Центробежное вытеснение жидкой фазы из пористого материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 678.048.167

Н. Х. Зиннатуллин, А. А. Булатов, В. Г. Кузнецов,

И. М. Нафиков, Г. Н. Зиннатуллина

ЦЕНТРОБЕЖНОЕ ВЫТЕСНЕНИЕ ЖИДКОЙ ФАЗЫ ИЗ ПОРИСТОГО МАТЕРИАЛА

Ключевые слова: поверхностное натяжение, мениск, равновесие сил, критическое число оборотов.

Для случая центробежного обезвоживания пористого материала определены формы мениска жидкости по обоим концам капилляра. Вычислено критическое значение фактора разделения, выше которого жидкость будет вытекать из капилляра.

Keywords: surface tension, meniscus, balance of power, the critical speed.

For the case of centrifugal dewatering foam liquid meniscus forms defined on both ends of the capillary. Calculated critical factor separating beyond which a liquid will flow from the capillary.

Для твердого пористого материала и жидкой фазы, находящейся в его порах, характерны физикохимические (адсорбционные, осмотические, капиллярные) и физико-механические связи, для разрушения которых применяется различное механическое оборудование [1, 2].

Рассмотрим процесс обезвоживания твердого пористого материала на центрифуге. Твердая частица, попадая в центрифугу, отбрасывается к ее стенкам. Будем считать, что ось капилляра, заполненного жидкостью, перпендикулярна стенке центрифуги, линейные размеры твердой частицы намного меньше ее радиуса (рис. 1).

Рис. 1 - Схема расположения твердой частицы в центрифуге

Как известно, для центрифуг фактор разделения (кр=ы2Р/д) на много больше единицы, поэтому влиянием силы тяжести на процесс будем пренебрегать. Под действием сил поверхностного натяжения по обоим концам капилляра в жидкости возникают мениски. Когда угловая скорость вращения ы=0 мениск будут тождественны друг другу. По мере увеличения ы левый мениск будет вытягиваться, а правый - уплощаться. В качестве критической угловой скорости ыкр будем рассматривать ту скорость, при которой правый мениск превратится в плоскость, совпадающую с правой плоскостью твердой частицы. Тогда при любом ы>ыкр жидкость будет вытекать из капилляра с образованием капель или струй. Задачу будем рассматривать в цилиндрической системе координат г, ф, 7, связанной с центром капилляра.

Как известно из гидростатики, того чтобы некоторый объем жидкости находился в равновесии, должны выполняться условия потенциальности силового поля Эйлера, условие для перепада давления на поверхности раздела жидкость - газ Лапласа и условие Дюпре - Юнга на линии контакта трех фаз [3, 4]. Выше перечисленные условия приводят к уравнениям:

для правого мениска

2a d2Z0

dr2

1 +

dZ

dr

- + рю2 (R + Zo )o = C

(І)

для левого мениска

d2 z 0

2a

0

dr2

f dz 0 І + l — і dr

3/2

+ pw2 (r-|z0 |)z„I = C '

(2)

Здесь а — коэффициент поверхностного натяжения на поверхности жидкость - газ, 70 -координата свободной поверхности жидкости (мениск), Р - радиус центрифуги, С - некоторая постоянная.

В силу названного выше условия, для ы=ыкр кривизна поверхности правого мениска равна нулю и 70=Ь/2. Тогда из уравнений (1) и (2) для левого мениска получим:

2a dZl dr2

1 + !^ dr

- = Р“к,

2I 2

(3)

Упростим уравнение (3) используя

очевидные соотношения R>>L/2 и f —-

і dr

получим:

<<1. Тогда

3/2

2

З/ 2

2

_ d2z0 2_fL

2a-5F = p“KpRl 2 - zo

Граничные условия, которым удовлетворять функция z0, следующие:

dz0

(4)

должна

при r=0, —- = 0,

dr

при г=гк

dZo

dr

(5)

(б)

где О - угол смачивания. В уравнении (4) введем

L pra2nR

обозначения: W = — z0, X =-----------n— .

2 2a

Тогда получим:

d2W

dr2

+ XW = 0 .

(7)

Общее решение последнего уравнения запишется в виде:

W = C1 cos(rVX)+ C2 sin (rVX).

Или в старых переменных:

z0 = 2 - C1 cos fvr) - C2 sin(rVx)

Используя граничные условия (5) и (6) получим константы интегрирования в виде:

С1 =• ,ge

С2=0.

VX- sin(VX),

Тогда для левого мениска получим окончательное выражение:

cos

L

Zo = 2 '

tge

r©M

V

“-A/sin

f fpR'

rk “кр V 2a

V I

(8)

кр

Чтобы определить величину ы,

воспользуемся условием постоянства массы (объема) жидкости в капилляре и при ы=0 и при ы=ыкр. В силу осевой симметрии капилляра сохраняется и равенство площадей осевого разреза. Определим эту площадь для случая ы=0.

Условия Эйлера, Лапласа и Дюпре-Юнга для случая ы=0 дают:

сРг

2a—f = C dr2

Граничные условия:

при r=0, ■dZ^ = 0

dr

dz0

при г=гк —^ = tge,

(9)

(І0)

z =

L

dr 0 2

Решение уравнения (9) при граничных условиях (І0) дает:

z0 = — -

L tge

2 2rk

(r^ -r2).

(11)

Поскольку площадь осевого сечения жидкости в капилляре при ы=0 состоит из четырех одинаковых площадей, поэтому можно записать:

S»=o = 4Jzodr = 2Lrk - :4^вrk2.

0 3

Найдем эту площадь для ыкр. Площадь для правой части жидкости определяется как:

(І2)

Snp Lr<

(13)

Площадь жидкости в левой части капилляра в силу осевой симметрии запишется как:

S лев = 2fz0dr .

лев J 0

(14)

Производя интегрирование и приравнивая площади S^^S^+S^, получим:

“кр = Ті pR

rk Vpr

(І5)

Приведем пример обезжиривания кости. Частицы кости, нагретые до температуры плавления жира, подаются в центрифугу. Если полагать: гк=50мкм =5 10"5 м; а=310"2 Н/м; р=900 кг/м3;

Р = 0,8 м

то получим:

ыкр=223,6 с-1; п=2135 об/мин.

Критическое значение фактора разделения определяется по формуле:

2

ёд _ “ёд -р _ 3a

^д =^~R = —J

(Іб)

g

pgrk

В нашем случае К кр = 4081.

Отметим, что формула для определения ыкр не зависит от угла смачивания ©. Это означает, что критическая угловая скорость зависит только от свойств жидкости и безразлична к свойствам твердого тела, с которым эта жидкость соприкасается.

Выше приведенные соотношения были получены для случая, когда ось капилляра была перпендикулярна стенки центрифуги. Однако, твердая частица относительно стенки центрифуги может быть ориентирована произвольным образом. Угол, который составляет ось симметрии капилляра с радиальным направлением, находится равновероятным образом в пределах от 0 до п/2. Его среднее значение составит,

/2

очевидно, п/4. Тогда ю2Р• СОБ-^^-^ю2Р = 0,7ю2Р.

Следовательно, в среднем реализуется только 70% центробежной силы. Поэтому для общего случая должно быть увеличено значение критической угловой скорости вращения центрифуги.

1/2

Литература

1. Дытнерский Ю. И. Процессы и аппараты химической технологии: в 2т. т.2 / Ю. И. Дытнерский. - М.: Химия, 1995. - 368 с.

2. Нафиков И. М. Обессоливание желатина / И. М. Нафиков, В. Г. Кузнецов, Н. Х. Зинантуллин, Н. И.

Еникеева, Н. Б. Сосновская // Вестник Казан. технол. унта. - 2011. - Т.1 4, №4. с. 63 - 68.

3. Повх И. Л. Техническая гидромеханика / И. Л. Повх -Л.: Машиностроение, 1976. - 502 с.

4. Сумм Б. Д. Физико-химические основы смачивания и растекания / Б. Д. Сумм, Ю. В. Горюнов. - М.: Химия, 1976. -232 с.

© Н. Х. Зиннатуллин - д-р техн. наук, проф. каф. процессов и аппаратов химической технологии КНИТУ, [email protected]; А. А. Булатов - канд. техн. наук гл. инж. ООО «Апарт», г.Казань; В. Г.Кузнецов - канд. техн. наук, доц. каф. технологии конструкционных материалов КНИТУ; И. М. Нафиков - канд. техн. наук, доц. каф. процессов и аппаратов химической технологии КНИТУ; Г. Н. Зиннатуллина - канд. техн. наук, доц. каф. промышленной безопасности КНИТУ, [email protected].