CC BY
25
УДК 519.85
А.П.ГОСПОДАРИКОВ, д-р техн. наук, профессор, kafmat@spmi. ru К.В.ЯКОВЛЕВА, студентка, [email protected] Санкт-Петербургский государственный горный университет
A.P.GOSPODARICOV, Dr. in eng. sc., professor, [email protected] K.V.YAKOVLEVA, student, [email protected] Saint Petersburg State Mining University
МИНИМИЗАЦИЯ СТОИМОСТИ ПЕРЕВОЗОК ПРИ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ МОЩНОСТЕЙ ГРУППЫ КАРЬЕРОВ ПО РАЗЛИЧНЫМ ОБОГАТИТЕЛЬНЫМ
ФАБРИКАМ
Алмаз по сравнению с другими минералами является особым драгоценным камнем, а также техническим сырьем. Коренными алмазоносными месторождениями ГРО «МИБА» являются кимберлитовые трубки. Оценка целесообразности открытой разработки их группой карьеров в современной экономической ситуации является актуальной научной задачей. Для решения данной проблемы необходимо учитывать возможности минимизации транспортных затрат для обеспечения сырьем несколько обогатительных фабрик.
Ключевые слова: математическое программирование, линейное программирование, оптимизируемая функция, область определений, теорема Вейерштрасса, транспортная задача, метод наименьшей стоимости, метод потенциалов, базисные и опорные клетки, цикл пересчета.
MINIMIZATION OF COST OF TRANSPORTATIONS AT DISTRIBUTION OF CAPACITIES OF GROUP OF OPEN-CAST
MINES ON VARIOUS CONCENTRATING FACTORIES
Diamond is special mineral in comparison with others. Diamond is a precious stone and also technical raw material. Native diamond deposits of GRO «MIBA» are kimberlitic pipes. Assess the expediency of cut mines of them by group of open-cast mines in modern economic situation is urgent scientific task. For solving this problem it is necessary to take into account the possibilities of minimization of transport expenses to provide some concentrating mills with raw materials.
Key words: mathematical programming, linear programming, optimized function, domain definitions, the Weierstrass theorem, the transportation problem, the method of least cost method of potentials, the basis and supporting cells, the cycle of conversion.
Интенсивная разработка отдельных коренных алмазоносных месторождений Бакванга в настоящее время является одной из наиболее актуальных проблем конголезского горно-рудного общества (ГРО) «МИБА». Это связано с тем, что запасы россыпных алмазоносных месторождений практически закончились и поэтому компания переживает спад. Производительная
мощность снизилась с 7,2 млн карат в 2004 г. до 2,8 млн карат в 2007 г. В районе Бакванга насчитывается 13 кимберлито-вых трубок. При обосновании целесообразности разработки их группой карьеров, необходимо также решить вопросы минимизации транспортных затрат для обеспечения сырьем несколько обогатительных фабрик.
_ 301
Санкт-Петербург. 2012
Минимизацию стоимости перевозок при распределении производственных мощностей группы карьеров по различным обогатительным фабрика целесообразно осуществлять с помощью решения транспортной задачи линейного программирования (ЛИ).
Таким образом, имеется реальная практическая задача, все данные для которой были взяты из документации ГРО «МИБА». Результаты, полученные при решении данной задачи, могут быть использованы для обоснования целесообразности разработки отдельных коренных алмазоносных месторождений Бакванга.
Рассматриваемая транспортная задача о планировании перевозки грузов является частным случаем задачи ЛИ (целевая функция f (х) и функции ограничений g (х), где х = (х1, х2,..., хп) являются линейными). Математически такие задачи могут быть сформулирована следующим образом.
В пунктах Р1, Р2, ..., Рт производится некоторый продукт соответственно в количестве а1, а2, ..., ат (> 0), который следует доставить в пункты Q1, Q2, ..., Qn в количестве Ь1, Ь2, ..., Ьп (Ь- > 0). Стоимость перевозки единицы продукта из пункта Р^ в пункт Qj равна с^ > 0, т.е. транспортные расходы задаются матрицей стоимостей С = (с^-) тп; хц = 0 - количество
продукта, перевозимого из пункта Р^ в пункт Qj (план перевозок), задается матрицей X = (х-) тп. Тогда соответственно суммарные транспортные расходы
тп
/ = Ъ Ъ^. (1)
i=1 -=1
Иолученную целевую функцию требуется минимизировать при условии удовлетворения потребностей для любого пункта
п
потребления Q- (Ъ х- > Ь-) и ограничении
г=1
производства при вывозе из любого пункта
т
производства Р (Ъ х ц < аг).
=1
Таким образом, окончательно имеем постановку транспортной задачи в виде
m n
f = S Sc jx j ^ min;
¿=i j=i
n m
S X j > bj , S X j < a i . (2)
i=1 i=1
Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы в пунктах отправления были равны потребностям в пунктах назначения:
mn
Sa, = Sbj , (3)
i=1 j=1
т.е. транспортная задача должна быть закрытого типа.
Если условие (3) не выполняется, то модель транспортной задачи открытого типа, хотя может быть сведена к задаче закрытого типа введением фиктивного потребителя
mn
Qn+1 (S at > S bj), потребность которого
i=1 j=1
определяется по формуле
mn
bn+i =S a, -S bj , (4)
i=1 j=1
или введением фиктивного поставщика
mn
Pm+1( S at < S bj ), производство которого
i=1 j=1
определяется по формуле
nm
bn+i = Sbj -Sa, . (5)
j=1 i=1
Таким образом, имеем постановку транспортной задачи в стандартной форме:
mn
f = S Scjxj ^ min;
i=1 j=1
nm
S xij = bj, S xij = a,, (6)
j=1 i=1
Xj > 0;
mn
Sat = S bj , 1 < i < m;
i=1 j=1
1 < j < n.
* Карпелевич Ф.И. Элементы линейной алгебры и линейного программирования / Ф.И.Карпелевич, Л.Е.Садовский. М., 1965.
Karpelevich F.I., Sadovskii L.E. Elements of linear algebra and linear programming, Moscow, 1965.
Поскольку транспортная задача является задачей ЛП, то она может быть решена симплекс-методом. Однако система ограничений транспортной задачи имеет ряд особенностей, позволяющих решать ее более рациональным способом - путем преобразований транспортной таблицы (табл.1)
Транспортная таблица
Таблица 1
Поставщики Потребители Производство
Ql Q2 Qn
Р1 С11 С12 С\п а1
Р2 С21 С22 С2п а2
Р * т Ст1 ст2 стп ат
Потребность ¿1 ¿2 Ьп
В нашем случае решение транспортной задачи сводится к оптимальному распределению руды первой группы карьеров по трем обогатительным фабрикам ГРО «МИБА». На карьерных трубках «Массив 2» и «Массив 5» имеются запасы в размерах соответственно 1811404 и 2130596 м3. Далее этот продукт следует доставить на три обогатительные фабрики (НКЛ 1, НКЛ 2, ДИЗЕЛЕ) ГРО «МИБА» в количествах соответственно 1533000, 1752000 и 657000 м3. Матрица стоимостей перевозки имеет вид
С =
0,267 0,546
0,274 0,550
0,366 0,623
Решение транспортной задачи начинаем с нахождения первого опорного плана перевозок. Количество базисных переменных г = т + п -1 = 3 + 2 -1 = 4 и количество свободных переменных тп - г = 3 • 2 - 4 = 2. В опорном решении свободные переменные в таблицу не записываются, а соответствующие пустые клетки таблицы называются свободными. Заполненные клетки таблицы соответствуют базисным переменным и называются базисными, или опорными клетками. Воспользуемся методом наименьшей стоимости и решим задачу методом потенциалов.
Для перехода от одного базиса к другому при решении транспортной задачи используются так называемые циклы. Циклом
пересчета в таблице перевозок называется последовательность неизвестных, удовлетворяющая следующим условиям:
• одно из неизвестных последовательности свободное, а все остальные - базисные;
• каждые два соседних в последовательности неизвестных лежат либо в одном столбце, либо в одной строке;
• три последовательных неизвестных не могут находиться в одном столбце или в одной строке.
Геометрическое изображение цикла -замкнутая ломаная из чередующихся горизонтальных и вертикальных звеньев, одна из вершин которой находится в свободной клетке, а остальные - в базисных клетках (табл.2).
Далее построим следующий вариант опорного плана (табл.3) и т.д.
Таким образом, видно, что последний пересчет цикла (табл.4) возвращает нас к исходному варианту. Так как для каждой свободной клетки существует единственная замкнутая ломаная линия, то субоптимальным будет являться опорный план варианта 2 (табл.2).
Затраты на транспортировку 1, 2 и 3-го вариантов соответственно слудующие:
/ (х) = 0,267 • 1533000 + 0,274 • 278404 + + 0,55 • 1473596 + 0,623 • 657000 = = 1705382,496 долларов;
/ (х) = 0,267 1533000 + 0,366 • 278404 + + 0,55 • 1752000 + 0,623 • 378596 =
= 1710672,172 долларов;
/ (х) = 0,267 • 59404 + 0,274 • 1752000 + + 0,546 • 1473596 + 0,623 • 657000 = = 1709803,284 долларов.
Отметим, что оптимальное решение не всегда достижимо из-за ограничений ресурсов или уровня современной науки. В таком
_ 303
Таблица 2
Опорный план. Вариант 1
Поставщики Потребители Производство
ОФ № 1 ß1 = 1533000 ОФ № 2 ß2 = 278404 ОФ № 3 ß3 = -538192
Карьер трубки «Массив 2» а1 = 0 0,267 - Q 1533000 0,274 +Q 278404 0,366 538191,634 -538192 1811404
Карьер трубки «Массив 5» а2 = 1195192 0,546 -2728191,454 +Q 2728192 0,55 - Q 1473596 0,623 657000 2130596
Потребность 1533000 1752000 657000 3942000
Таблица 3 Опорный план. Вариант 2
Поставщики Потребители Производство
ОФ № 1 ßi = 59404 ОФ № 2 ß2 = 1752000 ОФ № 3 ß3 = -757192
Карьер трубки «Массив 2» а1 = 0 0,267 - Q 59404 0,274 1752000 0,366 757191,634 +Q -538192 1811404
Карьер трубки «Массив 5» а2 = 1414192 0,546 +Q 1473596 0,55 -3166191,45 3166192 0 0,623 -Q 657000 2130596
Потребность 1533000 1752000 657000 3942000
Таблица 4 Опорный план. Вариант 3
Поставщики Потребители Производство
ОФ № 1 ß1 = 1533000 ОФ № 2 ß2 = 1651808 ОФ № 3 ß3 = 278404
Карьер трубки «Массив 2» а1 = 0 0,267 1533000 0,274 -1651807,726 +Q 1651808 0,366 - Q - 278404 1811404
Карьер трубки «Массив 5» а2 = 100192 0,546 -1633191,454 1633192 0,55 -Q 1752000 0,623 +Q 378596 2130596
Потребность 1533000 1752000 657000 3942000
случае следует ограничиться субоптимальным решением, т.е. «достаточно хорошим». Для подтверждения получения результатов транспортную задачу решили в таких вычислительных программах, как Microsoft Office Excel, MathCAD, Метод Северо-Западного угла. Хорошее совпадение с расчетами подтвер-
ждает корректность постановки задачи и достоверность полученных результатов.
Таким образом, результаты транспортной задачи обосновывают возможность сокращения затрат при разработке решения отдельных коренных месторождений группой карьеров ГРО «МИБА».
