CC BY
7
УДК 532.517
ТРЁХМЕРНАЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МНОГОЗВЕННОГО АППАРАТА - СМЕСИТЕЛЯ С КАНАЛОМ ДИФФУЗОР-КОНФУЗОРНОГО ТИПА
А.А.Курбангалеев1, С.Р. Еникеева1, Н.А. Юдина2
1Казанский национальный исследовательский технологический университет,
г. Казань, Россия
2Казанский государственный энергетический университет, г. Казань, Россия
[email protected], [email protected], [email protected]
Аннотация: ЦЕЛЬ. В работе представлено трёхмерное моделирование турбулентных потоков смешивающихся ньютоновских жидкостей в трубчатых каналах малогабаритного многоканального смесительного аппарата. МЕТОДЫ. Показан алгоритм: построения трёхмерной модели гидродинамического процесса смешения компонент жидкостей в канале трубчатого смесителя диффузор-конфузорного типа в программном комплексе «Fluent». Смешение моделируется при турбулентном режиме. Подача компонентов в канал происходит через систему струйных форсунок, расположенных в плоскости сечения канала, вдоль продольной оси канала. РЕЗУЛЬТАТ моделирования оценивается по коэффициенту смешения.
Ключевые слова: трёхмерная гидродинамическая модель, турбулентное течение, ньютоновская жидкость, смесительный процесс, диффузор-конфузорный канал.
THREE-DIMENSIONAL HYDRODYNAMIC MODEL OF A MULTI-LINK MACHINE -A MIXER WITH A DIFFUSER-CONFUSOR TYPE CHANNEL
AA. Kurbangaleev1, SR. Enikeeva1, NA. Yudina2
1Kazan National Research Technological University, Kazan, Russia 2Kazan State Energy University, Kazan, Russia
[email protected], [email protected], [email protected]
Abstract: THE PURPUSE. The paper presents a turbulent flows three-dimensional modeling of mixing Newtonian fluids in a small-sized multichannel mixing apparatus tubular channels. METHODS. The hydrodynamic process three-dimensional model construction of the liquids mixing the components in the channel of a tubular mixer, a diffuser - converging type in the software package "Fluent" is shown. RESULT. Mixing is simulated under turbulent conditions. The components are fed into the channel through a system of jet nozzles located in the channel section plane along the channel longitudinal axis. The simulation result is estimated by the mixing ratio.
Keywords: three-dimensional hydrodynamic model, turbulent flow, Newtonian fluid, mixing process, diffuser-confuser channel.
В настоящее время в производстве пищевой, нефтяной и химической промышленности происходит постоянное обновление оборудования, появляются все более сложные и высокотехнологичные аппараты. Гидродинамические процессы, происходящие в каналах таких аппаратов, также всё больше усложняются для понимания. Инженеру проектировщику сейчас необходимо в реальном времени визуально представлять и понимать все процессы, которые происходят в канале аппарата во время осуществления процесса смешения или химического превращения. Но и процесс моделирования задач гидродинамики также совершенствуется, появляются множество программных пакетов, описывающих и моделирующих сложные физические процессы. Поэтому сейчас инженеру важно уметь пользоваться такими пакетами. Одним из таких пакетов, отвечающим современным требованиям по описанию гидродинамики различных процессов является программный комплекс «Fluent».
В работе смоделирован гидродинамический процесс смешения в аппаратах-смесителях, называемыми малогабаритными трубчатыми турбулентными аппаратами,
которые бывают много или коротко-зонными рис.1. Родоначальниками в их проектировании стали академик Берлин А.А. и профессор Минскер К.С.
Рис.1. Малогабаритный турбулентный трубчатый канал: (1)-трубка канала, (2)-ввод мономера, (Д)-ввод катализатора, (4)-вывод продукта, (5)-пробоотборник, (6)-вход для термопары.
Эти аппараты должны: во-первых обеспечивать наилучшее перемешивание компонентов жидкостей в течение заданного времени, мерой для этого будет являться степень перемешивания, и во вторых канал аппарата должен обеспечить высокую скорость смешения, где мерой будет являться интенсивность перемешивания.
Каналы в малогабаритных трубчатых турбулентных аппаратах могут иметь разные схемы и типы. [1,2], рис 2. Но наибольшую практическую эффективность по смешению турбулентных потоков жидкостей представляют каналы диффузор-конфузорного типа [3-4].
Рис.2. Разные типы трубчатых каналов: а) канал с кольцевым выступом, б) труба или канал типа диффузор-конфузор, в) спирально профилированный канал, г) канал с волновой осью.
Гидродинамические процессы смешения ньютоновских жидкостей, происходящие внутри многозвенного диффузор-конфузорного типа канале при его работе в аппарате -смесителе была хорошо изучена учеными такими как Мухаметзянова А.Г., Данилов Ю.М., Гаранин С.Ф., Тахавутдинов Г.С., Петровым А.Г. и др. [5-8]. Постановка задачи в их работах была как осесимметричная, но при такой постановке задачи невозможно смоделировать ввод компонентов в канал через струйные форсунки, если в реальном аппарате-смесителе подача компонентов смешения в канал осуществляется через систему струйных форсунок или форсуночных головок. То есть, модель в осесимметричной постановке будет не в полном объеме отражать реальную картину происходящего. Ввод компонентов смеси в канал при таком моделировании можно производить только через кольцевое сечение. Поэтому задачу процесса смешения компонентов жидкостей в трубчатом многозвенном канале диффузор-конфузорного типа с вводом компонентов через форсунки нужно моделировать только в трёхмерной постановке [9], что будет наиболее адекватно отражать реальный процесс смешения.
Многозонные аппараты - смесители имеют, как правило, протяжённость зон от 20 до 60 калибров, что составляет 20-60 трубчатых каналов диффузор-конфузорного типа. Эффективность таких аппаратов зависит от согласованной работы двух элементов аппарата: это форсунка или система форсунок и рабочая его зона или калибр, то есть область канала, имеющая один диффузор на входе и конфузор на выходе. Цель данной работы заключена в выяснении условия сочленения и правильного расположения форсунок для входа компонентов жидкостей в канал и рабочей зоны канала, для обеспечения наилучшего перемешивания компонентов задаваемых жидкостей при ограничении, накладываемого на всю протяжённость в зоны аппарата, где должно осуществиться перемешивание, а в некоторых случаях, может быть произведена и химическая реакция. Все ограничения как
раз и зависят от скоростей химических реакций. При высокой скорости химических реакций область или протяженность канала аппарата, где происходит перемешивание компонентов, должна быть малой протяжённостью и успеть закончить перемешивание до желаемой степени перемешивания. При малой же скорости химических реакций протяженность зоны перемешивания может быть достаточно длинной.
На первом этапе моделированияв трёхмерной постановке задачи смешения трёх компонентов ньютоновских жидкостей в трубчатом многозвенном канале диффузор -конфузорного типа с вводом второго компонента в канал через струйные форсунки нужно сначала определить, что будет использовано в качестве оценки результата моделирования. Для качественной оценки процесса смешения компонентов использован коэффициент перемешанности [10]формула (1).
У« = 1 " " Я/1 С(Х'У'2) - С^'
(1)
где У а - средний по объёму коэффициент перемешанности; Со - заданная
необходимая концентрация; С- получаемая концентрация; V - заданный объем; x,y,z - оси декартовой системы координат.
Коэффициент перемешанности связан со скоростью диссипации кинетической энергии турбулентности, зависящий от длины конфузорной и диффузорной части канала, от протяженности всего трубчатого канала, от соотношения диаметра сечения трубчатого канала и диаметра входных форсунок, от угла раскрытия между диффузурной и конфузорными частями, от соотношения между толщиной трубы канала в самой его широкой и узких частях, а также от свойств и режимов смешивающихся компонентов.
Для поставленной задачи строилась математическая модель на основе системы уравнений Рейнольдса для турбулентного массопереноса [11-12]формула (2).
ды
ды,
— + Ы: -
дг ' дх
ды, ды', ' - 0,-^ - 0
др д дх, дх,
ды,-дх,
ды'
ры
(2)
дх,
дх,
,,
дС _ дС ^ — + ы,-- Б
дг
,
дх,
д 2с
дх,
где D-коэффициент взаимной диффузии, р -осредненное давление. Осреднение ы скорости по Фавру [13]формула (3).
ы -
1
,-г I ысИ.
(г1 - г 2 ) 1
(3)
При моделировании использовался канал типа конфузор-диффузор угол раскрытия диффузора подобран так, чтобы возникающий нестационарный микро отрыв потока получаемой смеси от стенки, не вызывал резкого повышения гидравлических сопротивлений. Форсунки расположены вдоль продольной оси сечения канала, в плоскости его поперечного сечения. Диаметр форсунок dф=0,004 - 0,01м. по отношению к диаметру сечения канала 1:10, dТр. = 0,04м. - 0,1м. Скорость потока смеси в пределах от U= 0,3м/с-1м/с.
Предполагается, что смешение происходит без теплового взаимодействия и без протекания химических реакций; компоненты смеси не имеют поверхностей раздела -свободное взаимопроникновение; смесь рассматривается как сплошная среда со средними, зависящими от локальных значений концентрациями С^^^), плотностью и молекулярной вязкостью. Осредненные модели в механике сплошных сред широко представлены в этих работах [14,15,16].
Для замыкания системы уравнений (2) использовалась модель турбулентности: SST -двухслойная модель, предложенная МenterF.R[П].
В качестве граничных условий для трубчатого канала,изображенного на рис. 3, принято, что во входных сечениях канала задаются профили скорости, начальные
р
параметры турбулентности и объёмные доли, используемых компонентов вида ф(х, г):
(и1, С1, к1, 81) = ф(х, z)1, (м2,ц2, С2, к2, г2) = ф(х, z)2.
течения:
Рис.3. Трубчатый канал диффузор-конфузорного типа В выходном сечении задаются «мягкие» граничные условия установившегося = 0.
V
8y
В области стенок использовалась «неравновесная» функция -Non-Equilibrium Wall Functions - NEWF. На самих стенках условие «прилипания» - все составляющие скорости равны нулю [18-20].
Длину канала рабочей области можно оценить, используя очевидное соотношение (4)
L Л,
(4)
В этой формуле в числителе задана длина рабочего трубчатого канала или области в аппарате, взятого за пример в сравнении как эталон, а в знаменатель внесена относительная единица (в соотношении с эталоном), названная скоростью произошедшей реакции смешения.
Поставленная задача решалась с помощью пакета «Fluent». Модель гидродинамического процесса смешения трёхмерная, сетка адаптированная. Предварительно проводилась подготовка сеточной области. В области оси симметрии канала сетка разреженная - «грубая», ближе к периферии задавалось сгущение, в области угловых точек для исключения нефизичности применялось разложение в ряды. Также использовалась процедура зеркального отображения сеточной области, для устранения возможной асимметрии течения [21], рис. 4. Наиболее подробное описание адаптации и подготовки сетки к решению задачи приводится в статье [22]. Количество узлов использовалось не менее N = 100 000. Устойчивость метода проверялась по условию Куранта. Сходимость схемы анализировалась на сгущающихся сетках (по коэффициенту перемешанности).
Рис.4. Подготовка и адаптация сеточной области
На рис.5 по результатам моделирования показаны поле концентрации компонента в трубчатом канале диффузор-конфузорного типа, предназначенного для перемешивания трёх компонентов жидкостей, не вступающих между собой в химическую реакцию. Такой пример смешения был проведён в «ООО Булгар синтез». Длина трубчатого канала диффузор-конфузорного типа составляла 50-ый калибр. Получено, что в этом случае на выходе коэффициент перемешанности равен уа= 0.949.
1) Концентрация первого компонента жидкости
2) Концентрация второго компонента жидкости
Рис. 5. Распределение концентрации жидкостных компонент. Указано всё давление в канале в 6-ти секциях, связанных с длинным цилиндрическим участком. Коэффициент перемешанности равен
уа = 0,949.
При относительной длине канала до 20-ти коэффициент перемешанности на выходе увеличился до уа=0,975, что говорит о повышении качества перемешанности рис.6.
1) Концентрация первого компонента жидкости_
2) Концентрация второго компонента жидкости
3) Концентрация третьего компонента жидкости
|Total Pressure Phase
I mixture
Min (pascal] Max (pascal] |9 0.87384 |3103.915
Рис.6. Распределение концентрации жидкостных компонент. Указано всё давление в канале в 20-ти секциях, связанных с коротким цилиндрическим участком. Коэффициент перемешанности
равен уа = 0.975.
В результате проведенного моделирования получено, что начиная приблизительно с восемнадцатой секциипрофили концентраций в цилиндрических аппаратах становятся практически одинаковыми независимо от способа организации подвода компонентов. Аналогичная картина наблюдается и относительно распределения других гидродинамических параметров.
Как правило, для трубчатых многозвенных каналов характерными являются относительные длины с количеством секций в среднем от 25-60 и в ряде случаев даже более. Следовательно, течение потока в большей области канала практически не будет зависеть от способа организации ввода в него компонентов жидкостей. Но всё же основные, влияющие на эффективность канала выходные переменные (энергия турбулентности и скорость её диссипации) в сильной степени будут определяться параметрами вводимых потоков жидкостей в области форсунок, а смоделировать подачу компонентов смешения через форсунки в канал можно только трёхмерной постановкой задачи [23,24]. То есть, только в этом случае полученные аппроксимирующие выражения для основных гидродинамических параметров в зависимости от конструктивных и управляющих переменных должны использоваться при проектировании трубчатых каналов, в том числе и конфузор-диффузорного типа. Также можно отметить, что прежде чем приступить к процессу моделирования смешения в трубчатом многозвенном канале диффузор-конфузорного типа следует сначала провести анализ: подготовить и адаптировать для области течения сетку, выяснить взаимное влияние характера течения потока смеси в канале от подводящей его части форсунок канала, рассчитать и проанализировать обеспечение необходимого времени пребывания компонентов в смеси для лучшего перемешивания.
Литература
1. Прочухан Ю.А., Минскер К.С. и др. Влияние способов смешения на характер протекания сверхбыстрых полимеризационных процессов // Высокомолекулярные соединения 1988. Т.30. №6. С. 1250.
2. Абси Р. Турбулентная вязкость и профили скорости в развитых турбулентных течениях в каналах // Известия российской академии наук. Механика жидкости и газа. Москва. 2019. № 1. С. 138150.
3. Мухаметзянова А.Г., Захаров В.П., Тахавутдинов Р.Г. и др. Движение многофазных потоков в трубчатых каналах диффузор-конфузорной конструкции // Вестник Башкирского университета. 2002. №1. С. 28-31.
4. Тахавутдинов Р.Г., Дьяконов Г.Р., Мухаметзянова А.Г. Расчет параметров смешения двухфазного потока в диффузор-конфузорном трубчатом аппарате // Сборник научно-методических
45
статей « актуальные вопросы преподавания при реформировании образовательного процесса». Казань. 2001. С.135-150.
5. Мухаметзянова А.Г., Тахавутдинов Р.Г., Дьяконов Г.С. Численный расчет параметров смешения двухфазного турбулентного потока в диффузор-конфузорном трубчатом аппарате // Межвуз. темат. сб. научных трудов. Казань. КГТУ. 2001. С.4-13.
6. Данилов Ю.М., Мухаметзянова А.Г. Технология проектирования малогабаритных турбулентных трубчатых аппаратов на основе результатов численного моделирования // Ж: Химическое и нефтегазовое машиностроение. 2011. №5. С.38-42.
7. Garanin S.F., Kravets E.M., Pronina O.N., et al.. Numerical Modeling of Two-Dimensional Flow of a Nonhomogeneous Fluid in a Confined Domain// Fluid Dynamics. 2018. Т. 53. № 1. С. 127-135.
8. Петров А.Г. Точное решение уравнений осесимметричного движения вязкой жидкости между параллельными плоскостями при их сближении и раздвижении // Известия российской академии наук. Механика жидкости и газа. Москва. 2019. № 1. С. 58-67.
9. Курбангалеев А.А. Алгоритм 3D моделирования процесса смешения жидкостей в трубчатых каналах // Труды Академэнерго.- изд. Казанского научного центра российской академии наук. 2017. 2.С. 34-47.
10. Курбангалеев А.А. Метод 3D моделирования процесса смешения ньютоновских жидкостей в трубчатых каналах диффузор-конфузорного типа // Международный научно - исследовательский журнал - изд. Екатеринбург. 2016. №12(54). Часть 5.Декабрь. С. 16-21.
11. Deardorff J W. A numerical study of three-dimensional turbulent channel flow at large Reynolds numbers//JournalofFluidMechanics1970.cambridge.org 41,pp. 453-480.
12. Hoyas S., Jiménez J. ReynoldsnumbereffectsontheReynolds-stressbudgetsinturbulentchannels// PhysicsofFluids20, 2008.aip.scitation.org 101511.
13. Лунев В.В. О модификации осредненных уравнений Навье-Стокса// Известия российской академии наук. Механика жидкости и газа. Москва. 2019. № 2. С. 134-144.
14. Аль джабри А. Я., Плохотников С.П., Никифорова С.Ви др. Вычисление и анализ двумерных и трехмерных течений для различных вероятностных законов задания послойной неоднородности пласта при неизотермической фильтрации // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2019. № 1.C.24 -29.
15. Bogomolov V. A., Plokhotnikov S. P. , Bulgakova O. R, et al.Mathematicalsimulationofthree-phasefiltrationinstratifiedbedswithaccountfortheschemeofjets// Journal of Engineering Physics and Thermophysics. Springer.2011. Vol. 84. No. 5. C. 975-979.
16. Plokhotnikov S.P., BogomolovV.A., Nizaev R.Kh, et al. Mathematical Averaging of Coefficients of System of Elliptic and Parabolic Equations in Continuum Mechanics // Lobachevskii Journal of Mathematics. Springer. 2019. Vol.40.No 5. C. 553-561.
17. НикущенкоД.В.
ИсследованиетеченийвязкойнесжимаемойжидкостинаосноверасчетногокомплексаFLUENT// Учебное пособие СПбГМТУ. Санкт-Петербург. 2005г. 94 с.
18. Aleksin V.A. Application of the method of near-wall boundary conditions to an investigation of turbulent flows with longitudinal pressure gradients// Fluid Dynamics. 2017. Т. 52. № 2. С. 275-287.
19. Хименес J. Когерентные структуры в пристеночной турбулентности. // Журнал механики жидкости,842, P1.
20. Горбушин А.Р., Заметаев В.Б., Липатов И.И. Стационарное вторичное течение в плоской турбулентной свободной струе // Известия российской академии наук. Механика жидкости и газа. Москва. 2019. № 2. С. 99-111.
21. Никитин Н.В., Попеленская Н.В. Характеристики неустойчивости, развивающейся в турбулентном течении в плоском канале // Известия российской академии наук. Механика жидкости и газа. Москва. 2019. № 2. С. 72-93.
22. Курбангалеев А.А., Тазюков Ф.Х., Лутфуллина Г.Н. Процесс подготовки сеточной области при 3D - моделировании малогабаритного трубчатого аппарата (МТА) как смесителя в программной среде Fluent// Вестник Казанского технологического университета. 2013. Т16. №21.С. 242-244.
23. Livshits S., Yudina N., Dunaeva T., et al. Theemergenceofbifurcationphenomenaduringtheflowofrheologicallycomplexmediainatubularreactor/IOPConf erenceSeries: Earth and Environmental Science 2019.
24. Курбангалеев А.А., Тазюков Ф.Х., Лутфуллина Г.Н.Проектирование малогабаритных трубчатых аппаратов - МТА как смесителя жидких компонентов с помощью 3D моделирования // Вестник Казанского технологического университета. 2013. Т16. №21.С. 261-263.
Авторыпубликации
Артур Аскарович Курбангалеев - канд.техн.наук, ст.преподаватель кафедры «Теоретическая
механика и сопротивление материалов», Казанский национальный исследовательский технологический университет.
Светлана Рашидовнам Еникеева - канд.физ-мат.наук, доцент, кафедры «Высшая математика», Казанский национальный исследовательский технологический университет.
Наталья Анатольевна Юдина - канд.хим.наук, доцент, кафедры «Экономика и организация производства», Казанский государственный энергетический университет.
References
1. Prochukhan YuA, Minsker K.S, et al. Influence of mixing methods on the nature of ultrafast polymerization processes. High-molecular compounds 1988;30(6):1250.
2. Absi R. Turbulent viscosity and velocity profiles in developed turbulent flows in channels. Bulletin of the Russian Academy of Sciences. Mechanics of liquid and gas. Moscow. 2019;1:138-150.
3. Mukhametzyanova AG, Zakharov VP, Takhavutdinov RG. Movement of multiphase streams in tubular channels of a diffuser-confuser design. Bulletin of the Bashkir University. 2002;1:28-31.
4. Takhavutdinov RG, Dyakonov GR, Mukhametzyanova AG. Calculation of the mixing parameters of a two-phase flow in a diffuser-confuser tubular apparatus. Collection of scientific and methodological articles topical issues of teaching in reforming the educational process. Kazan. 2001. pp. 135-150.
5. Mukhametzyanova AG, Takhavutdinov RG, Dyakonov GR, et al. Numerical calculation of the mixing parameters of a two-phase turbulent flow in a diffuser-confuser tubular apparatus. Interuniversity. topics. Sat. scientific papers. Kazan. KSTU. 2001. pp. 4-13.
6. Danilov YuM, Mukhametzyanova AG. Design technology of small-sized turbulent tubular devices based on the results of numerical modeling. Zh: Chemical and Oil and Gas Engineering. 2011 ;5:38-42.
7. Garanin SF, Kravets EM, Pronina ON, et al. Numerical Modeling of Two-Dimensional Flow of a Nonhomogeneous Fluid in a Confined Domain. Fluid Dynamics. 2018;53(1): 127-135.
8. Petrov AG. Exact solution of the equations of axisymmetric motion of a viscous fluid between parallel planes when they approach and move apart. News of the Russian Academy of Sciences. Mechanics of liquid and gas. Moscow. 2019;1:58-67.
9. Kurbangaleev AA. Algorithm for 3D modeling of the process of mixing liquids in tubular channels.Proceedings of Academenergo. ed. Kazan Scientific Center of the Russian Academy of Sciences. -2017;2:34-47.
10. Kurbangaleev AA. Method of 3D modeling of the mixing process of Newtonian liquids in tubular channels of diffuser-confuser type. International scientific research journal ed. Yekaterinburg. 2016;12(54): 16-21.Part 5.
11. Deardorff JW.A numerical study of three-dimensional turbulent channel flow at large Reynolds numbers. JournalofFluidMechanics 1970;41:453-480.
12. Hoyas S, Jiménez J. Reynolds number effects on the Reynolds-stress budgets in turbulent channels. Physics of Fluids.2008. V.20.
13. Lunev VV. Modification of the averaged Navier-Stokes equations. News of the Russian Academy of Sciences. Mechanics of liquid and gas. Moscow. 2019;2:134-144.
14. Al Jabri AYa, PlohotnikovSP, Nikiforova SV. Calculation and analysis of two-dimensional and three-dimensional flows for various probabilistic laws for setting layer-by-layer heterogeneity of a reservoir with non-isothermal filtration.Bulletin of KSTUim. A.N. Tupolev. 2019;1:24 -29.
15. Bogomolov V, Plokhotnikov SP, Bulgakova OR. Mathematical simulation of three-phase filtration in stratified beds with account for the scheme of jets. Journal of Engineering Physics and Thermophysics. Springer.2011;84(5):975-979.
16. Plokhotnikov SP, Bogomolov VA, Nizaev RKh. Mathematical Averaging of Coefficients of System of Elliptic and Parabolic Equations in Continuum Mechanics. Lobachevskii Journal of Mathematics. -Springer. 2019;40(5):553-561.
17. Nikushchenko DV. Investigation of viscous incompressible fluid flows based on the FLUENT computational complex. Textbook of SPbGMTU. St. Petersburg. 2005. 94 p.
18. Aleksin VA. Application of the method of near-wall boundary conditions to an investigation of turbulent flows with longitudinal pressure gradients. Fluid Dynamics. 2017;52(2):275-287.
19. Jimenez J. Coherent structures in wall turbulence. Journal of Fluid Mechanics. 842, P1.doi: 10,1017.2018.P. 144.
20. Gorbushin AR, Zametaev VB, Lipatov II. Stationary secondary flow in a flat turbulent free jet. News of the Russian Academy of Sciences. Mechanics of liquid and gas. Moscow. 2019;2:99-111.
21. Nikitin N.V, Popelenskaya NV. Characteristics of instability developing in a turbulent flow in a flat channel. News of the Russian Academy of Sciences. Mechanics of liquid and gas. Moscow. 2019;2:72-93.
22. Kurbangaleev AA, Tazyukov FKh, Lutfullin GN. The process of preparing the mesh area for 3D modeling of a small-sized tubular apparatus (MTA) as a mixer in the Fluent software environment. Bulletin of Kazan Technological University. 2013;16(21):242-244.
23. Livshits S, Yudina N, Dunaeva T, et al.The emergence of bifurcation phenomena during the flow of rheologically complex media in a tubular reactor/ IOP Conference Series: Earth and Environmental Science 2019.
24. Kurbangaleev AA, TazyukovF.Kh, LutfullinG.N, et al. Design of small-sized tubular apparatuses - MTA as a mixer for liquid components using 3D modeling. Bulletin of Kazan Technological University. 2013;16(21):261-263.
Authors of the publication
Artur A. Kurbangaleev - Kazan National Research Technological Institute. E-mail: [email protected].
Svetlana R. Enikeeva - Kazan national research technological University (Kazan, Russia). E-mail: [email protected].
Natalya A. Yudina - Kazan State Power Engineering University. E-mail: [email protected]. Поступила в редакцию 10 августа 2020г.
