CC BY
49
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2007. №9/1(59).
УДК 519.214
121
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, ПОРОЖДЕННЫХ УСЛОВНЫМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ ПРОЕКЦИЙ УСТОЙЧИВОЙ МЕРЫ НА ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ1
© 2007 Е.А. Савинов, С.Я. Шатских2
В работе изучается схема серий асимптотически независимых случайных величин, порожденных конечномерными условными распределениями сигма-аддитивной устойчивой меры на гильбертовом пространстве. Для нормированных сумм таких серий в случае, когда размерность условных распределений стремиться к бесконечности, установлена слабая сходимость к гауссовскому распределению. Доказана возможность обобщения результата на более широкие классы мер и пространств.
Введение
Пусть Н — вещественное сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением < ■, ■ >, ортонормированным базисом {е;}°=і и борелевской
о-алгеброй В(Н); ца — а-аддитивная устойчивая мера на Н с характеристическим функционалом
' \а/2'
2
Та(у) = ехр
(то ч а
!>2 < * ^ >2
7=1 '
, * Є н
и показателем а є (0,2) (см., например [1],) где Ху > 0 и £ X2 < +то.
7=1
Будем рассматривать линейные функционалы < ■, еі >,...,< ■, еп > в качестве случайных величин, заданных на вероятностном пространстве {Н, В(Н), ца}. Введем для этих величин совместную функцию распределения
^(а)п (хі,•••, *п) := МН Є Н : < Н, еі > < хі, ... , < Н, еп > < Хп}
и соответствующую этой функции условную функцию распределения
(Х;| Хі,..., % ,..., Хп)
г|1..л...п
случайной величины < Н, е\ > относительно системы случайных величин
< Н, еі >,...,< Н, еі >,...,< Н, еп >,
1 Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ НШ-1758.2003.1.
2 Савинов Евгений Анатольевич ([email protected]), Шатских Сергей Яковлевич ([email protected]), кафедра теории вероятностей и математической статистики Самарского государственного университета, 443011, Россия, г.Самара, ул.Акад. Павлова, 1.
здесь л —знак пропуска элемента.
В нашей работе мы рассматриваем схему серий случайных величин
ха :=ф-1 о) >»•=^. (!)
где Х{ :=< х, в{ >, х е Н, п е N и через Ф-1(-) обозначена функция, обратная функции (0,1)-гауссовского распределения Ф(-).
1. Основной результат
Целью нашей работы является доказательство следующей предельной теоремы.
Теорема 1. Для любого а е (0,2)
Нт ^а I -р У. ХО! < и\ = Ф(и), и е К. (1.1)
п^“ {уП1~1 '
Утверждение этой теоремы для частного случая меры Коши (а = 1) было доказано авторами в работе [7].
Замечание. Введенная система (1) неоднократно являлась объектом исследований в связи с изучением свойств преобразований независимости (см., например, [3], [4]) негауссовских случайных величин. В частности, в работе [1], (см. также [2]) было установлено, что при п ^ <х> система случайных величин (1) является асимптотически независимой и для нее имеет место усиленный закон больших чисел.
Как будет показано в п. 2° леммы 4, случайные величины (1) некоррелирова-ны, а ввиду леммы 2, их одномерные распределения являются (0,1)-гауссовскими. Однако, совместные распределения этих случайных величин (см. лемму 5) гауссовскими не являются, поэтому, вообще говоря, каждая серия {хП^,...,хП“П| состоит из зависимых случайных величин.
2. Вспомогательные утверждения
В следующей лемме мы укажем явный вид условной функции распределе-
ния
(а)
г|1..л...п'
Лемма 1.
хп) =
где
О* ^) =
/ехр -п-1 (и + 1пи) *(2; 2’ ■)йи
(2.1)
g(■; а/2,1) — плотность крайнего устойчивого распределения на полуоси (0, +то) с показателем а/2 ( см. [8, с. 201] ).
Доказательство этого утверждения дано в работе [1].
Лемма 2. Для любого а € (0,2] случайная величина X(с9 имеет (0,1)-гауссов-ское распределение и относительно меры ц,а не зависит от семейства случайных величин {Х1, . . . , X;, . . . , Хи).
Доказательство следует из теоремы 1 работы [5] (см. также теорему 1 работы [4]).
Аналогично тому, как это было сделано в работах [1, 6], введем функционал
Л п 2
4(*) = 1™ - ^ < Х’ 2 > (2.2)
п^то п 4—1 АГ
г=1 г
и множество Г = {х € Н : 0 < ^(х) < то).
Будем предполагать все вводимые далее случайные величины заданными на множестве Г и для краткости опускать аргумент (х).
Считая 5то(х) > 0, обозначим
X-
Sто : = 5то(х), Ь; := , - = 1,2.... (2.3)
А; $сО
Лемма 3.
1° множество Г является борелевским (Г € В(Н)) и Ца{Г) = 1;
2° относительно меры ц,а система случайных величин sто, Ьъ ..., Ьп, ... неза-
висима;
3°
3° случайные величины Ь; имеют стандартное гауссовское распределение; 4° функция распределения случа,йной величины sто имеет следующий вид
и
Ца {зто ^ и) = ^ sg(s2/2, а/2,1) ds;
0
5° для любого натурального г при п ^ то имеет место сходимость ХЩ ^ Ьг, (|1а-почти наверное).
Доказательства этих утверждений приведены в работе [1] (см. также [6]). Лемма 4.
1° м{хп;?} = 0, м{х$|2} = 1;
2° ^ =а ; * ].
Доказательство.
1°. Справедливость этих равенств следует из леммы 2.
2°. Вначале, применяя неравенство Коши-Буняковского, используя (0,1)-гауссо-вость случайных величин {Хп°?}, заметим, что
/| |Ч ( ол 1/2 /| |2л 1/2
м |х(а)х(а?11 < м |х(а) | м Х(а? П = 1 < +то.
у п, г п,} Ц ^ 1^1 п, г \ I У п, | ]
Пользуясь формулой (1.5) и обозначениями (2.3), применяя равенства Ф(-У) = 1 - Ф(у), Ф-1(1 - и) = —Ф-1 (и), случайную величину хЩ можно представить в виде
хЩ = 8ЕП(^)Ф-1
Iф^й„ А_,=,,2;
о V кФі
йі
(2.4)
і
Используя пп. 2°, 3°, 4° леммы 3, формулу (2.4) и сокращающее обозначение g(s) : = sg(s2/2, а/2,1), вычисляем математическое ожидание
м (Xе01? х(аН =
I п, п^\
/Я 8№<,')ф
0 Кп
I
Vz
X 8§П(]ф 1
/ф( ^к-1
0
Xg(s)
\ Ф 1
кф1
п - 1
г2.
кф ]
; z
dz
; z
(2л)'
п/2
ехр
dz
dt1... dtnds.
V к=1
Выделим отдельно в этом выражении двойной внутренний интеграл по dti•, dt]. Тогда, ввиду нечетности подынтегральной функции по каждой из переменных ] он равен нулю. Поэтому, с учетом п. 10, будем иметь
сву(х(а), Х(а?) = 0.
V п,; ’ п,])
Лемма доказана.
Рассмотрим вопрос о зависимости системы случайных величин {х^,; = 1, «}. Для этого рассмотрим пример случайного вектора
(хnl^,..., хпп),
порожденного условными функциями распределения п-мерной проекции меры Ц1 (мера Коши). Мы покажем, что несмотря на гауссовость одномерных маргинальных распределений и некоррелируемость компонент, многомерное распределение этого вектора гауссовским не является и поэтому его компоненты не могут быть независимы.
Лемма 5. Для любого п ^ 2 случайные величины
х
(1)
X1
.,х,
(1)
п,п
зависимы.
Доказательство. Воспользуемся известным представлением условных функций распределения п-мерного распределения Коши (см., [6]) с помощью бета — распределения Б(-; ■, ■) (см. [6]):
К
(1) г'1..л...п
(Х;| ХЬ..., X;,..., Хп) = 1
1 + 8§П(Х;)Б
Х?/^?
1 + 2 Х2А2
к=1
(2.5)
Из этой формулы следует, что при z > 0 множество
{(Х1, . . ., Хп) € кп : Х; < 0, ф 1 (К('1)..1..п(Х;|Х1, . . ., X;, . . ., Хп)) > ^ = 0.
Тогда при z > 0 следует равенство случайных событий
Ап(£) := [х^ > z; для всех ; = 1,«} = {X; > 0, Х(1 > z; для всех ; = 1,«}. Отсюда, используя формулу (2.5), будем иметь
Ап(г) с
к=1
1 +2 Х2Л2
к=1
11 1 п
> п ■ Б-1 (2Ф(z) - 1; ^, 2
х
X
*2
Нетрудно убедиться в справедливости равенств
lim n ■ B-1 |20(z) - 1;1, n | = n, \ 2 2
2 Xk2A2
k=i k k --------------> l
i +2 X?A2
k=i k k
=0.
Поэтому при n ^ 2 для достаточно больших z случайное событие AK(z) = [Х1 > z; для всех i = 1, n) = 0, что невозможно для гауссовских случайных векторов. Лемма доказана.
3. Доказательство теоремы
Разобъем сумму в формуле (1.1) на два слагаемых
i 2 X? = ± i (X? - Si) + ± 2 - (3.1)
Известно, что если одна последовательность случайных величин сходится по ве-
роятности к нулю, а вторая сходится по распределению к некоторой случайной величине, то сумма таких последовательностей сходится к этой же величине по распределению (см. например [9, с. 111]).
Поскольку второе слагаемое в (3.1) при каждом n является стандартной гауссовской случайной величиной, достаточно установить сходимость по вероятности первого слагаемого. Для этого вычислим его дисперсию Dn. Ввиду пп. 1°, 2° леммы 4, а затем, используя независимость математических ожиданий в формуле (3.2) от i (это нетрудно видеть из формулы (2.4)), получим
Dn = n 2 М {^ - Sip} = М {^ - Sip}. (3.2)
i=1
Покажем сначала сходимость последовательности {х^} ^ в среднем к Si. Для этого докажем ее равномерную интегрируемость.
На полуоси [0, +то) рассмотрим функцию G(t) = t2. Она неотрицательная, возрастающая и для нее выполняется свойство lim G(t)/t = +то. Кроме того, ввиду
t^+то
леммы 2,
sup М (G (х^)} = sup м{ |Х$|2} = 1.
И^1 И^1 ^ '
Отсюда, ввиду известного утверждения ( см. [10], стр. 237), следует равномерная интегрируемость.
Таким образом последовательность {хП“?}, ввиду п. 5° леммы 3, сходится к Si в среднем (см. [10], стр. 235, теорема 4, п. b).
Покажем теперь, что Dn ^ 0 при n ^ то. Вначале, используя формулу (3.2),
запишем равенство
D =М {|Х”- Ы2 у-'-ф,)}+М { Ix«j' - ьГ ‘ас-Ф^ ■
Нетрудно видеть, что при n ^ то первое слагаемое стремится к нулю ввиду доказанной сходимости в среднем. Теперь рассмотрим оценку второго слагаемого.
Пользуясь неравенствами Минковского и Коши-Буняковского, будем иметь
^м{ - s|21{
|xn“)-Si|^i
< .а - Si| > ^1/4 М{|X“T}1/4 + М (iSil'
<
|4 i/4
Так как случайные величины хЩ и являются (0,1)-гауссовскими (см. лемму 2 и п.3° леммы 3), то ввиду п.5° леммы 3 при п ^ то
м ix* - si i{|xo-bKi
2 ■ 31/4.а flX^ - Si|> l)1/4 ^ 0.
Наконец, используя неравенство Чебышева, принимая во внимание, что Хп ) и имеют нулевые средние, будем иметь: для любого е > 0
.а
-TrDn ^ 0’ n ^ то.
є2
Теорема доказана.
Замечание. Утверждение теоремы 1 обобщается также на следующие случаи: ц — непрерывная смесь гауссовских мер на локально выпуклом пространстве; ц — симметрические распределения на пространстве последовательностей К“.
В заключении отметим, что совершенно аналогично доказательству теоремы 1 можно установить справедливость следующего предложения.
Теорема 2. Пусть
^а):= щх X і*—. £•>•••> *«)).
где Ио(Ґ) — произвольная абсолютно непрерывная симметричная функция распределения с конечным четвертым моментом. Тогда для любого а є (0,2)
lim .а [ У Ynfi ^ u[ = Ф(u)’ u є R, И^то [л/nD І=Т [
где D — дисперсия распределения Ho(t).
Литература
[1] Шатских, С.Я. Устойчивые эллиптически контурированные меры в гильбертовом пространстве: асимптотические свойства условных распределений / С.Я. Шатских // Изв.РАЕН серия МММИУ. - 1999. - T.3. - №3. - C. 43-81.
[2] Шатских, С.Я. Усиленный закон больших чисел для схемы серий условных распределений эллиптически контурированных мер / С.Я. Шатских // Теория вероятностей и ее применения. - 2005. - Т. 50. - В. 2. - С. 292-382.
[3] Rosenblatt, M. Remarks on multivariate transformation / M. Rosenblatt. - Ann. Math. Stat. - 1952. - V. 23. - P. 470-472.
[4] Шатских, С.Я. Об одном варианте преобразования независимости / С.Я. Шатских. - В сб. Мера и интеграл. - Самара: Самарский университет, 1992. - С. 99-112.
[5] Шатских, С.Я. Условные распределения вероятностей как преобразования независимости случайных величин / С.Я. Шатских, А.Н. Комлев. - Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучная серия. - №6(56). - 2007. -С. 204-222.
[6] Shatskih, S.Ya. Asymptotic properties of conditional quantiles of the Cauchy distribution on Hilbert space / S.Ya. Shatskih // Journal of Math. Sciences. -NY, 1999. - V. 93. - No. 4. - P. 574-581.
[7] Савинов, Е.А. Центральная предельная теорема для случайных величин, порожденных условными распределениями о-аддитивной меры Коши / Е.А. Савинов, С.Я. Шатских. - Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучная серия. - №6(40). - 2005. - С. 51-59.
[8] Золотарев, В.М. Одномерные устойчивые распределения / В.М. Золотарев. -М.: Наука, 1983. - 304 c.
[9] Прохоров, А.В. Задачи по теории вероятностей: Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы / А.В. Прохоров, В.Г. Ушаков, Н.Г. Ушаков. - М.: Наука, 1986. - 328 c.
[10] Ширяев, А.Н. Вероятность. Т. 1 / А.Н. Ширяев. - М.: МЦНМО, 2004. - 520 c.
Поступила в редакцию 14j/j2008; в окончательном варианте — 14j/j2008.
CENTRAL LIMIT THEOREM FOR RANDOM VARIABLES GENERATED BY CONDITIONAL DISTRIBUTIONS OF A STABLE MEASURE PROJECTIONS ON HILBERT SPACE3
© 2007 E.A. Savinov, S.Ya. Shatskih4
The paper is devoted to a study of triangular array scheme of asymptotically independent random variables generated by finite-dimensional conditional distributions of sigma-additive stable measure, determined on a real Hilbert space.
In the case when the dimension of conditional distributions approaches infinity the central limit theorem for triangular array scheme is proved.
Paper received 14/I/2008. Paper accepted 14/I/2008.
3This study is partially supported by grant of the RF President Hffl-1758.2003.1
4 Savinov Eugene Anatolievich (henrylee2005ayandex.ru), Shatskikh Sergei Yakovlevich (shatskihassu.samara.ru), Dept. of Probability Theory and Mathematical Statistics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.
