г > 2Д0 справедлива оценка

||«(Ь)1кпг ^ М ехр ^ к ^ иР1/Рв (р)Ар^ \\^\\к. (74)

Доказательство. Пусть в(х), х > 0, — абсолютно непрерывная функция, равная единице при х > г, нулю при х < Д0, линейная при х Е [Д0, 2Д0] и удовлетворяющая уравнению

в'(х) = 5иР1/Рз(х)в(х), х Е (2Д0,г), (75)

(постоянную 8 определим позднее). Решая это уравнение, находим, в частности, что

в'(х) = *(ДД0) = ехр | — 8 У иР1/Рв (р)(1р | , х Е (Д0, 2Д0). (76)

V 2До /

Для любой функции 'у(х) Е С0°(П) из определения функции V(р) следует неравенство

V (р)1М1р1,7р < 11^X1 ||р1,7р , р> 0,

из которого следует соотношение

г г

J еРв (р^Р1 (р)|^\Р1,7рАр < ^ вРз (р) ||р1,ТрАр. (77)

2Ко 2Ко

Применяя (77) для любой функции V Е С0(^) при в Е 2, п выводим

г г

У иР1 (р)вРа (р)НvНР:,7p Ар < тах Нх)|Рз-Р1 ^ vР1 (р)вРа Ар ^

2Яо 2Яо

Г

^ тах |v(x)|ps-p^ еРв ||Р1,7р Ар. (78)

2Яо

о

Отметим, что неравенства (78) справедливы для любой ограниченной функции v ЕШк р(^) (см. [6, следствие 1]).

I

В (бб) положим £(xs) = 9P: (xs), получаем

k- І

k

|u(t, x)|kвР: (xs)dx + а^^ 9P: luxa IPadxdт ^

n a=1Dt

^ ' / / |u||ux:|P: lps9'(xs)9P: 1(xs)dxdт = a/*.

o n

Используя неравенство Юнга выводим

t t

І

і* ^ ^(ps — ІМ |ux:|P:9P:dxdт + -—[ |u|P:(9'(xs))P:dxdт.

ys SI I I x:

on on

a 1

Выберем e = —----------, соединяя (79), (80), получаем неравенство

ар3 - 1

k—— J \u(t, x)\k9Ps(xs)dx + a J 9Ps\uXa \Padxdr ^ C7 J \u\Ps (9\xs))Psdxdr.

П a=l,a=sDt Dt

Пользуясь (75), (76), нетрудно привести (81) к виду

k—~J |u(t, x)|k(xs)dx + а ^ j 9P: luxa |P“dxdт ^

n a=1,a=sDt

^ exp I—6ps [ vPl/P: (p)dp\ [ [ |u|P: dxdт+

TDPs R0

2Ro / 0 q2Rq

Ro

t

+ °76PS f j \u\PS VP1 (Xs)9Ps (xs)dxdr = I\ + I2.

0 ^2R0

Используя [6, неравенство (73)], применяя соотношение (28), выводим

/ } \ t / r

I[ ^ Csexp I -8ps vPl/Ps(p)dp J / ||ux, IPsdT ^ C9exp I -8ps VP1/Ps(p)dp | |Mlk.

V 2Ro /0 V 2Ro

Применяя (78), получаем

t

I2 ^ Cw5Ps f t \ux1 \P19PsdxdT.

0 4Ro

(a \1/Pa

Выбирая ^ = I —— I , соединяя (82) - (84), выводим \CwJ

~~t~ llu(t)llk,nr + a f 11 uXa (t)|n“r dT ^ C9 eXP |-C11 / (P)dP J |Mlk.

a=2,a=s 0 V 1 /

Неравенство (74) доказано.

Далее, теорема 3 доказывается на основе оценки (74) аналогично доказательству [6, ремы 3].

t

(79)

(80)

(81)

(82)

(8З)

(84)

□

тео-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Оценки скорости стабилизации при t ^ то решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка // Матем. сб. Т. 191, №2. 2000. C. 91-131.

2. Кожевникова Л.М. Стабилизация решения первой смешанной задачи для эволюционного ква-зиэллиптического уравнения // Матем. сб. Т. 196, №7. 2005. C. 67-100.

3. Каримов Р.Х., Кожевникова Л.М. Стабилизация решений квазилинейных параболических уравнений второго порядка в областях с некомпактными границами // Матем. сб. Т. 201, №9. 2010. C. 3-26.

4. Дегтярев С.П., Тедеев А.Ф. Li — Lоценки решения задачи Коши для анизотропного вырождающегося параболического уравнения с двойной нелинейностью и растущими начальными данными // Матем. сб. Т. 198, №5. 2007. C. 45—66.

5. Андриянова Э.Р., Мукминов Ф.Х. Оценка снизу скорости убывания решения параболического уравнения с двойной нелинейностью// Уфимск. матем. журн. Т. 3, №3. 2011. С.3-14.

6. Кожевникова Л.М., Леонтьев А.А. Оценки решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью // Уфимск. матем. журн. Т. 3, №4. 2011. C. 64—85.

7. Тедеев А.Ф. Стабилизация решений начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений // Укр. мат. журн. Т. 44, №10. 1992. С. 1441-1450.

8. N. Alikakos, R. Rostamian Gradient estimates for degenerate diffusion equation. II // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. V. 91, №3-4. 1981/1982. P. 335-346.

9. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1980. 496 с.

10. Лионс Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. 1972. 596 с.

11. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: ИИЛ. Т. 2. 1954.

Лариса Михайловна Кожевникова,

Стерлитамакская государственная педагогическая академия, пр. Ленина, 37,

453103, г. Стерлитамак, Россия E-mail: [email protected]

Алексей Александрович Леонтьев,

Стерлитамакская государственная педагогическая академия, пр. Ленина, 37,

453103, г. Стерлитамак, Россия E-mail: [email protected]