CC BY
53
Естественные науки
УДК 514.762
ПОВЕРХНОСТИ С ПОСТОЯННЫМИ ЭКВИАФФИННЫМИ ИНВАРИАНТАМИ
Н.М. Онищук
Томский государственный университет E-mail: [email protected]
Доказано, что, кроме поверхностей 2-го порядка, существует только 6 поверхностей, все аффинные инварианты которых постоянны. В некоторой неподвижной аффинной системе координат их уравнения имеют вид: 1) z(x2+y2)=1 - аффинная сфера гиперболического типа, 2) xyz=1 - аффинная сфера эллиптического типа, 3) z=xy-y - линейчатая несобственная аффинная сфера (поверхность Кэли), 4) z=xy+ln y - линейчатая несобственная аффинная сфера, 5) z2(x2+y2)3=1 - несобственная аффинная поверхность вращения эллиптического типа.
Полученные результаты являются новыми в аффинной геометрии гладких поверхностей и имеют теоретическое значение. Исследование ведется при помощи метода внешних форм Картана.
Нелинейчатые поверхности гиперболического типа с постоянными инвариантами
В этом разделе используется канонический репер (МДДД) поверхности, построенный в [1]. Точка М - регулярная точка поверхности, вектор ё3 направлен по аффинной нормали в точке М и нормирован так, что индикатриса аффинных нормалей соответствует поверхности параллелизмом касательных плоскостей. Векторы е1,е2 направлены по касательным к асимптотическим линиям в данной точке. Деривационные формулы такого репера имеют вид
dr =rnle\ +ю2в2,
de1 = (Am1 + Cm2)e1 + Jmle2 + m2e3, de2 = Jm2e1 - (Am1 + Cm2)e2 + m1e3, de3 = (Em1 + F m2)e + (Gm1 + Em2)e2,
(1)
(2)
где СМ = (Г - 3ЛМ)т1 + (О + 3СМ )т2. Условия:
СЛлт1 + ССлт2 = (М2 -Е-2ЛС)т1 лт2, сСЕ лт1 + СЕ лт2 = (ОМ - 2ЛЕ )т1 лт2, СО лт1 + СЕ лт2 = -(ЕО + 2СО )т1 лт2, СЕ лт1 + СО лт2 - 3МСЛ лт1 + 3МСС лт2 =
= -4( ЕС + ЛО)т1 лт2 (3)
обеспечивают полную интегрируемость системы (1,2).
Функции Л, С, М, Е, Е, О составляют полную систему эквиаффинных инвариантов поверхности. Будем считать функции Л, С, М, Е, Е, О постоянными, тогда из (2) и (3) получаем
Л = -С,О = Е = 3ЛМ, Е = М2 + 2 Л2, Л(М - 2Л) = 0. (4)
Из (4) заключаем, что имеются две возможности:
1) Л = С = Е = О = 0, Е = М2;
2) Л ф 0,М = 2Л,С = -Л,О = Е = Е = 6Л2.
Исследуем каждую из них. 1) Для первого класса Е=О=0, что характеризует аффинные сферы [1]. Инвариант Е=М2, где М - инвариант Пика. Для нелинейчатых поверхностей гиперболического типа инвариант Пика не равен нулю, а потому данная аффинная сфера является собственной аффинной сферой. Найдем уравнение этой аффинной сферы в неподвижной аффинной системе координат. Система (1) при Л=С=Е=О=0, Е=М, принимает вид Сг =т1ё1 +т2ё2, Сё\ = М т'ё2 + т2ё3, Сё2 = М т2ё1 + т'ё3, Сё3 = М 2т1ё1 + М 2т2ё2.
Заметим также, что Ст '=0 и Ст 2=0, следовательно, можно положить
„1 Си + Су 2 Си -Су т = —;;—, т = —-—. 2 ' 2
В результате получим вполне интегрируемую систему уравнений:
Сг = 2 ё + ё2 )Си + 2 ё - ё2 )Су, Сб1 = 1(7ё2 + ё3 )Си + 1(7ё2 - ё3 )Су,
de2 = -2-(7ei + e3)du + -2(-/ei + e3)dv,
T 2 T 2
de3 = 2 (ei + e2)du + - e2>dv,
проинтегрировав которую, получим параметрические уравнения поверхности:
х = —1 e"2 u sin М v, /V3 2
i —f /V33
y = —4= e 2 cos * v, /V3 2
7! =1 e/u Z1 2/ •
Отсюда, исключив параметры и сделав следующее преобразование координат:
X = X, y = y, Z = 613Zj,
(5)
Положим ffl'+ffl2=du, e^u(ffl'-ffl2)=dv, тогда ra1=—(du+eAudv), ra2=-(du-eAudv), и система (6) примет вид
dr = ■2(e1 + e2)du + 1 eAu (er1 — e2)dv, de1 = (Ae2 + 1е3 )du + eAu (Ae1 + Ae2 — ie3 )dv, de2 = (Ae1 + 2e3)du + eAu (—Ae1 — Ae2 + 2e3)dv, de3 = 6 A 2(e1 + e2)du.
(7)
приходим к уравнению
z(x2 + у2) = 1
искомой аффинной сферы гиперболического типа. Все аффинные нормали ее проходят через начало координат. Аффинная сфера (5) имеет ряд замечательных свойств. Она является аффинной резной поверхностью, на которой существует сопряженная сеть плоских линий тени, при этом одно семейство является семейством эллипсов [2].
2) Переходим к исследованию класса 1=2А, С=—А, Е=Е=0=6А2, А^0. Система (1) для данного класса поверхностей имеет вид
йг = ю1ё1 + ю2ё2,
йё1 = А{ю1 -ю2)ё\ + 2Аю1ё2 + ю2ё3,
йё2 = 2Аю2е1 - А(ю' -ю2)ё2 +а%, (6)
йё3 = 6А2(ю' +т2)(ё1 + ё2).
Аффинные линии кривизны определяются уравнением
(ю1)2 - (га2)2 = 0.
Из (6) видим, что вдоль линии кривизны ю'+ю2=0 аффинные нормали параллельны, т.е. описывают цилиндр, вдоль другой - пучок прямых. Конгруэнция аффинных нормалей является цилиндрической, и ее единственная фокальная поверхность выродилась в линию. Линии кривизны ю'=ю2 - плоские линии, лежащие в параллельных плоскостях. Все аффинные нормали параллельны одной плоскости, т.е. данная поверхность представляет собой несобственную аффинную поверхность вращения. Линии ю'=ю2 являются ее меридианами, а также аффинно-геодезиче-скими и линиями тени. Последнее обстоятельство указывает на то, что данная поверхность является также аффинной резной поверхностью. Найдем ее уравнение в неподвижной системе координат. Для этого проинтегрируем систему (6). Имеем
с1ю1 = -Аю1 лю2, йю2 = Ага1 лю2, й(ю1 +ю2) = 0, й( ё- Аи (ю1 -ю2)) = 0.
Проинтегрировав систему (7) и исключив затем параметры, приходим к уравнению искомой поверхности:
12(х + у2)3 = 1, х > 0. (8)
Изображение поверхности (8) см. в [2, рис. 1]. Все аффинные нормали этой поверхности параллельны плоскости (Х02). Параллелями данной несобственной аффинной поверхности вращения являются параболы, лежащие в плоскостях £=сош1;, меридианами - кривые, лежащие в плоскостях у=сопй (заметим, что параллели и меридианы являются аффинными линиями кривизны). Вдоль параллели аффинные нормали параллельны, а вдоль меридиана образуют пучок, центр которого описывает параболу, определяемую в выбранной неподвижной аффинной системе координат уравнением
у2 = -2 А2 х.
Эта парабола есть та кривая, в которую, как было отмечено выше, выродилась единственная фокальная поверхность конгруэнции аффинных нормалей.
Линейчатые поверхности
с постоянными инвариантами
В этой части работы идет речь о линейчатых поверхностях, не являющихся поверхностями 2-го порядка, а также торсами. Для исследования таких поверхностей воспользуемся каноническим репером, построенным в [3]. Вектор 6 по-прежнему направлен по аффинной нормали к поверхности, вектор 6 - по прямолинейной образующей, а вектор 6 -по касательной к криволинейной асимптотической. Деривационные формулы репера имеют вид
йг = ю1 ё1 + ю2ё2,
de1 = (F ra1 + 2ra2) e1 + ra2 e3, de2 = ra2 e1 — (F ra1 + ara2)e2 + ral e3, de3 = {Era1 + Fra2)e1 + Era2 e2.
(9)
Инварианты Е, Е, а удовлетворяют следующей системе внешних дифференциальных уравнений:
йЕ лю2 = 0, йЕлю1 + йЕлю2 + 2Е2ю' лю2 = 0, йЕлю1 + 3йа лю2 + (2аЕ + 3Е)ю1 лю2 = 0.
Известия Томского политехнического университета. 2005. Т. 308. № 4
Пусть теперь инварианты Е, Е, а постоянны, тогда Е=Е=0. Т.к. при этом ¿6=0, т.е. 6 - постоянный вектор, то это означает, что все аффинные нормали параллельны, а поверхность является несобственной аффинной сферой. Т.о., линейчатые поверхности с постоянными инвариантами могут быть только несобственными аффинными сферами. Найдем уравнения таких линейчатых поверхностей. I. Рассмотрим сначала поверхности, для которых а=Е=Е=0, тогда Ла'=0, Ла2=0, и положим а1=Ли, а2=Лу. Формулы (9) принимают вид
Лг = е1Ли + е2Лу, с1в\ = е3Лу,
Ле2 = е1Лу + е3Ли, Ле3 = 0. (10)
Интегрируя систему (10) и затем исключая параметры, получаем уравнение
1 з
z = - з у
(11)
линейчатой несобственной аффинной сферы класса а=Е=Е=0. Ее прямолинейные образующие параллельны одной плоскости (у=0), следовательно, это цилиндроид. Поверхность (11) называется поверхностью Кэли. Одним из замечательных свойств этой поверхности является то, что она несет на себе конгруэнцию парабол с неопределенными фокусами [4]. Прямолинейные образующие поверхности являются диаметрами этих парабол. В выбранной системе координат все аффинные нормали поверхности Кэли параллельны оси 02.
II. Пусть теперь аф0 (Е=Е=0). В этом случае имеем Ла2=0, Л(еа"а1)=0 и потому полагаем еа"а1=Ли, а 2=Лу. Тогда формулы (9) принимают вид
Лг = е ~<аиёые1 + йуе2,
ёе1 = (ае1 + е3 )у,
Ле2 = (г1 - ае2 )у + е Лые3,
ёеъ = 0.
Проинтегрировав данную систему и исключив затем параметры, получаем в неподвижной аффинной системе координат уравнение х = ху + 1пу, у > 0.
Это несобственная линейчатая сфера класса <ф0 (Е=Е=0).
Итак, имеется только два вида линейчатых поверхностей с постоянными инвариантами: /
г = ху - -з и г = ху + 1п у.
Поверхности эллиптического типа с постоянными эквиаффинными инвариантами, не являющиеся аффинными сферами
Всякая регулярная поверхность эллиптического типа (кроме аффинной сферы) несет на себе сеть аффинных линий кривизны. Поэтому естественно использование канонического репера, отнесенного к аффинным линиям кривизны, для поверхностей эллип-
тического типа, не являющихся аффинными сферами. Деривационные формулы такого репера имеют вид:
Лг =а1е1 + а2е2,
ЛА = (1 а1 а2)е +
+(аа' - (Ь + 1)а2)е2 + а1е3, Ле2 = (-(а + р)а1 + Ьа1)е1 +
+(-А а1 +Р а2^ +а%, (12)
Ле3 = 8а1е1 + %а1е2,
здесь %ф8.
При выполнении условий Л1ла1 - Лр л а2 = -3(а1 + Ьр + 1р)а1 ла2,
Ла ла1 - Л(Ь + 1) л а2 = = (-а2 -Ь2 -2А2 + 2ар-5Ы + %)а1 ла2,
Л (а + р) ла1 - ЛЬ л а2 = = (-а2 -Ь2 -2р2 + Щ--2ар + 8)а1 ла2, (13)
Лх ла2 = (Ь + 1)(х -8)а1 ла2 система (12) становится вполне интегрируемой.
Потребуем, чтобы инварианты а,Ь,а,р,8,х были постоянными. Тогда из системы (13) получаем два случая:
1) Ь = 1=8= 0, р = -а, х = -"2а2, аФ 0;
2) а = р = х = 0, 1 = -Ь, 8 = -2Ь2, Ь Ф 0.
Проинтегрируем систему (12) для случая 1). Имеем Ла2=0, Л(еаг/2а1)=0, поэтому положим еа"/2а1=Ли, а2=Лу. Тогда система (12) примет вид:
ау
Лг = е 2 е1Ли + е2Лу,
ау - ам
с1в\ = ав\йм + (ае 2 ¿2 + е 2 ез )Ли,
с1в2 = -а в2йи + взЛу,
- 3 2 -Лез = 2а ¿2ЛУ.
Проинтегрировав полученную систему и исключив параметры, получим:
у2(х - г2)3 = 1. (14)
Интегрирование системы (12) при условии 2), т.е. при а=р=х=0, 1=-Ь, 8=--(Ь2), Ьф0, приводит к тому же результату.
Т.о., с точностью до аффинного преобразования существует только одна регулярная поверхность эллиптического типа (кроме аффинных сфер), все эквиаффинные инварианты которой постоянны. Эта поверхность в некоторой аффинной системе координат имеет уравнение (14). Аффинные нормали поверхности (14) параллельны одной плоско-
сти (ХОУ), т.е. это несобственная аффинная поверхность вращения, в то же время она является аффинной резной поверхностью [2]. Плоские линии тени на ней образуют сопряженную сеть, одно семейство которой состоит из парабол. Эти же параболы являются аффинными параллелями.
Аффинные сферы эллиптического типа с постоянными инвариантами
Для аффинных сфер эллиптического типа (за исключением поверхностей 2-го порядка) канонический репер выберем следующим образом. Вектор 6, как и во всех предыдущих случаях, направим по аффинной нормали. Для того, чтобы выбрать направление векторов 6,6, заметим следующее. В каждой точке М аффинной сферы существует единственная квадрика, имеющая с поверхностью соприкосновение второго порядка и центр, совпадающий с центром аффинной сферы. Характеристикой такой квадрики при смещении по любой линии является пара кривых второго порядка. Ни одна из касательных к кривым, на которые распалась характеристика соприкасающейся квадрики, не совпадает в общем случае с касательной к линии, по которой происходит смещение. Однако существуют две линии, проходящие через точку М, когда такое совпадение имеет место. По касательным к таким кривым и направим векторы 6,6. Нормируя подходящим образом векторы, найдем деривационные формулы построенного канонического репера:
с1г = ю1 6 + ю2 е2, с1в\ = —2Ью16 +(-3-/лю1 + (Ь — V)ю2)е2 + ю1 е3,
с1е2 = (——/лю1 + vю2)e1 + 2 Ью1 е2 + ю2е3, (15) с1е3 = аю1 е1 + аю2 е2.
Условия полной интегрируемости системы (15) имеют вид:
d/ллю1 -6dvлю2 + 3(4vL-L2 -2a)®1 л®2 = 0, 6dvлю1 +2d/лю2 +3/L®1 лю2 = 0, (16) a = const ф 0.
Пусть теперь инварианты аффинной сферы L,/,v постоянны. Тогда из (16) получаем /=0, a=-L2, v=-L. Т.к. в этом случае Ю=0, da2=0, то, положив ai=du, rn2=dv, приходим к вполне интегрируемой системе уравнений Пфаффа:
dr = edu + e2dv, de1 = (--2 L 6 + e3)du + 2 L e2dv,
de2 = -2 Le2du + (2 Le1 +e3)dv, 1 2
de3 = 2 L ( e1du + e2dv), L ф 0.
Проинтегрировав данную систему, а затем исключив параметры, получаем уравнение
xyz = 1. (17)
Центр этой аффинной сферы находится в начале координат. Данная сфера также является аффинной резной поверхностью с сопряженной сетью плоских линий тени, одно из семейств которых суть гиперболы [2. Рис. 4].
Итак, если не считать поверхностей второго порядка, существует только одна с точностью до аффинного преобразования сфера эллиптического типа, все эквиаффинные инварианты которой постоянны. Она определяется уравнением (17).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Щербаков Р.Н. Курс аффинной и проективной дифференциальной геометрии. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1960. - 194 с.
2. Онищук Н.М., Светланова О.И. Аффинные резные поверхности с постоянными инвариантами // Геометр. сб. - Томск: Изд-во Том. ун-та. - 1989. - Вып. 30. - С. 76-95.
3. Онищук Н.М. Конгруэнции парабол, присоединенные к поверхности // Геометр. сб. - Томск: Изд-во Том. ун-та. - 1987. -Вып. 27. - С. 61-67.
4. Иванов Г.И. Конгруэнции парабол с неопределенными фокальными поверхностями // Геометр. сб. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1974. - Вып. 14. - С. 203-206.
