Цилиндроид в центроаффинном четырехмерном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.7

ЦИЛИНДРОИД В ЦЕНТРОАФФИННОМ ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Г.А. Лебедева1, Т.Ф. Перевертаева2

Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассматриваются в центроаффинном пространстве условия р-параллельности плоскостей. Впервые сформулировано определение цилиндроида, построен его репер, геометрически охарактеризован. Представлена характеристика инвариантов, и рассмотрены некоторые частные классы цилиндроида. Библиогр. 4 назв.

Ключевые слова: цилиндроид; центроаффинное пространство; репер.

CYLINDROID IN THE CENTROAFFINE FOUR- DIMENSIONAL SPACE G.A. Lebedeva, T.F. Perevertaeva

National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.

The conditions of p-plane parallelism are examined in a centroaffine space. For the first time the definition of a cylindroid is formulated, its reference point is built, and characterized geometrically. The characteristics of invariants are presented, and some special classes of the cylindroid are considered. 4 sources.

Key words: cylindroid; centroaffine space; reference point.

Центроаффинная группа, лежащая в основе цен-троаффинной геометрии, определяется как такая подгруппа проективной группы, которая оставляет неподвижной некоторую точку О и плоскость пространства.

Аффинное пространство, в котором выделена неподвижная точка, называется центроаффинным, а точка О называется центром пространства. Если выбрать центр О за начало координат, то преобразования центроаффинной группы принимают вид:

х1 = А'х8.

Выделение в аффинном пространстве одной привилегированной неподвижной точки и превращение его в центроаффинное пространство позволяет сопоставить каждой точке М вполне определенный вектор

(радиус-вектор г = ОМ), а каждой гиперплоскости ц , не проходящей через О, - вполне определенный ковектор, определяемый упорядоченной парой гиперплоскостей, первая из которых параллельна ц и проходит через центр О, а вторая совпадает с ц. Аналитически это сводится к тому, что если выбрать начало

координат в точке О, то точке М (х1,х2,...,хп) мы сопоставим ее радиус-вектор г(хх х2...,хп), а гиперплоскости ^х' = 1 - ковектор ^¡(^,£2,...,£„).

Но так как п - мерное пространство ковекторов - с абстрактной точки зрения, ничем не отличается от п-мерного векторного пространства, то мы можем сделать вывод, что в центроаффинной геометрии имеет место полная двойственность: каждому положению относительно точек соответствует точно такое же положение относительно гиперплоскостей.

Приведем здесь некоторые определения, которые в дальнейшем нам понадобятся [1].

Линия пересечения линейчатой поверхности с конусом, вершина которого находится в центре пространства, а образующие параллельны касательным центральной кривой, является центральной индикатрисой, а линия, вдоль которой касательные плоскости к линейчатой поверхности проходят через центр пространства, центральной.

Точка пересечения луча линейчатой поверхности с центральной линией называется центральной точкой луча.

О р-параллельности плоскостей. Две плоскости Ьк и Ье, заданные в Ап уравнениями:

аоx' + aoo = 0 o =1 n - к;

+ вро = 0 р = 1, n - e; (1)

при

R

= R

a a n

o' o0 epi вР0

Н = к + е - п > 0 в общем случае имеют Н-мерное пересечение. В случае Н<0 плоскости Ьк и Д общего положения не пересекаются. Линейные векторные пространства Vk и V, базисные для плоскостей Д и Д , определяются

соответственно однородными системами и имеют (при Н>0) в общем случае Н-мерное пересечение.

1 Лебедева Галина Андреевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, тел.: 89086668414. Lebedeva Galina, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Mathematics, tel.: 89086668414.

2Перевертаева Тамара Федоровна, кандидат физико-математических наук, доцент, тел.: 89149587417.

Perevertaeva Tamara, Candidate of Physical and Mathematical sciences, Associate Professor, tel.: 89149587417.

и

Непересекающиеся плоскости Lk и Le являются

р-параллельными, если имеют общее линейное векторное подпространство размерности

р = dim V ^ V.

Очевидно, что

H < p < min (k, e). Для того, чтобы Vk и Ve, определяемые однородными системами

а^х' = 0 а = 1, и - £ ;

вдх' = 0 р = 1, и - e,

как совокупности их фундаментальных решений, имели р-мерное пересечение, необходимо и достаточно, чтобы объединенная система однородных уравнений имела ранг (п-р). Таким образом, условиями р-параллельности плоскостей Ьк и , заданных системами (1), являются соотношения а„

R

= n-p;

R

= rR a0ä aa0

6ß 6ß 6ß0

Первое из этих условий накладывает

И = p(n+p-k-e).

При p = p^ = min(k, е) плоскости Lk Le будем называть вполне параллельными.

В этом случае меньшее по размерности из подпространств Vk и V является подпространством другого. Тогда:

Pmax = min (k,e) i

Итх min(k, e)n + min(k, e) - k - e].

Определение цилиндроида и построение его репера. Цилиндроидом называется однопараметри-ческое семейство плоскостей, р-параллельных одной и той же плоскости, называемой основной плоскостью цилиндроида.

Пусть L - образующая плоскость цилиндроида, заданная уравнением:

Lk = tama + m; a = 1, k и L - основная плоскость цилиндроида, заданная уравнением:

Le =rßnß+ Щ; ß = 1, e.

Эти плоскости не пересекаются. Тогда условия для цилиндроида запишутся в виде:

^lma nß| = k + e - Р; .й рШ^ n J = e,

причем R < R

ma mo

Па no

Деривационные формулы репера в центроаф-финном пространстве имеют вид

¿Л1 = О£Лк.....(', £ = 1,2,3,4),

где Л; - линейно независимые векторы, а О£ -

дифференциальные формы, удовлетворяющие уравнениям структуры:

ДО = О ок}

Можно положить

Ок = ®\ ,

где оОк - формы, являющиеся линейными комбинациями дифференциалов параметров семейства (первичные формы). а п\ - формы, являющиеся линейными комбинациями дифференциалов шестнадцати вторичных параметров.

Рассмотрим однопараметрическое семейство два-плоскостей в четырехмерном центроаффинном пространстве. Выбираем образующей плоскостью в СА4

Ь2, которая будет два-параллельная Ь3. Совместим два-плоскость репера {ё2, ё3} с плоскостью Ь2, а гиперплоскость {ё2, ёъ,ё4 } с основной плоскостью цилиндроида Ь3.

Репер построен, и его деривационные формулы имеют вид

dHj

ds de.

■ = e + ae2, — ds ds

de.

= 2be2 + ё4,

= Ьё2 + еёъ.

&

Соприкасающейся квадрикой является квадрика, которой принадлежат три бесконечно близкие плоскости.

Уравнение соприкасающейся квадрики можно искать в виде

(я )+ 2(ы * Я)+ а00 = 0,

где Я = е + Лё2 + ;

(ё;* ёк ) = а;к; (Ыё; = ао1).

Уравнение квадрики, содержащей три близкие плоскости, имеет вид

2х0х4 — 0.

Найдены уравнения поляр полученной квадрики для точек:

(1, 0, 0, 0) : - 2х2+х4=0; (0, 1, 0, 0) :х1=1; (0, 0, 0, 1) : х1= -1. С-конусом направлений назовем соприкасающуюся квадрику к конусу направлений, образованного

движением вектора Я = Лё{.

Уравнение конуса второго порядка с вершиной в начале координат можно записать в виде

(r *r )= о.

Уравнение С - конуса направления Я — Ле3 име-

ет вид

9х2 + (9Ь + 2)х2 - 6х2х4 -18х3х4 = 0; тогда поляры для несобственных точек запишутся: (0, 1, 0, 0) : - 3х2+х4=0; (0, 0, 1, 0) : х4= =0; (0, 0, 0, 1) : 3х2+9х3-(9Ь+2)х4 = 0.

Таким образом, три-плоскость (е,е2,ё3) есть поляра точки (0, 0, 1, 0) относительно конуса направлений Я — Ле3.

Уравнение характеристики линейного подпространства образующей плоскости (е2, е3) найдется из условия:

е^, е^, е^ | — 0; е^, е^, е^ | — 0;

е^, е^, е^ | — 0;

е4, е3, ех| — 0, т.е. х1 = 0, х4 = 0, х1 = 0, х2 = 0 и, следовательно, вектор е3 направлен по найденной характеристике.

Центральной плоскостью однопараметрическо-го семейства плоскостей называют касательную плоскость семейства, проходящую через центр пространства [1].

Точка, в которой касательная плоскость - центральная, назовем центральной точкой.

Уравнение касательной плоскости к цилиндроиду

точке

Я — ех + Ле2 + /

из

условия

z- е, е2, е, ёЯ

— 0 запишется в виде

Лх1 - х4 - Л — 0.

При Л — 0 имеем центральную прямую Я — ех +/3, а центральная плоскость к цилиндроиду есть три-плоскость (е, е2, е3).

Найдено, что характеристика гиперплоскости (е, е2, е) - линейное подпространство два-

плоскости (е,е3); вектор ех - пересечение трех бесконечно близких плоскостей плоскости (е, е2, е3 ), т.е. точка Я — е есть лучевая точка торса [1], описываемого гиперплоскостью (е, е2, е3).

Получили, что вектор е4 направлен по характеристике два-плоскости (е3, е4) и вектор е4 является первой осью специального комплекса в (е2, е3, е4), соприкасающегося к линейчатым поверхностям Я — е + Ле2 и Я — ех + /е3 [3].

В гиперплоскости (е1, е2, е3) кривая Я — е2 (б) -плоская. Тогда дифференциал длины дуги цилиндро-

ида пропорционален длине дуги индикатрисы плоской кривой: Я — е2 (б) в гиперплоскости (е, е2, ®з):

ёБ+ — (4Ь2 )13 (е3, е2 Ж . Уравнение квадрики для (е, е3) имеет вид

9х2 + (18Ь-13)х2 - 6х2х4 -18х3х4 — 0.

Уравнение поляр полученной квадрики для точек: (1, 0, 0, 0) : х4=0; (0, 1, 0, 0) : х3-2Ьх4=0; (0, 0, 1, 0) : х2+х4= 0; (0, 0, 0, 1) : ах1+2Ьх2+х3+2(2Ь+о)х4=0. Плоскость х2 = 0 есть поляра соприкасающейся

квадрики для два-плоскости (е, е4).

Вектор е направлен по первой оси специального комплекса, образованного однопараметрическими семействами проекций прямых Я — е +Ле2 и

Я — е + /е3 на гиперплоскость (е1, е2, е3) ||е4 .

При а = 0 прямая Я — е2 +Ле3 есть вторая ось специального комплекса.

Вектор е4 - первая ось специального комплекса, образованного однопараметрическими семействами проекций прямых Я — е2 +Ле2 и Я — е1 + /ме3 на плоскость (е2, е3, е4 ) ||е .

При (с - 2ЬЛ) — 0 прямая Я — е2 +/4 совпадает со второй осью этого специального комплекса. Инвариант 2Ь является координатой касательной,

к годографу вектор-функции Я — е2(б), так как ^ е 2 )= (е2,2Ь|ез + е 4).

Ь

Отношение — - координата касательной к годо-с

графу вектор-функции Я — е4(б), так как (е4,е4)=

— (е4,Ье2 + се2).

Точка (о, а, - Ь, о) - точка пересечения ребра (А1А2) с полярой точки А4, относительно соприкасающейся квадрики к однопараметрическому семейству

плоскостей (е, е2).

Частные классы цилиндроида. Уравнение конуса направлений имеет вид

(12аЬ + 8с-8)х 2 + б(4а - 4Ь - 2ас)х0х! -

- 8Ь2х0х2+ сх0х3 - 4Ьсх0х4 +

+ (4аЬ + 2ас)х2 + 8Ь2х1х2 -

- (4Ь + с^х,, + 4Ьсх^4 — 0.

При с = 0 точки А0 и А3 полярно сопряжены относительно данного конуса направлений Я — Ле1. При

в

4Ь+с = 0 точки А1 и А3 полярно сопряжены относительно конуса направлений Я = Ле1.

Характеристика гиперплоскости (е, ё2, ё4), задается уравнениями:

2 е1, е2, е4| = 0,

а 2, е3, е2, е4| + 2Ь 2 е, е3, е4| + + с 2 е, е, = 0.

Отсюда имеем следующие частные классы:

1) при а # 0; 2Ь = 0; с = 0 характеристика

(е ,е2,ё4 ) есть два-плоскость (е2, ё4 );

2) при а = 0; 2Ь # 0; с = 0 характеристика (е1, е2 ,е4) - два-плоскость (е1, ё4);

3) при а = 0; 2Ь = 0; с # 0 -характеристика (е, е2 ,ё4 ) - два-плоскость (е, ё2).

При а = 0, 2Ь = 0 вектор е1 направлен по характеристике линейного подпространства два-плоскости (е, ё2), найденной из условия:

z, e, e2, e = о,

z, e1, e2, e4 = 0,

® z, e3, e2, e + 2b z, e, e3, e + z, e, e4, e2 = о,

alz, e3, e, e4|+2b |z, e, e3, e4|+|z, e, e4, el = 0.

При а # 0, Ь = 0, с = 0 вектор е4 направлен по характеристике линейного подпространства два-плоскости (е, ё4), и при а = 0, Ь # 0, с = 0 вектор е1 направлен по характеристике линейного подпространства два-плоскости (е, ё4 ).

Библиографический список

1. Щербаков Р.Н. Курс аффинной и проективной дифференциальной геометрии. Томск, 1960.

2. Лукина Р.А. О 2-семействах прямых в четырехмерном центроаффинном пространстве: Тр. Томского ун-та. 1973. С. 118-132.

3. Карапетян С.Е. Проектно-дифференциальная геометрия

двупараметрических семейств прямых и плоскостей четырехмерного пространства. // Известия АН Арм. ССР, серия физ.- мат. наук, 1962. Т. 15. №2. С. 53-72. 4. Машанов В.И., Перевертаева Т.Ф. Цилиндрические семейства плоскостей в Ап: сб. тезисов конф. по математике и механике. Томск, 1974.

<