CC BY
17<Тешетневс^ие чтения. 2016
rang(ci(A)) < rang(A).
Доказательство. Пусть для определённости линейно независимыми являются строки с номерами 1,..., r, следовательно, rang (A) = r. Приравнивая к нулю линейную комбинацию этих строк с коэффициентами z1,..., zr, получим систему полиномиальных уравнений
z1a1j (x) +... + zrarj (x) = 0, j = 1, ..., n,
которая имеет единственное решение в виде ФСР:
zi = ... = Zr =
Коммутативный образ этой системы уравнений z1ci(a1j(x)) +... + zrci(arj(x)) = 0, j = 1, ..., n,
в соответствии с приведённым выше замечанием может иметь более широкое множество решений, включающее решение z1 = ... = zr = 0. В этом случае строки (коммутативные образы исходных строк) являются линейно зависимыми, следовательно, rang(ci(A)) < r.
Отметим также следующую теорему.
Теорема 2. Если коммутативный образ системы уравнений (1) не имеет решения, голоморфного в начале координат, то и некоммутативная система (1) несовместна.
Таким образом, условия несовместности системы коммутативных уравнений также представляют интерес.
Наконец, отметим, что система уравнений (1) имеет бесконечно много решений, если множество её решений зависит хотя бы от одного произвольного ФСР от символов x1,...,xm. Например, система из двух одинаковых уравнений x1 z1 - z2x2 = 0 имеет беско-
нечно много решений: z1 = sx2, z2 = x1s, где s - произвольный ФСР от x1, ..., xm.
Библиографические ссылки
1. Сафонов К. В., Егорушкин О. И. О синтаксическом анализе и проблеме В. М. Глушкова распознавания контекстно-свободных языков Хомского // Вестник Томского государственного университета. 2006. № 17. С. 63-67.
2. Salomaa A., Soitolla M. Automata-Theoretics Aspects of Formal Power Series. N.-Y. : Springer Verlag. 1978. 171 p.
3. Семёнов А. Л. Алгоритмические проблемы для степенных рядов и контекстно-свободных грамматик // Доклады АН СССР. 1973. Т. 212. С. 50-52.
References
1. Safonov K. V., Egorushkin O. I. [On syntax analysis and V.M. Glushkovs problem of recognition for context-free languages] // Vestnik TGU. 2006. No. 17, рp. 63-67. (In Russ.).
2. Salomaa A., Soitolla M. Automata-Theoretics Aspects of Formal Power Series. N.-Y. : Springer Verlag. 1978. 171 p.
3. Semenov A. L. Algorithmic Problems for Power Series and Context-Free Grammars // Soviet Doklady Mathematics. 1973. Vol. 212, рp. 50-52. (In Russ.).
© Егорушкин О. И., Колбасина И. В., Попов А. М., Попов Н. А., Сафонов К. В., 2016
УДК 519.6
ТОПОЛОГИИ МНОГОПРОЦЕССОРНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ, ОСНОВАННЫЕ НА ГРАФАХ КЭЛИ ГРУПП ПЕРИОДА 41
А. А. Кузнецов1, А. С. Кузнецова2
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 2Красноярский государственный аграрный университет Российская Федерация, 660049, г. Красноярск, просп. Мира, 90 E-mail: [email protected]
Проведены исследования по определению структуры графов Кэли бернсайдовых групп периода 4. Предложено применять данные графы в качестве перспективных топологий многопроцессорных вычислительных систем.
Ключевые слова: граф Кэли, многопроцессорная вычислительная система.
1 Работа поддержана грантом Президента РФ № МД-3952.2015.9 (This work was supported by a grant from the President
of the Russian Federation № MD-3952.2015.9).
¡Прикладная математика
TOPOLOGIES OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS BASED ON THE CAYLEY GRAPHS OF PERIOD 4 GROUPS
A. A. Kuznetsov, A. S. Kuznetsova
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation Krasnoyarsk State Agrarian University 90, Mira Av., Krasnoyarsk, 660049, Russian Federation E-mail: [email protected]
It is known that Cayley graphs are a good model of topology of multiprocessor computer systems. We research the structure of the Cayley graphs of Burnside period 4groups. Then we compare these graphs with the corresponding to-ruses and hypercubes. The analysis shows that the Cayley graphs of the Burnside groups have better properties. As the result, we propose to use these graphs as perspective topologies of multiprocessor computer systems.
Keywords: the Cayley graph, a multiprocessor computing system.
Введение. Определение графа Кэли было дано известным английским математиком Артуром Кэли в XIX веке для представления алгебраической группы, заданной фиксированным множеством порождающих элементов.
К настоящему времени графы Кэли нашли применение в различных приложениях, в частности, в информационных технологиях. С. Эйкерс и Б. Кришна-мурти впервые предложили применять указанные графы для представления компьютерных сетей, в том числе для моделирования топологий многопроцессорных вычислительных систем (МВС) - суперкомпьютеров [1]. С тех пор данное направление активно развивается [2; 3]. Это связано с тем, что графы Кэли имеют много привлекательных свойств, из которых выделим их регулярность, вершинную транзитивность, малые диаметр и степень при достаточно большом количестве вершин в графе. Например, такие базовые топологии сети, как кольцо, гиперкуб и тор являются графами Кэли.
Вычисление диаметра графа Кэли большой конечной группы является хотя и разрешимой, но весьма сложной проблемой. Это связано с тем, что в общем случае задача по определению минимального слова в группе, как показали С. Ивен и О. Голдрейх в 1981 году [4], является КР-трудной. Поэтому для эффективного решения задач на графах Кэли, имеющих большое количество вершин, необходимо применять МВС.
Как было сказано, одной из широко применяемых топологий МВС является ¿-мерный гиперкуб. Данный граф задается ¿-порожденной бернсайдовой группой периода 2, которую обозначают В(к, 2). Группа Б(к, 2) имеет простую структуру и равна прямому
произведению к экземпляров циклической группы порядка 2.
Обобщением гиперкуба является «-мерный тор, который порождается прямым произведением п экземпляров циклических подгрупп, порядки которых могут не совпадать.
В настоящей работе проведены исследования по определению структуры графов Кэли групп В(к,4) -бернсайдовых к-порожденных групп периода 4 (а также их фактор-групп) для сравнения с гиперкубами и торами соответствующих размерностей.
Строение групп В(к, 4) известно [5], однако характеристики графов Кэли указанных групп до настоящего времени изучены не были. Отметим также, что в работе [6] были исследованы графы Кэли групп В(к, 3), т. е. групп периода 3, а также проведен сравнительный анализ данных графов с гиперкубами.
Исследование графов Кэли групп В(к, 4). В таблице приведены указанные характеристики для графов Кэли групп В(к, 4) и некоторых их факторов при 2 < к < 5, полученные при помощи компьютерных вычислений. Порождающие множества были взяты симметричными, поскольку в этом случае графы будут неориентированными. Именно неориентированные графы, как правило, используют при проектировании топологий МВС.
При рассмотрении графа в качестве топологии МВС берут во внимание следующие характеристики графа: количество вершин, степень (для регулярного графа), диаметр и средний диаметр.
Теперь сравним полученные характеристики графов Кэли групп В(к,4) с соответствующими характеристиками гиперкубов и торов.
IV s D d
24 4 4 2
25 4 4 2,5
26 4 6 3,4
27 4 8 4,1
28 4 8 5,2
IV s D d
29 4 10 5,9
29 6 6 4,2
210 6 8 4,9
211 6 10 5,6
212 6 10 6,3
V ^ D d
213 6 10 6,8
214 6 11 7,4
214 8 8 6,0
215 8 10 6,6
216 8 12 7,3
V ^ D d
217 8 12 7,9
218 8 12 8,5
219 8 12 8,8
220 8 14 9,3
220 10 10 7,9
Характеристики графов Кэли групп B(k,4) и некоторых их фактор-групп
Решетневс^ие чтения. 2016
Будем считать, что топология Г предпочтительнее Г2, если | V |=| V2 |, но s1 < s2, D1 < D2 и d1 < d2 , при этом по крайней мере одно неравенство должно быть строгим.
Легко заметить, что графы B(k,4) обладают более предпочтительными характеристиками при сравнении с гиперкубами.
Также нетрудно увидеть, что графы B(k,4) будут иметь лучшие значения указанных параметров в сравнении с n-мерными торами. Напомним, что такая топология, как n-мерный тор, является графом Кэли, который порождается прямым произведением n экземпляров циклических подгрупп
ZP1 х Zp2 X ...X ^ .
Заключение. Анализ выявил, что графы B(k,4) обладают лучшими характеристиками в сравнении c гиперкубами и торами соответствующих размерностей, поэтому заслуживают внимания при проектировании перспективных топологий МВС.
Также представляется актуальной задача по исследованию графов Кэли конечных бернсайдовых групп других периодов.
Библиографические ссылки
1. Akers S., Krishnamurthy B. A group theoretic model for symmetric interconnection networks // Proceedings of the International Conference on Parallel Processing. 1986. Pp. 216-223.
2. Schibell S., Stafford R. Processor interconnection networks and Cayley graphs // Discrete Applied Mathematics. 1992. Vol. 40. Pр. 337-357.
3. Efficient Routing in Data Center with Underlying Cayley Graph / M. Camelo [et al.] // Proceedings of the
5th Workshop on Complex Networks CompleNet. 2014. Pр. 189-197.
4. Even S., Goldreich O. The Minimum Length Generator Sequence is NP-Hard // Journal of Algorithms. 1981. Vol. 2. Pр. 311-313.
5. Vaughan-Lee M. The restricted Burnside problem. Oxford : Clarendon Press, 1990. 209 p.
6. Кузнецов А. А. Графы Кэли бернсайдовых групп периода 3 // Сибирские электронные математические известия. 2015. Т. 12. С. 248-254.
References
1. Akers S., Krishnamurthy B. A group theoretic model for symmetric interconnection networks. Proceedings of the International Conference on Parallel Processing, 1986. Pр. 216-223.
2. Schibell S., Stafford R. Processor interconnection networks and Cayley graphs. Discrete Applied Mathematics. 1992. Vol. 40. Pр. 337-357.
3. Camelo M., Papadimitriou D., Fabrega L., Vila P. Efficient Routing in Data Center with Underlying Cayley Graph. Proceedings of the 5th Workshop on Complex Networks CompleNet. 2014. Pр. 189-197.
4. Even S., Goldreich O. The Minimum Length Generator Sequence is NP-Hard. Journal of Algorithms. 1981. Vol. 2. Pр. 311-313.
5. Vaughan-Lee M. The restricted Burnside problem. Oxford : Clarendon Press, 1990. 209 p.
6. Kuznetsov A. A. [The Cayley graphs of Burnside groups of exponent 3]. Siberian Electronic Mathematical Reports, 2015, Vol. 12. Pр. 248-254. (In Russ.).
© Кузнецов А. А., Кузнецова А. С., 2016
УДК 519.722
О БЫСТРОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ ДЕЙСТВИЯ ГРУППЫ ДЖЕВОНСА
НА БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЯХ
А. М. Кукарцев
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: [email protected]
Представлен новый быстрый метод решения уравнения, в котором элементы группы Джевонса действуют на булевых функциях. Это действие может быть использовано как криптографический примитив для шифрования канала передачи телеметрии спутников.
Ключевые слова: действие группы на множестве, частотный анализ, группа Джевонса, булевы функции, уравнения действия группы на множестве.
