CC BY
8
УДК 622.641.4:001.891.57
Моделирование работы струйного технологического оборудования компрессорной станции на примере многозвенного аппарата -смесителя диффузор-конфузорного типа
Ключевые слова:
турбулентный поток,
смесительный
аппарат,
струйное
технологическое
оборудование,
моделирование
гидродинамики
в трехмерной
постановке,
диффузор-
конфузорный
канал,
ньютоновские жидкости.
АА Курбангалеев1*, С.Р. Еникеева1, С.А. Лившиц2
1 Казанский национальный исследовательский технологический университет, Российская Федерация, 420015, Республика Татарстан, г. Казань, ул. Карла Маркса, д. 68
2 Казанский государственный энергетический университет, Российская Федерация, 420066, Республика Татарстан, г. Казань, ул. Красносельская, д. 51
* E-mail: [email protected]
Тезисы. В работе приведены результаты моделирования в трехмерной постановке гидродинамического процесса смешения двух потоков ньютоновских жидкостей в трубчатом канале диффузор-конфузорного типа в струйном технологическом оборудовании компрессорных станций для перекачки природного газа. Смесительный процесс происходит в режиме турбулентности без химического взаимодействия. Моделирование задачи проведено в программном комплексе Fluent. Для оценки качества использован коэффициент перемешанности. Оценен результат работы трехмерной модели, и в соответствии с ним проанализирована зависимость течения потока смеси от способа подачи смешивающихся потоков в канал, а именно числа и расположения струйных форсунок по площади поперечного сечения канала.
К началу XXI в. инженеры и многие специалисты в области проектирования трубчатых аппаратов для смешения жидкостей или газа, применяемых в химической, нефтехимической, нефтегазовой, пищевой и других отраслях промышленности, накопили значительный опыт использования разных схем и типов трубчатых каналов для конструкций, называемых малогабаритными аппаратами-смесителями (рис. 1) [1, 2]. Можно выделить следующие схемы каналов: канал с кольцевым выступом (см. рис. 1а), канал типа диффузор-конфузор (см. рис. 1б), спирально профилированный канал (см. рис. 1в), канал с волновой осью (см. рис. 1г) и др. Но из всего многообразия типов трубчатых каналов на практике наибольшую эффективность с точки зрения смешения турбулентных потоков жидкостей показали каналы диффузор-конфузорного типа [3, 4].
Гидродинамика процесса в многозвенном канале диффузор-конфузорного типа при смешении ньютоновских жидкостей была хорошо изучена такими учеными,
¥4
ИЗ
Ml
Р2^
--/ /-J J ГУ*- г а
^^^/"Р q
zz2222zzzzzzzzzzz
^ZZZZZZZZL
'ZZZZ
Рис. 1. Типы трубчатых каналов: а - с кольцевым выступом; б - диффузор-конфузор; в - спирально профилированный; г - с волновой осью
а
в
г
б
как А.Г. Мухаметзянова, Г.С. Тахавутдинов, Ю.М. Данилов, С.Ф. Гаранин, А.Г. Петров и др. [5-8], и все подобные задачи были решены только в осесимметричной постановке. Этот подход не позволяет смоделировать ввод компонентов в канал через струйные форсунки, если в реальном аппарате-смесителе подача компонентов смешения в канал осуществляется через систему струйных форсунок или форсуночных головок, т.е. модель в осесимметричной постановке не будет в полном объеме отражать реальной картины происходящего. Ввод компонентов смеси в канал при таком моделировании можно производить только через кольцевое сечение. Поэтому задачу процесса смешения компонентов жидкостей или газа в трубчатом многозвенном канале диффузор-конфузорного типа с вводом компонентов через форсунки нужно моделировать только в трехмерной постановке [9], что будет наиболее адекватно отражать реальный процесс смешения.
Поставлена задача выполнить трехмерное моделирование смешения двух компонентов ньютоновских жидкостей или газа в струйном технологическом оборудовании компрессорных станций для перекачки природного газа, осуществляемой в трубчатом многозвенном канале диффузор-конфузорного типа с вводом второго компонента в канал через струйные форсунки. Для качественной оценки процесса смешения компонентов вводится коэффициент перемешанности [10]:
1 а = 1 " V Ш 1С(Х' ^ _ '
Для поставленной задачи строилась математическая модель на основе системы уравнений Рейнольдса для турбулентного массопере-носа [11-14]:
ди.
ди,
дг,
_ ди. и, —-
1 дг,
Щ
дг,
др
дг,
дг,
^ ди, ^ дг,
-Ри,
ди;;
дг,
(2)
дС _ дС ^д2С — + и. — = Б—-,
дг , дг, дг 2 '
где осредненные по времени / составляющие отмечены чертой сверху, пульсационные -апострофом; /',у е {х, у, 2}; и - вектор скорости; г - вектор перемещения; Б - коэффициент взаимной диффузии; р - давление;
и =
1 12
-[ иди, по Фавру [15].
и - и 1
(3)
(1)
где уа - средний по объему коэффициент пе-ремешанности; С0 - заданная необходимая концентрация; С = /(х, у, 2) - получаемая концентрация; V - объем; х, у, 2 - декартова система координат.
Коэффициент перемешанности связан со скоростью диссипации кинетической энергии турбулентности (е), которая может зависеть от длин конфузорной и диффузорной частей канала, протяженности всего трубчатого канала, соотношения диаметра сечения трубчатого канала и диаметра входных форсунок, угла раскрытия между диффузурной и конфузорными частями, соотношения между диаметрами трубы канала в самой его широкой и узких частях, а также от свойств и режимов смешивающихся компонентов.
При моделировании использовался канал типа конфузор-диффузор длиной Ьк = 10.. .50Б (где Б - диаметр канала), угол раскрытия диффузора подобран так, чтобы возникающий нестационарный микроотрыв потока получаемой смеси от стенки не вызывал резкого повышения гидравлических сопротивлений, оптимальным является угол, равный 45° (в данных точках в модели - ряды Фурье). Входные форсунки расположены под прямым углом по отношению к продольной оси сечения канала, диаметр форсунок ёф соотносится с диаметром сечения канала Б как 1:10 и рассматривался в пределах ёф = 0,04... 0,1Б. Скорость потока смеси по каналу их = 0,3.1 м/с, скорость ввода компонентов через форсунки и2 = 1.3 м/с.
Предполагается, что смешение происходит без теплового взаимодействия и без протекания химических реакций; компоненты 1 и 2 смеси не имеют поверхностей раздела, т.е. наблюдается свободное взаимопроникновение. Смесь рассматривается как сплошная среда со средними, зависящими от локальных значений, концентрациями С, плотностями р и молекулярными вязкостями д смешиваемых компонент:
Р=-
Р1Р2
(4)
Ср1 + (1 - С)р2 с>1 + (1 - С)
Осредненные модели в механике сплошных сред широко представлены в технической литературе (см. в том числе [16-18]).
Для замыкания системы уравнений (2) использовалась двухслойная модель турбулентности 88Т [19-22]. В качестве граничных условий для трубчатого канала, частично (по оси симметрии) показанного на рис. 2, принято, что во входных сечениях канала задаются профили скорости, начальные параметры турбулентности и объемные доли используемых компонент вида ф(х, у, г):
• вход 1: (и1, д1, С1, к1, е^ = ф(х, 2)1;
• вход 2: (и2, д2, C2, к2, е2) = ф(х, г)2. Здесь k - кинетическая энергия компонент потока жидкостей.
Вход 1
Вход 2 =ф=/
Стенка
N
Угловая точка (линия) Ось симметрии
Рис. 2. Начальный участок канала
Рис. 3. Поля концентрации 1-й (а), 2-й (б) и 3-й (в) компонент в трубчатом канале диффузор-конфузорного типа при Ьк = 10Б (сжатие по горизонтали)
Рис. 4. Поля концентрации 1-й (а), 2-й (б) и 3-й (в) компонент в трубчатом канале диффузор-конфузорного типа при Ьк < 20Б (сжатие по горизонтали)
В выходном сечении задаются «мягкие» граничные условия установившегося течения:
^1 = 0.
Выход
ду
В области стенок использовалась неравновесная функция - Non-EquilibriumWallFunctions (NEWF). На самих стенках условие «прилипания»: все составляющие скорости равны нулю [23].
Поставленная задача решалась с помощью пакета Fluent, модель гидродинамического процесса смешения - трехмерная, сетка - адаптированная. Предварительно проводилась подготовка сеточной области. В области оси симметрии канала задана разреженная - «грубая» - сетка, ближе к периферии задавалось ее сгущение, в области угловых точек для исключения нефизич-ности применялось разложение в ряды. Также использовалась процедура зеркального отображения сеточной области для устранения возможной асимметрии течения [24]. Количество узлов сетки N > 150000. Устойчивость метода проверялась по условию Куранта. Сходимость схемы анализировалась на сгущающихся сетках (а именно: как переставал изменяться коэффициент ya при изменении N).
На рис. 3 по результатам моделирования показаны поля концентрации компоненты в трубчатом канале диффузор-конфузорного типа, предназначенного для перемешивания трех компонент жидкостей или газа, не вступающих в химическую реакцию: ¿к = 10D. Получено, что в этом случае на выходе уа = 0,949.
При относительной длине канала до 20D (N > 400000) уа на выходе увеличился до 0,975, что говорит о повышении качества перемешан-ности (рис. 4).
Увеличивая относительную длину канала до 30Д затем до 40D и до 50D, в результате моделирования авторы установили, что поля концентраций в каналах смесительных аппаратов становятся практически одинаковыми независимо от способа организации подвода компонентов, значение уа увеличивается до 0,987.0,992 и далее не изменяется. Аналогичная картина наблюдается и относительно распределения других гидродинамических параметров.
Как правило, для трубчатых многозвенных каналов характерными являются относительные длины LH = 20D.60D и в ряде случаев даже более. Для смесительных же аппаратов
а
б
в
а
б
в
с каналами диффузор-конфузорного типа следует использовать меньшее значение LK, и течение потока в большей области канала практически не будет зависеть от способа организации ввода в него компонентов жидкостей или газа. Но все же основные, влияющие на эффективность канала, выходные переменные (кинетическая энергия турбулентности и скорость ее диссипации) в сильной степени будут определяться параметрами вводимых потоков жидкостей или газа в области форсунок, а смоделировать подачу компонентов смешения через форсунки в канал можно только при условии трехмерной постановки задачи, т.е. только
в этом случае полученные аппроксимирующие выражения для основных гидродинамических параметров в зависимости от конструктивных и управляющих переменных должны использоваться при проектировании каналов смесительных аппаратов.
Также можно отметить, что прежде чем приступать к процессу моделирования смешения в трубчатом многозвенном канале диффузор-конфузорного типа, следует сначала провести анализ: подготовить и адаптировать для области течения сетку, выяснить взаимное влияние потоков смеси от подводящих частей форсунок канала.
Список литературы
1. Прочухан Ю.А. Влияние способов смешения на характер протекания сверхбыстрых полимеризационных процессов /
Ю.А. Прочухан, К.С. Минскер и др. // Высокомолекулярные соединения. - 1988. -Т. 30. - № 6. - С. 1250.
2. Абси Р. Турбулентная вязкость и профили скорости в развитых турбулентных течениях в каналах / Р. Абси // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. -2019. - № 1. - С. 138-150.
3. Мухаметзянова А. Г. Движение многофазных потоков в трубчатых каналах диффузор-конфузорной конструкции / А.Г. Мухаметзянова, В.П. Захаров,
Р.Г. Тахавутдинов и др. // Вестник Башкирского университета. - 2002. - № 1. - С. 28-31.
4. Тахавутдинов Р.Г. Расчет параметров смешения двухфазного потока в диффузор-конфузорном трубчатом аппарате / Р. Г. Тахавутдинов,
Г.Р. Дьяконов, А.Г. Мухаметзянова и др. // Актуальные вопросы преподавания при реформировании образовательного процесса: сб. - Казань, 2001. - С. 135-150.
5. Мухаметзянова А. Г. Численный расчет параметров смешения двухфазного турбулентного потока в диффузор-конфузорном трубчатом аппарате / А. Г. Мухаметзянова,
Р. Г. Тахавутдинов, Г. С. Дьяконов и др. // Межвуз. темат. сб. науч. тр. - Казань: КГТУ, 2001. - С. 4-13.
6. Данилов Ю. М. Технология проектирования малогабаритных турбулентных трубчатых аппаратов на основе результатов численного моделирования / Ю. М. Данилов,
А.Г. Мухаметзянова // Химическое и нефтегазовое машиностроение. - 2011. -№ 5. - С. 38-42.
7. Garanin S.F. Numerical modeling of two-dimensional flow of a nonhomogeneous fluid
in a confined domain / S.F. Garanin, E.M. Kravets, O.N. Pronina, et al. // Fluid Dynamics. - 2018. -Т. 53. - № 1. - С. 127-135.
8. Петров А.Г. Точное решение уравнений осесимметричного движения вязкой жидкости между параллельными плоскостями при
их сближении и раздвижении / А.Г. Петров // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2019. - № 1. - С. 58-67.
9. Курбангалеев А.А. Алгоритм 3D моделирования процесса смешения жидкостей в трубчатых каналах / А. А. Курбангалеев // Труды Академэнерго. - Казань: Казанский научный центр РАН, 2017. - № 2. - С. 34-47.
10. Курбангалеев А.А. Метод 3D моделирования процесса смешения ньютоновских жидкостей в трубчатых каналах диффузор-конфузорного типа / А. А. Курбангалеев // Международный научно-исследовательский журнал. - 2016. -№ 12 (54). - Ч. 5. - С. 16-21.
11. Deardorff J.W. A numerical study of three-dimensional turbulent channel flow at large Reynolds numbers / J.W. Deardorff // Journal of Fluid Mechanics. - 1970. - Т. 41. - Вып. 2. -С. 453-480. - DOI: https://doi.org/10.1017/ S0022112070000691
12. Hoyas S. Reynolds number effects on the Reynolds-stress budgets in turbulent channels / S. Hoyas, J. Jiménez Sendin // Physics
of Fluids. - 2008. - Т. 20. - № 101511. -DOI: 10.1063/1.3005862.
13. Кантюков Р.Р. Решение стационарного уравнения теплопроводности с химическим и диссипативным источником тепла
в бесконечной круглой трубе для ньютоновской
жидкости / Р.Р. Кантюков, М.С. Тахавиев, С. А. Лившиц и др. // Вестник Технологического университета. - 2015. - Т. 18. - № 11. - С. 200205.
14. Кантюков Р.Р. Аналитическое исследование на наличие бифуркационных явлений
при течении нелинейно-вязких жидкостей в каналах сложной геометрии / Р.Р. Кантюков, М.С. Тахавиев, Р.В. Лебедев и др. // Вестник Технологического университета. - 2015. -Т. 18. - № 4. - С. 223-225.
15. Лунев В.В. О модификации осредненных уравнений Навье - Стокса / В. В. Лунев // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2019. - № 2. - С. 134-144.
16. Аль Джабри А.Я. Вычисление и анализ двумерных и трехмерных течений для различных вероятностных законов задания послойной неоднородности пласта
при неизотермической фильтрации / А.Я. Аль Джабри, С.П. Плохотников, С.В. Никифорова и др. // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 2019. - № 1. - C. 24-29.
17. Bogomolov V.A. Mathematical simulation of three-phase filtration in stratified beds with account for the scheme of jets / V.A. Bogomolov, S.P. Plokhotnikov, O.R. Bulgakova, et al. // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. -2011. - Т. 84. - № 5. - C. 975-979.
18. Plokhotnikov S. P. Mathematical averaging of coefficients of system of elliptic and parabolic equations in continuum mechanics / S.P. Plokhotnikov, V.A. Bogomolov, R.Kh. Nizaev, et al. // Lobachevskii Journal of Mathematics. -2019. - Т. 40. - № 5. - C. 553-561.
19. Никущенко Д.В. Исследование течений вязкой несжимаемой жидкости на основе расчетного комплекса FLUENT: учеб. пособие / Д.В. Никущенко. - СПб.: СПбГМТУ, 2005. - 94 с.
20. Aleksin V.A. Application of the method of near-wall boundary conditions to an investigation
of turbulent flows with longitudinal pressure gradients / V.A. Aleksin // Fluid Dynamics. -2017. - Т. 52. - № 2. - С. 275-287.
21. Горбушин А.Р. Стационарное вторичное течение в плоской турбулентной свободной струе / А.Р. Горбушин, В.Б. Заметаев,
И.И. Липатов // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. - 2019. -№ 2. - С. 99-111.
22. Никитин Н.В. Характеристики неустойчивости, развивающейся в турбулентном течении
в плоском канале / Н.В. Никитин, Н. В. Попеленская // Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа. -2019. - № 2. - С. 72-93.
23. Курбангалеев А.А. Процесс подготовки сеточной области при 3D-моделировании малогабаритного трубчатого аппарата (МТА) как смесителя в программной среде Fluent / А.А. Курбангалеев, Ф.Х. Тазюков, Г.Н. Лутфуллина // Вестник Казанского технологического университета. - 2013. -Т. 16. - № 21. - С. 242-244.
24. Курбангалеев А.А. Проектирование малогабаритных трубчатых аппаратов - МТА как смесителя жидких компонентов с помощью 3D моделирования / А. А. Курбангалеев,
Ф.Х. Тазюков, Г.Н. Лутфуллина и др. // Вестник Казанского технологического университета. -2013. - Т. 16. - № 21. - С. 261-263.
Modeling work of jet-blowing process equipment at compressor stations. Case of a multilink apparatus like a diffusing-converging mixer
A.A. Kurbangaleyev1*, S.R. Yenikeyeva1, S.A. Livshits2
1 Kazan National Research Technological Institute, Bld. 68, Karla Marksa street, Kazan, Republic of Tatarstan, 420015, Russian Federation
2 Kazan State Power Engineering University, Bld. 51, Krasnoselskaya street, Kazan, Republic of Tatarstan, 420066, Russian Federation
* E-mail: [email protected]
Abstract. This article presents the results of 3D simulation of a hydrodynamic process when the flows of two Newtonian fluids couple inside a diffusing-converging duct of a jet-blowing compressor equipment for pumping of natural gas. Mixing of the fluids occurs in a turbulent mode without chemical reactions and exclusively of bulk forces.
By means of the FLUENT software, the infeed of the components into a duct through the spray nozzles has been simulated. The quality of the fluids incorporation has been assessed using a mixing code. Estimating the output of the 3D simulator, authors have derived a dependency between the behavior of the mixture flow and a manner to supply the mixing fluids into a duct, viz. the quantity and location of spray nozzles over the cross-sectional area of the duct.
Keywords: eddy flow, mixer, jet-blowing process equipment, 3D hydrodynamic modeling, diffusing-converging
duct, Newtonian fluid.
References
1. PROCHUKHAN, Yu.A., K.S. MINSKER, et al. Effect of mixing manner on behavior of ultrafast polymerization [Vliyaniye sposobov smesheniya na kharakter protekaniya sverkhbustrykh polimerizatsionnykh protsessov]. Vysokomolekulyarnyye Soyedineniya. 1988, vol. 30, no. 6, p. 1250. ISSN 0507-5475. (Russ.).
2. ABSI, R. Eddy viscosity and velocity profiles in advanced turbulent flows within ducts [Turbulentnaya vyazkost i profile skorosti v razvitykh turbulentnykh techeniyakh v kanalakh]. Izvestiya Rossiyskoy Akademii Nauk. Mekhanika Zhidkosti i Gaza, 2019, no. 1, pp. 138-150. ISSN 0568-5281. (Russ.).
3. MUKHAMETZYANOVA, A.G., V.P. ZAKHAROV, R.G. TAKHAVUTDINOV, et al. Motion of multiphase flows in diffusing-converging ducts [Dvizheniye mnogofaznykh potokov v trubchatykh kanalakh diffuzor-konfuzornoy konstruktsii]. VestnikBashkirskogo Universiteta. 2002, no. 1, pp. 28-31. ISSN 1998-4812. (Russ.).
4. TAKHAVUTDINOV, R.G., G.R. DYAKONOV, A.G. MUKHAMETZYANOVA. Calculation of parameters for mixing a binary flow in a diffusing-converging tubed apparatus [Raschet parametrov smesheniya dvukhfaznogo potoka v diffuzor-konfuzornom trubchatom apparate]. In: Topical questions of teaching at reforming education process [Aktualnyye voprosy prepodavaniya pri reformirovanii obrazovatelnogo protsessa]: collected papers. Kazan, 2001, pp. 135-150. (Russ.).
5. MUKHAMETZYANOVA, A.G., R.G. TAKHAVUTDINOV, G.R. DYAKONOV. Numerical calculation of parameters for mixing a binary eddy flow in a diffusing-converging tubed apparatus [Chislennyy raschet parametrov smesheniya dvukhfaznogo turbulentnogo potoka v diffuzor-konfuzornom trubchatom apparate]. Interuniversity subject-matter collection of scientific papers. Kazan: Kazan National Research Technological Institute, 2001, pp. 4-13. (Russ.).
6. DANILOV, Yu.M., A.G. MUKHAMETZYANOVA. Technique for designing small-scale eddy tubed apparatuses using results of numerical modelling [Tekhnologiya proyektirovaniya malogabaritnykh turbulentnykh trubchatykh apparatov na osnove rezultatov chislennogo modelirovaniya]. Khimicheskoye i Neftegazovoye Mashinostroyeniye, 2011, no. 5, pp. 38-42. ISSN 1029-8770. (Russ.).
7. GARANIN, S.F., E.M. KRAVETS, O.N. PRONINA, et al. Numerical modeling of two-dimensional flow of a nonhomogeneous fluid in a confined domain. Fluid Dynamics, 2018, vol. 53, no. 1, pp. 127-135. ISSN 0015-4628.
8. PETROV, A.G. Exact solution of equations for axially symmetric motion of a viscous liquid between the parallel planes during their approaching and sliding apart [Tochnoye resheniye uravneniy osesimmetrichnogo dvizheniya vyazkoy zhidkosti mezhdu parallelnymi ploskostyami pri ikh sblizhenii i razdvizhenii]. Izvestiya Rossiyskoy Akademii Nauk. Mekhanika Zhidkosti i Gaza, 2019, no. 1, pp. 58-67. ISSN 0568-5281. (Russ.).
9. KURBANGALEYEV, A.A. Algorithm for 3D simulation of fluids confusion within ducts [Algoritm 3D modelirovaniya protsessa smesheniya zhidkostey v trubchatykh kanalakh]. Trudy Akademenergo. Kazan: Kazan Scientific Center of RAS, 2017, no. 2, pp. 34-47. ISSN 2070-4755. (Russ.).
10. KURBANGALEYEV, A.A. Method for 3D simulation of Newtonian fluids in the diffusing-converging ducts [Metod 3D modelirovaniya protsessa smesheniya nyutonovskikh zhidkostey v trubchatykh kanalakh diffuzor-konfuzornogo tipa]. Mezhdunarodnyy Nauchno-issledovatelskiy Zhurnal, 2016, no. 12 (54), pt. 5, pp. 16-21. ISSN 2303-9868. (Russ.).
11. DEARDORFF, J.W. A numerical study of three-dimensional turbulent channel flow at large Reynolds numbers. Journal of Fluid Mechanics, 1970, vol. 41, no. 2, pp. 453-480. ISSN 0022-1120. DOI: https://doi.org/10.1017/ S0022112070000691
12. HOYAS, S., J. Jiménez SENDIN. Reynolds number effects on the Reynolds-stress budgets in turbulent channels. Physics of Fluids, 2008, vol. 20, no. 101511. ISSN 1070-6631. DOI: 10.1063/1.3005862.
13. KANTYUKOV, R.R., M.S. TAKHAVIYEV, S.A. LIVSHITS, et al. Solution of a steady-state equation for heat conductivity with a chemical and dissipative heater in an infinite round tube for Newtonian fluid [Resheniye statsionarnogo uravneniya teploprovodnosti s khimicheskim i dissipativnym istochnikom tepla v beskonechnoy krugloy trube dlya nyutonovskoy zhidkosti]. Vestnik Tekhnologicheskogo Universiteta, 2015, vol. 18, no. 11, pp. 200-205. ISSN 1998-7072. (Russ.).
14. KANTYUKOV, R.R., M.S. TAKHAVIYEV, R.V. LEBEDEV, et al. Analytic investigation on presence of bifurcation phenomena in a flow of nonlinear viscous fluids in the channels with complex geometry [Analiticheskoye issledovaniye na nalichiye bifurkatsionnykh yavleniy pri techenii nelineyno-vyazkikh zhidkostey v kanalakh slozhnoy geometrii]. Vestnik Tekhnologicheskogo Universiteta, 2015, vol. 18, no. 4, pp. 223-225. ISSN 1998-7072. (Russ.).
15. LUNEV, V.V. On modification of averaged Navier-Stokes equations [O modifikatsii osrednennykh uravneniy Navye - Stoksa]. Izvestiya Rossiyskoy Akademii Nauk. Mekhanika Zhidkosti i Gaza, 2019, no. 2, pp. 134-144. ISSN 0568-5281. (Russ.).
16. Al DZHABRI, A.Ya., S.P. PLOKHOTNIKOV, S.V. NIKIFOROVA, et al. Computation and analysis of 2D and 3D flows for various probabilistic laws of setting the fibered heterogeneity of a layer in case of anisothermic filtration [Vychisleniye i analiz dvumernykh i trekhmernykh techeniy dlya razlichnykh veroyatnostnykh zakonov zadaniya posloynoy neodnorodnosti plasta pri neizotermicheskoy filtratsii]. Vestnik KGTU imeni A.N. Tupoleva, 2019, no. 1, pp. 24-29. ISSN 2048-6255. (Russ.).
17. BOGOMOLOV, V.A., S.P. PLOKHOTNIKOV, O.R. BULGAKOVA, et al. Mathematical simulation of three-phase filtration in stratified beds with account for the scheme of jets. Journal of Engineering Physics and Thermophysics, 2011, vol. 84, no. 5, pp. 975-979. ISSN 1062-0125.
18. PLOKHOTNIKOV, S. P., V.A. BOGOMOLOV, R.Kh. NIZAEV, et al. Mathematical averaging of coefficients of system of elliptic and parabolic equations in continuum mechanics. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2019, vol. 40, no. 5, pp. 553-561. ISSN 1995-0802.
19. NIKUSHCHENKO, D.V. Investigation of flows of ideal viscous liquid using a FLUENT software [Issledovaniye techeniy vyazkoy neszhimayemoy zhidkosti na osnove raschetnogo kompleksa FLUENT]: tutorial. St. Petersburg: St.Petersburg State Marine Technical University, 2005. (Russ.).
20. ALEKSIN, V.A. Application of the method of near-wall boundary conditions to an investigation of turbulent flows with longitudinal pressure gradients. Fluid Dynamics, 2017, vol. 52, no. 2, pp. 275-287. ISSN 0015-4628.
21. GORBUSHIN, A.R., V.B. ZAMETAYEV, I.I. LIPATOV. Steady secondary flow in a free plane eddy jet [Statsionarnoye vtorichnoye techeniye v ploskoy turbulentnoy svobodnoy struye]. Izvestiya Rossiyskoy Akademii Nauk. Mekhanika Zhidkosti i Gaza, 2019, no. 2, pp. 99-111. ISSN 0568-5281. (Russ.).
22. NIKITIN, N.V., N.V. POPELENSKAYA. Characteristics of instability progressing in an eddy flow within a plane channel [Kharakteristiki neustoychivosti, razvivayushcheysya v turbulentnom techenii v ploskom kanale]. Izvestiya Rossiyskoy Akademii Nauk. Mekhanika Zhidkosti i Gaza, 2019, no. 2, pp. 72-93. ISSN 0568-5281. (Russ.).
23. KURBANGALEYEV, A.A., F.Kh. TAZYUKOV, G.N. LUTFULLINA. Treatment of a net domain during 3D simulation of a small-scaled tubed apparatus as a mixer within the Fluent software environment [Protsess podgotovki setochnoy oblasti pri 3D-modellirovanii malogabaritnogo trubchatogo apparata (MTA) kak smesitelya v programmnoy srede Fluent]. VestnikKazanskogo Tekhnologicheskogo Universiteta, 2013, vol. 16, no. 21, pp. 242-244. ISSN 1998-7072. (Russ.).
24. KURBANGALEYEV, A.A., F.Kh. TAZYUKOV, G.N. LUTFULLINA, et al. 3D modelling design of small-scale tubed apparatuses as a mixer for fluid components [Proyektirovaniye malogabaritnykh trubchatykh apparatov - MTA kak smesitelya zhidkikh komponentov s pomoshchyu 3D modellirovaniya]. Vestnik Kazanskogo Tekhnologicheskogo Universiteta, 2013, vol. 16, no. 21, pp. 261-263. ISSN 1998-7072. (Russ.).
