Трехэлементная задача типа Карлемана для бианалитических функций в круге Текст научной статьи по специальности «Математика»

В таком случае У = . По теореме 1 ) с N. Возьмем а Є N и получим Уга Є N или, что одно

и то же, (I — Р)Уга = 0. Разложим элемент а по базису а = ^ акєк. Тогда ^ ак(/ — Р)єкегкг = 0,

кеї кеї

причем ряд сходится равномерно по Ь Є К ввиду равномерной ограниченности группы операторов {Уг}гек. Следовательно, ак(I — Р)єк = 0 для всех к Є Ъ. Если бы при некотором к было 0 = (I — Р)єк = Я'Бєк = Я'хк, то Хк =0 вопреки нашим предположениям. Значит, имеем ак =0 для всех к. Итак, приходим к равенству N = {0}. Это означает, что оператор синтеза Б осуществляет изоморфизм пространств Ха и X и система {хк}кє^ эквивалентна базису {єк}кє^, а потому сама является базисом, что противоречит условию теоремы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 10-01-00097-а) и гранта Президента РФ для молодых российских ученых (проект МД-300.2011.1).

Библиографический список

1. Купцов Н. П. Прямые и обратные теоремы теории приближений и полугруппы операторов // УМН. 19б8. Т. 23, вып. 4. С. 117-178.

2. Терехин А. П. Ограниченная группа операторов и наилучшее приближение // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика : межвуз. науч. сб. Саратов, 1975. Вып. 2. С. 3-28.

3. Кузнецова Т. А. О подпространствах типа Ба в пространствах с базисом // Дифференциальные уравнения и вычислительная математика : межвуз. науч. сб. Саратов, 197б. Вып. б, ч. 2. С. 140-151.

УДК 517.968.23

ТРЕХЭЛЕМЕНТНАЯ ЗАДАЧА ТИПА КАРЛЕМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ

Н. Р. Перельман, К. М. Расулов

Смоленский государственный университет E-mail: [email protected]

Статья посвящена исследованию трехэлементной краевой задачи типа Карлемана для бианалитических функций. Получен конструктивный метод ее решения в единичном круге в случае, когда рассматриваемая задача не вырождается в двухэлементные краевые задачи без сдвига.

Ключевые слова: краевая задача, бианалитические функции, сдвиг Карлемана.

4. Крейс С. А. Альтернативные дуальные фреймы в банаховых пространствах // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов, 2009. Вып. 11. C. 36-38.

5. Дэй М. М. Нормированные линейные пространства. М. : Иностр. лит., 1961. 232 с.

6. Grochenig K. Describing functions: atomic

decompositions versus frames // Monat. Math. 1991. Vol. 112. P. 1-41.

7. Терехин П. А. Фреймы в банаховом пространстве // Функциональный анализ и его приложения. 2010. Т. 44, вып. 3. С. 50-62.

Three-Element Problem of Carleman Type for Bianalitic Functions in a Circle N. R. Perelman, K. M. Rasulov

The article is devoted to the investigation of three-element boundary value problem of Carleman type for bianalytic functions. A constructive method for solution in a circle was found for the case when the problem was not reducible to a two-element boundary value problems without a shift.

Keywords: boundary value problem, bianalytic functions, Carleman shift.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть Т + — конечная односвязная область на плоскости комплексного переменного г = х + іу, ограниченная простым замкнутым контуром Ляпунова Ь. Для определенности будем полагать, что точка г = 0 принадлежит области Т +. Рассматривается следующая краевая задача, впервые сформулированная в монографии [1].

Требуется найти все бианалитические функции Г (г) класса А2(Т+) П Н (2)(Ь), удовлетворяющие на Ь следующим краевым условиям:

(1)

© Перельман Н. Р., Расулов К. М., 2G12

дF + [a(t)] дx

= Gii(t)

дF + (t) дx

+ G12 (t)

дР+і±)

дx

+ gi(t)

— а, о^+с +„(,,. (2)

где Єку (Ь),дк(Ь) (к = 1,2, і = 1, 2) — заданные на Ь функции класса Н(1\Ь), причем Ск1(Ь) = 0 на Ь; а(Ь) — прямой или обратный сдвиг контура Ь, удовлетворяющий условию Карлемана а[а(Ь)] = Ь, и такой, что а'(Ь) = 0, а(Ь) Є Н(1)(Ь).

Здесь множители (—1) перед С21(Ь) и і перед д2(Ь) в краевом условии (2) взяты для удобства

в дальнейших обозначениях. Кроме того, без ограничения общности всюду в дальнейшем будем считать, что выполняется следующее «начальное условие»:

г (0) = 0. (3)

Следуя [1], сформулированную задачу назовем первой основной трехэлементной задачей типа

Карлемана для бианалитических функций или, короче, задачей К12.

Основной целью настоящей работы является разработка конструктивного метода решения задачи К1)2 в случае, когда Т+ = {г : |г| < 1} и Ь = {Ь : |Ь| = 1}.

2. О РЕДУКЦИИ ЗАДАЧИ К12 К ДВУМ ТРЕХЭЛЕМЕНТНЫМ КРАЕВЫМ ЗАДАЧАМ ТИПА КАРЛЕМАНА

В КЛАССАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Покажем, что в случае Т+ = {г : |г| < 1} задача К1^2 легко редуцируется к двум хорошо известным трехэлементным краевым задачам в классах аналитических в Т + функций.

Действительно, так как (см., например, [1-3]) всякую бианалитическую в круге Т+ функцию можно представить в виде

Г (г) = уо(г)+ ^1 (г), (4)

где р0(г), фі(г) — аналитические в Т + функции (называемые аналитическими компонентами функции Г (г)), то с учетом того, что на окружности Ь = {Ь : |Ь| = 1} выполняется тождество Ї = 1/Ь ив

„ д д д д . ( д д \

силу соотношений — = ——+ —, — = і —-------— краевые условия (1) и (2) можно переписать

дх дг дг ду \ог дг )

так:

Ф+ [а(Ь)\ = (^кі (Ь)а(Ь)ЬФ+(Ь) + &к2(Ь)а(Ь)Ь-1Ф+(Ь) + а(Ь)дк(Ь), к = 1, 2, (5)

где

ф+(г) = г^о(Л) + ^£2(1 + (—1)к-1г1р1 (г), к = 1, 2, г Є Т+. (6)

Очевидно, что каждое из равенств (5) (при фиксированном значении параметра к) представляет собой краевое условие хорошо известной трехэлементной задачи типа Карлемана относительно аналитической в круге Т + функции Ф+ (г) [4, с. 295].

Предположим, что обе краевые задачи (5) разрешимы и уже найдены их общие решения, т. е. аналитические в круге Т+ функции Ф+ (г), к = 1, 2. Поскольку функции Ск^ (Ь), дк(Ь) (к = 1, 2,

] = 1,2) и а(Ь) принадлежат классу Н(1\Ь), то решения краевых задач (5) будут принадлежат классу А(Т+) п Н(1\Ь) (см., например, [1, с. 82]).

Покажем теперь, как по уже найденным функциям Ф+(г), к = 1, 2, можно получить решение исходной задачи К12. Так как всякое решение задачи К12 можно искать в виде (4), то для получения любого решения Е(г) этой задачи достаточно найти его аналитические компоненты, т. е. функции Фо(г), <^1(г). Но в силу равенств (6) и с учетом (3) функции ф0(г), ^1 (г) можно определить по формулам:

VI(г) = -1 (ф+(г) - ф+(г)) , (7)

2г

1 (ф+(<)+ф+(<))+1 (ф+(<) — ф+(<)) — 4, ()

(8)

где Г — произвольная гладкая кривая, принадлежащая кругу Т + и соединяющая точку 0 с произвольной точкой г этого круга.

Остается только установить условия, при которых функции ^о(г), V1 (г), определяемые по формулам (7) и (8), будут принадлежать классу А(Т+) П Н(1) (Ь), а значит, искомая бианалитическая функция Е(г) будет принадлежат классу А2(Т+) П Н(2) (Ь) (см., например, [1, с. 26]).

Поскольку Ф+(г) и Ф+(г) являются аналитическими в круге Т + функциями класса А(Т +) П П Н(1\Ь), то для них справедливы следующие разложения в степенные ряды:

ф+(г) = £ аз,кгк, к=0

^к)Ф+(0)

где а^,к =----^-----, 3 = 1, 2, к = 1, 2,...

Теперь нетрудно проверить, что функции (р0(г),1Р1(г), определяемые по формулам (7) и (8) соответственно, будут аналитическими в круге Т+ функциями класса А(Т+) П Н(1) (Ь) тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

/а1-0 — а2-0 = 0' (9)

^ а1,о + а2,о — а1,2 + а2,2 = 0.

Итак, при выполнении условий (9) решение искомой задачи К12 можно получить по формуле (4), где г~р0(г), {Р1 (г) — аналитические в круге Т + функции, определяемые по формулам (7) и (8) соответственно.

Таким образом, справедливо следующее утверждение:

Теорема 1. Пусть Т+ = {г : |г| < 1} и а(Ь), Скк(Ь), дк(Ь) (к = 1, 2; 3 = 1, 2) принадлежат классу Н(1)(Ь). Тогда решение задачи К12 в классе А2 (Т +) п Н(2)(Ь) бианалитических функций сводится к решению двух трехэлементных краевых задач вида (5) в классе аналитических функций А(Т +) п Н(1) (Ь). При этом задача К12 разрешима тогда и только тогда, когда одновременно разрешимы две краевые задачи вида (5), и для их решений выполняются условия (9).

3. О РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ К12 В ВЫРОЖДЕННОМ СЛУЧАЕ

В силу теоремы 1 для построения метода решения задачи К12 в классе бианалитических функций в круге Т+ = {г : |г| < 1} достаточно решить две трехэлементные задачи типа Карлемана вида (5) относительно аналитических в круге Т + функций Ф+ (г) и Ф+(г).

Известно (см., например, [4, с. 295]), что каждая трехэлементная задача вида (5) (при фиксированном значении параметра к) вырождается в двухэлементную краевую задачу вида

Ак(Ь)Ф+ (Ь) = Вк(Ь)Ф+ (Ь) + Нк(Ь), к = 1, 2, (10)

при выполнении следующих условий:

Ак(Ь)=0, Вк(Ь)=0, Нк(Ь) = 0, Ь Є Ь, к = 1, 2, (11)

где

Ак(Ь) = 1 — О к1[а(Ь)]0 к1(Ь) — Ок2 [а(Ь)]0 к2(Ь),

Вк(Ь) = Ь2 ■ {Ок1[а(Ь)]Ок2(Ь)+ Ок2Ш]СкЩ , (12)

Нк(Ь) = Ь ■ {Ск1[а(Ь)]дк(Ь) + Ок2[а(Ь)]дк(Ь) + дк[«(Ь)]} , к = 1, 2.

Всюду в дальнейшем случай, когда для коэффициентов краевых условий (1) и (2) задачи К1,2

выполняются условия (11), мы будем называть вырожденным.

Далее построим алгоритм решения задачи К12 в вырожденном случае.

Вводя в рассмотрение вспомогательные аналитические в области Т- = С\(Т + и Ь) (здесь С — расширенная комплексная плоскость) функции вида (см. также [3, с. 290])

ф- (г)=Ф+ (1/г), г Є Т-, к =1, 2, (13)

из (10) будем иметь:

ф+ (Ь) = Як(Ь)ф-(Ь) + Як(Ь), к = 1, 2,

(14)

где Як (Ь) = Вк (Ь)/Ак (Ь), Як (Ь) = Нк (Ь)/Ак (Ь).

Замечание 1. Здесь мы учли, что граничные значения функций Фк (г), к = 1, 2, определенных по формулам (13), на окружности Ь = {Ь : |Ь| = 1} удовлетворяют следующим условиям «симметрии»:

Равенство (14) (при фиксированном значении параметра к) представляет собой краевое условие скалярной задачи Римана относительно ограниченной на бесконечности кусочно-аналитической функции Фк(г) = {Ф+ (г), Фк(г)} с линией скачков Ь.

Пусть хк = Як(Ь) — индекс задачи Римана (14). Тогда, как известно (см., например, [3, 5]), при

Хк > 0 задача Римана (14) (при каждом фиксированном значении параметра к) безусловно разрешима, и ее общее решение задается в виде

где Х+ (г) и Хк(г) — канонические функции задачи (14), а РХк (г) — произвольный многочлен степени не выше Хк. Если же Хк < 0, то при выполнении — Хк — 1 условий разрешимости вида

единственное решение задачи Римана (14) также задается формулой (16), где нужно положить

Наконец, выбрав среди полученных решений задачи Римана (14) лишь те, граничные значения которых удовлетворяют условиям «симметрии» (15), определим функции Ф+ (г), являющиеся решениями краевой задачи (10). Отсюда с учетом теоремы 1 по формулам (4), (7) и (8) получим решение исходной задачи К12 [6,7].

Таким образом, при выполнении условий (11), получаем следующий алгоритм решения задачи К12:

1. Сначала краевые условия (1) и (2) задачи К12 приводим к виду (10) и переходим к следующему пункту.

2. Вводя в рассмотрение вспомогательные функции вида (13), переписываем равенства (10) в виде краевых условий двух скалярных задач Римана (14) и переходим к следующему пункту.

3. Решаем задачи Римана (14). Если хотя бы одна из задач Римана (14) неразрешима, то неразрешима и исходная задача К12. Если же обе задачи Римана (14) разрешимы, то находим решения этих задач и переходим к следующему пункту.

4. Для полученных решений задач Римана (14) проверяем выполнение условий «симметрии» (15). Если хотя бы при одном значении параметра к не выполняется равенство вида (15), то исходная задача К12 неразрешима. Если же выполняются оба равенства (15), то используя функции Ф+(г) и Ф+(г), найденные по формулам (16) и удовлетворяющие условиям (15), находим решения исходной задачи К12 по формулам (4), (7) и (8).

Из сказанного выше следует, что в вырожденном случае для задачи К12 справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть Т+ = {г : |г| < 1} и выполняются условия (11). Тогда решение задачи К1>2 в классе А2 (Т +) п Н(2\Ь) бианалитических функций сводится к решению двух скалярных задач Римана (14) в классе А(Т±) п Н(1)(Ь), ограниченных на бесконечности кусочно-аналитических функций Фк(г) = {Ф+ (г), Фк(г)} с линией скачков Ь. При этом задача К12 разрешима тогда и только тогда, когда одновременно разрешимы обе краевые задачи Римана (14), а также для их решений выполняются условия «симметрии» (15) и условия (9).

Замечание 2. Как видно из равенств (10), для более полного исследования задачи К12, кроме вырожденного случая, целесообразно рассмотреть еще следующие три важных случая:

ФІ(і) = Ф-(і), Ь Є Ь, к =1,2.

(15)

(16)

РХк (г) = °-

1) либо выполняются условия (невырожденный случай)

Ак (Ь) = 0, Вк (Ь) = 0, Нк (Ь) = 0, Ь Є Ь, к = 1, 2;

(17)

2) либо выполняются условия (первый полувырожденный случай)

А1(Ь) = 0, В1(Ь) = 0, Ні(Ь) = 0, Ь Є Ь,

А2(Ь) = 0, В2(Ь) = 0, Н2(Ь)=0, Ь Є Ь;

3) либо выполняются условия (второй полувырожденный случай)

Аі(Ь) = 0, Ві(Ь) = 0, Н\(Ь) = 0, Ь Є Ь,

А2 (Ь) = 0, В2(Ь) = 0, Н2 (Ь) = 0, Ь Є Ь.

Как было установлено в работе [8], методы решения трехэлементной задачи вида (5) в классах аналитических функций в невырожденном случае существенно зависят от характера функции сдвига а(Ь). Поэтому в невырожденном случае нужно отдельно построить алгоритмы решения задачи К12 в зависимости от того, является ли сдвиг а(Ь) прямым или обратным. В настоящей работе ограничимся построением алгоритма решения задачи К12 в случае, когда а(Ь) — обратный сдвиг контура Ь.

при выполнении условий (17) трехэлементные краевые задачи вида (5), вообще говоря, не приводятся к двухэлементным краевым (т. е. трехэлементные краевые задачи вида (5) не «вырождаются» в двухэлементные краевые задачи). Поэтому в силу теоремы 1 здесь возникает необходимость построения алгоритмов решения для двух невырожденных трехэлементных краевых задач вида (5) (при каждом фиксированном значении параметра к) в классах аналитических в круге Т+ = {г : |z| < 1} функций.

Далее, для решения трехэлементных краевых задач вида (5) в невырожденном случае воспользуемся методами, разработанными в статье К. М. Расулова [8].

Сначала, вводя обозначения

Известно (см., например, [5, с. 296]), что из условий (17) с учетом (12) следует, что всюду на контуре Ь выполняется одно из следующих условий:

В силу неравенств (19) (т. е. при выполнении условий (17)) трехэлементную задачу вида (18) (при каждом фиксированном значении параметра к) нужно исследовать отдельно в следующих двух случаях: ак(Ь) = 0 на Ь и Ьк(Ь) = 0 на Ь.

Для определенности всюду в дальнейшем рассмотрим случай, когда ак(Ь) = 0 на Ь (случай Ьк(Ь) = 0 на Ь исследуется совершенно аналогично).

4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ К12 В НЕВЫРОЖДЕННОМ СЛУЧАЕ И ОБРАТНОМ СДВИГЕ КОНТУРА

Пусть Т+ = {г : |г| < 1}, а(Ь) — обратный сдвиг контура Ь, и выполняются условия (17). Ясно, что

ак (Ь) = Єк2(Ь)а(Ь)Ь 1, Ьк (Ь) = Єкі (Ь)а(Ь)Ь, Нк (Ь) = а(Ь)дк (Ь),

перепишем краевые условия (5) в более компактном виде

Ф+[а(Ь)] = ак (Ь)Ф+ (Ь) + Ьк (Ь)Ф+ (Ь) + Нк (Ь), к =1, 2-

(18)

\ак(Ь)| > |Ьк(Ь)|, |ак(Ь)| < |Ьк(Ь)|, к = 1, 2.

(19)

Итак, требуется решить трехэлементную задачу вида (18) (для каждого фиксированного значения параметра к) при следующих предположениях:

1) а(Ь) — обратный сдвиг контура Ь;

2) на контуре Ь выполняются условия (17);

3) во всех точках Ь выполняется условие

Как показано в работе [8], при выполнении условия (20) для полного исследования трехэлементной задачи (18) нужно отдельно рассматривать следующие три подслучая (см. также [5, с. 142]):

а) ак[а(Ь) ■ ак(Ь) — 1 = 0;

б) ак [а(Ь)} ■ ак(Ь) — 1 = 0,Ь е Ь;

в) когда выражение ак[а(Ь)] ■ ак(Ь) — 1 обращается в нуль в отдельных точках контура Ь (как,

например, в случае а(Ь) = 1/Ь, ак(Ь) = Ь2 — 2, Ьк(Ь) = \/2 (Ь — 1/Ь) и Нк(Ь) = 0).

Сразу отметим, что при выполнении условий (17) из тождества ак[а(Ь)] ■ ак(Ь) — 1 = 0 вытекает Ьк(Ь) = 0. Следовательно, в подслучае а) трехэлементная краевая задача (18) (при каждом фиксированном значении параметра к) равносильна известной (см., например, [5, § 13]) двухэлементной краевой задаче Карлемана вида

т. е. в данном подслучае трехэлементная задача (18) снова вырождается в хорошо известную двухэлементную краевую задачу (21).

Таким образом, в случае выполнения условий ак [а(Ь)] ■ ак(Ь) — 1 = 0, к = 1, 2, получаем следующий результат.

Теорема 3. Пусть Т + = {г : |г| < 1} и выполняются условия (17) и ак[а(Ь)} ■ ак(Ь) — 1 = 0, к = 1, 2. Тогда решение задачи К1>2 в классе А2(Т+) ПН(2\Ь) бианалитических функций сводится к решению двух скалярных задач Карлемана (21) в классе А(Т+) П Н(1\Ь) аналитических в круге Т+ функций. При этом задача К1>2 разрешима тогда и только тогда, когда одновременно разрешимы обе краевые задачи Карлемана (21), а также для их решений выполняются условия (9).

Рассмотрим далее подслучай б), т. е. пусть ак[а(Ь)] ■ ак(Ь) — 1 = 0,Ь е Ь. Тогда (в силу (17)) будем иметь: Ьк(Ь) = 0 всюду на Ь. Поэтому краевое условие (18) (при каждом фиксированном значении параметра к) в данном случае можно переписать в виде

Далее для решения трехэлементной задачи (22) (при каждом фиксированном к) применим алгоритм, разработанный в статье [8]. А именно, вводя в рассмотрение вспомогательные аналитические в области Т- функции вида (13), перепишем равенства (22) так:

Если временно считать рк(Ь) известной функцией, то равенство (23) (при каждом фиксированном значении параметра к) будет представлять собой краевое условие скалярной задачи Римана относи-

линией скачков Ь.

Пусть хк = 1^к1 (Ь) > 0. Тогда задача Римана (23) безусловно разрешима и ее общее решение

можно задавать формулами (см., например, [2, с. 112]):

ак (Ь) = 0.

(20)

Ф+ [<*(*)] = ак(Ь)Ф+(Ь) + Нк(Ь), к = 1,2,

(21)

Ф+к(Ь) = №кі(і)Ф+(і) + ЪТк2№І[«(()] + }к(Ь), к = 1, 2,

(22)

где

Фк (Ь) = й"и (Ь)Ф-(Ь) + Рк (Ь), к = 1,2,

(23)

где

Рк (Ь) = П’к-2 (Ь)Ф+ [а(Ь)] + }к (Ь).

(24)

тельно ограниченной на бесконечности кусочно-аналитической функции (г) = {Ф+ (г), Фк(г)} с

(25)

ф_(г) = ЧПт / Ш) Т—1 + Х_(г)рхк(г), г е Т_ (26)

где Х± (г) — канонические функции задачи Римана (23), а РХк (г) — произвольный многочлен степени не выше Хк.

Если же Хк = Шк1 (Ь) < 0, то при выполнении следующих — Хк — 1 условий разрешимости

Ук2 (Ь)Ф+ Н^] к-1 =_ Г Рк(Ь) Ьк_1

х+(г) ] х+(г)

Ь йЬ = — —Ь йЬ, к = 1, 2,..., —х к — 1, (27)

единственное решение задачи Римана (23) также задается формулами (25), (26), где нужно положить

РХк (г) = 0

Далее, из формул (25) и (26) с учетом обозначений (24), формул Сохоцкого (см., например, [2, с. 38]) и равенства (см., например, [2, с. 40])

1ф+ (Ь) = ±( ф+(т)йт

2 к 2п г I т — Ь

находим предельные значения ф+ (г), Фк (г) при г ^ Ь е Ь:

ф+(Ь) = У К+ (Ь,т)фк[а('г)]й'Г + Як(Ь)’ Ь е Ь, (28)

ь

ф_(Ь) = Ь^(1)ф+[а(1:)^^'К_(Ь,т)ф+ [а(тУ]йт + С(t), Ь е Ь (29)

ь

К+а т) = ХШ(_________________________________1_1_1___‘0(1) \

к ’ 2пг \а к (т )Х+(т) т — Ь а к (Ь)Х+ (Ь) а(т) — а(Ь)) '

где

К _ (Ь т) = Х^^Ь1 (_________________________________________1_1_1_а (т)_^

к ’ 2пг \а к (т )Х+ (т) т — Ь а к (Ь)X+(Ь) а(т) — а(Ь))

Х_Щ___________________________1 1 1 (т)

т а (т\ХкК1), ь икКЬ)^к

4(Ь) = 1 !кт + Х+г,г / тттт+ Х+(Ь)рхк (Ь):

2 2п г } Х+(т) Т — Ь

(Ь) ак[а(Ь)] ■ а к(Ь) . (Ь) . Х_(Ь) [ /к(т) + Х_

Ук (Ь) = —^Г *к (Ь) + 2п ■ ^+/ ч Т--Ь + Хк (Ь)РХк (Ь)-

2ак(Ь) ■ Ьк[а(Ь)] 2пг Ь Хк(т) т — Ь

Нетрудно проверить (см. [8]), что при сделанных выше предположениях относительно функции сдвига а(Ь) и коэффициентов й^ (Ь),дк(Ь) (к = 1, 2; ] = 1, 2) краевых условий (1)-(2) будем иметь:

К+(Ь,Т^ К_(Ь,Т) е Н*1)(Ь X Ь), а функции (t), я_(Ь) е Н{1)(Ь).

Потребуем теперь от функций, задаваемых формулами (25), (26) (т. е. от решений задачи Римана (23)), чтобы их граничные значения удовлетворяли условию «симметрии» вида (15). В силу формул (28) и (29) условие (15) равносильно следующему интегральному уравнению типа Фредгольма:

(М^к)(Ь) = Ук(Ь) + у Пк 1(Ь, т)Рк(т)йт — у Пк2(Ь, т)^к(т)йт = Гк(Ь), (30)

ьь

где Гк(Ь) = Ьк(Ь)[я+ (Ь) — (Ь)], Пк 1 (Ь, т) = Ьк(Ь)К_(Ь,т), пк2(Ь,т) = Ьк(Ь)К+(Ь,т), щ(Ь) = ф+ [а(Ь)}.

Введем в рассмотрение однородное интегральное уравнение, союзное с уравнением (30) (см. также [5, с. 365]):

(Ык^к)(Ь) = Vк(Ь) + у Пк 1(т,Ь)ук(т)йт — у пк2(т,Ь)рк(т)йт = 0. (31)

ьь

Известно (см., например, [5, с. 370]), что для разрешимости неоднородного интегрального уравнения (30) необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

J г к (Ь)ц- к] (Ь) йЬ = 0, з = 1, 2,...,т, (32)

ь

где Vк 1 (Ь),^к2(Ь),..., №кт(Ь) — полная система линейно независимых (над полем К) решений однородного уравнения (31).

Замечание 3. Здесь важно отметить, что если хк = !пё Шк 1 (Ь) > 0, то некоторые из условий разрешимости (32) можно удовлетворить за счет определенного выбора значений произвольных постоянных, входящих в выражение Гк (Ь).

Предположим, что интегральное уравнение (30) разрешимо (т. е. выполняются условия (32)) и ик(Ь) = Ф+[а(Ь)] — его общее решение. Тогда, подставив функцию ик(Ь) = Ф+[а(Ь)] в правые части формул (25) и (26), мы получим решения задачи Римана (23), удовлетворяющие условию «симметрии» (15).

Наконец, чтобы выделить среди решений Ф+(г) задачи Римана (23), удовлетворяющих условию (15), функции, являющиеся решениями исходной трехэлементной задачи (18), нужно еще потребовать, чтобы для граничных значений Ф+ (Ь) этих решений выполнялось следующее равенство:

Фк[а(Ь)]= ук(Ь), Ь е Ь, (33)

где Vк(Ь) — решения интегрального уравнения (30). Но в силу (28) равенство (33) равносильно тому, что функции Ф+(Ь) = ик[а(Ь)] являются решениями интегрального уравнения

ик [а(Ь)} = ! К+(Ь,г)Рк(т)йт + (Ь), Ь е Ь. (34)

ь

Другими словами, условие (33) равносильно тому, что некоторые решения V к(Ь) интегрального уравнения (30) являются также решениями и уравнения (34).

Таким образом, для решения задачи К12 в рассматриваемом случае можно использовать следующий алгоритм:

1. Решая интегральное уравнение (30) (при каждом фиксированном значении параметра к), в случае его разрешимости определяем функции ик(Ь) = Ф+[а(Ь)], к = 1, 2, и переходим к пункту 2. Если же хотя бы при одном значении параметра к интегральное уравнение (30) неразрешимо, то исходная задача К12 также неразрешима.

2. Среди решений интегрального уравнения (30) (при каждом фиксированном значении параметра к) выбираем только те функции V к(Ь) = Фк[а(Ь)], которые являются и решениями интегрального уравнения (34) и переходим к пункту 3. Если же ни одно решение уравнения (30) не удовлетворяет уравнению (34), то исходная задача К12 неразрешима.

3. Если х к = Шк 1 (Ь) > 0, то, поставив найденные в пункте 2 функции вида V к(Ь) = Ф +[а(Ь)}

в выражения для плотности рк(Ь) = Шк2(Ь)ф +[а(Ь)] + /к(Ь) интегралов типа Коши в формулах (25) и (26), находим решения трехэлементной задачи (18). Если же хк = Шк 1 (Ь) < 0, то сначала

отбираем среди функций V к(Ь) = Фк[а(Ь)], найденных в пункте 2, только те, которые удовлетворяют еще условиям (27), а затем, подставив эти функции в правую часть формул (25) и (26), находим все решения трехэлементной задачи (18).

Итак, в данном случае с учетом теоремы 1 получаем следующий результат.

Теорема 4. Пусть а(Ь) — обратный сдвиг контура Ь и всюду на этом контуре выполняются условия (17) и ак [а(Ь)] ■ ак(Ь) — 1 = 0, к = 1, 2, Ь е Ь. Тогда решение задачи К12 сводится к последовательному решению двух интегральных уравнений вида (30) и двух интегральных уравнений вида (34), а также двух скалярных задач Римана вида (23). При этом для разрешимости задачи К12 необходимо и достаточно, чтобы были одновременно разрешимы все четыре интегральные уравнения (30) и (34), а также две скалярные задачи Римана (23) и, кроме того, для решений задач Римана (23) выполнялись условия (9).

В заключение отметим, что в случае, когда выражение ак [а(Ь)] ■ ак(і) — 1 (к = 1, 2) обращается в нуль в отдельных точках контура Ь, трехэлементные задачи вида (18) (а значит, и исходная задача К\ 2) пока остаются не исследованными.

Библиографический список

1. Расулов К. М. Краевые задачи для полианалитиче-ских функций и некоторые их приложения. Смоленск : Изд-во Смоленск. гос пед. ун-та, 1998. 345 с.

2. Балк М. Б. Полианалитические функции и их обобщения // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Сер. Совр. пробл. матем. Фунд. напр. 1991. Т. 85. С. 187-246.

3. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М. : Наука, 1977. 640 с.

4. Литвинчук Г. С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М. : Наука, 1977. 448 с.

5. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М. : Наука, 1968. 511 с.

6. Перельман Н. Р. Трехэлементная задача типа Кар-лемана для трианалитических функций в круге // Си-

УДК 512.554+512.643

ОБ ИДЕМПОТЕНТАХ АЛГЕБРЫ БУЛЕВЫХ МАТРИЦ

В. Б. Поплавский

Саратовский государственный университет E-mail: [email protected]

Изучается строение идемпотентных матриц с элементами из произвольной булевой алгебры в частичных полугруппах матриц произвольных размеров с конъюнктным и дизъюнктным частичным произведением. Показана связь разрешимости простейших матричных уравнений с некоторыми видами идемпотентных матриц, названных в статье вторичными идемпотентами. Также указывается связь произвольных идемпотентов со вторичными и изучаются их свойства.

Ключевые слова: булевы матрицы, матричные уравнения, идемпотенты.

стемы компьютерной математики и их приложения : материалы междунар. конф. Смоленск : СмолГУ, 2007. Вып. 8. С. 171-180.

7. Расулов К. М., Титов О. А. О решении одной трехэлементной краевой задачи типа Карлемана для биана-литических функций в круге // Системы компьютерной математики и их приложения : материалы между-нар. конф. Смоленск : Изд-во Смоленск. гос пед. ун-та, 2004. Вып. 5. С. 153-159.

8. Расулов К. М. Трехэлементная односторонняя краевая задача со сдвигом Карлемана в классах аналитических функций в круге // Изв. Смоленск. гос. ун-та. 2008. № 2. С. 94-104.

On Idempotents of Algebra of Boolean Matrices V. B. Poplavski

The structure of idempotent matrices in partial semigroups of matrices of arbitrary sizes with elements from arbitrary Boolean algebra with conjunctive and disjunctive partial multiplications is investigated. The connection of solvability of the simplest matrix equations with some kind of idempotent matrices which are called «secondary idempotents» is shown. Also we show the connection of arbitrary idempotent matrices with secondary idempotents and investigate their properties.

Keywords: Boolean matrices, matrix equations, idempotents.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть (БтХп, и, П,' ,0,1} есть булева алгебра т х п матриц с элементами из некоторой булевой алгебры (Б, и, П/, 0,1}. Операции объединения и, пересечения П, дополнения ' и, следовательно, отношение частичного порядка С определяются для матриц поэлементно. Матрицы О и I, образованные целиком из нулей (0) и единиц (1) соответственно, дают нуль и единицу такой вторичной булевой алгебры.

Определение 1. Матрицу С = ЛпБ е БтХк с элементами С* = иГП=1(Л\ПВ*) назовем конъюнктным произведением матриц согласованных размеров Л = (Л*) е БтХп и В = (В*) е БпХк. Дизъюнктное произведение ЛиВ определяется дуальным образом: (ЛпВ)' = Л'иВ' или (ЛиВ)' = Л'ПВ'.

Легко проверяется следующее утверждение.

Предложение 1. Если булевы матрицы Л, В, С таких размеров, что операции умножения этих матриц определены, то имеют место следующие формулы:

1. Л П (В П С) = (Л П В) П С; 2. Л П Е = Л, Е П Л = Л;

3. Л П О = О, О П Л = О; 4. (Л П В)Т = Вт П Лт;

5. Л П (В и С) = (Л П В) и (Л П С), (Л и В) П С = (Л П С) и (В П С);

© Поплавский В. Б., 2012