О решении трехэлементной краевой задачи со сдвигом Карлемана для аналитических функций в невырожденном случае Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968.23

О РЕШЕНИИ ТРЕХЭЛЕМЕНТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ СО СДВИГОМ КАРЛЕМАНА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В НЕВЫРОЖДЕННОМ СЛУЧАЕ

К.М. Расулов1

Статья посвящена разработке конструктивного алгоритма решения трехэлементной односторонней краевой задачи со сдвигом Карлемана в классах аналитических функций в единичном круге в случае, когда рассматриваемая задача не вырождается в двухэлементную краевую задачу без сдвига.

Ключевые слова: трехэлементная краевая задача, аналитическая функция, сдвиг Карлемана, интегральное уравнение.

1. Постановка задачи. Пусть T + - конечная, односвязная область на плоскости комплексного переменного z = x + iy , ограниченная простым замкнутым контуром Ляпунова L .

Обозначим через A(T +) п H(L) класс аналитических в области T + функций F(z), непрерывно (в смысле Гельдера) продолжающихся на контур L .

Рассмотрим следующую краевую задачу. Требуется найти все аналитические в области T+ функции F(z) = U(x,y) + iV(x,y) класса A(T+) п H(L), удовлетворяющие на L условию

F + [a(t)] = A(t) F + (t) + B(t) F + (t) + h(t), (1)

где A(t), B(t), h(t) - заданные на L функции класса H(L) (Гельдера), a(t) - прямой или обратный сдвиг контура L, удовлетворяющий условию Карлемана

a[a(t)] = t, (2)

причем a'(t) Ф О и a'(t)є H(L).

Сформулированную задачу (1), (2) будем называть трехэлементной односторонней задачей Карлемана или, короче, задачей K3, а соответствующую однородную задачу (h(t) ° О) - задачей

Kl

В монографии Г.С. Литвинчука [1, с. 294-318] построена теория Нетера для задачи K3 при различных предположениях относительно коэффициентов A(t), B(t), H(t) и функции сдвига a(t) . В частности, в [1] установлено, что краевое условие (1) задачи K3 легко приводится к виду

4(t)F+ (t) = B1(t)F+ (t) + hy(t), (3)

где

A1 (t) = 1 - A(t) • A[a(t)] - B(t) • B[a(t)], (4)

B1 (t) = A[a(t)] • B(t) + A(t) • B[a(t)], (5)

h1 (t) = A[a(t)] • h(t) + B[a(t)] • h(t) + h[a(t)]. (б)

Следовательно, если на контуре L выполняются условия

A1(t) Ф О, B1(t) Ф О, h1(t) Ф О, (7)

то задача K3 «вырождается» в хорошо исследованную двухэлементную краевую задачу вида (3). Поэтому в случае выполнения условий (7) (мы в дальнейшем называем этот случай вырожденным), используя известные методы решения двухэлементных краевых задач вида (3) (см., например, [1, 3, 4]), устанавливаются конструктивные методы решения и исходной задачи K3.

1 Расулов Карим Магомедович - профессор, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой математического анализа, физико-математический факультет, Смоленский государственный университет.

Предположим теперь, что на контуре L выполняются тождества

A1 ^° 0, B ^° 0, Н (t) ° 0, которые с учетом обозначений (4)-(6) можно переписать в следующей «развернутой» форме:

A(t) • A[a(t)] + В(Т) • В[а^)] ° 1, (8)

А[а(0] • B(t) + A(t) • B[a(t)] ° 0, (9)

A[a(t)] • И^) + B[a(t)] • Щ) + И[а^)] ° 0. (10)

Известно (см., например, [1, с. 296]), что из условий (8) и (9) следует, что коэффициенты A(t) и B(t) всюду на контуре L удовлетворяют одному из следующих неравенств:

|A(t)| > |B(t)| или |A(t) < |В(0|. (11)

Общий метод решения задачи К3 в невырожденным случае (т.е. при выполнении условий (8)-(10)) до сих пор не был получен. Поэтому основной целью настоящей заметки является разработка общего конструктивного метода решения задачи К3 в невырожденном случае лишь при выполнении одного из условий: либо А(1) Ф 0 , либо B(t) Ф 0 . В некоторых частных случаях идея этого метода была анонсирована в работах автора [7, 8].

Всюду в дальнейшем для определенности будем предполагать, что L = {: = 1} и

T + = ^< 1}, так как общий случай с помощью конформного отображения всегда можно привести к этому. Кроме того, обозначим через T~ дополнение замкнутого круга T = ^< 1} до полной комплексной плоскости.

2. Метод решения невырожденной задачи К3 в случае прямого сдвига и Б(£) Ф 0. Пусть a(t) - прямой сдвиг контура L, выполняются условия (8)-(10) и В^) Ф 0 . При указанных предположениях, краевое условие (1) можно переписать в следующем виде

Е + т)] = В(0 Е+ (t) + g (0, (12)

где

g (t) = ) + А() Е + (t).

Если временно предположить, что g (t) - известная функция, то равенство (12) представляет собой краевое условие двухэлементной задачи типа Карлемана, теория которой изложена, например, в монографии [1, §14].

Известно (см. например, [1, с. 172]), что при исследовании и решении двухэлементной задачи (12) представляет интерес следующие три случая:

а) B[a(t)] • В(0 -1 ° 0;

б) В[а(0] • В^) -1Ф 0, t е L ;

в) когда B[a(t)] • B(t) — 1 обращается в нуль в отдельных точках контура Ь (как, например, в a(t) = — t, А(}) = /\/2 • | t —1 |, В^) = 2 — -2 и И^) = -3 — — + /\/2 — t — • t2).

2.1. О решении задачи К3 в случае Б[а(1)] • ) — 1 = 0 . Очевидно, что при выполнении

условия (8) из тождества B[a(t)] • В^) — 1 ° 0 вытекает А^) ° 0. Следовательно, в случае В[а^)] • В^) — 1 ° 0 исходная задача К3 равносильна хорошо изученной (см., например, [1, §14]) двухэлементной краевой задаче типа Карлемана вида

Е + о )] = В^) Е + (t) + И^). (13)

2.2. Метод «интегральных ловушек» для решения задачи К3 в случае

Б[а(*)] • Б(*) — 1 Ф 0, t е Ь . В этом случае в силу (8) имеем А(^) Ф 0 всюду на Ь, т.е. во всех точках контура Ь имеет место одно из следующих соотношений:

|А(0| > |В(0| > 0 (14)

или

Расулов К.М. О решении трехэлементной краевой задачи со сдвигом Карлемана

для аналитических функций в невырожденном случае

\B(t)| >|A(t)| > 0. (15)

Прежде чем построить общий конструктивный алгоритм решения задачи K3 (при выполнении любого из неравенств (14) или (15)), заметим (см. также [1, с. 298]) одно важное в дальнейших рассуждениях и очевидное

Утверждение 1. Все решения краевой задачи К3 можно получить, если решить краевую задачу

ф+[a(t)] = A(t)F + (t) + B(t)F + (t) + h(t), t e L, (16)

для двух неизвестных аналитических функций F + (z) и Ф+ (z) из класса A(T+) n H(L), а затем потребовать, чтобы F + (z) °Ф+ (z), z e T +u L.

Следуя [1], в дальнейшем краевую задачу (16) для пары аналитических функций F + (z) и Ф+ (z) назовем вспомогательной, и обозначим для краткости символом GK3, а соответствующую ей однородную задачу (h(t) ° 0) - GK0.

Важно отметить, что основное «родство» между задачами К3 и GK3 определяется следующими двумя леммами.

Лемма 1. Если для коэффициентов A(t), B(t) выполняются условия (8), (9) и хотя бы одно из неравенств (14) или (15), то для любых комплексных функций F + (t) и Ф+ (t), определенных на L, и любого a(t), удовлетворяющего условию (2), равенства

ф+ [a(t)] = A(t)F + (t) + B(t)F + (t), t e L (17)

F + [а(г)] = А(г)Ф+ (г) + Б(г)Ф+ (г), г е Ь (18)

равносильны, т.е. (17) ^ (18).

Доказательство. Предположим, что для пары функций (Ф+ (г), F + (г)) имеет место равенство (17). Тогда, с учетом (2), из (17) будем иметь:

Ф+ (г) = А[а(г)]F + [а(г)] + Б[а(г)]F + [а(г)], г е Ь ,

А(г)Ф+ (г) = А(г)А[а(г)]F + [а(г)] + А(г)Б[а(г)]F + [а(г)], г е Ь,

Б(г)Ф+ (г) = Б(г)А[а(г)]F + [а(г)] + Б(г)Б[а(г)]F + [а(0], ге Ь.

Складывая последние два равенства, в силу соотношений (8) и (9) получаем равенство (18), т.е. (17) ^ (18). Совершенно аналогичными рассуждениями устанавливается (18) ^ (17). Лемма доказана.

Из леммы 1 вытекает (см. также [1, с. 298]) важное

Следствие 1. Если пара (Ф+ (z), F + (г)) аналитических в круге Т + функций образует реше-

Й а - а ГГ0 л аг+( \ Ф+, ^ (F + (г) + Ф+ (г) F+ (г) + Ф+ (г)"

ние однородной задачи , то и пары вида (Ь (г), Ф (г)),

2

\

также образуют решения этой задачи.

( F + (z) -Ф+ (z) F + (z) -Ф+ (z) ^

2/ ’ 2i

V У

На основании леммы 1 и следствия 1 Г.С. Литвинчуку [1, с. 300] удалось установить следующее важное утверждение.

Лемма 2. При выполнении условий (8), (9) и B(t) Ф 0 общее решение однородной краевой задачи К30 содержит в два раза меньше произвольных действительных постоянных, чем общее решение однородной вспомогательной задачи GK(°. Фундаментальные системы решений одно-

и

родных задач K30 и GK°° всегда можно выбрать одинаковыми; тогда общее решение задачи K30 или GK(° выражается формулой

(F + (z), Ф+ (z)) = £ (ckF+ (z), ckF+ (z)), (19)

k=1

где ck (k = 1,2,..., l) - соответственно действительные или комплексные произвольные постоянные.

Точно так же, как лемма 1, устанавливается

Лемма 3. Если для коэффициентов A(t), B(t), h(t) выполняются условия (8)-(10) и хотя бы одно из неравенств (14) или (15), то для любых комплексных функций F + (t) и Ф+ (t), определенных на L, и любого a(t), удовлетворяющего условию (2), равенства

Ф+ [a(t)] = A(t)F + (t) + B(t)F + (t) + h(t), t e L (20)

F + [а(г)] = Л(0Ф+(0 + Б(0Ф+(0 + А(0, ге Ь (21)

равносильны, т.е. (20) ^ (21) .

Из леммы 3 вытекает полезное в дальнейшем

Следствие 2. Если пара (Ф+ (г), F + (г)) аналитических в круге Т + функций образует решение неоднородной задачи ОК3, то и пара вида (F + (г), Ф+ (г)) также образует решения этой задачи.

Общая идея предлагаемого ниже метода решения задачи К3 состоит в следующем. Сначала строится интегральное уравнение типа Фредгольма («первая интегральная ловушка»), позволяющее среди всех аналитических функций класса А(Т+) п Н(Ь) выделить («выловить») те, которые являются решениями вспомогательной задачи ОК3. Затем строится второе интегральное уравнение типа Фредгольма («вторая интегральная ловушка»), позволяющее выделить («выловить») среди решений первого интегрального уравнения лишь те, которые являются граничными значениями решений исходной задачи К3 .

Переходим теперь к построению основного алгоритма решения задачи К3 в рассматриваемом случае.

Так как в рассматриваемом случае А(г) Ф 0 и Б(г) Ф 0 на Ь, то краевое условие (16) задачи ОК3 можно переписать в виде

F + (г) = 0(г) F + (г) + в1 (г )Ф+ [а(г)] + И1 (г), (22)

где

ом=-М, ед=-^, вд=-*(£>. (23)

А(г) 1 А(г) 1 А(г)

Предположим, что задача ОК3 разрешима и пара аналитических функций ^ + (г), Ф+ (г)) класса А(Т+) п Н (Ь) образует некоторое ее решение. Далее выясним, каким образом можно восстановить значения аналитической в круге Т + функции F + (г), если известны граничные значения функции Ф+ (г). Для этого введем в рассмотрение вспомогательную аналитическую в области Т- функцию

F- (г) = F + ^ ^, г е Т~, (24)

граничные значения которой во всех точках окружности Ь = {: |г| = 1} удовлетворяют условию «симметрии» (см., например, [3, с. 97]):

и

F—(г) = F + (г), ге Ь. (25)

С учетом (25) краевое условие (22) можно переписать так:

F + (г) = О^- (г) + g(t), (26)

где

g (г) = О^г )Ф+ [а(г)] + \(г). (27)

Очевидно, что для любой функции Ф+(г) из А(Т+)пН(Ь) функция g(г) = О1(г)Ф+ [а(г)] + н1(г) будет принадлежать классу Гельдера Н(Ь). Следовательно, если временно предположим, что g (г) - известная функция, то равенство (26) представляет собой обычную скалярную задачу Римана («задачу сопряжения») относительно кусочно-аналитической функции F (г) = {F+ (г), F~ (г)} (см., например, [3, с. 106]).

Пусть с = !пйО(г) =с2 — Х\, где С = !п<ЗА(г) и %2 = ЫйБ(г). Тогда, как известно (см., например, [3, с. 111]), при с - 0 (т.е. с2 - С) задача Римана (26) безусловно разрешима и ее общее решение задается формулами:

F+(z) = ^ [°1(Г)Ф+[а(Т + + Х+ЫРМ, ге Т +, (28)

2Щ Ь X + (г) Т — г с

F-(z) = Х—« [О1(г)Ф*[а (Т)] + Ш^Т + х - (г)Рс( г), геГ , (29)

2ж> Ь X*(Т) Т— г с

+ с к

где X + (г) - канонические функции задачи Римана (26), а Р^( г) = ^ Скг - произвольный мно-

к=0

гочлен степени не выше С .

Если же с = О(г) < 0 , то при выполнении —с — 1 условий вида

ГО1(г)Ф+[а(г)](к—^ = — Г К(г) (к—1

1 х+(0 і*+(()

единственное решение задачи Римана (26) задается формулами (28) и (29), где нужно положить

X2) ° 0.

Из формул (28) и (30) с учетом леммы 3 вытекает справедливость следующего утверждения. Лемма 4. Пусть для коэффициентов А(ґ), Б(ґ), И(ґ) выполняются условия (8)-(10) и хотя бы одно из неравенств (14) или (15). Тогда в случае х = ІпйО(ґ) > 0 для любого решения (Г+ (г), Ф+ (г)) задачи ОК3 значения аналитической функции Г+ (г), г є Т+ выражаются через граничные значения Ф+[а(ґ)] функции Ф+ (г) по формуле (28). Если же х = ІпйО(ґ) < 0, то для любого решения (Г + (г), Ф+ (г)) задачи GK3 такого, что функция Ф+ [а(ґ)] удовлетворяет

-X-1 условиям вида (30), значения аналитической функции Г + (г), г єТ +, выражаются через

граничные значения Ф+ [а(ґ)] функции Ф+ (г) по формуле (28), где нужно положить РХ (г) ° 0.

Поскольку а(ґ) - прямой сдвиг контура 1, причем а'(ґ) є Н (1), то для любой функции Ф+ (г) є А(Т +) пН(1) справедливы равенства (см., например, [3, с. 40]):

1Л+,Ч 1 рФ+ (т)йт 1 +г . Ч1 1 ГФ+[а(т)]а'(т),

-Ф+ (ґ) =----I—^—, -Ф+[а(ґ)] =---I—1 4 п ’йт. (31)

2 2п\1 т- ґ 2 2р/1 а(т) -а(ґ)

Теперь с учетом равенств (31) и формул Сохоцкого (см., например, [5, с. 38]), из формул (28) и (29) находим предельные значения Г + (г) и Г_ (г) при г ® ґ є 1:

+ 1 + +

Г+ (ґ) =----р(ґ) + | К+ (ґ,т)р(т)йт + д+(ґ), ґ є 1, (32)

А(ґ) 1

Г (г) = |К (г,т)р(т)Ст + д (г), г е Ь, (33)

где р(г) = Ф+ [а(г)], К + (г, т) = X + (г )К (г, т), К- (г, т) = X- (г) К (г, т),

К (г,т) = 1

(

2к\

1 1 1 а'(т)

А(т)X + (т) т - г А(г)X + (г) а(т) - а(г)

(34)

д+ (г) =1И (г) + р+т—+X+(г)Рх (г), (35)

2 2р ЬX + (т) т-г л

-.. 1X- (г).,. X-(г) г Л, (т) Ст т^-/чп/ч

а (г) =-------------—ИМ) + —— 1-^^----+ X (г)Рс(г), (36)

4 2 X+(0 2Р ^(т) т-г у >

причем в формулах (35)-(36) в случае с < 0 нужно положить Р^(г) ° 0 .

Нетрудно проверить [5, 6], что при сделанных в условии задачи К3 предположениях относительно функции сдвига а(г) и коэффициентов А(г), В(г), И(г) краевого условия (1) ядра К+ (г,т) и К-(г,т) будут фредгольмовыми, т.е. К + (г,т), К-(г,т)е Н*(ЬXЬ) (определение класса Н*(Ь XЬ) см., например, в [2, с. 7]), а функции д+ (г), д_(г) е Н(Ь).

Далее среди функций Г + (г) и Г_ (Ь), задаваемых формулами (32) и (33), «отбираем» те, которые удовлетворяют условию «симметрии» (25). В силу формул (32) и (33) равенство (25) можно записать в виде следующего интегрального уравнения типа Фредгольма относительно функции р(г):

(Ыр)(г) ° р(г) +1п1(г,т)р(т)Ст+1п2(г,т)р(т)Ст = д(г), (37)

Ь Ь

где д(г) = А(г)[д (г)-д (г)], п1(г,т) = А(г)К (г,т), п2(г,т) = -А(г)К (г,т).

Вывод уравнения (37) (с учетом следствия 2) является одновременно доказательством следующего утверждения.

Лемма 5. Если (Г+ (г), Ф+ (г)) - решение вспомогательной задачи GK3, то граничные значения Ф+[а(г)] и Г + [а(г)] представляют собой решения интегрального уравнения типа Фредгольма (37).

Замечание 1. Здесь важно отметить, что теория разрешимости интегральных уравнений вида (37) хорошо известна (см., например, [4, с. 364]).

Введем в рассмотрение однородное интегральное уравнение, союзное с уравнением (37) (см. также [4, с. 365]):

(N т)(г) ° т(г) +1 пх{т, г )т(т)Ст+1 п2(т, г )т(т)Ст = 0. (38)

ЬЬ

Как известно (см., [4, с. 370]), для разрешимости неоднородного интегрального уравнения (37) необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

Яе|д(г)т;-(г)Сг = 0, у = 1,2,..., т , (39)

Ь

где т(г),т2(г),. .,тт(г) - полная система линейно независимых (над полем М) решений однородного уравнения (38).

Замечание 2. Отметим, что если с> 0, то некоторые из условий разрешимости (39) можно удовлетворить за счет определенного выбора значений произвольных постоянных, входящих в выражение д(г) .

Предположим, что интегральное уравнение (37) разрешимо (т.е. выполняются условия (39)) и уже найдено его общее решение (см., например, [4, с. 372]):

____________ т

р(г) = а(г) + (г, т)д(т)Ст + ^ (г, т)д(т)Ст + £ р 0 (г), (40)

Ь Ь к=1

Ь

Расулов К.М.

где у\(г,т) и Т2(г,т) - обобщенные резольвенты уравнения (37), а £1крк0(г) - общее решение

к=1

соответствующего однородного уравнения ^р)(г) = 0 (т.е. здесь 1,1,..., 1т - произвольные действительные постоянные).

Пусть Ру (г) = Ф+[а(г)] (] = 1,2,..., п), где п £ т - те из функций вида (40), для которых

< [а(г)] = Ф + (г) е Н + (Ь), т.е. Ф + (г) - граничные значения аналитических функций класса

А(Т +) пН(Ь). Тогда в силу леммы 4 пары (Г] (г), Ф+ (г)), где

-+ X + (г) ^Лт)р.■ (т) + И.(т) Ст + +

Г+ (г) = Г 1 ] ---— -Ст + X + (г)Рс(г), г еТ +, (41)

■ 2р Ь X + (т) т-г с

-+ 1 Р, [а(т)] +

Ф+(г) =-----Г] Ст, ге Т , (42)

2р Ь т-г

образуют решения вспомогательной задачи GK3. При этом в случае с = 1пСО(г) < 0 в формуле (41) нужно положить Рх(г) ° 0, причем функция Рр(г) = Ф+[а(г)] должна удовлетворять еще и

-%-1 условиям вида (30).

Предположим теперь, что (Г + (г), Ф + (г)) - общее решение вспомогательной краевой задачи

GK3. Для того чтобы выделить («выловить») среди решений (Г+ (г), Ф+ (г)) задачи GK3 функции Г + (г), являющиеся решениями исходной задачи К3, нужно потребовать, чтобы

Г + (г) °Ф + (г), ге Т +, или Г + (г) =Ф + (г) = ф[а(г)], ге Ь . Но в силу (32) последнее равенство

равносильно тому, что функции вида Г + (г) = Рр[а(г)] должны быть решениями интегрального уравнения

1 + +

Рр[а(г)] =---Рр(г) + Г К + (г,т)ф(т)Ст+д+ (г), ге Ь. (43)

А(г)

ь

С учетом (2), (8) и В(ґ) Ф 0 уравнение (43) легко приводится к следующему равносильному ему уравнению Фредгольма второго рода

(Мф)(ґ) °ф(ґ) +1М (ґ,т)ф(т)с!т = а>(ґ), ґ є Ь, (44)

ь

где

М(',*) ==А^К(і,0 + Л[а(ґ)]К+ [а(ґ),т]>, *) = -=^^^+ (ґ) + Л[а(ґ)]д+ [а(ґ)]>. В(ґ)В[а(ґ)] В(ґ)В[а(ґ)]

Действительно, перепишем сначала (43) в виде

Л(ґ )ф[а(ґ)] = ф(ґ) +1 Л(ґ) К + (ґ, т)ф(т)ёт + Л(ґ )д+ (ґ). (45)

ь

С другой стороны, в силу (2) из уравнения (45) будем иметь

-ф[а(ґ)] = -Л[а(ґ)]ф(ґ) +1Л[а(ґ)]К + [а(ґ),т]^(т)Ст + Л[а(ґ)]д + [а(ґ)]. (46)

ь

Наконец, умножив обе части (46) на Л(ґ) и почленно складывая полученное уравнение с уравнением (45) в силу тождества (8) получим уравнение (44).

Вывод уравнения (44) является одновременно доказательством следующего утверждения.

Лемма 6. Если функция Г + (2) - решение задачи К3, то ее граничные значения

Г + (ґ) = ^[а(ґ)], ґ є Ь, представляют собой решение интегрального уравнения Фредгольма (43)

(или, что то же самое, (44)).

На основании лемм 5 и 6 нетрудно установить следующее важное утверждение.

Теорема 1. Если с = 1пйО(і) > 0, то для того чтобы функция Г+ (г) класса Л(Т+) п Н(Ь) было решением краевой задачи К3, необходимо и достаточно, чтобы ее граничные значения

Г + (і) = р[а(і)], і є Ь удовлетворяли системе интегральных уравнений типа Фредгольма, составленной из (37) и (44), т.е. системе

(Nр)(і) ° р(і) +1 п (і, т)р(т)Ст +1 п2 (і, т)р(т)Ст = д(і),

'2'

Ь Ь

(47)

(Мр)(У) ° р(У) +1М (У,т)р(т)йт = о((у).

ь

Если же с = 1пйО(У) < 0, то для того чтобы функция Г + (2) класса А(Т+) п Н(Ь) было решением краевой задачи К3, необходимо и достаточно, чтобы ее граничные значения Г+ [а(У)] = р(У), Уе Ь удовлетворяли системе интегральных уравнений (47), где нужно положить Р.(У) ° 0, и кроме того функция Г + [а(У)] = р(У) должна удовлетворять -.- 1 условиям вида

Г М+Ш ук -1йУ = -\-^++У^Ук-1йУ, к = 1,2,...,1. (48)

{ Х+ (У) {Х+ (У)

Доказательство. Необходимость вытекает из утверждений лемм 5 и 6. Установим далее достаточность.

Пусть . = ЫйО(У) > 0 и предположим, что граничные значения Г + (у) = р[а(У)], У е Ь некоторой функции Г+ (2) класса А(Т+) п Н(Ь) удовлетворяют системе интегральных уравнений (47). Покажем, что тогда Г + (2) - решение задачи К3 .

Действительно поскольку второе уравнение из системы (47) равносильно уравнению (43), то будем иметь:

1 г

Г + (У) =--Г + [а(У)] + Г К + (У, т)Г + [а(т)]йт + д + (У), У е Ь . (49)

А(У) Ь

Но равенство (49), в силу соотношений (см., например, [3, с. 40])

1Г+ (У) =_1_ ГГ+ТТ, IГ+ [а(У)] = -!_ Г Г + [ат)]а(У У е Ь (50)

2 2рН т-У 2 2pi • а(т)-а(У)

и формулы (28), где в правой части вместо Ф+[а(У)] положено Г + [а(У)], равносильно следующему:

Г + (У) = 1 Г+ [а(У)] + 1 г Г + [а(т)] йт + д + (У) Уе Ь (51)

X + (У) 2 А (У) X + (У) 2п\ГА(т) X + (т) т- У X + (У )’ .

С другой стороны, так как функция Г + (У) = р[а(У)] удовлетворяет первому интегральному уравнению из системы (47), то это равносильно тому, что для аналитической функции Г_ (2) класса А(Т_) п Н (Ь), задаваемой формулой

Г-(2) = ™ [°1(Г)Г +[а(т)] + ^(т)^Г + x-^z)PЛz), 2е Т-, (52)

2яi Ь X + (т) т-2

справедливо равенство (25). Но в силу формул Сохоцкого (см., например, [5, с. 38]) из (52) имеем:

Г - (У) = 1 Г+ [а(У)] + Г Г+ [а(т)] йт + д~ (У) Уе Ь

X-(У) 2 А(У)X + (У) 2ШГ А(т)X + (т) т-У X"(У), .

Вычитая из (51) равенство (53) с учетом формул (35) и (36), получаем

т+мГ^ (54)

X + (У ) X - (У ) А(У) X + (У ) X + (У )

X + (У) +

Наконец, с учетом равенства (25) и G(У) = —-—, умножив обе части равенства (54) на X + (У),

X - (У)

будем иметь:

Г+(і) = б(і)Г+(і) + ^(0Г+[а(0] + И1(і), і є Ь. (55)

Но последнее равенство означает, что функция Г+ (г) = ^^ [Г (і) йт, г є Т+, является решени-

2Р7' і - 2

ем задачи К3.

Пусть теперь с = 1пйО(і) < 0 и предположим, что граничные значения Г + (і) = р[а(і)], і є Ь некоторой функции Г + (г) класса Л(Т +) п Н(Ь) удовлетворяют системе интегральных уравнений (47) и —с — 1 условиям вида (48). Тогда, рассуждая точно так же, как и в предыдущем случае, можно убедиться, что Г + (г) удовлетворяет краевому условию (55), т.е. Г + (г) - решение задачи К3. Теорема полностью доказана.

Итак, для решения задачи К3 в рассматриваемом случае можно использовать следующий алгоритм:

1. Находим индекс с = 1пй0(і), канонические функции X + (г), X— (г) задачи Римана (26) и по формулам (34)-(36) функции К+ (і,т), К~ (і,т), д+ (і), д_(і). Затем переходим к пункту 2.

2. Составляем интегральное уравнение типа Фредгольма (37). Решая его (в случае его разрешимости), находим все его решения р(і) и переходим к пункту 3. Если же интегральное уравнение (37) неразрешимо, то в силу леммы 5 неразрешима и задача К3.

3. Если с = 1пйО(і) > 0, то среди решений р(і) интегрального уравнения (37) выбираем только те р(і), которые удовлетворяют и уравнению (44) (т.е. находим решения системы уравнений (47)), а затем переходим к пункту 4. Если же с = 1пйО(і) < 0 , то сначала среди решений р(і) интегрального уравнения (37) выбираем только те, для которых выполняются условия (29), а затем, из выбранных таким образом решений интегрального уравнения (37) отбираем те р(і), которые являются также решениями интегрального уравнения (44) (т.е. являются решениями системы уравнений (47)), и переходим к пункту 4. В случае, когда ни одно решение р(і) интегрального уравнения (37) не удовлетворяет уравнению (44) (т.е. когда система (47) неразрешима), задача К3 в силу леммы 6 также неразрешима.

4. Находим общее решение искомой задачи К3 по формуле

Г+ (г) = — (^^йт, гєТ + .

2Р Ьі — г

Таким образом, в данном случае получили следующий основной результат.

Теорема 2. Пусть а(і) - прямой сдвиг контура Ь, удовлетворяющий условию (2), всюду на этом контуре выполняются условия (8)-(10) и одно из неравенств (14) или (15). Тогда решение задачи К3 сводится к решению системы интегральных уравнений типа Фредгольма (47). При этом если с> 0, то для разрешимости задачи К3 необходимо и достаточно, чтобы была разрешима система интегральных уравнений (47); если же с< 0, то для разрешимости задачи К3 необходимо и достаточно, чтобы была разрешима система интегральных уравнений (47) и для решений этой системы выполнялись —с—1 условий вида (48).

В заключение отметим, что разработанный выше «метод интегральных ловушек» применим для решения задачи К3 и в исключительном случае, т.е. когда выражение В[а(і)] • В(і) — 1 обращается в нуль в отдельных точках контура Ь. Отличие от рассмотренного выше случая будет

лишь в том, что при построении интегрального уравнения вида (37) в исключительном случае нужно будет использовать формулы для решения задачи Римана (задачи сопряжения) для аналитических функций в исключительном случае (см., например, [3, с. 136]).

Литература

1. Литвинчук, Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом / Г.С. Литвинчук. - М.: Наука, 1977. - 448 с.

2. Расулов, К.М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения / К.М. Расулов. - Смоленск: Изд-во СГПУ, 1998. - 343 с.

3. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. - М.: Наука, 1977. - 640 с.

4. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мусхелишвили. - М.: Наука, 1968. - 511 с.

5. Расулов, К.М. Трехэлементная односторонняя краевая задача со сдвигом Карлемана в классах аналитических функций в круге / К.М. Расулов // Известия СмолГУ. - 2008. - № 2. -С.94-104.

6. Расулов, К.М. О решении трехэлементной краевой задачи со сдвигом Карлемана в классах аналитических функций в круге / К.М. Расулов // Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, СотрШет Technology and its Соп^ок - 2010. -№ 3(102). - С. 31-37.

Поступила в редакцию 18 апреля 2012 г.

TO THE SOLUTION OF A THREE-ELEMENT BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH A CARLEMAN SHIFT FOR ANALYTICAL FUNCTIONS IN THE NONDEGENERATE CASE

K.M. Rasulov1

The article considers constructive algorithm to solve a three-element one-side boundary value problem with Carleman shift in classes of analytic functions of the unit disk in case when the problem is not reducible to a two-element boundary value problem without shift.

Keywords: three-element boundary value problem, analytic functions, Carleman shift, integral equation.

References

1. Litvinchuk G.S. Kraevye zadachi i singuliarnye integral'nye uravneniia so sdvigom (Boundary value problems and singular integral equations with shift). Moscow: Nauka, 1977. 448 p. (in Russ.).

2. Rasulov K.M. Kraevye zadachi dlia polianaliticheskikh funktsii i nekotorye ikh prilozheniia (Boundary value problems for polyanalytic functions and some applications). Smolensk: Izd-vo SGPU, 1998. 343 p. (in Russ.).

3. Gakhov F.D. Kraevye zadachi (Boundary value problems). M.: Nauka, 1977. 640 p. (in Russ.).

4. Muskhelishvili N.I. Singuliarnye integral'nye uravneniia (Singular integral equations). M.: Nauka, 1968. 511 p. (in Russ.).

5. Rasulov K.M. Izvestiia SmolGU. 2008. no. 2. pp. 94-104. (in Russ.).

6. Rasulov K.M. Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, Computer Technology and its Control. 2010. no 3(102). pp. 31-37. (in Russ.).

1 Rasulov Karim Magomedovich is Dr.Sc (Physics and Mathematics), Professor, The Head of the Mathematical Analysis Department, Smolensk State University.

_E-mail.kahrimanr@yandex^_____________________________________________________________________________________________