CC BY
39
УДК 517.957
РЕШЕНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ
Л. М. Кожевникова, A.A. Леонтьев
Башкирский государственный университет, Стерлитамакский филиал,
Россия, 453103, Стерлитамак, ул. Ленина, 47 а.
E-mails: [email protected], [email protected]
Работа посвящена некоторому классу анизотропных параболических уравнений высокого порядка с двойной нелинейностью, представителем которого является модельное уравнение вида
д_
dt
\k — 2 .
U\ U =
т 1,
Емг“
а=1
'-п е N, р7
дГ1
дта и Ра -2 дтаи
дх™а дх™а
к > 1.
Для решений первой смешанной задачи в цилиндрической области Т) = (0, ос) х х О с неограниченной областью О С Кп, п ^ 2, с однородным краевым условием Дирихле и финитной начальной функцией установлена максимальная скорость убывания при £ —ос. Ранее авторами были получены оценки сверху для анизотропных уравнений второго порядка и доказана их точность.
Ключевые слова: анизотропное уравнение, параболическое уравнение с двойной нелинейностью, существование решения, скорость убывания решения.
Введение. Пусть О, — неограниченная область пространства = {х = = (ж1,Ж2, • • • ,жп)}, п ^ 2. В цилиндрической области Д = {I > 0} х О для анизотропного квазилинейного параболического уравнения высокого порядка рассматривается первая смешанная задача
\u\k 2u)t =
£<-D’
, д"
С J-
а=1
где к > 1, та € N;
дхгс
дтаи\2\ дтаи
дхг0
дхг0
(t, х) € D, (1)
DJXau(t, х)\s = 0; j = 1, 2,, та — 1, S = {t > 0} х 9Q; и{0,х) = р(х), ip(x) £ Lk(fl), <рХа(х) £ LPa(ü).
Предполагается, что неотрицательные функции aa(s), s ^ 0, а = 1,2, подчиняются следующим условиям: аа{0) = 0, aa(s) € С1(0,оо),
äs(p“-2)/2 ^ aa(s) ^ as(p“_2)/2, P-±aa(s)^aa(s) + a>a(s)s^baa(s),
(2)
(3)
,п,
(4)
Лариса Михайловна Кожевникова (д.ф.-м.н., проф.), профессор, каф. математического анализа. Алексей Александрович Леонтьев, аспирант, каф. математического анализа.
с положительными константами а ^ а, 26 ^ р\ > к (р\ ^ р2 ^ ... ^ рп)• Например, аа(з) = 8^Ра~2^2, Ъ = рп/2.
Исследованию поведения решений смешанных задач для линейных и квазилинейных параболических уравнений второго и высокого порядков при Ь —У оо посвящены работы А. К. Гущина, В. И. Ушакова, Ф. X. Мукмино-ва, А. Ф. Тедеева, Л. М. Кожевниковой, Р. X. Каримова, В. Ф. Гилимшиной и др. Обзоры соответствующих результатов можно найти в [1-3].
В настоящей работе исследуется допустимая скорость стабилизации решения задачи (1)-(3). Будем рассматривать области, расположенные вдоль выделенной оси Ох3, в € {1,2,..., гг} (область О лежит в полупространстве = {х € Мга | х3 > 0}, сечение 7^] = {х € П | х3 = г} не пусто и ограничено при любом г > 0). Ниже будет использовано следующее обозначение:
= {х € П | а < < 6},
при этом значения а = 0, Ъ = оо опускаются.
Предполагается, что начальная функция имеет ограниченный носитель, так что
виррс/? с 0До, Е0 > 0. (5)
Теорема 1. Пусть выполнено условие (5), тогда найдутся положительные числа к, Л4(р3,т3,к,а,а) такие, что ограниченное решение и(Ь,х) задачи (1)-(3) при всех £ ^ 0, г ^ 2Ео удовлетворяет оценке
г гРзГП3
1/(рата-1)
мтЫпг)^меЩ) ] )м\ьк( п)- (в)
На основе неравенства (6) устанавливается оценка снизу скорости убывания решения задачи (1)—(3) при £ —>■ оо.
Теорема 2. Пусть выполнено условие (5), тогда существует положительное число С((р, к,р\,а, Ъ) такое, что ограниченное решение и(Ь, х) задачи (1)-(3) при всех £ ^ 0 подчиняется оценке
1М*)1к(п> » 1Мк(П) (садг + ч-’Л»-*’.
Показано, что наилучшая скорость убывания решений достигается в сужающихся неограниченных областях, именно (см. замечание) для решений задачи (1)-(3) в области О, удовлетворяющей условию
№ = { Ъхф ь (П) ' 9^ 6 ^ Ыып) = 11 > 0, (7)
справедлива оценка
ММып) ^ МГ1/^~к\ ¿>0. (8)
1. Вспомогательные утверждения. Пусть || • |/(.о— норма в Ьр{0), р ^ 1, причём значение С} = О, опускается. Через Иъа = (а, Ь)хО, обозначим цилиндр,
значения а = 0 и Ь = оо могут отсутствовать.
Банахово пространство IVопределим как пополнение пространства Со°(П) по норме
дтаи
" Еіа»?
а=1
Банаховы пространства IV IV определим как пополнения
пространства Сд0(-О^1), соответственно, по нормам
Аид™“«
\\и\\\у<1’т(Вт) ~ ІІиіи,Дт / у II
(ДТ)
а=1
\и\\]У0к'™(ОТ)
\дхЪ
+
Рс,-0т
к,От-
Определение. Обобщённым решением задачи (1)—(3) назовём функцию «(¿,х) такую, что при всех Т > 0 «(¿, х) € при к € (1,2) «¿(¿, х) €
1'к{От), а при к ^ 2 |и|й_2и4 € Ьд./(_От), к1 = к/{к — 1), и удовлетворяет интегральному тождеству
\и\к 2иУі + ^
а=1
/дтаи\2\ дтаи дтаV', а« I ( ) I )ахсЙ+
+ / \и(Т,х)\к 2и(Т, х)г>(Т, х)(£х = / |<^(х)|й 2ір(х)у(0,х)гІх (9)
для любой функции и(£, х) £ЦГ к^{От).
о
Теорема 3. Пусть <р(х) £Ж ¿.“(П), р\ ^ к, к > 1, тогда существует обобщённое решение и(Ь, х) задачи (1)-(3). При этом справедливы неравенства
(к - 1)\\и(і)\\1 + ка^
а=1 '
дГПаи(т)
Ра
(1т ^ (к - 1)\\ір\\кк, 0, (10)
а=1
і дтаи(і)
< 0, і > 0.
Ра
(П)
Решение задачи (1)—(3) строится методом галёркинских приближений, который ранее был предложен Ф. X. Мукминовым, Э. Р. Андрияновой (см. [4]) для модельного изотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью и обобщён авторами статьи на некоторый класс анизотропных уравнений (см. [5,6] ).
Предложение 1. Для любой функции д(х) Є £Р(М+), Отд(х) Є І^,(М+) справедливо неравенство
іі^іи^^іі^іі^іьіСіі
і = 0,1,...,ш,
(12)
где постоянная С зависит от р, т, ].
Доказательство. Для произвольной функций Н(х) € ЬР(К 1), ВтН € £Р(М 1) справедливо одномерное неравенство Ниренберга—Гальярдо [7], которое запишем в частном случае:
\\&ЦрЛ1 < С1\\ВтЩ\;^1г\\1-^, ; = 0,1
Пусть функция Н(х) — продолжение функции д(х) такое, что
\\D]h\\PyRl < c2\\D] д\\рД+, 3 = От-
соединяя эти неравенства, получаем неравенство (12). □
2. Доказательство теорем. Будем предполагать, что решение задачи (1)— (3) ограничено, а именно, справедливо неравенство
vrai sup I u(t, x) 1^ В < oo. (13)
D
Доказательство теоремы 1. Пусть в(х), x > 0 — гладкая неотрицательная функция, равная единице при х ^ 1, нулю при х ^ 0. Тогда для функции £(xs) = e{{xs — г)/р) справедливы соотношения
d4
(РІ
^Ci/pP, хє(г,г + р), — = 0, X(£{r,r + p), j ЄП. (14)
СІХ s
dxl
Для k Є (1,2) в (9) можно взять v = и£, тогда, пользуясь равенством
1 d
/ \u\k 2uuTdx=-—l / Iu\kdx
In k dr \Jn
получим тождество
k -1
*
T=t Г ( / f)ma 7/ \ 2\ f)ma(v£)
dx + y / aa ( ( m ) ) —------——dxdr = 0. (15)
r=° *\\dxZ°) J dXaa №
Для к ^ 2 можно выполнить интегрирование по частям в первом интеграле тождества (9), в результате получим равенство
[ (п \к-2 Л , V- ((дт«и\Л дт«идт«у\^ - п
лД(Н
Положим и = и£, тогда, ввиду справедливости равенства / (\и\к~2и)Тискх. = выводим соотношение (15).
ЧЧК/„...«
Далее, применяя (4), из (15) получаем (с учётом того, что = 0)
к — 1
п „
\и(г,х)\к((х3)(1х + аУ2 / £
дтаи
дхГг
«/„X
3 = 1
дтзи
пг^дхТ
Ра~ 1 С3 д^-зи # а (1хс1т = /*
дхТв~] (1x1
Используя (14), оценим интеграл
3 = 1
а *
р3 7о .1п:+р
дт“и Ра~ 1 дпа-зи
дхТ3 дхТ3~3
Пусть е > 0 — произвольное число такое, что ер ^ 1. Тогда, последовательно применяя неравенства Гёльдера, неравенство (12) и Юнга, получаем соотношения
3 = 1
а *
дт“и Ра~ 1 д^-Зи
дхТ3 ра,(г,г+р) дхТ3~3
Е
3 = 1
С, *
р^е3
дтзи
дхг3
те
«Е
3 =
Сз Г* Г гп3р3 - j дт°и Ра
Р3^3 Уо Ап_1 т3р3 дхТв Ра,(г,00)
<Ыа<1т ^
р3,(г,г+р)
Ра~з/та ■,
Ы / \£3 Лх. Ат ^
рв,{г,оо) " "р^-00)
+ £
.ГПаРа ||и|1 Ра
ГПцРа Рз,(г,оо)
а *
Р£ Уо
дтви
дхг3
Ра
+ £^аРа\и\Ра
из которых с учётом (13) имеем
* ^ °А ( Г / ?“йг Р,(Шт + £т^ВРв~к [* [ \и\кс1хс1т) . (17)
\Л Jnr <УХ8 8 Уо Упг /
г < —
Р£ \.1о -)п
Соединяя (16), (17), выводим неравенство к — 1 „
к
иШк,п
Г + р
+ аЕ
п Г* дтаи о
а=1 <
М“
Ра
СБ(/ И?1С,П/Т + гт“”/ ►***)• (18)
р£ \.)о
Ра р
Рз
Введём обозначение
п /•<
ргю = ыт1пг + Е /
0.1 Л
дтаи
дх1
Ра
¿Т,
тогда (18) можно переписать в виде
Fr+P(t) < ^ (Fr(t) + ep°m° J* Fr{r)dr^ . (19)
Отметим, что если ер < 1, то неравенство (19) также выполняется, так как в этом случае
Fr+P(t) < Fr(t) < — Fr < ^ (Vr(i) + ep°m° [* Fr(r)dr) .
£p £P V Vo /
Таким образом, (19) доказано для произвольного е > 0.
Далее индукцией по I = 0,1,... установим неравенство
/2Г*й\г Г1~1 'i -i/(psms)
FRo+lp(t) < С7(—(1 + i/{vsms)) M\kk. (20)
^ г=0 '
В качестве нулевого шага индукции из неравенства (10) для любого t > 0 имеем неравенство Fn0(t) ^ С/Ц^Ц^. Предположим, что (20) справедливо для некоторого целого I ^ 0. Подставляя в (19)
е =
1 + 1/ (psms
1 /{psms)
г = R0 + Ip,
/Ca\l+1-.,, Л-1/(рвше)
! — О \ .1 / (г* -m - \ I T Г /и..// \ \ I и и k ^
с учётом (20) получаем
' 4=0
X |^/(Psms) _|_ 1 + l/{Vs™s) J ri/(psms)^r| _
= c,p)V»-'{n(l+i/(p,m,))
-1 /{psms)
Неравенство (20) доказано.
Положим р = (г—Ко)/1. Используя неравенство Стирлинга, из (20) нетрудно получить
Fr(t) ^ Сд ехр (----------------In
V
1 (r - Ro)
Psms
psms CstlPsms~1 Полагая l равным целой части выражения
‘(Г - Ro)Psms~\ i/(Psms-l)
(21)
eCgt
из неравенства (21) получим
Fr(t) ^ Си ехр (-Сю
(г - R0)Ps
t
В итоге при г ^ 2Ео из (22) следует оценка (6). □ Доказательство теоремы 2 осуществляется аналогично доказательству для случая уравнения второго порядка (подробнее см. [5,6]). Замечание. Если выполнено условие (7), то для решения и(Ь, х) задачи (1)-(3) справедлива оценка (8). Доказательство. Из (11) следует, что
^ м f+\\\k ^ ah v4l dmau(t) Ра ^ ak dmiu(t)
-\\u(t)\\k < -т—р > JI я„та ра < —^1 дхшi
dt к — 1 ' 11 дх.
а=1
pi ак
Pi
Решая это дифференциальное неравенство, получим оценку
i>0,
из которой следует неравенство (8). □
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-0081-а).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Л. М. Кожевникова, Ф. X. Мукминов, “Оценки скорости стабилизации при t —У ос решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка”// Матем. сб., 2000. Т. 191, №2. С. 91-131; англ. пер.: L. М. Kozhevnikova, F. Kh. Mukminov, “Estimates of the stabilization rate as t —s- ос of solutions of the first mixed problem for a quasilinear system of second-order parabolic equations” // Sb. Math., 2000. Vol. 191, no. 2. Pp. 235-273.
2. Л. М. Кожевникова, “Стабилизация решения первой смешанной задачи для эволюционного квазиэллиптического уравнения”// Матем. сб., 2005. Т. 196, №7. С. 67-100; англ. пер.: L. М. Kozhevnikova, “Stabilization of a solution of the first mixed problem for a quasi-elliptic evolution equation” // Sb. Math., 2005. Vol. 196, no. 7. Pp. 999-1032.
3. P. X. Каримов, Л. М. Кожевникова, “Стабилизация решений квазилинейных параболических уравнений второго порядка в областях с некомпактными границами” // Матем. сб., 2010. Т. 201, №9. С. 3-26; англ. пер.: R. Kh. Karimov, L. М. Kozhevnikova, “Stabilization of solutions of quasilinear second order parabolic equations in domains with non-compact boundaries” // Sb. Math., 2010. Vol. 201, no. 9. Pp. 1249-1271.
4. Э. P. Андриянова, Ф. X. Мукминов, “Оценка снизу скорости убывания решения параболического уравнения с двойной нелинейностью”// Уфимск. матем. журн., 2011. Т. 3, №3. С. 3-14. [Е. R. Andriyanova, F. Kh. Mukminov, “The lower estimate of decay rate of solutions for doubly nonlinear parabolic equations” // Uflmsk. Mai. Zh., 2011. Vol. 3, no. 3. Pp. 3-14].
5. Л. М. Кожевникова, А. А. Леонтьев, “Оценки решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью”// Уфимск. матем. журн., 2011. Т. 3, №4. С. 64-85. [L. М. Kozhevnikova, A. A. Leontiev, “Estimates of solutions of an anisotropic doubly nonlinear parabolic equation” // Uflmsk. Mai. Zh., 2011. Vol. 3, no. 4. Pp. 64-85].
6. Л. М. Кожевникова, А. А. Леонтьев, “Убывание решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью в неограниченных областях” // Уфимск. матем. журн., 2013. Т. 5, №1. С. 65-83. [L. М. Kozhevnikova, A. A. Leontiev, “Decay of solution of anisotropic doubly nonlinear parabolic equation in unbounded domains” // Uflmsk. Mai. Zh., 2013. Vol. 5, no. 1. Pp. 65-83].
7. L. Nirenberg, “On elliptic partial differential equations” // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Sci. Fis. Mat., III. Ser, 1959. Vol. 13. Pp. 115-162.
Поступила в редакцию 15/XI/2012; в окончательном варианте — 10/III/2013.
MSC: 35K35, 35K61
SOLUTIONS OF ANISOTROPIC PARABOLIC EQUATIONS WITH DOUBLE NON-LINEARITY IN UNBOUNDED DOMAINS
L. M. Kozhevnikova, A. A. Leontiev
Sterlitamak Branch of Bashkir State University,
47 a, Lenin St., Sterlitamak, 453103, Russia.
E-mails: kosuiamail.ru, alexey_leontievainbox.ru
This work is devoted to some class of parabolic equations of high order with double nonlinearity which can be represented by a model equation
For the solution of the first mixed problem in a cylindrical domain D = (0, oc) x xi], f! C Rn, n > 2, with homogeneous Dirichlet boundary condition and finite initial function the highest rate of decay established as t —s- oc. Earlier upper estimates were obtained by the authors for anisotropic equation of the second order and prove their accuracy.
Key words: anisotropic equation, doubly nonlinear parabolic equations, existence of strong solution, decay rate of solution.
mi,... ,m„ G N, p„ ^ ^ pi > k, k > 1.
Original article submitted 15/XI/2012; revision submitted 10/111/2013.
Larisa M. Kozhevnikova (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Dept, of Mathematical Analysis. Alexey A. Leontiev, Postgraduate Student, Dept, of Mathematical Analysis.
