CC BY
219
УДК 004.891.3
Информационные технологии
ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА И ОПТИМИЗАЦИЯ ГРУЗОПЕРЕВОЗОК О.В. Васильев, Т.М. Леденева
В статье рассматривается транспортная задача. Предложена адаптация входных данных и модификация транспортной таблицы для работы со специфическими железнодорожными объектами. Получены результаты программного расчета транспортной задачи с модифицированными таблицами. Приводится пример использования данной адаптации входных данных для оптимизации реальных грузоперевозок
Ключевые слова: оптимизация, грузоперевозки, транспортная задача
Основная область применения математической модели транспортной задачи - оптимизация различных видов экономических отношений, которые так или иначе сводятся к перевозкам или перемещению товара. В данной статье рассмотрена модификация транспортной задачи для работы со специфическими объектами, которые возникают при оптимизации железнодорожных грузоперевозок.
По оценкам экспертов, к началу 2011 года вагонный парк Российской Федерации преодолел отметку в миллион единиц. Все чаще встречаются заявления, что эффективность работы подвижного состава неуклонно снижается, встречные вагонопотоки растут, суммарный порожний пробег становится все больше. Из-за большого количества вагонов диспетчеризация становится все более затрудненной. Заметим, что для ряда задач, возникающих при решении указанной проблемы, существует мощная теоретическая база, центральное место в которой занимают оптимизационные модели и, в частности, транспортная задача.
Рассмотрим классическую модель транспортной задачи.
Имеется т пунктов производства (поставщиков) и п пунктов потребления (потребителей) однородного продукта. Заданы величины а. (объем производства или запас . -го поставщика, . = 1..т ), Ь(объем потребления или спрос ] -го потребителя, ] = 1..п ), с^ (стоимость перевозки, т.е. транспортные затраты, на единицу продукта от . -го поставщика к ] -му потребителю. Требуется составить такой план перевозок, при котором спрос всех потребителей был бы выполнен, и при этом общая стоимость всех перевозок была бы минимальна [1].
Васильев Олег Вячеславович - ВГТУ, аспирант, тел. (473) 243-77-18
Леденева Татьяна Михайловна - ВГУ, д-р техн. наук, профессор, 8 903 850 29 96
Математическая модель транспортной задачи имеет вид
n _
£ xv = a, i =1 m (1)
j=i
m _
£ xv = bj, J =1 n (2)
i=1
x > 0, i = 1, m, j = 1, n,
jj ■< > > j
m n
Z = ££ cj ■ xj ® min (3)
i=1 j=1
Формулы (1) и (2) описывают количество товара, которое имеется у поставщиков и которое требуется потребителям соответственно, и обозначают место данных чисел в матрице решения Xij. Все элементы матрицы Xij должны ij j
быть либо положительными (это значит, что от поставщика ai перевезено соответствующее количество товара к потребителю bj), либо нулевыми (это значит, что от поставщика ai к потребителю bj товар не перевозится). Отрицательных чисел матрица решений содержать не может. Это ограничение связано с логикой задачи: перевезти отрицательное количество товара невозможно [2].
Суть решения транспортной задачи содержится в формуле (3): проблему можно свести к минимизации целевой функции Z , которая является общей стоимостью перевозок и вычисляется как сумма произведений элементов матрицы решения Xij. и соответствующих элементов
матрицы стоимостей CiJ- . План перевозок, согласно которому целевая функция Z минимальна, называется оптимальным планом и является решением транспортной задачи.
Для решения транспортной задачи требуется пройти два этапа: сначала построить опорный план (опорное решение), а потом оптимизировать его.
Опорным решением транспортной задачи называется любое допустимое решение, для которого векторы условий, соответствующие положительным координатам, линейно независимы [3]. Для его нахождения строится транспортная таблица стандартного типа: по горизонтали располагаются потребители Ь, по вертикали - поставщики ai, а на пересечении строк -стоимость перевозки единицы груза су . Далее
ее необходимо заполнить согласно какому-либо методу. Известно несколько методов заполнения транспортной таблицы, наиболее популярными являются метод минимальной стоимости, метод двойного предпочтения, аппроксимация Фогеля, метод северо-западного угла.
Особенностью решения практических задач по оптимизации железнодорожных перевозок является их большая размерность. В частности, транспортная таблица может иметь размерность 500х600 клеток. Кроме того, стоимость перевозок обычно достаточно сильно различается, т.к. значение имеет не только расстояние, но и железнодорожные тарифы для каждого перегона. Таким образом, если составлять опорное решение с достаточно высокой оптимизированно-стью, т.е. по методу двойного предпочтения или аппроксимации Фогеля, то это займет значительное время, хотя дальнейшая его оптимизация будет недолгой. С другой стороны, неопти-мизированное опорное решение, составленное очень быстро (по методу северо-западного угла), из-за высокой разницы стоимостей будет оптимизироваться тоже достаточно быстро. Поэтому мы выбираем метод северо-западного угла. Он очень прост: заполнение происходит по мере использования товара, с верхнего левого угла.
Для оптимизации опорного решения используем метод потенциалов. Этот метод многократно проверен в практических задачах и является одним из самых оптимальных. Основной плюс для программной реализации в том, что, несмотря на общую сложность метода, его легко разбить на шаги, и каждый шаг предельно прост.
Математическая модель метода потенциалов выглядит следующим образом. Если допустимое решение транспортной задачи Х = (ху) (при i = 1,2,...,т , у = 1,2,..,п ) является оптимальным, то существуют потенциалы (числа) поставщиков ui, i = 1,2,...,т , и потребителей , у = 1,2,.., п, удовлетворяющее следующим условиям:
иг + = су (хЧ > 0К и + ^ = СУ (ХЧ= 0).
Данная группа равенств используется для проверки оптимальности опорного решения. Эти неравенства удобнее представить в следующем виде:
А у = и + V' - С' < 0 (Хч= °)
Числа А' называются оценками для свободных клеток таблицы (векторов условий) транспортной задачи.
Опорное решение является оптимальным, если для всех векторов условий (клеток таблицы) оценки неположительные [4].
Оценки для свободных клеток транспортной таблицы используются при улучшении опорного решения. Для этого находят клетку таблицы Х1к, соответствующую условию, описываемому формулой:
тах{А у }=А т
Если А1к <0, то решение оптимальное. Если же А 1к > 0 , то для соответствующей клетки
строят цикл и улучшают решение, перераспределяют груз согласно формуле:
5 = ттКу}
«
Алгоритм решения транспортных задач методом потенциалов:
1. Проверить выполнение необходимого и достаточного условия разрешимости задачи. Если задача имеет неправильный баланс, то вводится фиктивный поставщик или потребитель с недостающими запасами или запросами и нулевыми стоимостями перевозок.
2. Построить начальное опорное решение (методом минимальной стоимости или каким-либо другим методом), проверить правильность его построения по количеству занятых клеток (их должно быть т+п-1) и убедиться в линейной независимости векторов условий (используется метод вычеркивания).
3. Построить систему потенциалов, соответствующих опорному решению. Для этого решают систему уравнений ui + Vу = с у при
х^ > 0 , которая имеет бесконечное множество
решений. Для нахождения частного решения системы одному из потенциалов (обычно тому, которому соответствует большее число занятых клеток) задают произвольно некоторое значение (чаще нуль). Остальные потенциалы однозначно определяются по формуле ui = су - V.
при x, > 0 , если известен потенциал v. , и v, = е.. — u. при x,, > 0, если известен потен-
J У . ,J
циал ur
4. Проверить выполнения условия оптимальности для свободных клеток таблицы. Для этого вычисляют оценки для всех свободных клеток по формулам А. = ui + v. — е , , и те из
них, которые больше нуля, записываются в левые нижние углы клеток. Если для всех свободных клеток А.. £ 0, то вычисляют значение целевой функции и решение задачи заканчивается, так как полученное решение является оптимальным. Если же имеется хотя бы одна клетка с положительной оценкой, опорное решение не является оптимальным.
5. Перейти к опорному решению, на котором значение целевой функции будет меньше. Для этого находят клетку таблицы задачи, которой соответствует наибольшая положительная оценка
minK }=А т..
Далее строится цикл, включающий в свой состав данную клетку и часть клеток, занятых опорным решением. В клетках цикла расставляют поочередно знаки «+» и «-», начиная с «+» в клетке с наибольшей положительной оценкой. Осуществляют сдвиг (перераспределение груза) по циклу на величину d = щщ {X..}. Клетка со
знаком «-», в которой достигается {X } ос-
тается пустой. Если минимум достигается в нескольких клетках, то одна из них остается пустой, а в остальных проставляют базисные нули, чтобы число занятых клеток оставалось равным т + п -1.
Далее снова возвращаемся к третьему пункту алгоритма.
Кроме рассмотренной выше проблемы большой размерности, оптимизация железнодорожных грузоперевозок имеет еще одну особенность: в качестве «поставщиков» выступают не только станции выгрузки, но и различные специфические станции, а именно пункты ремонта, очистки вагонов, отстоя и т. д. Для оптимизации эти пункты еще до решения транспортной задачи располагаются по порядку: сначала в строках поставщиков идут станции выгрузки, поставляющие разгруженные порожние вагоны, потом идут станции ремонта и очистки вагонов, потом идут пункты отстоя. Такое расположение способствует быстрейшей оптимизации за счет разницы в стоимостях перегонов.
Литература
1. Пупков К.А., Коньков В.Г. Интеллектуальные системы. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2003. 348 с.
2. Борисова Е.А., Финаев В.И. Вероятностный прогноз в распределительных задачах. Таганрог: ТРТУ, 2006. 128 с.
3. Голыптейн Е.Г., Юдин Д.В. Задачи линейного программирования транспорного типа. М.: Наука, 1969.
4. Интрилигатор М. Математические модели оптимизации и экономическая теория. М.: Наука, 2002. 1020 с.
Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный университет
FORECAST BUILDING ON THE BASE OF FUZZY COMPENSATOIN THEORY
O.V. Vasilev, T.M. Ledeneva
In clause the transport task is considered. Adaptation of entrance data and updating of the transport table for work with specific railway objects is offered. Results of program calculation of a transport task with the modified tables are received. The example of use of the given adaptation of entrance data for optimization of real cargo transportations is resulted
Key words: optimization, cargo transportations, a transport task
